专题03 圆的基本性质 9大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题03 圆的基本性质 9大高频考点概览 考点01 概念综合及其应用 考点02 弧长与扇形面积基础 考点03 圆与正多边形 考点04 圆内接四边形 考点05 图形的旋转 考点06 垂径定理及其应用 考点07 圆心角；圆周角 考点08 扇形面积的综合应用 考点09 解答题 1．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（  ）地 城 考点01 概念综合及其应用 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）下列命题中，错误的是（    ） A．直径是圆中最长的弦 B．直径所对的圆周角是直角 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直平分弦的直线必定经过圆心 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 5．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知的半径为，点在外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ． 地 城 考点02 弧长与扇形面积基础 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为 ． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 9．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（　） A． B． C． D． 地 城 考点03 圆与正多边形 10．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若的半径为．则其内接正六边形的周长等于 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 12．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在半径为3的上，以3为半径依次截取点六个点，并连接得六边形．连结，则四边形的面积是 ． 13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ． 地 城 考点04 圆内接四边形 15．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，的内接四边形中，，则为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，连接，若，，则（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 图形的旋转 19．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（    ）    A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ． 地 城 考点06 垂径定理及其应用 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 25．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 地 城 考点07 圆心角；圆周角 28．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，点，，在上，且．若，则为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，连结，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，，若给出下列结论：①；②，则．其中下列判断正确的是（） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 36．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆的直径，半径的中垂线交于点，连结，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是 ．（结果保留）地 城 考点08 扇形面积的综合应用 39．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段 ，阴影部分的面积为 ． 40．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）莱洛三角形广泛应用于建筑，工业，包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为5，分别以和为圆心，5为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ． 41．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结．地 城 考点09 解答题 求证：． 42．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是正三角形． (1)用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积． 43．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)将绕点O旋转得到的，请作出，并写出点的坐标： (2)在（1）的条件下，求点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留） 44．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． (1)若，求的长； (2)若D为的中点，求证：是等边三角形． 45．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)连结，若，，求图中阴影部分的面积． 46．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 47．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 48．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． (1)当点E是的中点时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)求证：． 49．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用以下素材解决问题． 探索货船通过拱桥的方案 素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式 素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分 问题解决 任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径． 任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：） 任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 50．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的基本性质 9大高频考点概览 考点01 概念综合及其应用 考点02 弧长与扇形面积基础 考点03 圆与正多边形 考点04 圆内接四边形 考点05 图形的旋转 考点06 垂径定理及其应用 考点07 圆心角；圆周角 考点08 扇形面积的综合应用 考点09 解答题 地 城 考点01 概念综合及其应用 1．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】依次判断真假命题即可，可以通过找到相应的反例，去论证命题的正确性． 【详解】解：①假命题，当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此项错误； ②真命题，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此项正确； ③假命题，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故此项错误； ④假命题，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故此项错误； 综上所述，②正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理及圆周角定理等圆的一些基本的知识，解答此题的关键掌握理解圆的定义及性质． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）下列命题中，错误的是（    ） A．直径是圆中最长的弦 B．直径所对的圆周角是直角 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直平分弦的直线必定经过圆心 【答案】C 【分析】本题考查了直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理等知识．熟练掌握直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理是解题的关键． 根据直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，直径是圆中最长的弦，正确，故A不符合要求； 直径所对的圆周角是直角，正确，故B不符合要求； 平分弦的直径不一定垂直于弦，错误，故C符合要求； 垂直平分弦的直线必定经过圆心，正确，故D不符合要求； 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点A在内． 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，，，，， ∴，，,， ∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外． 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知的半径为，点在外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在外，则的长应大于半径，选择符合的答案即可． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴， ∴选项中符合的只有D选项， 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质，根据点的坐标，画出图形，利用垂径定理及中点坐标公式求出点的坐标即可．画出图形是解答本题的关键． 【详解】解：如图，的垂直平分线为直线，的垂直平分线为直线， 由垂径定理可知点的横坐标为，纵坐标为， ． 故答案为：． 地 城 考点02 弧长与扇形面积基础 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积公式进行计算即可，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键． 【详解】解：， 故答案为：15． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式及弧长公式，根据扇形面积公式，计算即可．解题关键是找到弧长公式与面积公式之间得关系． 【详解】解：扇形面积． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，推出是等腰直角三角形，求得，利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长为， 故选：D． 地 城 考点03 圆与正多边形 10．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若的半径为．则其内接正六边形的周长等于 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，根据正六边形是的内接正六边形，可知是等边三角形，从而可知正六边形的边长为，所以正六边形的周长为． 【详解】解：如下图所示，正六边形是的内接正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， 正六边形的周长为． 故答案为： ． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在半径为3的上，以3为半径依次截取点六个点，并连接得六边形．连结，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形面积，熟练掌握正六边形性质，正三角形面积公式，是解题的关键． 正六边形可等分成六个正三角形，正三角形面积公式为（a正三角形的边长），剪下的三角形的面积每个都等于其中的一个正三角形的面积． 【详解】． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正五边形的性质，进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正五边形和正方形的性质是解题的关键．根据题意得到，求得，得到，即可得到结论． 【详解】解：正方形与正五边形都内接于， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 地 城 考点04 圆内接四边形 15．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，结合已知角度比例求解． 【详解】解：圆内接四边形对角互补， ，． ：：：：，设，，． ， 解得． ． 故选：B． 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，的内接四边形中，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补即可求出答案． 【详解】解：∵的内接四边形中，， ∴， 故选：C 17．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，连接，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形，等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，平行线的性质，得到，圆内接四边形的性质，得到，等量代换即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选B． 地 城 考点05 图形的旋转 19．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角度．根据正五角形的对称性，用除以 5 计算即可得解． 【详解】， ∴旋转的角度角度至少． 故选B． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ． 故选C． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角，熟练掌握旋转的性质是解题关键．旋转得到，等边对等角，求出的度数，三角形的外角，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 22．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 地 城 考点06 垂径定理及其应用 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．由题意和垂径定理得，，再根据勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，垂直平分，连接， 由题意得：， ∵垂直平分， ∴，，， 根据勾股定理可得，， ∴． 故选：C． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在中，弦，半径于点， ∴， ∴， 故选：D． 25．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴与不一定相等，符合题意； 故选：． 26．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，得出，即可得到答案． 【详解】如图，连接， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 27．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：为的直径，于点F，如图，连接，设的半径为r， ∴，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径长是5， 故选：C． 地 城 考点07 圆心角；圆周角 28．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，点，，在上，且．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系及三角形内角和定理、等腰三角形的性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数；根据圆心角、弧、弦的关系求出的度数，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质求出的度数，从而求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， 故选：D． 29．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 可设，则，， ， ， ， ， 故选：． 30．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，连结，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， 故选：D． 31．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理；由及互补关系，可求得，再圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 32．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系．利用圆周角定理求得，推出，由，得到，据此计算求得答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 33．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的直径，得到，根据，得到，解答即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 34．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于，圆周角定理，含的直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 作直径，连接，得到，根据圆周角定理得到，进而可求出直径的长度，最后可求出半径． 【详解】解：作直径，连接，如图： 为直径， ， ， ， 的半径为， 故选：C． 35．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，，若给出下列结论：①；②，则．其中下列判断正确的是（） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 【答案】B 【分析】连接，，先证明，可得出，再得出，，再由，得出，最后由三角形内角和得出结论，从而判断①；证明是等边三角形，则，即，但根据题目现有条件不能推导出，再判断②． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 是的直径， ， ， 又，则， ， 又因为， 所以是等边三角形， 则，即， 但根据题目现有条件不能推导出， 即不能推导出， 故②错误． 故选：B． 【点睛】综合考查了三角形的内角和定理、圆周角定理和等边三角形的判定和性质及等腰三角形的性质．熟练运用圆周角定理及其推论、四量关系：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等． 36．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆的直径，半径的中垂线交于点，连结，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，找中点F，连接和，则，结合等腰三角形的性质得，结合圆的内接四边形得，即可判断A正确；根据题意得，则可得，则，可判定B正确；由，得，则，可判断C正确；由得，利用三角形三边关系得，即可得，故D错误． 【详解】解：连接，找中点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 则，故A正确； ∵的中垂线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故B正确； ∵， ∴， 则，故C正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， 则，故D错误； 故选:D． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，涉及内接四边形、同弧所对圆周角相等、等边三角形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉圆的性质和等边三角形的性质． 37．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理和圆内接四边形的性质推出．由垂径定理推出，得到，由圆内接四边形的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，求出，得到，由三角形的外角性质推出． 【详解】解：∵直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 38．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是 ．（结果保留）地 城 考点08 扇形面积的综合应用 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是：将阴影部分的面积转化为扇形的面积． 连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、． ∵，是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质和旋转的性质，连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．知道求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 为等腰直角三角形，， ，，， 绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， 垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：，． 40．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）莱洛三角形广泛应用于建筑，工业，包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为5，分别以和为圆心，5为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 连接，，根据作图可得是等边三角形，得到，根据弧长公式求出，，进而即可解答． 【详解】解：连接，， 由作图可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴阴影部分的周长为． 故答案为： 41．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结．地 城 考点09 解答题 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，延长交于点E，得，由垂径定理得，故可得，由 的度数，的度数，可得结论． 【详解】证明：延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵的度数，的度数， ∴． 42．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是正三角形． (1)用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)扇形的面积为 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理和扇形的面积，熟练掌握线段垂直平分线的性质和扇形的面积公式是解题的关键． （1）作线段和的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，为半径画圆即可； （2）根据圆周角定理得到，再利用扇形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：作图如图所示，即为所求作的的外接圆． （2）解：， 扇形的面积为． 43．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)将绕点O旋转得到的，请作出，并写出点的坐标： (2)在（1）的条件下，求点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留） 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了作图—旋转变换，勾股定理，弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图，再写出坐标即可得解； （2）由勾股定理可得，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：即为所作，， ； （2）解：∵， ∴， ∴点C旋转到点所经过的路径长为． 44．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． (1)若，求的长； (2)若D为的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定． （1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解； （2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴； （2）证明：由旋转的性质得，， ∵D为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 45．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)连结，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可得结论； （2）连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆周角定理可得：，最后结合直角三角形性质，以及面积和求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， 中，，， ，， 图中阴影部分的面积， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键． 46．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是同弧所对的圆周角相等、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，连接， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得：负值舍去， ， ． 47．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了弦和弧的关系、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接，由圆的相关知识可得，再证明即可证明结论； （2）先根据角的比例以及（1）的结论可得为等腰直角三角形，再结合可得，最后结合即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， 以点为圆心，同样长度为半径画圆弧 ， 又， ． （2）解：，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． (1)当点E是的中点时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)求证：． 【答案】(1)的度数为； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）推出是线段的垂直平分线，得到，证明是等边三角形，据此即可求解； （2）设，，，设的半径为，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到则结论可得． 【详解】（1）解：连接，， ∵，点E是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴设，，，设的半径为， ∴， 在中，，即， 解得， 在中，， ∴； （3）证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图， ∵， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵为直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 49．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用以下素材解决问题． 探索货船通过拱桥的方案 素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式 素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分 问题解决 任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径． 任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：） 任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】任务1：；任务2：货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物；任务3：货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，勾股定理： 任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，先证明垂直平分，设圆O的半径为，则，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； 任务2：当恰好为圆O的弦时，由垂径定理得到，则，可得，则货船能通过圆形拱桥，进而得到，则，则货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物． 任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，设桥拱所在的抛物线解析式为，由勾股定理得，则，利用待定系数法求出桥拱所在的抛物线解析式为，在中，当时，，由于，则货船不能通过抛物线拱桥，根据，得到，则货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过． 【详解】解：任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴O、C、D三点共线， 设圆O的半径为，则， 由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴圆形桥拱的半径为 任务2：当恰好为圆O的弦时， ∵，， ∴（垂足为M）， ∴， ∴， ∴， ∴货船能通过圆形拱桥， ∵， ∴， ∴最多还能卸载19吨货物， ∴货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物． 任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系， 设桥拱所在的抛物线解析式为， 由勾股定理得， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴桥拱所在的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∵， ∴货船不能通过抛物线拱桥， ∵， ∴， ∴至少要增加20吨货物才能通过 ∴货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过． 50．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案； （2）①证明，得出，代入数据求出结果即可； ②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可． 【详解】（1）证明：是直径，， ， ． （2）解：①，， ∴， ， ， ． ②连接， 是直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，平分， ，， ， 四边形是圆的内接四边形， ，， 由（1）可知， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内角四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $