北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期数学统练4

第 1页（共 14页） 2024-2025 高三上数学统练 4 一．选择题（共 10 小题） 1．复数 z满足� = 2−�� ，则|z|＝（ ） A．1 B． 3 C．2 D． 5 2．已知集合 A＝{x|x≤1}，B＝{﹣3，1，2，4}，则 A∩B等于（ ） A．{﹣3，1} B．{2，4} C．{1，2，4} D．{﹣3，1，2} 3．下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（ ） A．y＝x+2 B．y＝x+x3 C．y＝sinx D．y＝2x 4．已知两个向量� → = (2， − 1，3)，� → = (4，�，�)，且� → ∥ � → ，则 m+n的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．在下列关于直线 l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ） A．若 l⊂β，且α⊥β，则 l⊥α B．若 l⊥β，且α∥β，则 l⊥α C．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则 l∥m D．若 l⊥β，且α⊥β，则 l∥α 6．已知向量� → 与向量� → 的夹角为 120°，|� → | = |� → | = 1，则|� → + 2� → | =（ ） A．3 B． 3 C．2 − 3 D．1 7．在△ABC中，“����＞ 3”是“�＞ �3”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙 全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时．如图，某沙漏由上、下两个圆 锥组成．这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时， 其 高度为圆锥高度（h）的 2 3 （细管长度忽略不计）．假设细沙全部漏入 下 部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的高与 圆 锥的高 h的比值为（ ） A． 8 27 B． 4 9 C． 2 3 D． 1 3 第 2页（共 14页） 9．已知某种垃圾的分解率为 v，与时间 t（月）满足函数关系式 v＝abt（其中 a，b为非零常数）．若经过 12个月，这种垃圾的分解率为 10%，经过 24个月，这种垃圾的分解率为 20%，那么这种垃圾完全分解， 至少需要经过（ ）（参考数据：lg2≈0.3．） A．48个月 B．52个月 C．64个月 D．120个月 10．如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动 点 E， F（E在 F的左边），且 EF= 2．下列说法不正确的是（ ） A．当 E运动时，二面角 E﹣AB﹣C的最小值为 45° B．当 E，F运动时，三棱锥体积 B﹣AEF不变 C．当 E，F运动时，存在点 E，F使得 AE∥BF D．当 E，F运动时，二面角 C﹣EF﹣B为定值 二．填空题（共 5 小题） 11．函数 f（x）＝log2（1﹣x）+ �的定义域是 ． 12．在△ABC中，a＝3，b＝7，∠B= 2�3 ，则△ABC的面积为 ． 13．在等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比 q＝ ；若 an＞1，则 n的 最大值为 ． 14．已知等边△ABC的边长为 4，E，F分别是 AB，AC的中点，则�� → ⋅ �� → = ；若 M，N是线段 BC上的动点，且|MN|＝1，则�� → ⋅ �� → 的最小值为 ． 15．对于函数 y＝f（x），若在其定义域内存在 x0，使得 x0f（x0）＝1成立，则称函数 f（x）具有性质 P． （1）下列函数中具有性质 P的有 ． ①f（x）＝﹣2x+2 2； ②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）； ③f（x）＝x+ 1�，（x∈（0，+∞））； ④f（x）＝ln（x+1）． （2）若函数 f（x）＝alnx具有性质 P，则实数 a的取值范围是 ． 第 3页（共 14页） 三．解答题（共 2 小题） 16．在△ABC中，∠� ≠ �2，���2� = 3���� − 1． （1）求∠B； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求 △ABC的面积． 条件①：2b＝3a，bsinA＝1； 条件②：�� = 6，BC边上的高为 2； 条件③：���� = 3����，b＝2. 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个 解答计分． 17．已知函数 f（x）＝ln 1+� 1−� ， （Ⅰ）求曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当 x∈（0，1）时，f（x）＞2(� + � 3 3 )； （Ⅲ）设实数 k使得 f（x）＞�(� + � 3 3 )对 x∈（0，1）恒成立，求 k的最大值． 第 4页（共 14页） 2024-2025 高三上数学统练 4 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．复数 z满足� = 2−�� ，则|z|＝（ ） A．1 B． 3 C．2 D． 5 【分析】先对 z化简，再结合复数模公式，即可求解． 【解答】解：� = 2−�� =−1﹣2i， 故|z|= ( − 1)2 + ( − 2)2 = 5． 故选：D． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 2．已知集合 A＝{x|x≤1}，B＝{﹣3，1，2，4}，则 A∩B等于（ ） A．{﹣3，1} B．{2，4} C．{1，2，4} D．{﹣3，1，2} 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合 A＝{x|x≤1}，B＝{﹣3，1，2，4}， 则 A∩B＝{﹣3，1}． 故选：A． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 3．下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（ ） A．y＝x+2 B．y＝x+x3 C．y＝sinx D．y＝2x 【分析】分别结合奇偶性及函数的单调性判断各选项即可求解． 【解答】解：A：y＝x+2为非奇非偶函数，不符合题意； B：y＝x+x3为奇函数且单调递增，符合题意； C：y＝sinx在 R 上不单调，不符合题意； D：y＝2x为非奇非偶函数，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性的判断，属于基础试题． 4．已知两个向量� → = (2， − 1，3)，� → = (4，�，�)，且� → ∥ � → ，则 m+n的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 第 5页（共 14页） 【分析】� → ∥ � → ，则存在实数 k使得� → = �� → ，即可得出． 【解答】解：∵� → ∥ � → ，∴存在实数 k使得� → = �� → ， ∴ 2 = 4� −1 = �� 3 = �� ，解得 k= 12，m＝﹣2，n＝6． 则 m+n＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了向量共线定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．在下列关于直线 l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ） A．若 l⊂β，且α⊥β，则 l⊥α B．若 l⊥β，且α∥β，则 l⊥α C．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则 l∥m D．若 l⊥β，且α⊥β，则 l∥α 【分析】根据线面垂直的定义和定理，注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断，分析可得答案． 【解答】解：A不正确，由面面垂直的性质定理可推出；C不正确，可能 l与 m异面； B正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出； D不正确，由面面垂直的性质定理可知，α∩β＝m，且 l⊥m，l⊥β，则 l⊂α． 故选：B． 【点评】本题考查了空间线面的位置关系，垂直和平行的定理的应用，属基础题． 6．已知向量� → 与向量� → 的夹角为 120°，|� → | = |� → | = 1，则|� → + 2� → | =（ ） A．3 B． 3 C．2 − 3 D．1 【分析】根据模长公式即可求解． 【解答】解：已知向量� → 与向量� → 的夹角为 120°，|� → | = |� → | = 1， 则� → ⋅ � → = 1 × 1 × ( − 12 ) =− 1 2， 则|� → + 2� → | = � →2 + 4� → ⋅ � → + 4� → 2 = 1 − 2 + 4 = 3． 故选：B． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题． 第 6页（共 14页） 7．在△ABC中，“����＞ 3”是“�＞ �3”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】考虑△ABC中 A的取值范围，再判断充分性与必要性是否成立． 【解答】解：△ABC中，A∈（0，π），所以����＞ 3时，�＞ �3，充分性成立； 若 A＞ �3，则 tanA＞ 3或 tanA＜0或 tanA不存在，所以必要性不成立； 是充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题． 8．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙 全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时．如图，某沙漏由上、下两个圆 锥组成．这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的 2 3 （细管 长度忽略不计）．假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的高 与圆锥的高 h的比值为（ ） A． 8 27 B． 4 9 C． 2 3 D． 1 3 【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 2 3 h，设圆锥的底面半径为 r，则细沙形成 的圆锥的底面半径为 2 3 �，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为 h′，求出细沙的 体积，由体积相等求解 h′，则答案可求． 【解答】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 2 3 h， 设圆锥的底面半径为 r，则细沙形成的圆锥的底面半径为 2 3 �， 第 7页（共 14页） ∴细沙的体积为 V= 13π•( 2 3 �) 2• 2 3 ℎ = 8 81 ��2ℎ． 细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径 r，设高为 h′， 则 V= 13πr 2•h′= 881�� 2ℎ， 得 h′= 827 ℎ． ∴ ℎ′ ℎ = 8 27 ． 故选：A． 【点评】本题考查圆锥体积公式的应用，考查计算能力，是中档题． 9．已知某种垃圾的分解率为 v，与时间 t（月）满足函数关系式 v＝abt（其中 a，b为非零常数）．若经过 12个月，这种垃圾的分解率为 10%，经过 24个月，这种垃圾的分解率为 20%，那么这种垃圾完全分解， 至少需要经过（ ）（参考数据：lg2≈0.3．） A．48个月 B．52个月 C．64个月 D．120个月 【分析】由题意可得， �(12) = ��12 = 0.1 �(24) = ��24 = 0.2 ，解得 b= 2 1 12，a＝0.05，故 v（t）＝0.5× (2 1 12)�，再结合对 数函数的公式，即可求解． 【解答】解：由题意可得， �(12) = ��12 = 0.1 �(24) = ��24 = 0.2 ，解得 b= 2 1 12，a＝0.05， 故 v（t）＝0.5× (2 1 12)�， 令 v（t）＝1，可得(2 1 12)� = 20，即 t= ��� 2 1 12 20 = ��20 ��2 1 12 = 1+��21 12��2 ≈ 12×(1+0.3)0.3 = 52． 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题． 10．如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动点 E，F（E在 F的左边），且EF= 2．下 列说法不正确的是（ ） A．当 E运动时，二面角 E﹣AB﹣C的最小值为 45° B．当 E，F运动时，三棱锥体积 B﹣AEF不变 第 8页（共 14页） C．当 E，F运动时，存在点 E，F使得 AE∥BF D．当 E，F运动时，二面角 C﹣EF﹣B为定值 【分析】对 A：建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断； 对 B：利用棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积，即可判断．对 C：由反证法判断；对 D：平面 EFB 即为平面 BDD1B1，平面 CEF即为平面 CB1D1，从而得出二面角 C﹣EF﹣B为定值． 【解答】解：对 A：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（2，2，0），B（0，2，0），C（0，0，0），D（2，0.0），D1（2，0，2）， 因为 E1F 在 B1D1 上，且�1�1 = 2 2，�� = 2，可设 E（t，2﹣t，2），（1≤t≤2）， 则 F（t﹣1，3﹣t，2），�� → =（t﹣2，﹣t，2），�� → =（﹣2，0，0），�� → =（t﹣1，1﹣t，2）， 设平面 ABE的法向量为 � =（x，y，z），所以 �� → ⋅ � → =− 2� = 0 �� → ⋅ � → = (� − 2)� − �� + 2� = 0 ， 取 y＝2，则� = (0，2，�)，平面 ABC的法向量为� → =（0，0，1）， 所以 cos＜� → ，� → ＞ = � �2+4 ，设二面角 E﹣AB﹣C的平面角为θ，则θ为锐角，故 cosθ= � →⋅�→ |�→|⋅|�→| = � �2+4 = 1 1+ 4 �2 ， 因为 1≤t≤2，� = 1 + 4�2，在[1，2]上单调递减， 所以 2 ≤ 1 + 4�2 ≤ 5， 5 5 ≤ ���� ≤ 2 2 ，当且仅当 t＝2时，cosθ取得最大值 2 2 ，即θ取最小值 45°， 故 A说法正确． 对 B：因为 S△BEF= 1 2 ×EF×BB1= 1 2 × 2 ×2= 2，点 A到平面 BDD1B1的距离为 2， 所以体积为 VB﹣AEF＝VA﹣BEF= 1 3 × 2 × 2 = 2 3，即体积为定值，故 B说法正确． 对 C：若 AE∥BF，则 A，B．B1，D1四点共面，与 AB和 B1D1是异面直线矛盾，故 C说法错误． 第 9页（共 14页） 对 D：连接 CD1，CB1，CE，平面 EFB即为平面 BDD1B1，而平面 CEF即为平面 CB1D1， 故当 E，F运动 时，二面角 C﹣EF﹣B的大小保持不变，故 D说法正确． 故选：C． 【点评】本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，属中档题． 二．填空题（共 5 小题） 11．函数 f（x）＝log2（1﹣x）+ �的定义域是 [0，1） ． 【分析】由题意，根据函数的解析式可得 1﹣x＞0，且 x≥0，由此求得函数的定义域． 【解答】解：由函数 f（x）＝log2（1﹣x）+ �，可得 1﹣x＞0，且 x≥0， 求得 0≤x＜1，可得函数的定义域是[0，1）， 故答案为：[0，1）． 【点评】本题主要考查根据函数的解析式求函数的定义域，属于基础题． 12．在△ABC中，a＝3，b＝7，∠B= 2�3 ，则△ABC的面积为 15 3 4 ． 【分析】根据余弦定理求出 c，再求出三角形的面积即可． 【解答】解：∵b2＝a2+c2﹣2accosB， ∴49＝9+c2﹣6c•（− 12），解得：c＝5或 c＝﹣8（舍）， ∴S△ABC= 1 2acsinB= 1 2 ×3×5× 3 2 = 15 3 4 ， 故答案为： 15 3 4 ． 【点评】本题考查了求三角形的面积公式，考查余弦定理的应用，是基础题． 13．在等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比 q＝ − 1 2 ；若 an＞1，则 n的最大值为 3 ． 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得 q= �2+�4�1+�3 ，即可得第一空答案，进而求出 a1的值，即 可得{an}的通项公式，解 an＞1可得第二空答案． 【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5， 第 10页（共 14页） 则 q= �2+�4�1+�3 = −510 =− 1 2． 若 a1+a3＝10，即 a1+ 1 4a1＝10，解可得 a1＝8， 则 an＝a1qn﹣1＝8×（− 1 2） n﹣1＝（﹣1）n﹣1×24﹣n， 若 an＞1，即（﹣1）n﹣1×24﹣n＞1， 必有 n＝1或 3，即 n的最大值为 3， 故答案为：− 12，3． 【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题． 14．已知等边△ABC的边长为 4，E，F分别是 AB，AC的中点，则�� → ⋅ �� → = 2 ；若 M，N是线段 BC 上的动点，且|MN|＝1，则�� → ⋅ �� → 的最小值为 11 4 ． 【分析】建立平面直角坐标系，求出相应点的坐标，从而求得�� → ，�� → 的坐标，再求数量积即可求得第 一空；由条件设 M（m，0）（﹣2≤m≤1），则 N（m+1，0）， 求出�� → ，�� → 的坐标，从而得到�� → ⋅ �� → = (� + 32 ) 2 + 114，再求二次函数的值域即可． 【解答】解：以 BC所在直线为 x轴，BC的中垂线所在直线为 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为等边△ABC的边长为 4，E，F分别是 AB，AC的中点， 所以 B（﹣2，0），C（2，0），A（0，2 3），E（﹣1， 3），F（1， 3）， 所以�� → = (2，0)，�� → = (1， 3)， 所以�� → ⋅ �� → = 2 × 1 + 0 × 3 = 2； 不妨设 M在 N的左边，则设 M（m，0）（﹣2≤m≤1），则 N（m+1，0）， 所以�� → = (� + 1， − 3)，�� → = (� + 2， − 3)， 所以�� → ⋅ �� → = (� + 1)(� + 2) + 3 =m2+3m+5= (� + 32 ) 2 + 114， 所以当� =− 32时，�� → ⋅ �� → 有最小值为 11 4 ． 故答案为：2； 11 4 ． 第 11页（共 14页） 【点评】本题考查平面向量的数量积，属于中档题． 15．对于函数 y＝f（x），若在其定义域内存在 x0，使得 x0f（x0）＝1成立，则称函数 f（x）具有性质 P． （1）下列函数中具有性质 P的有 ①②④ ． ①f（x）＝﹣2x+2 2； ②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）； ③f（x）＝x+ 1�，（x∈（0，+∞））； ④f（x）＝ln（x+1）． （2）若函数 f（x）＝alnx具有性质 P，则实数 a的取值范围是 a＞0或 a≤﹣e ． 【分析】（1）在 x≠0时 f（x）= 1�有解即函数具有性质 P，逐一判断三个函数是否满足此条件，可得答 案； （2）f（x）＝alnx具有性质 P，显然 a≠0，方程 xlnx= 1�有根，因为 g（x）＝xlnx的值域为[− 1 �，+∞）， 所以 1 � ≥− 1 � ，进而得到答案． 【解答】解：（1）在 x≠0时，f（x）= 1�有解，即函数具有性质 P， ①令﹣2x+2 2 = 1�，即﹣2x 2+2 2x﹣1＝0， ∵Δ＝8﹣8＝0，故方程有一个非 0实根，故 f（x）＝﹣2x+2 2具有性质 P； ②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）的图象与 y= 1�有交点， 故 sinx= 1�有解，故 f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）具有性质 P； ③令 x+ 1� = 1 �，此方程无解， 故 f（x）＝x+ 1�，（x∈（0，+∞））不具有性质 P； ④f（x）＝ln（x+1）的图象与 y= 1�有交点， 第 12页（共 14页） 故 ln（x+1）= 1�有解，故 f（x）＝ln（x+1）具有性质 P； 综上所述，具有性质 P的函数有：①②④， （2）f（x）＝alnx具有性质 P，显然 a≠0，方程 xlnx= 1�有根， ∵g（x）＝xlnx的值域为[− 1�，+∞）， ∴ 1 � ≥− 1 � ， 解之可得：a＞0或 a≤﹣e． 故答案为：①②④；（2）a＞0或 a≤﹣e 【点评】本题考查的知识点是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大． 三．解答题（共 2 小题） 16．在△ABC中，∠� ≠ �2，���2� = 3���� − 1． （1）求∠B； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求 △ABC的面积． 条件①：2b＝3a，bsinA＝1； 条件②：�� = 6，BC边上的高为 2； 条件③：���� = 3����，b＝2. 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个 解答计分． 【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得���� = 32，即可求解； （2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得 a，c的长，结合题意，即可求解． 【解答】解：（1）解：由△ABC中，∠� ≠ �2，且���2� = 3���� − 1， 可得 2���2� = 3����，所以���� = 32， 因为 0＜B＜π，所以� = �6． （2）解： 若选择条件①：2b＝3a，bsinA＝1， 由正弦定理 � ���� = � ���� 且� = �6，可得 a＝2，b＝3， 第 13页（共 14页） 又由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得�2 − 2 3� − 5 = 0， 解得� = 3 + 2 2， 所以�△��� = 1 2 ������ = 1 2 × 2 × ( 3 + 2 2) × 1 2 = 3+2 2 2 ， 所以△ABC存在且唯一确定，此时△ABC的面积为 3+2 2 2 ． 若选条件②：�� = 6，BC边上的高为 2， 因为� = �6，可得� = 2 ���� = 4， 由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得�2 − 4 3� + 10 = 0，解得� = 2 3 ± 2， 此时△ABC存在但不唯一确定，不符合题意． 若选条件③：���� = 3����，b＝2， 因为���� = 3����，由正弦定理得� = 3�， 又由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得�2 + �2 − 3�� = 4， 因为� = 3�，代入解得� = 2 3，� = 2，所以�△��� = 1 2������ = 1 2 × 2 3 × 2 × 1 2 = 3， 所以△ABC存在且唯一确定，此时△ABC的面积为 3． 【点评】本题考查解三角形，利用了正弦定理，余弦定理，属于中档题． 17．已知函数 f（x）＝ln 1+� 1−� ， （Ⅰ）求曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当 x∈（0，1）时，f（x）＞2(� + � 3 3 )； （Ⅲ）设实数 k使得 f（x）＞�(� + � 3 3 )对 x∈（0，1）恒成立，求 k的最大值． 【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程． （2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立． （3）对 k进行讨论，利用新函数的单调性求参数 k的取值范围． 【解答】解答：（1）因为 f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以 �′(�) = 11+� + 1 1−�，�′(0) = 2 又因为 f（0）＝0，所以曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝2x． （2）证明：令 g（x）＝f（x）﹣2（x+ � 3 3），则 g'（x）＝f'（x）﹣2（1+x2）= 2� 4 1−�2， 第 14页（共 14页） 因为 g'（x）＞0（0＜x＜1），所以 g（x）在区间（0，1）上单调递增． 所以 g（x）＞g（0）＝0，x∈（0，1）， 即当 x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+ � 3 3）． （3）由（2）知，当 k≤2时，f（x）＞�(� + � 3 3 )对 x∈（0，1）恒成立． 当 k＞2时，令 h（x）＝f（x）−�(� + � 3 3 )，则 h'（x）＝f'（x）﹣k（1+x2）= �� 4−(�−2) 1−�2 ， 所以当 0＜�＜ 4 �−2 � 时，h'（x）＜0，因此 h（x）在区间（0， 4 �−2 � ）上单调递减． 当 0＜�＜ 4 �−2 � 时，h（x）＜h（0）＝0，即 f（x）＜�(� + �3 3 )． 所以当 k＞2时，f（x）＞�(� + � 3 3 )并非对 x∈（0，1）恒成立． 综上所知，k的最大值为 2． 【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/10/22 15:22:28；用户：毕玉杰；邮箱：18519059176；学号： 46107984