山东省临沂市第十八中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2023级高二上学期10月份诊断性测试 数 学 2024.10.29 本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，且，则实数（ ） A． B． C． D． 3．若直线与直线平行，则实数（ ） A． B． C． D． 4．已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 5．已知二面角的大小为，为棱上不同两点，分别在半平面内， 均垂直于棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，则直线的斜率等于（ ） A． B． C． D． 8．已知圆与直线交于两点，且，则圆与函数的图象交点个数为（ ）个 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，则下述正确的是（ ） A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在 C．直线可能过点 D．若直线的横纵截距相等，则 10．已知点，动点到直线的距离为，，则（ ） A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于 C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值 11．已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ） A．异面直线与所成角为 B．点到平面的距离为 C．四面体的外接球体积为 D．动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12．已知椭圆的离心率等于，则实数 ． 13．已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为 ． 14．在平面直角坐标系中，，点分别在轴、轴上， 则（1）的最小值是 ；（2）的最小值是 ． （第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知为坐标原点，直线（），圆． （1）若的倾斜角为，求； （2）若与直线的倾斜角互补，求直线上的点到圆上的点的最小距离； （3）求点到的最大距离及此时的值． 16．（15分）在平面直角坐标系中，圆过点和点，圆心到直线的距离等于． （1）求圆的标准方程； （2）若圆心在第一象限，为圆外一点，过点做圆的两条切线，切点分别为，四边形的面积为，求点的轨迹方程． 17．（15分）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为中点． （1）如果，求证：平面； （2）当与平面所成角的正弦值最大时， 求三棱锥的体积． 18．（17分）如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，，，平面平面． ( D )（1）证明：在线段上存在点，使得平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若平面，求线段的长度． 19．（17分） 已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，， 为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点． （ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值； （ⅱ）若，点在上，．证明：存在定点，使得为定值． 2023级高二上学期10月份诊断性测试 数学参考答案 2024.10.29 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1--8: A C B D B C D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9. BD; 10. AC; 11. BC; 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12. 或； 13. ； 14. （1）；（2）； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）解：（1）由题知：直线的斜率等于 2分 解得 4分 （2）因为与直线的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数 5分 所以，即，所以 6分 则圆心到直线的距离 8分 所以直线上的点到圆上的点的最小距离为 9分 （3）直线恒过定点 10分 所以到的最大距离小于等于 12分 此时，，所以，解得 13分 16．（15分）解:（1）因为圆过点和点 所以圆心在线段的垂直平分线上， 所以可设圆心为 2分 因为圆心到直线的距离等于 所以，解得 5分 当时，圆心为，半径，圆的方程为： 当时，圆心为，半径，圆的方程为： 所以圆的标准方程为：或 8分 （2）由题知：因为 9分 所以四边形的面积 10分 因为，所以 11分 所以 12分 所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆 14分 所以点的轨迹方程为： 15分 17．（15分） 证明：（1）在中，，为中点， 所以 1分 因为平面，平面 所以，又因为， 所以平面 4分 因为平面 所以 5分 因为，所以平面 6分 （2）设，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则, 8分 设平面的法向量为，所以， 所以，得，令，可得， 11分 所以与平面的法向量所成角的正弦值为 （当且仅当，即时等号成立） 14分 所以三棱锥的体积 15分 18．（17分）解：（1）取线段的中点，连接，因为、均为等边三角形， 所以，所以平面 4分 又因为平面，所以平面平面 5分 所以，线段的中点，使得平面平面 （2）因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以两两垂直 以为轴建立空间直角坐标系 则 7分 ( D )设平面的一个法向量 ， 因为， ， 由，得， 所以 9分 设平面的一个法向量， 因为， 由，得，所以 11分 设二面角的平面角为，所以 12分 所以二面角的余弦值为 (3)因为，设， 所以，则 14分 又因为平面的一个法向量为 15分 因为 所以，所以 17分 19．（17分）解:（1）由题意知：， 2分 由椭圆定义知，所以 4分 设椭圆的半焦距为，所以 ，所以 所以椭圆的标准方程为： 5分 （2）（ⅰ）设直线的方程为： 将带入得： 所以 7分 又因为，得 9分 点到直线的距离 10分 所以 12分 等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为 13分 （ⅱ）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：， 由（ⅰ）知： 所以 所以 15分 解得，，直线过定点或 所以在以为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于 所以存在定点或，使得为定值 17分 高二数学第 3 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$