第3章 圆的基本性质（单元测试B卷）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第3章 《圆的基本性质》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与⊙B的位置关系是（　　） A．点A在⊙B外 B．点A在⊙B上 C．点A在⊙B内 D．无法确定 2．（3分）三角形的外心是（　　） A．三角形三条高线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条内角角平分线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 3．（3分）如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB′C′重合，连接BB′，则∠AB′B大小为（　　） A．56° B．57° C．62° D．72° 4．（3分）下列语句中：①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（　　） A．36° B．40° C．46° D．65° 7．（3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D． 8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC．若∠ADC＝115°，则∠CAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 9．（3分）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　） A．13 B．14 C．12 D．28 10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的个数有（　　） ①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PCB；⑤CF•CP为定值． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 　 　． 12．（3分）已知圆锥的底面直径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 　 　cm． 13．（3分）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝12，CD＝2，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为　 　． 14．（3分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且∠B+∠D＝155°，则的度数为 　 　°． 15．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，在上取一点E，连接AE，DE，过点A作AF⊥AE，交DE于点F，AD＝6，AB＝8，∠ADE＝45°，则阴影部分的面积为 　 　． 16．（3分）如图，∠MON＝45°，点A、B分别在OM、ON上，且AB＝6，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，连接OD，则OD的最大值是 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．在同一直角坐标内完成以下作图． （1）将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A的对应点为A′，画出旋转后的图形△OA′B′； （2）△OAB与△OA″B″关于原点对称，点A的对应点为A″，画出△OA″B″． 18．（6分）已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E （Ⅰ）如图①，求∠CED的大小； （Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小． 19．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：∠ABD＝∠BED； （2）若∠AEB＝125°，求弧BD的长． 20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BOD＝2∠A． （1）求证：AB⊥CD； （2）若⊙O的半径为4，AE：EB＝3：1，求CD的长． 21．（10分）如图，在以AB为直径的半圆O中，M是的中点，C是上的点，AM、BC的延长线相交于点D．连接AC、MC． （1）求证：CM平分∠ACD； （2）若AC平分∠BAD，则∠D的大小为 　 　度． 22．（10分）如图，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，且AC＝6． （1）求弧AD的弧长； （2）求扇形ACD的面积． 23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求劣弧CD的长度； ②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值． 24．（12分）如图1，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小明同学思路如下：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，B，C两点分别落在A，E两点处，易证C，A，E三点在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，从而得到结论：AC+BC＝CD． （1）在图1中，若AC＝2，BC＝4，则CD＝　 　； （2）在图2中，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），连接CA，CB，∠ACB的角平分线CD交⊙O于点D，求证：AC+BC＝CD； （3）在图2中，若AB＝17，BC＝8，求CD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 《圆的基本性质》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与⊙B的位置关系是（　　） A．点A在⊙B外 B．点A在⊙B上 C．点A在⊙B内 D．无法确定 【分析】利用勾股定理求得AB＝13边的长，然后通过比较AB与半径的长即可得到结论， 【解答】解：由题意可得： ∴， ∵AB＝13＞12， ∴点A在⊙B外， 故选：A． 2．（3分）三角形的外心是（　　） A．三角形三条高线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条内角角平分线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 【分析】根据三角形外心的概念选择即可． 【解答】解：∵三角形的外心指三角形三边垂直平分线的交点， ∴三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 故选：D． 3．（3分）如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB′C′重合，连接BB′，则∠AB′B大小为（　　） A．56° B．57° C．62° D．72° 【分析】由旋转的性质可得AB＝AB′，∠B′AB＝56°，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB′C′重合， ∴AB＝AB′，∠B′AB＝56°， ∴∠ABB'＝∠AB'B＝（180°﹣∠B'AB）＝×（180°﹣56°）＝62°， 故选：C． 4．（3分）下列语句中：①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可． 【解答】解：①经过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故本小题错误； ②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本小题错误； ③长度相等的弧不一定是等弧，故本小题错误； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，故本小题正确； ⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，故本小题正确． 故选：B． 5．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵， ∴． 故选：B． 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（　　） A．36° B．40° C．46° D．65° 【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠DAB＝36°，从而利用同弧所对的圆周角相等，即可解答． 【解答】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝54°， ∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°， ∴∠DAB＝∠BCD＝36°， 故选：A． 7．（3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D． 【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长． 【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， ∴DN＝BM＝， ∵半径为5， ∴OM＝ON＝3， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB＝90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM＝ON＝3， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP＝3， 故选：C． 8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC．若∠ADC＝115°，则∠CAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 【分析】连接EC，根据圆内接四边形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠B＝65°，∠ACE＝90°，再根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接EC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∵∠ADC＝115°， ∴∠B＝180°﹣115°＝65°， ∴∠AEC＝∠B＝65°， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣65°＝25°， 故选：B． 9．（3分）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　） A．13 B．14 C．12 D．28 【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得． 【解答】解：连接PO， ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵点 A、点B关于原点O对称， ∴AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值， 连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝6、MQ＝8， ∴OM＝10， 又∵MP'＝r＝4， ∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14， ∴AB＝2OP'＝2×14＝28； 故选：D． 10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的个数有（　　） ①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PCB；⑤CF•CP为定值． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD＝PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误； ②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误； ③由∠BOC＝60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误； ④证明∠CPB＝∠CBF＝30°，再利用公共角，可得△BCF∽△PCB，便可判断正误； ⑤由等边△OBC得BC＝OB＝4，再由相似三角形得CF•CP＝BC2，便可判断正误． 【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图， ∵M，C是半圆上的三等分点， ∴∠BAH＝30°， ∵BD与半圆O相切于点B． ∴∠ABD＝90°， ∴∠H＝60°， ∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH， ∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°， ∵∠PBD＝90°﹣∠ABP， 若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP， ∴∠ABP＝15°， ∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合， ∴∠PDB不一定等于∠ABD， ∴PB不一定等于PD，故①错误； ②∵M，C是半圆上的三等分点， ∴∠BOC＝180°＝60°， ∵直径AB＝8， ∴OB＝OC＝4， ∴的长度＝＝π，故②正确； ③∵∠BOC＝60°，OB＝OC， ∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC， ∵BE⊥OC， ∴∠OBE＝∠CBE＝30°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠DBE＝60°，故③错误； ④∵M、C是的三等分点， ∴∠BPC＝30°， ∵∠CBF＝30°， ∴∠CBF＝∠BPC， ∵∠BCF＝∠PCB， ∴△BCF∽△PCB，故④正确； ⑤∵△BCF∽△PCB， ∴＝， ∴CF•CP＝CB2， ∵CB＝OB＝OC＝AB＝4， ∴CF•CP＝16，故⑤正确． 综上所述：正确结论有②④⑤，共3个． 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 　九　． 【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝40°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， 而360°÷40°＝9， ∴这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 12．（3分）已知圆锥的底面直径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 　10　cm． 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，再根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为R cm， 圆锥的底面周长＝π×2＝2π（cm）， 则， 解得：R＝10， 故答案为：10． 13．（3分）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝12，CD＝2，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为　10　． 【分析】根据l⊥AB可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【解答】解：∵l⊥AB，AB＝12， ∴， ∵CD＝2， ∴OD＝r﹣2， 此时有r2﹣62＝（r﹣2）2， 解得：r＝10， ∴紫砂壶的壶口半径r的长为10， 故答案为：10． 14．（3分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且∠B+∠D＝155°，则的度数为 　50　°． 【分析】连接BA，OA，OE，由∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠D＝155°，可得∠EBA＝25°，故∠AOE＝50°，即弧AE所对的圆心角为50°． 【解答】解：连接BA，OA，OE，如图： ∵点A、B、C、D、E在⊙O上， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠EBC+∠D＝155°， ∴∠ABC﹣∠CBE＝25°，即∠EBA＝25°， ∵∠AOE＝2∠ABE， ∴∠AOE＝50°， 即弧AE所对的圆心角为50°； 故答案为：50°． 15．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，在上取一点E，连接AE，DE，过点A作AF⊥AE，交DE于点F，AD＝6，AB＝8，∠ADE＝45°，则阴影部分的面积为 　　． 【分析】根据勾股定理求出圆的半径，依据等腰直角三角形求出AE长，利用△ABE∽△ADF得到AF长，由图示可知S阴影＝圆〇﹣S△AOE+S△AEF代入数据计算即可． 【解答】解：连接OA、OE、EB、BD， ∵矩形ABCD内接于⊙O，AD＝6，AB＝8， ∴BD＝10，圆O的半径＝5， ∵∠ADE＝45°， ∴∠AOE＝90°， ∴AE＝5， ∵∠ABE＝∠ADE，∠BAE＝∠DAF＝90°﹣∠BAF， ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∴AF＝， S阴影＝S圆O﹣S△AOE+S△AEF＝﹣+＝． 故答案为：． 16．（3分）如图，∠MON＝45°，点A、B分别在OM、ON上，且AB＝6，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，连接OD，则OD的最大值是 　3+3　． 【分析】由∠MON＝45°，AB＝6可得点O在以AB为弦，所含圆周角为45°的优弧上运动，设优弧所在圆为⊙E．连接AE，BE，由圆周角定理得到∠AEB＝2∠AOB＝90°，从而在Rt△AEB中，求得 AE＝BE＝3．连接BD，根据正方形的性质可得∠ABD＝45°，BD＝6，又∠EAB＝∠ABE＝45°，得到∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝90°，连接DE，在Rt△BDE中，求得DE＝3，连接OE，OD，则根据OD≤OE+DE即可求解． 【解答】解：∵∠MON＝45°，AB＝6， ∴点O在以AB为弦，所含圆周角为45°的优弧上运动，设优弧所在圆为⊙E，如图所示， 连接AE，BE， ∴∠AEB＝2∠AOB＝2×45°＝90°， ∵AE2+BE2＝AB2＝36， ∴AE＝BE＝3， 连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝6，∠ABC＝∠C＝90°，∠ABD＝∠ABC＝45°， ∴BD＝＝6， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠ABE ∵∠ABE+∠EAB＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴∠EAB＝∠ABE＝45°， ∴∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝45°+45°＝90°， 连接DE， ∴DE＝＝3， 连接OE，OD， ∵OE＝AE＝3， ∴OD≤OE+DE＝3+3， 即OD的最大值为3+3． 故答案为：3+3． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．在同一直角坐标内完成以下作图． （1）将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A的对应点为A′，画出旋转后的图形△OA′B′； （2）△OAB与△OA″B″关于原点对称，点A的对应点为A″，画出△OA″B″． 【分析】（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转90°得到对应点，再与点O顺次连接即可，即可作答； （2）因为△OAB与△OA″B″关于原点对称，所以根据中心对称性质，分别画出点A″，B″，然后顺次连接即可． 【解答】解（1）画出旋转后的图形△OA′B′如图所示； （2）画出△OA″B″如图所示． ． 18．（6分）已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E （Ⅰ）如图①，求∠CED的大小； （Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小． 【分析】（Ⅰ）利用圆内接四边形的性质证明∠CED＝∠A即可； （Ⅱ）连接AE．在Rt△AEC中，求出∠EAC即可解决问题； 【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形， ∴∠A+∠DEB＝180°， ∵∠CED+∠DEB＝180°， ∴∠CED＝∠A， ∵∠A＝68°， ∴∠CED＝68°． （Ⅱ）连接AE． ∵DE＝BE， ∴＝ ∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56° 19．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：∠ABD＝∠BED； （2）若∠AEB＝125°，求弧BD的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到∠BAD＝∠CBD，结合三角形内角和可得结论； （2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∵∠D＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠BAD，∠BED＝180°﹣∠D﹣∠CBD， ∴∠ABD＝∠BED； （2）解：连接OD， ∵∠AEB＝125°， ∴∠AEC＝180°﹣125°＝55°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝35°， ∴∠DAB＝∠CAE＝35°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝70°， ∴的长＝＝π． 20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BOD＝2∠A． （1）求证：AB⊥CD； （2）若⊙O的半径为4，AE：EB＝3：1，求CD的长． 【分析】（1）由OA＝OC得∠COE＝2∠A，再证明∠COE＝∠BOD，从而证明出△OCE≌△ODE，由垂径定理可得结论； （2）根据勾股定理得出CE＝2，再由垂径定理得出CD的长即可． 【解答】（1）证明：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠COE＝2∠A， ∵∠BOD＝2∠A， ∵∠BOD＝2∠A， ∴∠COE＝∠BOD， ∵OE＝OE， ∴△OCE≌△ODE， ∴∠CEO＝∠DEO＝90°， ∴AB⊥CD． （2）解：∵AE：EB＝3：1，OA＝OB， ∴OB：EB＝2：1， ∵OB＝OC＝4， ∴OE＝EB＝2， ∵AB⊥CD， ∴CE＝＝2， ∴CD＝4． 21．（10分）如图，在以AB为直径的半圆O中，M是的中点，C是上的点，AM、BC的延长线相交于点D．连接AC、MC． （1）求证：CM平分∠ACD； （2）若AC平分∠BAD，则∠D的大小为 　67.5　度． 【分析】（1）连接BM，根据点M半圆的中点，易得∠MAB＝∠MBA＝45°，再计算得出∠MCD＝90°﹣∠MCA＝45°＝∠MCA即可求解； （2）由（1）可知∠ACD＝90°，利用直角三角形两锐角互余，即可求解． 【解答】（1）证明：连接BM， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AMB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°， ∵点M半圆的中点， ∴， ∴AM＝BM， ∴∠MAB＝∠MBA＝45°， ∴∠MCA＝∠MBA＝45°， ∴∠MCD＝90°﹣∠MCA＝90°﹣45°＝45°＝∠MCA， ∴CM平分∠ACD； （2）解：∵AC平分∠BAD，∠MAB＝45°， ∴， ∵∠ACD＝90°， ∴∠D＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴故答案为：67.5°． 22．（10分）如图，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，且AC＝6． （1）求弧AD的弧长； （2）求扇形ACD的面积． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠CAB＝75°，再根据等边对等角可得∠CDA＝∠CAB＝75°，进而得到∠ACD＝30°，最后根据弧长公式即可计算弧AD的弧长； （2）直接运用扇形的面积公式计算即可． 【解答】（1）解：∵∠B＝15°，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝75°， ∵AC＝CD， ∴∠CDA＝∠CAB＝75°， ∴∠ACD＝30°， ∴弧AD的弧长为＝． （2）解：∵∠ACD＝30°，AC＝6， ∴扇形ACD的面积＝． 23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求劣弧CD的长度； ②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值． 【分析】（1）连接OD，由OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB知四边形OFDE是矩形，据此可得EF＝OD＝AB； （2）①先求出∠DOE的度数，再利用弧长公式求解可得； ②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG，再根据勾股定理及EG＝12求解可得答案． 【解答】解：（1）如图，连接OD， ∵⊙O的直径AB＝16， ∴圆的半径为16÷2＝8． ∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴∠EOB＝∠OED＝∠OFD＝90°， ∴四边形OFDE是矩形， ∴EF＝OD＝8． （2）①∵点E为OC的中点， ∴， ∴∠EDO＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∴劣弧CD的长度为． ②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P， 则PC+PD的最小值为DG． 设DE＝x， 则DG＝2x， ∵，EG＝12， ∴x2+144＝4x2， 解得x＝4， ∴DG＝8， ∴PC+PD的最小值为． 24．（12分）如图1，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小明同学思路如下：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，B，C两点分别落在A，E两点处，易证C，A，E三点在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，从而得到结论：AC+BC＝CD． （1）在图1中，若AC＝2，BC＝4，则CD＝　　； （2）在图2中，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），连接CA，CB，∠ACB的角平分线CD交⊙O于点D，求证：AC+BC＝CD； （3）在图2中，若AB＝17，BC＝8，求CD的长． 【分析】（1）先证明，代入即可求解； （2）先证明AD＝BD，将△DAC绕点D逆时针旋转90°到△DBF处，A，C两点分别落在B，F两点处，然后证明点C，B，F三点在同一条直线上，从而可得△CDF是等腰直角三角形，根据勾股定理和线段和差即可求解； （3）先由勾股定理求出AC的长，然后代入（2）中结论即可求解． 【解答】（1）解：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，B，C两点分别落在A，E两点处， ∴BC＝EA，∠ADB＝∠CDE＝90°，CD＝ED，∠CBD＝∠EAD， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠CBD+∠CAD＝180°， ∴∠CAD+∠EAD＝180°， ∴点C，A，E三点在同一条直线上， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴， ∵CE＝AC+EA＝AC+BC， ∴， ∵AC＝2，BC＝4， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴AD＝BD， 如图，将△DAC绕点D逆时针旋转90°到△DBF处，A，C两点分别落在B，F两点处， ∴CD＝FD，∠CDF＝90°，AC＝BF，CD＝DF， ∵90°＝∠ACB＝∠ADB， ∴180°＝∠CBD+∠CAD， ∴180°＝∠FBD+∠DBC， ∴点C，B，F三点在同一条直线上， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴， ∵CE＝AC+BC＝AC+EA， ∴； （3）解：由（2）得：，∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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