湖北省襄阳市第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

襄阳四中2025届高三上学期10月月考 数学试卷 命题人：陈国兵 审题人：饶雨 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则用列举法表示（ ） A. B. C. D. 2. 设，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 4. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，则，相互独立 C. 若，互斥，则，相互独立 D. 若，独立，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的值域为 C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ） A. 对任意三点，都有； B. 已知点和直线，则； C. 到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形. D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________． 13. 已知函数在处取得极小值，则__________. 14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 16. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3． （1）求抛物线E的方程； （2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点． 17. 如图，已知正方形的边长为4，分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为60°，点在线段上． （1）若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线//平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由． 18. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围； （3）求证：. 19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”． （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”； （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值； （3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）． 襄阳四中2025届高三上学期10月月考 数学试卷 命题人：陈国兵 审题人：饶雨 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明： 设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，，则， 因为点A、B在第一象限，所以，故， 设B关于x轴的对称点为， 则直线的方程为， 令得： ． 直线过定点． 【17题答案】 【答案】（1） 分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得，， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）存在点，使得直线与平面所成的角为60°；此时二面角的余弦值为或. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 设， 则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 即，所以，， 令， 可得， 所以， ， ， ……， ， 以上式子相加得， 整理得， 即， 两边取指数得. 【19题答案】 【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $