精品解析：河北省廊坊市2024-2025学年八年级上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年度八年级上学期期中综合评估 数 学 注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图， 是的高， 是的角平分线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若同时平分 与，则可判断，最直接的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，， 为边 上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一副三角尺 ，拼接在一起，边与直线重合，，的度数为，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，嘉嘉用无刻度的直尺和圆规作 与 的度数相等，淇淇对嘉嘉的作图步骤进行了如下总结，其中出错的步骤是（ ） A. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点C，D B. 以点为圆心， 的长为半径画弧①，交于点 C. 以点为圆心，的长为半径画弧②，与弧①相交于点 D. 过点作射线，则 7. 小明用铁丝做了一个，其中．然后，他又做了一个与全等的三角形，在另外这个三角形中有一个角为，则中等于的角是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 24 D. 42 9. 如图1，点D在上，点E在上，，请补充一个条件，使．针对这个问题，淇淇和嘉嘉交流了各自的想法，如图2所示，根据两人的对话内容，可以判断（ ） A. 淇淇的想法正确，嘉嘉的想法错误 B. 淇淇的想法错误，嘉嘉的想法正确 C. 淇淇和嘉嘉的想法都正确 D. 淇淇和嘉嘉的想法都错误 10. 如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙都对 B. 甲对、乙错 C. 甲错、乙对 D. 甲、乙都错 11. 如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 12. 用15根等长的火柴棒首尾相连（不能折断或叠合）拼接成一个三角形，若所得三角形的三个内角互不相等，则不同的拼法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分) 13. 在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为，，则点 A，B 关于________对称． 14. 两条直角边分别相等的两个直角三角形_______全等．（填“一定”“不一定”或“一定不”） 15. 在中，，若，则x的值为________ 16. 如图，小明用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，两堵木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点B 在上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合．若两堵木块墙的高度关系为，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，，D是上的一点，过点D分别作 ，垂足分别为E，F，求证：． 18. 如图，一条笔直的街道两侧的便道，嘉嘉和淇淇分别在便道m，n上以相同的速度散步，步行相同时间后嘉嘉从点 A 走到点B，同时淇淇逆向而行从点 C 走到点D，设的中点为E，嘉嘉觉得点E 到B，D两点的距离也相等，即 嘉嘉的证明如下： 证明： ∵， 第一步 又∵ 第二步 第三步 ∴ 第四步 第五步 （1）在嘉嘉的证明步骤中，首先出现错误的是第 步． （2）嘉嘉的结论正确吗？ 如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． 19. 在 中， 为边上的中线，把 的周长分成12和 10两部分，求底边的长． 20. 如图，P为 内的一点． （1）分别以为对称轴，作点P 的对称点D，E，F．（无需尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求 的度数． 21. 小军求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到 （1）求少加的这个内角的度数． （2）通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 22. 如图，在中，为的角平分线，边的垂直平分线分别交于点D，O，E，连接． （1）不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（除外），并用“”表示全等的等腰三角形． （2）若，求的度数．（可直接利用（1）的结论） 23. 如图1，线段，连接，，取的中点E，连接，平分． （1）线段，，之间存在怎样的等量关系？ 请写出并证明你的结论． （2）如图2，如果点C在 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明． 24. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级上学期期中综合评估 数 学 注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图， 是的高， 是的角平分线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查三角形的高及角平分线的计算，根据题意得出，然后利用角平分线求解即可． 【详解】解：∵ 是的高， ∴， ∵ 是的角平分线， ∴， 故选：B． 3. 如图，若同时平分 与，则可判断，最直接的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．关键在于通过角平分线推出角相等． 利用平分线的定义得到，，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵同时平分 与， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 故选：D． 4. 如图，在中，， 为边 上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一得出，再由三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，一副三角尺 ，拼接在一起，边与直线重合，，的度数为，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角板问题中的角度运算，直角三角形的性质，根据图形求出、、的度数即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，， ∵边与直线重合， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，嘉嘉用无刻度的直尺和圆规作 与 的度数相等，淇淇对嘉嘉的作图步骤进行了如下总结，其中出错的步骤是（ ） A. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点C，D B. 以点为圆心， 的长为半径画弧①，交于点 C. 以点为圆心，的长为半径画弧②，与弧①相交于点 D. 过点作射线，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角的方法步骤，根据作图方法依次判断即可求解，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． 【详解】解：A、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点C，D，正确，不符合题意； B、以点为圆心， 的长为半径画弧①，交于点，步骤错误，符合题意； C、以点为圆心，的长为半径画弧②，与弧①相交于点 D、过点作射线，则 ． 故选：B． 7. 小明用铁丝做了一个，其中．然后，他又做了一个与全等的三角形，在另外这个三角形中有一个角为，则中等于的角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和等于，全等的三角形的对应角相等，知道一个三角形中只能有一个直角是解决本题的关键． 根据三角形内角和等于可知一个三角形中只能有一个直角，全等三角形的性质即可得到结果． 【详解】解：∵一个三角形中只能有一个直角， ∴不可能是直角， ∴中等于的角的是． 故选：C． 8. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 24 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，，，， ∴， ∵， 故选：B． 9. 如图1，点D在上，点E在上，，请补充一个条件，使．针对这个问题，淇淇和嘉嘉交流了各自的想法，如图2所示，根据两人的对话内容，可以判断（ ） A. 淇淇的想法正确，嘉嘉的想法错误 B. 淇淇的想法错误，嘉嘉的想法正确 C. 淇淇和嘉嘉的想法都正确 D. 淇淇和嘉嘉的想法都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，当时，由可以得出，故淇淇的想法正确；当时，根据已知条件无法证明，故嘉嘉的想法错误；综合即可得出答案． 【详解】解：根据淇淇和嘉嘉的想法，分别做以下两种情况讨论： 当时， ∵ ∴在和中， ， ∴， 故淇淇的想法正确； 当时，根据已知条件无法证明， 故嘉嘉的想法错误； 综上：淇淇的想法正确，嘉嘉的想法错误． 故选：A． 10. 如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙都对 B. 甲对、乙错 C. 甲错、乙对 D. 甲、乙都错 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】解：如图，连接 甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 11. 如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴， 故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ， 故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ， 故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故④正确； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 12. 用15根等长的火柴棒首尾相连（不能折断或叠合）拼接成一个三角形，若所得三角形的三个内角互不相等，则不同的拼法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 根据题意可知三角形的周长为15，再根据三角形的三边关系找到符合条件的三角形即可． 【详解】解：根据题意可知由题意可知，三角形的三条边互不相等，三角形的周长为15， 又因为三角形任意两边之和大于第三边， ∴最大边要小于8， ∴三角形的三边可以为7，6，2；7，5，3； 6，5，4， ∵所得三角形的三条边互不相等， ∴不同的拼法有3种． 故选C． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分) 13. 在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为，，则点 A，B 关于________对称． 【答案】y轴 【解析】 【分析】本题考查了关于对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据已知点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得答案． 【详解】解：∵点A，B 的坐标分别为，，横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点 A，B 关于y轴对称． 故答案为：y轴． 14. 两条直角边分别相等的两个直角三角形_______全等．（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【答案】一定 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．，由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得答案． 【详解】解：∵两个直角三角形的两条直角边相等，而且所夹的角为直角， ∴根据可知这两个直角三角形全等． 故答案为：一定． 15. 在中，，若，则x的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，即可求出的值，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，小明用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，两堵木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点B 在上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合．若两堵木块墙的高度关系为，则________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判断和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 利用角角边定理证明，然后结合全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，，D是上的一点，过点D分别作 ，垂足分别为E，F，求证：． 【答案】 证明∶∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形等边对等角的性质，先由得，再由，得，进而可得出结论． 【详解】略 18. 如图，一条笔直的街道两侧的便道，嘉嘉和淇淇分别在便道m，n上以相同的速度散步，步行相同时间后嘉嘉从点 A 走到点B，同时淇淇逆向而行从点 C 走到点D，设的中点为E，嘉嘉觉得点E 到B，D两点的距离也相等，即 嘉嘉的证明如下： 证明： ∵， 第一步 又∵ 第二步 第三步 ∴ 第四步 第五步 （1）在嘉嘉的证明步骤中，首先出现错误的是第 步． （2）嘉嘉的结论正确吗？ 如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． 【答案】（1）三 （2） 正确，证明∶ ∵ ∴． 由题意，得． 又∵的中点为E， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形的全等判定，解题关键在于理解并应用平行线的性质、选择正确的三角形全等判定． （1）和并不是对顶角，也不是由平行线产生的同位角或内错角．因此，没有直接的几何性质可以证明这两个角相等， （2）利用平行线的性质及线段中点的性质，来证明三角形的全等：为了证明，我们需要找到一种方法证明与这两个边相关的两个三角形是全等的．在这里，我们可以考虑使用角角边（AAS）全等判定即可． 【小问1详解】 解：的理由不充分，因为题目中没有说明B，E，D三点在同一条直线上．这两个角并不是对顶角，也不是由平行线产生的同位角或内错角， 因此不能直接断定它们相等．所以这一步是错误的． 故答案为：三； 【小问2详解】 略 19. 在 中， 为边上的中线，把 的周长分成12和 10两部分，求底边的长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意求出的结果一定要检验是否符合三角形三边关系，分类讨论是正确解答本题的关键．设，则．由题意可知有两种情况，或，从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系即可求出底边． 【详解】解∶设，则． 若，则∶， 解得，即． 此时， ∴． 若，则， 解得，即． 此时 综上所述，底边的长为或． 20. 如图，P为 内的一点． （1）分别以为对称轴，作点P 的对称点D，E，F．（无需尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求 的度数． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称图形的作法，全等三角形的判定和性质及垂直平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据轴对称图形的作法作图即可； （2）连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定和性质得出，同理可证∶，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， 由轴对称的性质可知， 垂直平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 同理可证∶， ∴． 21. 小军求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到 （1）求少加的这个内角的度数． （2）通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】（1） （2） 若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为：， ∴它的边数应等于， 由（1）可知，这个多边形的边数为， ∴这个多边形不是正多边形． 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，牢记多边形内角和公式是解题的关键． （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为n，则：， 解得：， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴少加的这个内角的度数为：； 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，为的角平分线，边的垂直平分线分别交于点D，O，E，连接． （1）不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（除外），并用“”表示全等的等腰三角形． （2）若，求的度数．（可直接利用（1）的结论） 【答案】（1）为等腰三角形，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，再由等腰三角形的定义及全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求得，，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【小问1详解】 解：等腰三角形有； ∵为的角平分线， ∴垂直平分边， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点D，O，E， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴． ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 23. 如图1，线段，连接，，取的中点E，连接，平分． （1）线段，，之间存在怎样的等量关系？ 请写出并证明你的结论． （2）如图2，如果点C在 的左侧，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？ 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明． 【答案】（1） 解：．证明如下： 如图，延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2） 解：不成立，新结论为：． 证明：延长，交于点， 平分， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质． （1）延长，交于点，即可求证，即可求得，，即可求得； （2）不成立，新的结论为：．延长，交于点，可证和，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 【答案】（1），； （2）或， （3）证明：如图，作于，于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）分两种情况讨论，当点A在第一象限时，：过作轴于，过作轴于，与相交于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，设，则，于是得到结论；当点A在第四象限时，同理可得答案； （3）作于，于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点是的中点． 【详解】解∶（1）∵， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，当点A在第一象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图，当点A在第四象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $