精品解析：山东省烟台经济技术开发区（五四制）2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中九年级数学检测题 温馨提示： 1．答题前务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．在试卷上和答题卡指定区域答题，注意书写． 一、单选题（共30分，每小题3分） 1. 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. x=4 C. D. 3. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（ ） A. B. C. 3 D. 或3 9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共18分，每小题3分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____________． 12. 计算______． 13. 已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为______． 14. 二次函数的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______________． 15. 如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为_______． 16. 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 19. 两条抛物线，相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线的最高点．求抛物线的解析式及点B的坐标． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 21. 公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 10 15 20 25 30 日销售量y（千克） 300 225 150 75 0 （1）直接写出y与x之间的函数解析式； （2）求日销售利润为1500元时的销售价格； （3）若公司每销售1千克产品需另行支出a元的费用，当时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值． 22. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732） 23. 有一个二次函数满足以下三个条件： ①函数图象与轴的交点坐标分别为，（点在点的右侧）； ②对称轴是； ③该函数有最小值是． （1）请根据以上信息求出二次函数表达式； （2）将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围． 24. 已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中九年级数学检测题 温馨提示： 1．答题前务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．在试卷上和答题卡指定区域答题，注意书写． 一、单选题（共30分，每小题3分） 1. 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互余两角三角函数关系：sinα=cos(90°-α)求解即可． 【详解】∵sinα=cos(90°-α)， ∴=cos(20º+α)， ∵， ∴α=50º-20º=30º， 故选：B． 【点睛】此题考查了互余两角三角函数关系，解题的关键是熟练掌握sinα=cos(90°-α)． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. x=4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴公式即可求解． 【详解】抛物线的对称轴是 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的对称轴，熟记公式是解题的关键． 3. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 4. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟悉掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或， 故选：C． 5. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作进行计算即可．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 【详解】解：，，， ∴， ， 故选：A． 7. 如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 8. 规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（ ） A. B. C. 3 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．根据题意求出代入解方程即可． 【详解】解：二次函数只有一个零点且图象开口向下， ， 解得， 故， 将代入二次函数， 得， 令， 解得． 故选A． 9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10. 对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数（、、b、c为常数，且）系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图象得：， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①错误； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，当时，， ∴当时，，故③错误； ∵当时，，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 观察图象得：当时，y随x的增大而减小，故⑥错误； 综上所述：正确的结论有②④⑤；共3个； 故选：A 二、填空题（共18分，每小题3分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____________． 【答案】x≥－3且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x+3≥且x-1≠0，解得自变量x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x-1≠0， 解得：x≥-3且x≠1． 故答案为：x≥-3且x≠1 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可，熟练地掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13. 已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当时，函数有最小值， ∴当时，时取最小值，即， 解得（舍去）， 当时，号时取最小值，即， 解得（不合，舍去），（不合，舍去）； 当时，时取最小值，即， 解得 综上，的值为， 故答案为：． 14. 二次函数的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与直线交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程有实数根，相当于与有交点，结合图象可得答案． 【详解】解：方程有实数根，相当于与有交点， 由图象可得：． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 16. 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N， ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=，然后根据BC=BD+DC即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1， ∴． ∴． ∴． （2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=． ∴DE=CE﹣CD=． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键． 19. 两条抛物线，相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线的最高点．求抛物线的解析式及点B的坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 根据题意，先求出点A的坐标，再根据点A为抛物线的最高点可求出b的值，然后将点A代入可求出c的值，从而可得抛物线的解析式，最后设点B的坐标为，代入可得一个关于m、n的方程组，求解即可得． 【详解】对于抛物线 当时，，解得或 点A在x轴的负半轴上， ∴点 ∵点是抛物线的最高点 ∴抛物线的对称轴为，即 解得 把代入得： 解得 则抛物线的解析式为 设点B的坐标为 则，解得或 ∵ ∴ ∴抛物线的解析式为，点B的坐标为； 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）7米；3米 （2）18平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 21. 公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 10 15 20 25 30 日销售量y（千克） 300 225 150 75 0 （1）直接写出y与x之间的函数解析式； （2）求日销售利润为1500元时的销售价格； （3）若公司每销售1千克产品需另行支出a元的费用，当时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值． 【答案】（1） （2）日销售利润为1500元时的销售价格为20元/千克 （3）a的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，一元二次方程，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解一次函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． （1）设一次函数解析式为，任选两点求表达式，求得k便可； （2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可； （3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，依据二次函数的最大值列出a的一元二次方程求得a的值． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 则， 解得：， ； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 则， 当时，， 解得：． 答：日销售利润为1500元时的销售价格为20元/千克； 【小问3详解】 解：日获利 ， 对称轴为， ， ， ∴当时， w有最大值为， 解得：（舍去）， 综上所述，a的值为2． 22. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732） 【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米. （2）宣传牌CD高约2.7米. 【解析】 【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH. （2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度. 【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G， 在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=， ∴∠BAH=30° ∴BH=AB=5（米）. 答：点B距水平面AE的高度BH为5米. （2）由（1）得：BH=5，AH=5， ∴BG=AH+AE=5+15. 在Rt△BGC中，∠CBG=45°， ∴CG=BG=5+15. 在Rt△ADE中， ∠DAE=60°，AE=15， ∴DE=AE=15. ∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）. 答：宣传牌CD高约2.7米. 23. 有一个二次函数满足以下三个条件： ①函数图象与轴的交点坐标分别为，（点在点的右侧）； ②对称轴是； ③该函数有最小值是． （1）请根据以上信息求出二次函数表达式； （2）将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图所示： ， 【解析】 【分析】考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，抛物线的对称性质，二次函数图象的几何变换，直线与抛物线的交点等知识点，综合性较强，需要注意“数形结合”数学思想的应用． （1）利用二次函数解析式的顶点式求得结果即可； （2）由已知条件可知直线与图象“”要有3个交点．分类讨论：分别求得平行于轴的直线与图象“”有2个交点、1个交点时的取值范围，易得直线与图象“”要有3个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为： 设二次函数表达式为：． 该图象过 ，解得． 表达式为； 【小问2详解】 解：由已知条件可知直线与图形“”要有三个交点， ，，应当在直线的下方，且在过顶点且平行于的直线的上方， ， 当直线与轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求， ． 当直线过的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为 令时，解得或（舍去） ． 综上所述． 24. 已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，根据二次函数的性质，即可求出最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， ， ， ∴； 【小问3详解】 设直线为，由得， ∴， ∴， 设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接， 由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，， 在中， ， 即当时，，此时， 此时直线为，符合不与对称轴重合， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $