精品解析：河北省石家庄市第二十中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试 初三数学 一、选择题：（每题3分，共36分） 1. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的判别式的值是（ ） A. 28 B. 4 C. 25 D. 16 3. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 4. 在中，，，，下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设方程的两个根为α，β， 那么的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 7. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若和的面积分别为，，则=（　　） A. 5：8 B. 8：5 C. 1：1 D. 2：7 9. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（ ） A. ①应填 B. ①应填 C. ②应填3 D. ②应填 10. 如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（ ） A. B. C. D. 11. 如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当t为何值时，与相似（ ） A. 3 B. C. 或 D. 3或 二、填空题：（每题2分，共8分） 13. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为______． 14. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 15. 已知x轴上有A点，y轴上有B点，直线交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F，若与相似（点O是坐标原点），则k的值为______． 16. 如图，在中，，，，点D为的中点，线段的垂直平分线l交边于点E．设，，则y与x的关系式为______． 三、解答题：（本题共8道题，共56分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 19. 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 20. 如图，网格中每个小正方形的边长是1，在网格中的位置如图所示． （1）请在网格中画出关于点D位似的，点A与点E，点B与点F，点C与点G分别是对应点，且与的位似比是． （2）在（1）的条件下，已知点在的边上，求点P的对应点Q的坐标． 21. 如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． （1）求B，D两地的距离； （2）大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 22. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p； c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0 （1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案） （2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由； （3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分． 23. 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 24. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试 初三数学 一、选择题：（每题3分，共36分） 1. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 2. 一元二次方程的根的判别式的值是（ ） A. 28 B. 4 C. 25 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别是解决本题的关键． 先将方程化成一般式，再根据根的判别计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得，，， ∴， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 4. 在中，，，，下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．根据题意作出图形，进而根据三角函数关系求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，， ， ，，，， ∴、、错误，正确， 故选B． 5. 设方程的两个根为α，β， 那么的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程两根为，则，，代值求解即可得到答案． 【详解】解：方程的两个根为， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊 故选：C． 7. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查成比例线段、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 先证明相似三角形，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答． 【详解】解：A.由作图得不到平行线，无法判断相似三角形，不符合题意； B.由图可知：,则,即，可证可得 ，即，与矛盾，不符合题意； C.由图可知：,则,又可证,则，即，与矛盾，不符合题意； D.由图可知：,则可得,即，化简得：，即，与相符，符合题意． 故选：D． 8. 如图，若和的面积分别为，，则=（　　） A. 5：8 B. 8：5 C. 1：1 D. 2：7 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作底边上的高，底边上的高，由题意可计算出，，，，根据全等三角形判定可证得，得出，再根据三角形面积公式， ，即两三角形的底相等，高相等，即可得到，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作垂直，垂足为，则为底边上的高， 过点作垂直的延长线，垂足为，则为底边上的高， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 又，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质并合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 9. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（ ） A. ①应填 B. ①应填 C. ②应填3 D. ②应填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点D作，交于H，再根据平行线分线段成比例定理和线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，交于H， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①应填，②应填． 故选：D． 10. 如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ， 故选A． 11. 如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了度直角三角形的性质，勾股定理，及等腰三角形的性质，熟练掌握度直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．过点作于点，有度直角三角形的性质得，再勾股定理得，从而即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选∶． 12. 如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当t为何值时，与相似（ ） A. 3 B. C. 或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由勾股定理求出长，分两种情况，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分别列出关于的方程，求出，即可解决问题，关键是要分两种情况讨论． 【详解】解：由勾股定理得： ， 由题意得：,， 当时， ∵， ∴, 此时, ， 当时, ∵, ∴, 此时, ∴当为或时,与相似， 故选：． 二、填空题：（每题2分，共8分） 13. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握矩形的性质以及直角三角形的性质是解题的关键． 如图，先说明，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴杯中水的最大深度为． 故答案为． 14. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E， 过点B作BC⊥OA于点C． 由勾股定理，得AO=，BO=， ∵=AB×OE=AO×BC， ∴BC= =， ∴sin∠AOB= =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键． 15. 已知x轴上有A点，y轴上有B点，直线交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F，若与相似（点O是坐标原点），则k的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形对应边成比例的性质、两直线相交等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． 根据点的坐标得、，再根据相似三角形对应边成比例分和、是对应边的两种情况分别求出的长，然后求出k的值即可． 【详解】解：∵A点，y轴上有B点， ∴、， ∵直线交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F， ∴， ， ∵与相似， ∴或，即或，解得或， 当时，，代入得，解得：， 当时，，代入得，解得：． ∴或． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，，点D为的中点，线段的垂直平分线l交边于点E．设，，则y与x的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜中线定理、中垂线定理、正切的定义等知识点，综合运用这些性质和定理是解题的关键． 如图：连接，再证明可得求得BD2，再根据求得x与y的关系式即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵l是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． 故答案为：． 三、解答题：（本题共8道题，共56分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】本题主要考考查了解一元二次方程、含特殊角三角函数值的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先将方程化成一般式，然后再运用因式分解法解答即可； （2）先用特殊角的三角函数值和零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，或， 解得：，； （2） ． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见继续 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 19. 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为90米 【解析】 【分析】过作于，可得，即可得出，再由，可得，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ， ， ， ，． ， ， 即 解得， 答：桥的长度为90米． 【点睛】本题主要考查了利用相似三角形的实际应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 20. 如图，网格中每个小正方形的边长是1，在网格中的位置如图所示． （1）请在网格中画出关于点D位似的，点A与点E，点B与点F，点C与点G分别是对应点，且与的位似比是． （2）在（1）的条件下，已知点在的边上，求点P的对应点Q的坐标． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图、位似的性质、求对应点坐标等知识点，理解位似的性质成为解题的关键． （1）如图，连接并延长到长度找到各点的对应点E、D、F，然后顺次连接E、D、F即可解答； （2）先确定点P的位置，再连接并延长至Q，使得，然后读出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：点P的对应点Q的坐标为． 21. 如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． （1）求B，D两地的距离； （2）大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）75712元 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，三角形的内角和定理，等角对等边，含直角三角形的性质，掌握知识点的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，求出，，从而可得，，（米），再求出的长即可得解； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：如图：过点作于点， 由题意知，， ∴，， ，，米， ∴（米） ∴（米） 答：、两地的距离约为米； 【小问2详解】 解：如图：过点作于点， 米， ，，， ， ， ∵，， （米）， ， （米）， （米）， 总费用约为（元）， 答：总费用约为75712元． 22. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p； c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0 （1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案） （2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由； （3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分． 【答案】（1）8.0，84； （2）<； （3）9.0分 【解析】 【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可； （2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案； （3）列方程求解即可． 【小问1详解】 解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5， 平均数=， ∴完成分P甲＝8.0； 得分A甲＝， 故答案为：8.0，84； 【小问2详解】 P甲'=， ∵7.5<8.0， ∴P甲'<P甲， 故答案为<； 【小问3详解】 由题意得， 解得， ∴这一跳乙的完成分P乙至少要达到9.0分． 【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键． 23. 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 【答案】 （1）证明：如图2，过作．交的延长线于， ，，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及勾股定理． （1）如图2，过作．交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到的周长． 【详解】（1）略． （2）解：如图3，，，， ， 平分， ，即， ， ， 的周长． 故答案为：． 24. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求， 90 （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $