第23章 图形的相似（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第23章 图形的相似（单元测试） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点D、E分别在边、上，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 4．如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 5．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 8．已知点在图中的位置，则点在图中的位置可能是（      ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．已知点C是线段的黄金分割点，如果，则 ． 12．如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 13．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 14．如图，一朵小花到照相机镜头的距离为，镜头到传感器的距离为．若小花高，则小花在传感器上的高度为 ． 15．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为 ．    三、解答题（8小题，共70分） 16．已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 17．如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 18．在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出一个，使； (2)在边上确定一点，使．（保留作图轨迹） 19．已知：如图，在中，，，分别是，的中点，延长线段到点，使得，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 20．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 21．七（1）班同学到绶溪公园开展劳动实践活动，李想和陈臻根据景区示意图描述延寿桥的位置，图中小正方形的边长表示． 李想：“延寿桥在森林秘境西北方向约处．” 陈臻：“我通过建立平面直角坐标系，得到延寿桥的坐标是．        (1)根据信息画出平面直角坐标系；并用方位和距离描述山地公园相对于森林秘境的位置． (2)写出公园内状元码头、绶溪水街的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 23．如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点、、． (1)以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标； (2)在（1）中，若为线段上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似（单元测试） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程与几何图形，设，则，根据得，代入后转化为一元二次方程，再解方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】设，则， ∵， ∴， ， ∴， 解得，（舍去）， 故选：． 2．如图，，点D、E分别在边、上，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理即可逐一判断，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：A、能判断，故选项不符合题意； B、不能判断，故选项符合题意； C、能判断，故选项不符合题意； D、能判断，故选项不符合题意； 故选：B． 3．在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理、多边形相似的判定、熟练掌握两个相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题关键．根据相似多边形的性质、举反例解答即可得答案． 【详解】解：A．三边比分别为与的两个直角三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， B．两边之比是的两个等腰三角形相似，故该选项是真命题，符合题意， C．三个内角分别为、、和、、的两个三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， D．∵四边形不具有稳定性， ∴四边形的各内角可以改变，故不一定相似，该选项是假命题，不符合题意， 故选：B． 4．如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 5．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 6．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：过点作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， 的面积为2 的面积为6， 故选：． 7．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：D． 8．已知点在图中的位置，则点在图中的位置可能是（      ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移，根据m的取值分两种情况讨论，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：当时，点与点，可看作点P向右平移m个单位，再向下平移个单位得到点， 在平面直角坐标系中，点A的位置与点P的位置关系可看作点P向右平移1个单位，再向下平移个单位得到点，此时，符合平移关系； 当时，点与点，可看作点P向左平移m个单位，再向上平移个单位得到点， 在平面直角坐标系中，没有符合平移关系的点； 故点在图中的位置可能是点A， 故选：A． 9．如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，坐标与平移，先求出菱形绕其对角线的交点为，旋转得到点的对应点为，再根据点的平移：左减右加，上加下减即可得出结果． 【详解】解：由图和题意可知，， 设菱形的对角线的交点为，则：为点的中点， ∴， ∴ 设旋转后点的对应点为，则：， ∴， 将再向右平移3个单位，得到，即：； 故选C． 10．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．已知点C是线段的黄金分割点，如果，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述：或， 故答案为：或． 12．如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 13．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，一朵小花到照相机镜头的距离为，镜头到传感器的距离为．若小花高，则小花在传感器上的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 根据小花的高度与长的比等于小花在传感器上的高度与长的比求解作答即可． 【详解】解：设小花在传感器上的高度为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 15．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得即可解答，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，两点分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（8小题，共70分） 16．已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 17．如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 18．在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出一个，使； (2)在边上确定一点，使．（保留作图轨迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似变换的作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）由图可知、、的长度，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”画图即可得答案； （2）构造相似三角形解决问题（，相似比，推出）即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，， 所画各边长分别为，，， ， ， ， 即为所求（答案不唯一）； （2）解：取格点和，连结与交于点，连结， ， ， ， ， 点即为所求． 19．已知：如图，在中，，，分别是，的中点，延长线段到点，使得，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）由分别是的中点，得到是的中位线，再得出且结合得到即可证明结论． （2）由平行四边形的性质，得到，，再根据勾股定理得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴且 又∵即 ∴四边形是平行四边形， （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 20．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，点为所作； （2）解：如图2，为所作． 21．七（1）班同学到绶溪公园开展劳动实践活动，李想和陈臻根据景区示意图描述延寿桥的位置，图中小正方形的边长表示． 李想：“延寿桥在森林秘境西北方向约处．” 陈臻：“我通过建立平面直角坐标系，得到延寿桥的坐标是．        (1)根据信息画出平面直角坐标系；并用方位和距离描述山地公园相对于森林秘境的位置． (2)写出公园内状元码头、绶溪水街的坐标． 【答案】(1)见解析，山地公园在森林秘境的正南方向，距离； (2)状元码头的坐标为、绶溪水街的坐标． 【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，再描述山地公园的位置即可； （2）根据（1）中的直角坐标系，即可得出对应坐标． 【详解】（1）解：如图，以森林秘境为原点建立直角坐标系， 由景区示意图可知，山地公园在森林秘境的正南方向，距离；    （2）解：由（1）直角坐标系可知，状元码头的坐标为、绶溪水街的坐标． 【点睛】本题考查了方位、坐标与图形，根据题意正确建立直角坐标系是解题关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴平移后的如图所示： （2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为． 23．如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点、、． (1)以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标； (2)在（1）中，若为线段上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】本题主要考查作图位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义及性质． （1）根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可； （2）根据（1）中变换的规律，即可写出变化后点的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，其中，； （2）解：根据（1）中，变换的规律可得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$