精品解析：海南省琼海市嘉积中学2024-2025学年高二上学期阶段性教学检测（一）数学试题

2024-2025学年海南高二年级阶段性教学检测（一） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章2.3． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算计算． 【详解】由已知， 故选：C． 2. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离求解即可. 【详解】解：因为直线，即为， 原问题转化为求两平行直线与间的距离， 由平行直线间的距离公式可得. 故选：D. 3. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线面垂直关系可得出，结合空间向量共线的坐标表示可得出结果. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且，则，所以，，解得，，故. 故选：D. 4. 在三棱锥中，点D，E满足，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，进而利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，画出图形如图所示： 由，，可知点是线段的中点，， 由题意， . 即. 故选：A 5. 直线经过两直线，的交点，且与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两直线，的交点，再结合直线与直线垂直即可由点斜式得解. 【详解】联立， 所以两直线，的交点为， 所以直线经过点，又由题直线与直线垂直， 所以直线的方程为即. 故选：C. 6. 已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、、、的等式组，消去、可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为、、、四点共面，设， 即， 可得，消去、可得，即， 故选：A. 7. 已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量单位化，求得直线的单位方向向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】与向量同向的单位向量，则直线的单位方向向量为， 设，则点到直线的距离为， 易知当时，距离取得最小值为. 故选：B. 8. 已知直线不过第二象限，则原点到直线的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线不过第二象限，可得到的范围，再由点到直线的距离可求出其范围. 【详解】，即 令，解得， ∴直线过定点 ∵直线不过第二象限，∴或，解得 则原点到直线的距离 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，，则下列结论正确的是（ ） A. 过定点 B. 在轴上的截距为1 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由直线方程可求定点判定A，根据直线截距的定义可判断B，利用两直线的位置关系可判定C、D. 【详解】对于A，，通过，解得， 故过定点，正确； 对于B，令，得，故B错误； 对于C，若，可得，解得：或， 当时，，，平行， 当时，，，平行，故C错误； 对于D，若，可得： ，解得：，故D正确. 故选：AD 10. 已知直三棱柱中，，，，的中点为，直线AB与所成的角为，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量加法法则判断A，利用计算后判断B，由平方后计算出判断CD． 【详解】对于A：由空间向量的加法法则知A正确； 对于B：是中点，则 ，B正确； 对于CD：直三棱柱中，侧棱与底面垂直，因此侧棱与底面内所有直线都垂直， 由，，即得： ， ， 又， 则， 又直线AB与所成的角为，所以或， 因此或， 所以或． 因此CD均错． 故选：AB. 11. 已知棱长为2的正方体中，点是满足的动点，点为该正方体外接球的球心，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 的最小值为 C. ，三棱锥的体积为定值 D. 当时，三棱锥，的体积之比为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直、空间距离、锥体体积、空间向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. ， ， A选项，当时，， ，所以， 由于平面， 所以平面，所以A选项正确. B选项，展开平面如下图： 所以的最小值为，B选项错误. C选项，由于，平面， 平面，所以平面， 所以到平面的距离为定值，也即到平面的距离为定值， 三角形的面积为定值，所以为定值，C选项正确. D选项，当时， ， 设平面的法向量为， 则，故可取， ，， 所以到平面的距离. 到平面的距离， ，所以三棱锥，的体积之比为3. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：空间坐标系建立与直线、平面关系分析：通过设定空间直角坐标系，以原点为坐标基准，利用线面垂直和空间向量的关系来分析直线、平面的相对位置．距离公式和体积计算：利用点到平面的距离公式来求点到平面的距离，同时通过几何体积公式计算三棱锥体积. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点关于直线对称的点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设所求点的坐标为，根据垂直和中点坐标列式求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 所以所求点的坐标为. 故答案为：. 13. 已知，，为三个不同的平面，为直线，，，与夹角的余弦值为，与所成角的正弦值为，则与夹角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】如图： 根据题意，平面对应平面，平面对应平面，平面对应平面，直线对应直线. 可设，，. 则，，. 设平面的法向量为 则，取，则. 取平面即平面的法向量：；平面即平面的法向量：. 由与夹角的余弦值为得：， 得： 由与所成角的正弦值为得：， 得：. 由. 所以与夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知等于点到点的距离，且点在直线，结合将军饮马问题分析求解即可. 【详解】设为，则， 则， 可知等于点到点的距离， 由题意可知：点在与直线平行的直线上，且两平行线间距离为， 设直线， 则，解得， 即点在直线， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解荅应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： （1）剩余部分几何体的体积； （2）剩余部分几何体的表面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解. （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解. 【小问1详解】 因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. 【小问2详解】 剩余部分几何体的表面积为 . 16. 在中，，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． （1）求直线AD的方程和AD的长； （2）求角B的平分线与直线的交点坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由中点在轴上，可得C，D坐标，即可得答案； （2）设角的平分线与直线的交点为，后利用到直线BC， 直线BA距离相等可得答案. 【小问1详解】 ）设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得． 因为点在轴上，且，所以，解得． 所以，所以． 直线AD的方程为，即．． 【小问2详解】 设角的平分线与直线的交点为，则易知，． 直线BC的方程为，即． 直线BA的方程为，即． 由到两直线，的距离相等，可得，即． 即，解得或（舍）． 所以角的平分线与直线的交点坐标为． 17. 在平面直角坐标系中，点，，直线． （1）当点A到直线l的距离最大时，求k的值： （2）在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当直线时，点到直线的距离最大，再用垂直直线斜率乘积结论即可； （2）分情况讨论，当直线轴时和当直线的斜率存在时，求出的面积，结合二次函数知识计算最小值即可. 【小问1详解】 当直线时，点到直线的距离最大， 因为直线OA的斜率为，所以． 【小问2详解】 当直线轴时，易得，，此时的面积为． 当直线的斜率存在时，设，，，则， 联立解得，． 所以的面积； 当时，等号成立． 综上，的面积的最小值为24，此时直线． 18. 如图1，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，，，.将梯形沿AD折起，使平面平面，连接BF，CF，CE，得到空间几何体，如图2所示. （1）求的大小； （2）求直线AB到平面的距离； （3）求直线BF与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积证线线垂直. （2）利用线面平行，把问题转化成点到平面的距离，再用空间向量求点到平面的距离. （3）用空间向量求直线与平面所成角的三角函数. 【小问1详解】 以为坐标原点，，的方向分别为轴轴的正方向， 以过点垂直于平面且向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，， 因为，所以，即. 【小问2详解】 因为，平面，平面，所以平面， 所以直线AB到平面的距离即为点到平面的距离， 设平面的法向量为，则 令，得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线BF与平面所成的角为，则， 所以直线BF与平面所成角的正弦值为. 19. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．此方程称为平面的点法式方理，整理变形可得，此方程称为平面的一般式方程．已知集合，，． （1）指出集合M和N表示的图形； （2）求过三点，，的平面的点法式方程和一般式方程； （3）设R中所有点构成的几何体为K，求K中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值． 【答案】（1）集合表示平面，集合表示球心在原点，半径为1的球面 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）在空间直角坐标系下，结合集合的概念，即可求解； （2）求出平面的法向量，利用题目中的定义，即可求解； （3）先求出几何体K的顶点，再求出平面的法向量，结合（2）问，即可求解. 【小问1详解】 集合表示点集，表示平面． 因为，所以， 所以集合表示球心在原点，半径为1的球面． 【小问2详解】 ，， 设是平面的法向量，则 取，得，， 所以平面的一个法向量为． 所以过点且一个法向量为的点法式方程为， 整理可得一般式方程为． 【小问3详解】 对于，当x，y，时，可得， 结合（2）中可知方程表示经过三点，，的平面的一部分（在第一卦限的部分）． 由对称性可知表示以，，，，，，这六个点为顶点的正八面体内所有的点． 设平面的法向量为，由，，得取，则，，故平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则．故中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值为． 【点睛】关键点睛：本题综合运用平面的法向量，平面的点法式方程和一般式方程以及二面角的求法，较为综合，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年海南高二年级阶段性教学检测（一） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章2.3． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，点D，E满足，．则（ ） A. B. C. D. 5. 直线经过两直线，的交点，且与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 8. 已知直线不过第二象限，则原点到直线的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，，则下列结论正确的是（ ） A. 过定点 B. 在轴上的截距为1 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知直三棱柱中，，，，的中点为，直线AB与所成的角为，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知棱长为2的正方体中，点是满足的动点，点为该正方体外接球的球心，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 的最小值为 C. ，三棱锥的体积为定值 D. 当时，三棱锥，的体积之比为3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点关于直线对称的点的坐标为___________． 13. 已知，，为三个不同的平面，为直线，，，与夹角的余弦值为，与所成角的正弦值为，则与夹角的余弦值为___________． 14. 在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解荅应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： （1）剩余部分几何体的体积； （2）剩余部分几何体的表面积. 16. 在中，，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． （1）求直线AD的方程和AD的长； （2）求角B的平分线与直线的交点坐标． 17. 在平面直角坐标系中，点，，直线． （1）当点A到直线l的距离最大时，求k的值： （2）在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 18. 如图1，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，，，.将梯形沿AD折起，使平面平面，连接BF，CF，CE，得到空间几何体，如图2所示. （1）求的大小； （2）求直线AB到平面的距离； （3）求直线BF与平面所成角的正弦值. 19. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．此方程称为平面的点法式方理，整理变形可得，此方程称为平面的一般式方程．已知集合，，． （1）指出集合M和N表示的图形； （2）求过三点，，的平面的点法式方程和一般式方程； （3）设R中所有点构成的几何体为K，求K中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $