精品解析：天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

南开大学附中 24-25学年度第一学期阶段检测1 高二数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】交并补混合运算 【详解】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可. 因为， 所以，又 所以， 故选：B 2. 在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：点关于轴对称的点坐标不变，坐标与分别互为相反数.故对称点为. 考点：空间直角坐标系. 3. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可. 【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底； 对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底. 故选：A 4. 已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 5. 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得 ，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 6. 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形知． 【详解】直线过第一、三、四象限，如图所示， 则． 即且． 故选：C． 7. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可. 【详解】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为. 故选：A 8. 已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把直线方程化为点斜式，即可求解. 【详解】直线可化为： ， 故直线过定点， 故选：D. 9. 已知，两点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，作图，则明确其直线的边界，根据旋转可得答案. 【详解】由题意，可作图： 则直线l介于与之间，的斜率，的斜率， 即直线l的斜率， 故选：C. 10. 若曲线与直线仅有一个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对变形，再结合直线过定点，作出图形，数形结合即可得解. 【详解】由可得， 所以曲线是以为圆心，半径为1的圆在x轴上方（包含与x轴的交点）的部分， 直线过定点， 在同一坐标系中作出曲线与直线，如图， 当时，直线，直线与圆相切，符合题意； 当时，若直线过点时，， 若直线过点时，， 数形结合可得若曲线与直线仅有一个交点， 则； 综上，. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆的性质及直线与圆位置关系的应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知向量，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 12. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 13. 已知直线则与的距离___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据平行线距离公式直接计算即可. 【详解】因为，则与的距离， 故答案为： 14. 在棱长为2 的正方体 中中点，则点 到直线的距离为_________ 【答案】## 【解析】 【分析】连接，求出，求出，设到直线的距离为，根据求出. 【详解】连接， 则， 因为平面，所以， 所以， 设到直线的距离为， 则， 所以， 解得，所以点到直线的距离为. 故答案为：. 15. 已知若圆上存在点P，使得，则m的范围________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得点P在以原点为圆心m为半径的圆上，再利用圆与圆的位置关系即可推理作答. 【详解】设点，由得：，整理得：， 于是得点P的轨迹是以原点O为圆心，m为半径的圆，而圆的圆心，半径为2， 显然圆O与圆C有公共点P，因此有，而，解得， 所以m的范围是. 故答案为： 三、解答题 （共55分） 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可； （2）结合正弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 由， 则， 又，则； 【小问2详解】 由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . 17. 已知直线与直线． （1）当m为何值时，与相交； （2）当m为何值时，与平行，并求与的距离； （3）当m为何值时，与垂直． 【答案】（1）且 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两直线相交的充要条件，运算得解； （2）利用两直线平行的充要条件及两平行线间距离公式，运算得解； （3）利用两直线垂直的充要条件，运算得解. 【小问1详解】 由直线与相交，则，解得且. 【小问2详解】 由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离为. 【小问3详解】 由直线与垂直，则，解得或. 18. 已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4. （1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值； （2）求过点M的圆O1的切线方程. 【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0. 【解析】 【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d=，解可得a的值，即可得答案； （2）根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案. 【详解】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心为(1，2)，半径r=2， 若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=， 又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0， 则有d=，解得； （2）根据题意，分2种情况讨论： 当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件， 当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)， 圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0， 所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题. 19. 如图，平行六面体中，． （1）证明：； （2）求的长； （3）求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知， 即 ， 故的长为； 【小问3详解】 ， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 20. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角大小. （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 【答案】（1）四边形ABCD是正方形， ，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 平面ABQ，平面ABQ，， 平面平面DCP， 平面ABQ，平面PDC； （2） （3）H为线段PD的四等分点靠近P点 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面PDC，平面PDC，再由面面平行的判定定理可得答案； （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求出结果； （3）根据异面直线夹角的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，即，，又， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴､y轴､z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面PBC的法向量， 则， 取，得，，得， 设平面PBQ的法向量， 则， 取，，，得， 设二面角的大小为，由图形得为钝角， 则， 为钝角，， 二面角平面角的大小为； 【小问3详解】 点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为， 设，，则，， ，， ， 解得，或舍去，线段DH的长为，又， 即， H为线段PD的四等分点靠近P点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学附中 24-25学年度第一学期阶段检测1 高二数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是 A. B. C. D. 3. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. C. D. 6. 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（ ） A. B. C. D. 9. 已知，两点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若曲线与直线仅有一个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知向量，则在上的投影向量为__________. 12. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 13. 已知直线则与的距离___________. 14. 在棱长为2 的正方体 中中点，则点 到直线的距离为_________ 15. 已知若圆上存在点P，使得，则m的范围________． 三、解答题 （共55分） 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角的值； （2）求的值． 17. 已知直线与直线． （1）当m为何值时，与相交； （2）当m为何值时，与平行，并求与的距离； （3）当m为何值时，与垂直． 18. 已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4. （1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值； （2）求过点M的圆O1的切线方程. 19. 如图，平行六面体中，． （1）证明：； （2）求的长； （3）求直线与AC所成角的余弦值． 20. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角大小. （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $