精品解析：上海市闵行区六校联考2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

2024学年第一学期期中考试高一数学试卷 注意事项 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，考生在答题纸正面填写班级、姓名、考号. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，在草稿纸、试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______． 2. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 3. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 4. 在正方体中，，则直线到平面的距离为______． 5. 的斜二测直观图如图所示，则的面积是_______. 6. 以下四个命题中，真命题是______（只填真命题的序号）. ①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面； ②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行； ③若直线a，b和平面满足，，则； ④若直线a，b和平面满足，，，则. 7. 一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为__． 8. 已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为__________． 9. 正方体的棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为______. 10. 如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______； 11. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是______． 12. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点，则的面积的最小值为________. 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，第13~14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应该答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑， 13. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( ) ①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 15. 如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. （1）求证：点在直线上； （2）求证：与是异面直线. 18. 在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且.设是底面圆周上的动点. （1）求圆柱的表面积和体积； （2）当二面角的大小为时，求点到平面的距离. 19. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，. （1）求证：四棱锥为阳马； （2）若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 20. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 21. 在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G． （1）若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； （3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中考试高一数学试卷 注意事项 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，考生在答题纸正面填写班级、姓名、考号. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，在草稿纸、试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______． 【答案】异面或相交 【解析】 【分析】根据空间中线线的位置关系得解. 【详解】如果一条直线和两条异面直线中的一条平行， 那么它和另一条直线的位置关系是异面或相交. 故答案为：异面或相交 2. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【详解】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为：. 3. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 4. 在正方体中，，则直线到平面的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知先得出平面.然后求出点到平面的距离，即可得出答案. 【详解】根据正方体的性质可知，. 又平面，平面， 所以，平面. 所以，点A到平面的距离，即等于直线到平面的距离. 又平面，所以点A到平面的距离即为. 所以，直线到平面的距离为2. 故答案为：2. 5. 的斜二测直观图如图所示，则的面积是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解. 【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边， 边上的高，所以的面积是. 故答案为：. 6. 以下四个命题中，真命题是______（只填真命题的序号）. ①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面； ②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行； ③若直线a，b和平面满足，，则； ④若直线a，b和平面满足，，，则. 【答案】④ 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系即可判断. 【详解】解析：对于①，当经过b的平面也经过a时，不成立，故①为假命题； 对于②，a与内的直线平行或异面，故②为假命题； 对于③，直线a与b三种位置关系都有可能，故③也为假命题； 对于④，因为，过作平面交于直线，则， 又因为，所以，而，，所以.故④为真命题. 故答案为：④ 7. 一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为__． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得. 【详解】由圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，得该圆台的体积. 故答案为： 8. 已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，再根据圆锥的表面积公式求出，再利用勾股定理即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由于圆锥侧面展开图是一个半圆， 故有， 即圆锥母线长为， 又圆锥的表面积为， 解得，所以， 所以圆锥的高为. 故答案为：. 9. 正方体的棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面的性质作出截面，然后求解面积即可. 【详解】如图所示， 设为的中点，连接，设为的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则且， 又且，得且，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为， 所以， 故的面积为. 故答案为： 10. 如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______； 【答案】2 【解析】 【分析】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则长方体的面对角线长为、、，利用勾股定理列出方程组，求出a，b，c的值，长方体截去四个角，即可求出四面体的体积． 【详解】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则，解得，所以四面体的体积，故答案为2. 【点睛】本题运用类比的方法，考查锥体的体积求法，考查学生逻辑推理，计算化简的能力，难点在于根据题意，类比出四面体体积的求法，即长方体截去四个角后得到的体积，属基础题． 11. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可. 【详解】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则， 由截面圆的周长为，得，∴， 球的半径是． 所以该球的表面积为. 故答案为：. 12. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点，则的面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】作于,于,连接,由题意可得,,，易得平面,即,故求面积的最小值转化为求出的最小值即可. 【详解】作图如下： 作于, 于, 连接, 在鳖臑中， 平面， 且有， ， ， 所以, , 易得, , 又, 故平面, 所以, ， 即, 所以. 设, 则, 因为, 所以, 当时, 最小为. 因为, 所以最小为时, 有最小值为. 故答案为: 【点睛】本题重点考查线面垂直的判定与性质的灵活运用,通过作辅助线把求面积的最小值转化为求的最小值和得到等量关系是求解本题的关键;属于综合性强型试题. 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，第13~14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应该答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑， 13. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 14. 如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( ) ①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可证明平面ABD，从而可判断①；证明平面ACD可判断②③． 【详解】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD, ∴平面ABD，又∵CD平面ACD， ∴平面平面ABD，故①正确； ∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD， ∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确； ∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确； 故选：D 15. 如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故选：D 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点位于正四面体各棱的中点，符合条件的有个点； （2）点到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有个点，故选C. 考点：新定义 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. （1）求证：点在直线上； （2）求证：与是异面直线. 【答案】（1）证明：平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）证明：假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 【解析】 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且.设是底面圆周上的动点. （1）求圆柱的表面积和体积； （2）当二面角的大小为时，求点到平面的距离. 【答案】（1）表面积为，体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的表面积公式和体积公式可求得结果； （2）分析可知，二面角的平面角为，求出的长，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 解：由题意可知，圆柱的底面半径为，高为， 则该圆柱的表面积为，体积为. 【小问2详解】 解：因为平面，平面，则， 因为是底面直径，是底面圆周上的动点，由题意可知，与、不重合， 所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为，即， 因为平面，平面，则， 所以，，则， 则， ， 又因为， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，点到平面的距离为. 19. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，. （1）求证：四棱锥为阳马； （2）若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 【答案】（1）证明：由题意在堑堵中，底面， 由底面，底面， 所以，， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为矩形，又， 又，平面，所以平面， 所以四棱锥为阳马. （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义证明底面为矩形，侧棱矩形面即可； （2）找出线面角，根据题意以及（1）中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的体积公式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，所以斜线在平面的射影为， 所以直线与平面所成的角为， 在中，，所以， 在中，，所以， 又，所以在中，， 所以堑堵的体积为：. 20. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、． 为的中点，且． 平面，平面， ，． 又，． 四边形为平行四边形，则． 平面，平面， 平面． AI    （2）证明：为等边三角形，为的中点，． 平面，平面，． ，所以，， 又，平面， 平面． 平面，平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 在平面内，过作于，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面． 为和平面所成的角． 因为，，则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为． 21. 在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G． （1）若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； （3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 【答案】（1） 在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置； （2）利用几何方法找到截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值； （3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面， 在平面内作于点M，则平面ABC， 又平面，所以， 在平面内作于点N，连接， 又平面，，所以平面， 平面，所以， 所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． 在中，作于点H，，，，， ，， 由余弦定理，则， ，可得，所以， 又，所以， 故截面与底面所成锐二面角的正切值为. 【小问3详解】 设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． 【点睛】方法点睛： 空间图形中确定点在直线上的位置，三角形相似和比例线段比较常用；作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；边长比、面积比的限值范围，可以通过构造函数，利用单调性解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $