精品解析：重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

高2024级高一上期10月月考数学试题 考试范围：1.1-3.1；考试时间：120分钟；命题人：何金晶 审题人：杨柳 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则的定义域为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______________． 13. 若不等式的解集为，则不等式的解集为______. 14. 已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 17. 已知函数， （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； 18. 安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 19. 已知集合A为非空数集.定义： （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合且．求证：； （3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高一上期10月月考数学试题 考试范围：1.1-3.1；考试时间：120分钟；命题人：何金晶 审题人：杨柳 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】因为集合，集合，集合， 所以，， ，， 故正确的只有D. 故选：D 2. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质，结合特殊值法逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取，，则，B错误； 对于C，取时，得，C错误； 对于D，取，，得，D错误. 故选：A 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数； 对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数分段表示出，再直接判断即可. 【详解】依题意，，因此函数的图象为选项D. 故选：D 5. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解. 【详解】，即， 又是的必要不充分条件， 所以， 故选：D. 6. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：用变量替换，再得出解集 详解： 点睛：不等式只能线性运算,． 7. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义作出函数的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】 其中，， 即， 当时，当或时，由，得， 即或， 当时，当时，由，得， 由图象知若在区间，上的值域为，，则区间，长度的最大值为， 故选：． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解. 8. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则的定义域为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过赋值法求出函数解析式，然后令，即可求出函数的定义域. 【详解】令，得， 令，则，① 令，则，即，② 联立①②得，解得， 对于函数，令，解得. 因此，函数的定义域为，故选A. 【点睛】本题考查抽象函数解析式的求解，解题时要充分利用已知条件利用赋值法求解，考查运算求解能力，属于中等题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断各个选项即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，B，C正确，D错误， 因为}，， 所以，故A正确. 故选:ABC. 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A直接应用基本不等式判断；B由代入目标式，结合二次函数性质判断；C、D利用基本不等式“1”的代换判断. 【详解】对于A，因为，且，所以， 则，当且仅当时等号成立，正确． 对于B，由，得，又，所以，则， 所以，当且仅当，即时等号成立，正确． 对于C，， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，错误． 对于D，由， 当且仅当，即时等号成立，正确． 故选：ABD 11. 波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，当时，，当时，，而， 当时，，若是无理数，则是无理数，有， 若是有理数，则是有理数，当（为正整数，为最简真分数）， 则（为正整数，为最简真分数），此时， 综上，时，所以选项A正确， 对于选项B，当和无理数时，，显然有， 当是正整数，是最简真分数时， ，，故， 当时，，有 当时，，，有 当为无理数，时，，有 综上，所以选项B正确； 对于选项C，取，则，而，所以选项C错误， 对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立， 当（为正整数，互质），由，得到， 整理得到，又为正整数，互质，所以或均满足，所以可以取或，所以选项D错误， 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法可得答案. 【详解】令，则且，代入， 即. 故答案为：. 13. 若不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由三个二次的关系求，根据分式不等式的解法求不等式的解集. 【详解】∵不等式的解集为 ∴，是方程的两根， ∴ ， ∴ 可化为 ∴ ∴不等式的解集为， 故答案为：. 14. 已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由可得，然后利用基本不等式可得的最小值及此时的关系，然后可解出的取值范围. 【详解】因为 所以， 当且仅当即时等号成立， 当时，，所以当时取得最大值4 所以由恒成立可得，解得 故答案为：1； 四、解答题：本题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，利用交集和补集的定义计算即得； （2）根据题设得到，因集合含参数，故要就集合是否为空集进行分类讨论，再取其并集即得. 【小问1详解】 当时，，于是， 故. 【小问2详解】 由，可得. 当时，，即，此时符合题意； 当时，由可得：，解得：. 故实数的取值范围为：. 16. 设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）的取值范围； （2）m的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）求出即可，由函数单调性求出，故，解不等式得到答案； （2）求出为真命题时的，进而分为真命题，为假命题或为假命题，为真命题两种情况，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立，只需， 其中在上单调递增，故， 所以，解得，所以的取值范围； 【小问2详解】 若为真命题，即存在，使得不等式成立，则， 其中，而，故时，， 所以，故； 因为命题p与命题q中有且只有一个是真命题， 所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以m的取值范围为. 17. 已知函数， （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为 或 ， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为 或 ． 【解析】 【分析】（1），即恒成立，时，恒成立，时，只需，，求解即可． 不等式，即，讨论的取值情况，从而求出不等式的解集． 【小问1详解】 因为函数， 所以恒成立， 等价于恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立，满足题意 当时，要使恒成立， 则，即, 解得． 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由得,， 即,又因为， 所以：当，即时， 不等式的解集为 或 ； 当，即时， 可得，不等式的解集为; 当，即时， 不等式的解集为或 ． 综上，时，不等式的解集为 或 ， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为 或 ． 18. 安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． （1）求函数的解析式 （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 【答案】（1）； （2）千克，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）利用利润公式直接求解即可； （2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值． 【小问1详解】 根据题意知 ， 整理得； 【小问2详解】 当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， , 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 19. 已知集合A为非空数集.定义： （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合且．求证：； （3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1）， （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）1350. 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【小问1详解】 由已知，则，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $