精品解析：山东省实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

山东省实验中学2023~2024学年第一学期期中 高二数学试题 （选择性必修一检测） 2023.11 说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第I卷（共60分） 一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 3. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A. B. C. D. 4. 已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左焦点关于直线的对称点在该双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 10. 若圆：与圆：的交点为，则（    ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的最大面积为 C. 存在点P使得 D. 的最大值为5 12. 如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是和.下列说法正确的有（ ） A. 点到平面的距离是 B. 点到平面的距离是 C. 正方体底面与平面夹角的余弦值是 D. 在平面内射影与所成角的余弦值为 第II卷（非选择题，共90分） 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为__________. 14. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 15. 把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________． 16. 如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________． 四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 18. 已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 19. 已知圆：，直线：. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 20. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过点作弦且弦被平分，则此弦所在的直线方程. 21. 如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，为线段PB上一个动点． （1）若E为线段PB的中点，求E到平面PDC的距离； （2）求直线PC与平面EAD所成角的正弦值的最大值． 22. 已知椭圆的右焦点为，且经过点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2023~2024学年第一学期期中 高二数学试题 （选择性必修一检测） 2023.11 说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第I卷（共60分） 一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆，及焦点的位置得不等关系，从而得出结论． 【详解】解：椭圆的焦点在轴上， ，即， 且，， ， 又焦距为4，，得． 故选：． 2. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 3. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A. 考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的. 4. 已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的斜率与中点坐标，再分两种情况讨论，直线过的中点与直线与平行，分别设出直线方程，利用距离公式得到方程，解得即可； 【详解】解：，，所以，且的中点为， 若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为， 即，则到直线的距离， 即，解得或； 所以直线为或； 若直线与平行，设直线为，则到直线的距离， 解得或，所以直线为或； 综上可得满足条件的直线有4条； 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据题意分析可知直线经过定点；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积最大的圆的标准方程. 【详解】直线方程为：可化为， 直线经过定点, 易知：圆的半径最大时，圆的面积最大，圆心到直线的距离最大时圆的面积最大， 又动圆,圆心为，半径为， 当与已知直线垂直时圆的半径最大，， 面积最大的圆的标准方程为：. 故选：B 6. 已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由余弦定理得， 得到，可求得面积，再由可得答案. 【详解】，， 由题意得，，由余弦定理得， 得，， 设内切圆的半径为，则， 所以. 故选：B. 【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点. 7. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 8. 双曲线的左焦点关于直线的对称点在该双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用对称性得到M是线段FQ的中点，且，再计算焦点到准线的距离，结合中位线和定义构建关系，得到a，b的关系，即求得离心率. 【详解】如图所示，双曲线中，设是双曲线右焦点，连接，依题意设直线FQ交直线于M，则M是线段FQ的中点，且， 因为焦点关于直线即的距离，故，由双曲线定义知，， 又因为O是的中点，故中是中位线，故， 故中，结合，化简得， 故离心率. 故选：B. 【点睛】求双曲线离心率常见方法： （1）直接法：由a，c直接计算离心率； （2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即 求得离心率的值或取值范围. 二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，求出平面方程，在判断点是否在平面上. 【详解】方法一：根据题意，平面的方程为：， 即. 对A：因为，所以点在平面内，故A正确； 对B：因为，所以点不在平面内，故B错误； 对C：因为，所以点不在平面内，故C错误； 对D：因为，所以点在平面内，故D正确. 方法二：对A：设，则，因为，所以在平面内，故A正确； 对B：设，则，因为，所以点不在平面内，故B错误； 对C：设，则，因为，所以点不在平面内，故C错误； 对D：设，则，因为，所以点在平面内，故D正确. 故选：AD 10. 若圆：与圆：的交点为，则（    ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项：对于A，联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断A，对于B，由两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断B，对于C，分析圆的圆心和半径，分析可得圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断C，对于D，由于圆心在公共弦上，在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，即可判断D． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，即两圆相交， 将两个圆的方程相减可得，即公共弦所在直线方程为，A正确； 对于B，由A的分析可知，两圆相交，故的中垂线即为两圆圆心的连线， 圆，其圆心为， 圆，其圆心为， 故直线的斜率为，其方程为，即线段中垂线方程为，B错误， 对于C，圆，即， 其圆心为，半径，圆心满足， 即点在公共弦上，则公共弦的长即为圆的直径，即的长为，C错误； 对于D，圆心在公共弦上，在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，D正确, 故选：AD. 11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的最大面积为 C. 存在点P使得 D. 的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，利用椭圆定义即可判断A正确；对选项B，根据，即可判断B正确；对选项C，根据以为圆心，的圆与椭圆不相交，即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D正确. 【详解】椭圆，，，， 对选项A，的周长， 故A正确. 对选项B，，故B正确； 对选项C，若存在点P使得，则， 即存在以为圆心，的圆与椭圆相交. 因为，即圆与椭圆不相交，所以不存在点P使得，故C错误； 对选项D，，故D正确. 故选：ABD 12. 如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是和.下列说法正确的有（ ） A. 点到平面的距离是 B. 点到平面的距离是 C. 正方体底面与平面夹角的余弦值是 D. 在平面内射影与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设平面的法向量，利用点到平面的距离可构造方程组，解得法向量，由点到平面距离的向量求法可求得AB正误；由面面角的向量求法可求得C正确；首先确定投影对应的向量，利用线线角的向量求法可知D正确. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，解得：，，； 对于A，点到平面的距离为，A正确； 对于B，点到平面的距离为，B错误； 对于C，轴平面，平面的一个法向量， ，即平面与平面夹角的余弦值为，C正确； 对于D，在平面内的投影对应的向量， ， 即在平面内射影与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共90分） 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求在的射影，再利用勾股定理求点到直线的距离. 【详解】由题意，， 所以在的射影为：. 所以点到直线的距离为：. 故答案为：1 14. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解. 【详解】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为. 故答案为：. 15. 把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解. 【详解】由于,所以, 不妨设正方形的边长为2，则,, , 所以, 故 , 所以, 故答案为： 16. 如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆的弦长问题将转化为求，再利用平面向量的模长、椭圆的定义、焦点三角形的余弦定理进行求解. 【详解】设圆的半径为，由已知，得： ， 则 ， 所以. 故答案为：6. 四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 设， ， 的值为2． 【小问2详解】 由（1），则， ， ， ． 18. 已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【详解】解：（1）设的中点为，则， 由圆的性质得， 所以，得， 所以线段的垂直平分线方程是， 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题. 19. 已知圆：，直线：. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可， （2）当时，直线的方程为，而四边形的面积，由圆的性质可得当最小时，切线长最短，此时，求出直线的方程，联立两直线方程可得点的坐标. 【小问1详解】 由已知，圆心到直线：的距离等于半径， 即. 解得：或. 【小问2详解】 当时，直线的方程为，四边形的面积 ∵为直角三角形， 当最小时，切线长最短，显然当时， ∴ 四边形的面积最小值为. 此时，，， ∴直线：，即. 由，解得，即. 20. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过点作弦且弦被平分，则此弦所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率及求解即可； （2）设过点作直线，与椭圆的交点为，，代入椭圆方程作差求斜率，再利用点斜式写出此弦所在的直线方程即可. 【小问1详解】 由题意可知①，②， 又椭圆中③， 所以联立①②③解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设过点作直线，与椭圆的交点为，， 则，两式相减得， 所以， 又因为是中点，所以，，即，， 由椭圆的对称性可得直线的斜率一定存在， 所以直线的斜率， 所以此弦所在的直线方程为，整理得. 21. 如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，为线段PB上一个动点． （1）若E为线段PB的中点，求E到平面PDC的距离； （2）求直线PC与平面EAD所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连，利用余弦定理求出，以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可得答案； （2）设，求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 连，因为，，， 所以， 即有，所以， 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 因为为的中点，所以，， 设平面的一个法向量为，则， 取得，， 所以点到平面的距离为：； 【小问2详解】 设，， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，得， 所以 ， 当时，取最大值. 22. 已知椭圆的右焦点为，且经过点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）设 联立得， ，，. 直线，令得，即； 同理可得. 因为,所以； ，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程； (Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以； 因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为. （Ⅱ）略 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $