精品解析：湖北省随州市广水市第二高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

湖北省广水市第二高级中学高2024--2025学年上学期十月月考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 考试范围：选择性必修一全册 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该圆台的轴截面如图所示，设圆台的上底面半径为r，则，得到，再计算表面积得到答案. 【详解】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r，则下底面半径，高 则它的母线长∴，. ∴，. 故选： 【点睛】本题考查了圆台的表面积，意在考查学生的计算能力. 2. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【解析】 【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项. 【详解】解：由推论1可知：，则，，过与确定一平面β， 由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b， 因为直线a∥平面α，，，所以a∥b. 故选：C． 3. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（ ） A. 三棱锥的体积大小与点的位置有关 B. 与平面相交 C. 平面平面 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合正方体的性质，可得判定A不成立；由线面平行的判定定理，分别证得平面和平面得到平面平面，可判断B不成立；根据线面垂直的判定定理，证得平而，得到平面平面，可判定C成立；根据当与重合时，得到与的夹角为，可判定D不成立. 【详解】对于A中，由，在正方体中， 可得平面，所以到平面的距离不变， 即三棱锥的高不变，又由的面积不变， 因此三棱锥的体积不变， 即三棱锥的体积与点的位置无关，故A不成立. 对于B中，由于，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又由，所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以B不成立. 对于C中，因为，，， 所以平面，则，同理， 又因为，所以平而. 又由平面，所以平面平面，所以C成立. 对于D中，当与重合时，可得与的夹角为，所以D不成立. 故选：C. 4. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出. 【详解】设E为BC的中点，连接FE，AE，如图， 因为平面，平面， 所以，， 所以， ， 因为E是BC的中点，F是MC的中点， 所以，，， 则异面直线MB与AF所成角为或其补角， 而在正三角形中，， 所以在中，由余弦定理可知. 所以异面直线BE与AF所成角的余弦值为. 故选：D. 5. 圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是（ ） A. x2+(y-2)2=1 B. x2+(y+2)2=1 C. (x-1)2+(y-3)2=1 D. x2+(y-3)2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心在y轴上，半径长为1，设圆的方程，再根据由圆过点A(1，2)求解. 【详解】因为圆心在y轴上，半径长为1， 所以， 因为圆过点A(1，2)， 所以 ， 解得， 所以圆的方程x2+(y-2)2=1， 故选：A 6. “”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】易知时，，但时有， 此时方程表示圆，所以不满足充分性， 若方程 表示的曲线为椭圆，则， 显然成立，满足必要性， 故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 7. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设A，B，C三点的坐标，得向量，，的坐标，由已知条件可得横坐标之和，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由题意得焦点，设点，，， 则， 所以，所以. 故选：C. 8. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程． 【详解】圆的圆心为，半径为1， 以、为直径的圆的方程为， 因为过点圆的两条切线切点分别为A，B， 所以，是两圆的公共弦， 将两圆的方程相减可得公共弦的方程， 故选：A． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，平面，则由线面垂直的性质可得A对，而，则由线面垂直的判定定理可得平面，即B对， 采用反证法排除C，由平面可得，判断D对 ． 【详解】由题意有，平面， ∵平面，∴，故A正确； 而，且，平面， ∴平面，故B正确； 若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面，平面，所以， 则中有2个直角，矛盾，故C错误； 由平面，平面，可得，故D正确； 故选：ABD 10. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求圆与坐标轴的交点坐标，再分情况，求椭圆的离心率的取值. 【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为， 而椭圆的焦点在轴， 当焦点是，右顶点，此时，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率 故选：BCD 11. 顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】因为点在第二象限，所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况， 若抛物线开口向左，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向上，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以C正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 现为某球状巧克力设计圆锥体样式的包装盒，要求包装盒与巧克力球相切，若该巧克力球的半径为，则其包装盒的体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出巧克力与包装盒截面示意图，结合相似三角形可得与的关系， 再由锥体的体积公式代入计算，结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】 设圆锥体包装盒的底面半径为，高为， 画出巧克力与包装盒截面示意图， 其中为球心，， 由可得，，即， 所以，， 所以包装盒的体积 ， 当且仅当时，即时，取等号. 所以包装盒的体积的最小值为. 故答案为： 13. 在正方体中，为的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图, 设正方体的棱长为2， 则, 则， 设平面的法向量为, 则，即，令，得， 易知平面的法向量， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 若圆与圆相切，则a的值为___________. 【答案】或或 【解析】 【分析】讨论两圆为内切或外切两种情况，利用圆心距离与两圆半径的关系列方程求参数a即可. 【详解】由的圆心为，半径为1；的圆心为，半径为5， ∴若两圆内切，则，即； 若两圆外切，则，即. 故答案为：或或. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面. 【答案】 连接，ME， ∵M，E分别是，BC的中点， ∴，且， ∵N为的中点，∴. ，， 所以， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴四边形MNDE是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面.     【解析】 【分析】连接，ME，首先证明四边形是平行四边形，得到，则四边形MNDE是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可证明. 【详解】略 16. 如图所示，已知斜三棱柱，点分别在和上，且满足， ． （1）向量是否与向量共面？ （2）直线是否与平面平行？ 【答案】（1）共面； （2）当时，在平面内； 当时，平面. 【解析】 【分析】（1）利用向量运算将用，表示得，进而得共面； （2）分和，并结合（1）的结论即可得答案. 【详解】(1)∵，， ∴ ∴由共面向量定理知向量与向量，共面． (2)当 时，点重合，点重合，在平面内， 当时，不在平面内， 又由(1)知与向量，共面， ∴平面. 综上，当时，在平面内；当时，平面. 【点睛】本题考查空间向量共面定理，利用空间向量研究线面位置关系，考查运算能力，是中档题. 17. 已知圆：和： （1）求证：圆和圆相交； （2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 【答案】（1） 标准方程是，，， 标准方程是，，， ，显然， 所以两圆相交． （2）， 【解析】 【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得； （2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程， 到直线的距离为， 所以公共弦长． 18. 已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由如下： 若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设 则，两式相减得 整理可 ∵N是线段的中点，即， 故直线m的方程为，即， 将直线方程代入双曲线方程可得 ，此时直线与双曲线不相交． 故不能作出这样的直线m． 【解析】 【分析】（1）利用两点连线斜率公式整理可得到结果； （2）利用点差法可求得直线m的斜率，得直线m的方程，与C的方程联立可知，由此可知直线m不存在． 【小问1详解】 设， ∵，， ∴，整理得 即点M的轨迹C的方程． 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆C：与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为． （1）求椭圆C的离心率； （2）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=ab，即得． （2）得到椭圆方程为．联立方程组，由韦达定理得：xM+xN，xMxN 得到MB，NA方程联立得到y=计算即可. 【小问1详解】 设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=ab， ∴椭圆C的离心率e== 【小问2详解】 若b=2，由（Ⅰ）得a=，∴椭圆方程为 联立方程组 化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0， 由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞ 由韦达定理得：xM+xN=①，xMxN= ② 设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)， MB方程为：y=x–2， ③ NA方程为：y=x+2， ④ 由③④解得：y== 即yG=1， ∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省广水市第二高级中学高2024--2025学年上学期十月月考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 考试范围：选择性必修一全册 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 2. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 3. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（ ） A. 三棱锥的体积大小与点的位置有关 B. 与平面相交 C. 平面平面 D. 4. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是（ ） A. x2+(y-2)2=1 B. x2+(y+2)2=1 C. (x-1)2+(y-3)2=1 D. x2+(y-3)2=4 6. “”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 8. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 10. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ） A. B. C. D. 11. 顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 现为某球状巧克力设计圆锥体样式的包装盒，要求包装盒与巧克力球相切，若该巧克力球的半径为，则其包装盒的体积的最小值为__________. 13. 在正方体中，为的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为___________. 14. 若圆与圆相切，则a的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面. 16. 如图所示，已知斜三棱柱，点分别在和上，且满足， ． （1）向量是否与向量共面？ （2）直线是否与平面平行？ 17. 已知圆：和： （1）求证：圆和圆相交； （2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 18. 已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由． 19. 已知椭圆C：与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为． （1）求椭圆C的离心率； （2）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $