精品解析：云南省文山市城南中学（广南县十中）2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

文山市城南中学2024-2025学年秋季学期高二年级 第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 命题人：陈媛 审题人：申童湘 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知点，则点A关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 6. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则使的x是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 11. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 数据5，8，9，12，12，15的第75百分位数为__________. 13. 从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= _______． 14. 如图所示，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为______． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 16. 已知函数已知向量，， （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求的值； （3）设函数，求的值域. 17. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求a，b的值； （2）求这100名员工月销售额的第70百分位数； （3）若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 19. 如图，平面，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文山市城南中学2024-2025学年秋季学期高二年级 第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 命题人：陈媛 审题人：申童湘 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 已知点，则点A关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间坐标系的概念可解. 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为. 故选：C 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解最小值 【详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6 故选：B 6. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积． 棱台下底面积，上底面积， ∴ ． 故选：C． 7. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以， 故选：D 8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则使的x是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式分两种情况讨论：当时，，当时，，求出符合要求的x的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数， 当时，，则有，不合要求，舍去 当时，，解得：或，均满足要求. 故或， 故选：AD 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 11. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 数据5，8，9，12，12，15的第75百分位数为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】由题意可知：，则从小到大第五个数为12. 故答案为：12 13. 从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型概率的计算方法计算即可 【详解】从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件， 其中为整数的只有两个基本事件， 所以为整数的概率为. 14. 如图所示，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：根据等体积法，即，列出方程解出距离即可；解法二：通过面面垂直的性质定理得平面，最后计算长即可；解法三：建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面距离. 【详解】解法一：设点到平面的距离为d．在中，，AB边上的高为，点A到平面的距离为，的面积为． ∵，∴，因此， 故点到平面的距离为． 解法二：如图所示，取AB的中点M，连接CM，，过点C作，垂足为D． ∵，M为AB的中点，∴．∵，M为AB的中点，∴． ∵，平面，∴平面， 又平面，故平面平面． ∵平面平面，，平面，∴平面． 因此CD的长度即为点C到平面的距离，也即点到平面的距离． 在中，，因此． 故点到平面的距离为． 解法三：如图所示，取BC的中点O，连接AO．∵，∴． 以O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴和y轴，过点O且与平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 从而，，． 设为平面的一个法向量，则即， 令，得，则． 故点到平面的距离为． 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解； （2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解． 【小问1详解】 解：由正弦定理知， ， ， 的周长为， ， ． 【小问2详解】 解：的面积， ， 由（1）知，，， 由余弦定理知， ， ． 16. 已知函数已知向量，， （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求的值； （3）设函数，求的值域. 【答案】（1）为奇函数， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可； （2）依题意可得、的值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； （3）由数量积的坐标表示及辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 又， 所以为奇函数. 【小问2详解】 因为，， 若，则，， 所以. 【小问3详解】 因为， 由，则， 的值域． 17. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求a，b的值； （2）求这100名员工月销售额的第70百分位数； （3）若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解； （2）根据百分位数的概念求解； （3）根据古典概型列出基本事件计算得解. 【小问1详解】 由已知得， 所以，又因为， 所以，. 【小问2详解】 由于样本在的频率为，在的频率为， 所以这100名员工月销售额的第70百分位数为. 【小问3详解】 月销售额在这一组的人数为. 其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b， 从中随机抽取2 人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个， 其中，事件“至少有一名女职工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个， 所以，所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 19. 如图，平面，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面.； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面. （2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得，. ， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得，. ，于是. 所以，二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，即，则. 从而. 由（2）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 则N到平面的距离为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $