精品解析：四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

2024—2025学年度上期高二期中数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知空间向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，空间向量， 因为，可得，即，可得 ，解得. 故选：A. 2. 过点且与直线平行的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设所求的直线方程为，代入点，即可求得本题答案. 【详解】因为所求直线方程与直线平行，所以可设为，又因为经过点，代入可得，则所求直线方程为. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题. 3. 如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果． 【详解】，． ， 故选：． 【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题． 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 5. 在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为 A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出. 【详解】如图所示 由正四面体的性质可得： 可得： 是棱中点 故选： 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型. 6. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解之得 则直线与直线间的距离为 故选：B 7. 已知直线l方程为f（x，y）＝0，P1（x1，y1）和P2（x2，y2）分别为直线l上和l外的点，则方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0表示（　　） A. 过点P1且与l垂直的直线 B. 与l重合的直线 C. 过点P2且与l平行的直线 D. 不过点P2，但与l平行的直线 【答案】C 【解析】 【分析】因为P1（x1，y1）为直线l上的点，则f（x1，y1）＝0，所以原方程化为f（x，y）﹣f（x2，y2）＝0，即可判断结果． 【详解】P1（x1，y1）为直线l上的点，f（x1，y1）＝0，f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0，化为f（x，y）﹣f（x2，y2）＝0， 显然P2（x2，y2）满足方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0， 又因为f（x2，y2），则 f（x，y）﹣f（x2，y2）＝0与f（x，y）＝0平行， 所以f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0表示过点P2且与l平行的直线． 故选：C． 8. 在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚.现有直径为的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚.设正东方向射出的太阳光线与地面成角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析出阴影面是椭圆面，根据椭圆的面积公式，将面积最大转化为椭圆的长轴长最大，在三角形中利用正弦定理可求得结果. 【详解】依题意分析可知，阴影面是椭圆面，椭圆的短轴长， 如图：圆的直径在地面的投影为，则为椭圆的长轴，为圆面与阴影面所成二面角的平面角，， 根据椭圆的面积公式可得，所以要使椭圆的面积最大，只要最大即可， 在△ABC中，由正弦定理可得， 所以，当时，取得最大值4，此时，， 所以圆面与阴影面所成角的大小为. 故选：C. 【点睛】本题考查了平行投影，考查了二面角的平面角，考查了椭圆的面积公式，考查了正弦定理，考查了分析问题的能力，属于中档题. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在下列四个命题中，错误的有（    ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B中：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B正确； 对于C中：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误； 对于D中：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误. 故选：ACD 10. （多选题）正三棱柱中，，则（ ） A. 与底面的成角的正弦值为 B. 与底面的成角的正弦值为 C. 与侧面的成角的正弦值为 D. 与侧面的成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求出与底面的成角的正弦值为，与侧面的成角的正弦值为，即得解. 【详解】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直， 则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系； 设，则. . ．底面的其中一个法向量为， 与底面的成角的正弦值为，错对． 的中点的坐标为, ∴侧面的其中一个法向量为， 与侧面的成角的正弦值为：， 故对错； 故选：BC． 【点睛】本题主要考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11. 已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有（ ） A. 平面平面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. ∥平面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，要判断面面垂直，需先判断是否有线面垂直，根据线线，线面的垂直关系即可判断； 对于B，由条件可知若，可推出平面，则，判断是否有矛盾即可；对于C，根据平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，在三角形中求解即可；对于D，根据线面平行可推出线线平行，即∥，判断是否有矛盾即可. 【详解】对于A，∵平面，平面，∴， 在正六边形中，，又，，∴平面， 又平面，∴平面平面，故A正确； 对于B，平面，平面，则， 所以当时，平面，平面， 又平面，，这与，不垂直矛盾，故B不正确； 对于C，∵∥，直线CD与PF所成角为， ∵平面，平面，∴， 所以在直角三角形中，由知， 可得，故C正确； 对于D，若∥平面，平面平面，∥， 这与，不平行矛盾，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 无论为何值，直线必过定点坐标为__ 【答案】 【解析】 【分析】把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解. 【详解】根据题意，直线，即， 变形可得，联立方程组，解得， 即直线必过定点. 故答案为：. 13. 已知直线：，直线：，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线垂直求得，再由正切二倍角公式即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以. 故答案为： 14. 如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则在四面体中，下列说法正确的是_______（填写序号）.（1）；（2）与平面所成的角为30°；（3）四面体的体积为；（4）二面角的平面角的大小为45°. 【答案】（1）（4） 【解析】 【分析】根据翻折前后的数量关系和位置关系分析即可判断. 【详解】对于（1），可知在四面体中， 平面平面，，平面， ，， 在中，， 在中，满足，，故（1）正确； 对于（2），由（1）知平面， 即为与平面所成的角， 可知是等腰直角三角形，，故（2）错误； 对于（3），，故（3）错误； 对于（4），可知，即为二面角的平面角， 且，故（4）正确. 故答案为：（1）（4）. 【点睛】本题考查空间中相关数量的计算，属于基础题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知中，点. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式写出直线方程并整理一般式； （2）求出到直线的距离，即三角形的高，再求出边的长，可得面积． 【详解】（1）直线的斜率为， 直线的方程为：，即； （2）点C到直线的距离， ， 故的面积. 【点睛】本题考查求直线方程，求三角形面积，直线方程有多种形式，可根据已知条件用各种形式写出直线方程，只是最后一般都要化为一般式或斜截式． 16. 直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【答案】 【解析】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 17. 如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动. （1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； （2）证明：无论点E在边BC的何处，都有. 【答案】（1）平面，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决； （2）根据线面垂直的判定定理以及性质定理可得答案． 【小问1详解】 当点为的中点时，与平面平行． ∵在中，分别为、的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面 【小问2详解】 证明： ∵⊥平面，平面， ∴，又，，平面， 平面.又平面，∴. 又，点是的中点，∴， 又,平面， ∴⊥平面. ∵平面， ∴. 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在△PAB中，ME为一条中位线， 则，， 又由题意有，，，故，， ∴四边形DFEM为平行四边形，∴EF∥DM， 又EF⊄平面PAD，DM⊂平面PAD， ∴EF∥平面PAD； （Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据三角形的中位线和平行四边形性质证得EF∥DM，再根据线面平行的判定定理可得证； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，运用线面角的向量计算方法求得答案. 【详解】（Ⅰ）略； （Ⅱ）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH， 由平面PAD⊥平面ABCD，且PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可知PN⊥平面ABCD， 又AD⊥NH， 故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面PBF的一个法向量为，则，可取， 又，故， ∴直线PA与平面PBF所成角的正弦值为． 【点睛】思路点睛：线面角的二种求法： 1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算. 2. 向量法：直线a的方向向量和平面的法向量分别为和.直线a的方向向量和平面所成的角θ满足: 19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值. 【答案】 （Ⅰ）因为为正方形，所以. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C， 所以⊥平面ABC. （Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角，往往利用“作——证——求”的思路完成，作二面角是常常利用直线和平面垂直.第（Ⅲ）题，求解有难度，可以空间向量完成. （Ⅰ）略 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC, ⊥AB. 由题意知，所以. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则. 设平面的法向量为，则即 令，则，所以. 同理可得，平面的法向量为. 所以. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. （Ⅲ）设是直线上的一点，且. 所以，解得，所以. 由，即，解得. 因为，所以在线段上存在点D，使得，此时. 【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力. 【详解】请在此输入详解！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期高二期中数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知空间向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 6 2. 过点且与直线平行的直线方程是 A. B. C. D. 3. 如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为 A. B. 1 C. D. 6. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 7. 已知直线l方程为f（x，y）＝0，P1（x1，y1）和P2（x2，y2）分别为直线l上和l外的点，则方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）＝0表示（　　） A. 过点P1且与l垂直的直线 B. 与l重合的直线 C. 过点P2且与l平行的直线 D. 不过点P2，但与l平行的直线 8. 在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚.现有直径为的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚.设正东方向射出的太阳光线与地面成角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在下列四个命题中，错误的有（    ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10. （多选题）正三棱柱中，，则（ ） A. 与底面的成角的正弦值为 B. 与底面的成角的正弦值为 C. 与侧面的成角的正弦值为 D. 与侧面的成角的正弦值为 11. 已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有（ ） A. 平面平面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. ∥平面 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 无论为何值，直线必过定点坐标为__ 13. 已知直线：，直线：，若，则______. 14. 如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则在四面体中，下列说法正确的是_______（填写序号）.（1）；（2）与平面所成的角为30°；（3）四面体的体积为；（4）二面角的平面角的大小为45°. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知中，点. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 16. 直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 17. 如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动. （1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； （2）证明：无论点E在边BC的何处，都有. 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值． 19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $