精品解析：河南省焦作市博爱县第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题

2025学年焦作市博爱一中高三年级（上）10月月考 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 2. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，若的周长为1．则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 若复数且，则满足的复数的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 5. 已知正方形的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 7. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 71 D. 72 8. 已知A是函数图象上的一点，点B在直线上，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B. 函数的图象关于y轴对称 C. 函数的图象在上单调递增 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 是周期函数 C. 在单调递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称 11. 已知直线：，为坐标原点，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 过且与直线平行的直线方程为 C. 过点且与直线垂直的直线方程为 D. 若到直线的距离为，则 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为______． 13. 阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为__________. 14. 对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 16. 2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ： （1）确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； （2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 17. 在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足． （1）若，求的大小； （2）求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求的长； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 记为数列的前项和已知. （1）求，并证明是等差数列 （2）从下面个条件中选个作为本小题的条件，证明：.① ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年焦作市博爱一中高三年级（上）10月月考 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值. 2. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 又，，故， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D. 3. 设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，若的周长为1．则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，利用面积公式可得，再结合周长公式运算求解. 【详解】由正弦定理（为的外接圆半径）， 可得， 且，则均为正数， 因为， 可得， 又因为的周长为， 所以. 故选：B. 4. 若复数且，则满足的复数的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又的几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为，则由圆心到直线的距离为，即可得到复数的个数. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又可以变形为， 即其几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为， 又圆心到直线的距离为， 而，所以满足条件的不存在. 故选：A. 5. 已知正方形的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设，，根据两点间距离公式结合正弦函数的最值分析求解. 【详解】不妨设， 因为，设， 则 ， 因为，则， 可知当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】结论点睛：以为圆心，半径为的圆上的任一点可设为 6. 在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】C 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于点，连接交于点，连接，即可得到截面图形，再利用相似验证即可. 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 则五边形为平面截该长方体所得的截面图形， 不妨设，又点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点， 所以，，，所以，又， 所以，又，所以， 又，即，解得， 又，即，解得，符合题意， 即五边形为平面截该长方体所得的截面图形. 故选：C 7. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 71 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出是第几个奇数，然后计算出在第几行，根据行数是奇数行或者偶数行，确定的值，从而求得的值. 【详解】数列是首项为，公差为的等差数列，记其通项公式为，令，解得.宝塔形数自上而下，每行的项数是，即首项是，公差是的等差数列，记其通项公式为，其前项和，，所以是第行的数模糊.第行是奇数行，是从右边开始向左边递增，也即从，即的第项，递增到第项，也即从右往左第项.故从左往右是第项，所以.所以. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查新定义数列找规律，考查等差数列通项公式与前项和公式有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题. 8. 已知A是函数图象上的一点，点B在直线上，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设上一点处的切线与平行，由导数几何意义得到，构造，求导得到其单调性，从而得到故只有1个零点，即0，故，的最小值为到直线的距离，从而得到答案. 【详解】设上一点处的切线与平行， 则，则， 令，显然，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，恒成立，易知只有1个零点，即0， 所以，故点坐标为， 的最小值为到直线的距离，即， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B. 函数的图象关于y轴对称 C. 函数的图象在上单调递增 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数图像变换得出新函数图像即可判断ABC，由对数运算与对数函数单调性判断D. 【详解】函数的图象如下： 对于A，由函数图象变换可知，图像如下： 函数图象与原函数图象关于轴对称，故A错误； 对于B，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象在上单调递增，故C正确； 对于D，即，， 在定义域上单调递增， ，则，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 是周期函数 C. 在单调递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用三角恒等变换化简函数表达式为，但是注意到，由此即可判断；对于B，在定义域内，由诱导公式可得，由此即可判断；对于C，在函数有意义的前提下，由正弦函数单调性、复合函数单调性即可判断；对于D，利用代入检验法，并注意定义域是否相应的关于直线或点对称即可判断. 【详解】对于A，． 因为，且， 所以的值域是，A错误． 对于B，的定义域且， 对任意恒有，B正确． 对于C，在有意义， 当时，， 所以在单调递减，C正确． 对于D，， 的图象关于直线对称，且的定义域关于对称， 所以的图像关于直线称． ， 的图象关于点对称， 但的定义域不关于点对称， 所以的图象不关于点对称，D正确． 故选：BCD． 11. 已知直线：，为坐标原点，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 过且与直线平行的直线方程为 C. 过点且与直线垂直的直线方程为 D. 若到直线的距离为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程，得直线的倾斜角，可判断；根据与已知直线平行或垂直的直线方程求法可判断；根据点到直线的距离公式计算可判断. 【详解】直线可化为：， 所以斜率，得倾斜角为，故错误； 设与直线平行的直线方程为，由直线经过原点，则， 即平行直线方程为，故B正确； 设与直线垂直的直线方程为，由直线方程经过点，所以， 即垂直直线方程为，故C正确； 到直线的距离，得，所以，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为______． 【答案】， 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，结合x的范围，求出角的范围即可． 【详解】求导 在区间上是单调函数， 则有在恒大于等于0或恒小于等于0， 若在区间上单调减，则， 故即 若在区间上单调增，则， , 所以即 综上所述，，， 故答案为， 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 13. 阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式可构造方程求得所求概率. 【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过小时为事件， 则，，； ， ， 即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为. 故答案为： 14. 对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合通项与前n项和之间的关系可得，再利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，则， 若，则； 若，则， 可得，即； 可知也满足，所以. 可得， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于，应理解为数列的前n项和为，结合通项与前n项和之间的关系分析求解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，结合，可得； （2）由（1）可得在上单调递增，结合，可解不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 又，所以， 所以， 从而. 【小问2详解】 由（1）可知， 显然在上单调递增. 因为，所以由，可得， 则，解得或， 故不等式的解集为. 16. 2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ： （1）确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； （2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 【答案】（1），中位数. （2）①，②. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为即可计算，设中位数为，则在内，由即可计算； （2）①计算120家专项贷款金额在内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算；②根据频率比，计算专项贷款金额在内和在内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得 ， 解得. 设中位数为，则专项贷款金额在内的评率为， 在内的评率为， 所以在内， 则，解得， 所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元. 【小问2详解】 ①由题意，抽样比为， 专项贷款金额在内的中小微企业共有家， 所以应该抽取家，即. ②专项贷款金额在内和在内的频率之比为， 故在抽取的5家中小微企业中， 专项贷款金额在内的有家，分别记为, 专项贷款金额在内的有家，记为, 从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为 共10种， 其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有 共4种， 所以所求概率为. 17. 在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足． （1）若，求的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题中已知条件利用正切函数化简或逆用余弦函数两角和差公式从而可求解. （2）由（1）及正弦定理把边化成角，再利用辅助角公式及函数求导求出范围从而求解. 【小问1详解】 方法一：，由为锐角三角形且，所以． 方法二： ． 由为锐角三角形且，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 由正弦定理知： ， 所以．令，则， 所以，其中． 又由为锐角三角形，，， ，因为，所以，所以，则， ，所以在上单调递减，则． 即的取值范围是． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求的长； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由平面，平面，得， 又，且平面，平面，， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面，平面，通过线面垂直的性质定理得到，结合，利用线面垂直的判定定理得到平面. （2）取中点，连接，，在三角形中利用勾股定理求解. （3）以为坐标原点，，为，轴的正方向，以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，，由，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由（1）平面得平面， 由平面，所以， 由平面，平面， 得，所以， 又，所以. 【小问3详解】 以为坐标原点，，为，轴的正方向，以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系． 由，得为正三角形，所以， 又，，，所以，， 设平面的法向量，则，即， 取，得到平面的一个法向量． 又，设直线与平面所成角的大小为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 记为数列的前项和已知. （1）求，并证明是等差数列 （2）从下面个条件中选个作为本小题的条件，证明：.① ②. 【答案】（1） ，，证明如下： 在中， 令得所以，则， 令，得，即，所以， 下面证明为等差数列. 证明：由，得①， 所以②， 两式②-①得，所以③， 当时，④， ③-④得，即， 所以是等差数列. （2） 证明：由（1）得是等差数列，且，， 所以的公差，则. 若选 所以 ， 所以， 因为，所以， 所以. 若选 所以 所以. 【解析】 【分析】（1）由已知直接求，由递推公式可得，根据等差数列的定义即可证明； （2）由（1）得，化简，利用裂项相消法求和即可证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $