精品解析：四川省江油市太白中学2025届高三上学期10月考试数学试题

高2022级高三（上）数学学科检测 命题人：余刚 一、选择题 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ，使得 D. ，使得 2. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 4. 已知全集，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 设方程的两根为，，则（ ） A. ， B. C. D. 8. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强 B. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系 C. 线性回归直线方程至少经过样本点数据中的一个点 D. 用模型拟合一组数据时，设，得到回归方程，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. （国庆作业11题改编） 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 三、填空题 12. 函数的定义域为__________. （优化设计P50例2（3）改编） 13. ______. 14. 关于函数有如下四个结论： ①对任意，都有极值； ②曲线的切线斜率不可能小于； ③对任意，曲线都有两条切线与直线平行； ④存在，使得曲线只有一条切线与直线平行． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题 15. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 16. 已知数列的前n项和为，若，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 17. 随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 18. 已知函数，. （1）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由. （2）求函数的单调递增区间. 19. 已知函数･ （1）若，讨论的单调性； （2）若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2022级高三（上）数学学科检测 命题人：余刚 一、选择题 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ，使得 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义判断. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 故命题，的否定是，使得. 故选：D． 2. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：B 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，即， 即角的终边经过点，所以，， 所以. 故选：D 4. 已知全集，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解. 【详解】由可得，解得， 所以或， 故选:. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. 6. 已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到，再利用奇函数的性质求. 【详解】因为为偶函数，所以，两边求导，可得. 又在处的切线方程为：， 所以. 所以. 故选：A 7. 设方程的两根为，，则（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC. 【详解】由可得， 在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示： 因为，， 由图象可知，， 所以故A，D错误； ， 因为，所以，所以， 所以，即，故B错误，C正确. 故选：C 8. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 【答案】D 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可. 【详解】由，得， 即，故，A、B错误； 又由，，得， 故牛奶的温度从降至需， 从降至还需. 故选：D 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强 B. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系 C. 线性回归直线方程至少经过样本点数据中的一个点 D. 用模型拟合一组数据时，设，得到回归方程，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据回归方程和独立性检验的相关知识逐一判断. 【详解】对于A，对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，故A错误； 对于B，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系，故B正确； 对于C，线性回归直线方程至少经过样本点数据中的中心点，但不一定至少经过样本点数据中的一个点，故C错误； 对于D，用模型拟合一组数据时，设，得到回归方程， 则，所以，即， 因为，所以，故D正确. 故选：BD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． （国庆作业11题改编） 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质. 【详解】对A：令，，则， 因为，所以，故A正确； 对B：令得：，结合可得， 所以为偶函数，故B错误； 对C：令可得：，因为， 所以， 进一步可得：， 又，，故， 故，依次有, 所以，故C正确； 对D：令可得：; 用代替，得：， 结合C的结果，可得：，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键. 三、填空题 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： （优化设计P50例2（3）改编） 13. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则、换底公式计算. 【详解】, 故答案为：. 14. 关于函数有如下四个结论： ①对任意，都有极值； ②曲线的切线斜率不可能小于； ③对任意，曲线都有两条切线与直线平行； ④存在，使得曲线只有一条切线与直线平行． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】举反例否定①；求得导函数的取值范围判断②；取特例否定③；取特例证明④. 【详解】对①：当时，，为增函数，无极值.所以①错误; 对②：，所以②正确． 对③：当时，， 设切点，由，可得或 则切点为或 则所求切线方程为或 这两条切线中与平行，与重合. 即当时，曲线只有一条切线与直线平行，且这条切线的切点的横坐标为，所以③错误； 对④：由③可知，④正确． 故答案为：②④ 四、解答题 15. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1）由，，， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2），预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 【解析】 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得：， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5. 16. 已知数列的前n项和为，若，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先赋值求出，再仿写式子相减，得，再利用累乘法进行求解； （2）先化简，再利用裂项抵消法进行求和. 【小问1详解】 在中， 令，得，解得， 因为， 所以当时，， 两式相减，得， 所以， 即（），当时，符合该式， 所以， 又因为满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以． 17. 随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B地，理由：设匀速行驶速度为，耗电量为， 则， 由对勾函数性质可知函数在区间单调递增， ，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 所以该车不能在不充电的情况下到达B地； （2） 【解析】 【分析】（1）假设该车匀速行驶至B地，列出耗电量的表达式并利用单调性即可求得最小耗电量，可得出结论； （2）根据耗电量与充电量、保障电量之间的关系，列出不等关系，由基本不等式即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设匀速行驶速度为，总时间为，行驶时间与充电时间分别为. 若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即， 解得. . 当且仅当，即时取到等号 所以该汽车到达B地的最少用时为. 18. 已知函数，. （1）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由. （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数得出的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论； （2）分类讨论参数的值，利用导数证明单调性即可. 【详解】 （1）函数的零点只有一个，证明如下： 当时，，则 或； 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 因为，所以在上只有一个零点 （2）当时，，则 所以函数的单调增区间为 当时，，解得 ①当，即时，或 所以函数的单调增区间为和 ②当，即时，或 所以函数的单调增区间为和 ③当时， 所以函数的单调增区间为 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题以及单调性，属于中档题. 19. 已知函数･ （1）若，讨论的单调性； （2）若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，然后再利用导函数的正负情况，分类讨论即可； （2）先将函数代入不等式，然后参变分离，转化为函数最值问题，最后利用导数求最值即可. 【小问1详解】 ，则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，得，即， 令，则，即不等式在恒成立， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即实数的取值范围为. 【点睛】此题主要考察了分类讨论函数单调性以及导数的恒成立问题，都是比较常规；分类讨论主要是讨论导函数的正负情况；对于恒成立问题，主要考虑两个方法，参变分离或整体构造，一般首选参变分离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $