精品解析：浙江省诸暨中学暨阳分校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

诸暨中学暨阳分校十月月考试卷 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 若，则下列正确的是（ ） A B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A B. C. D. 5. 使“”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（ ） A. ∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1 B. ∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1 C. ∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1 D. ∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1 8. 设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分. 9. 已知为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值2 C. 有最小值2 D. 有最大值2 10. 已知命题是真命题，则下列说法正确的是（ ） A. 命题“”是假命题 B. 命题“”是假命题 C. “”是“命题为真命题”充分不必要条件 D. “”是“命题为真命题”的必要不充分条件 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转换为集合问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑. 结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是 C. 先递减后递增 D. 方程有且仅有一个解 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 集合的子集个数为__________个. 13. 已知一元二次不等式解集为，则________. 14. 函数满足：对任意的都有，且，若恒成立，则的最小值为___________. 四、简答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 设集合，，或. （1）当时，求； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 16. 某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元. （1）写出总造价与间的关系； （2）水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值. 17. 已知命题：“，使得”为真命题． （1）求实数m的取值的集合A； （2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 18. 函数 （1）时，求方程的解； （2）求在上的解集； （3）若时，①②同时成立，求的取值范围. ①恒成立； ②函数的值域为. 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） （2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 诸暨中学暨阳分校十月月考试卷 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意知：，对于D，集合的表示有误； 故选：B. 2. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以的定义域为. 故选：B 3. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式及其性质逐项判断即可. 【详解】对A，因为，所以，所以不等式两边同时除以得：，故A错误； 对B，由，若，则，故B错误； 对C，因为，所以不等式两边同时同时乘以得：，故C正确； 对D，因为，所以不等式两边同时乘以得：，故D错误. 故选：C. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答. 【详解】函数的定义域为，选项C，D不满足， 因，则函数在，上都单调递增，B不满足，则A满足. 故选：A 【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性. 5. 使“”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，根据不等式的解集以及必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】不等式可化为，解得， 根据题意成立，反之不成立， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 6. 已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 7. 命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（ ） A. ∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1 B. ∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1 C. ∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1 D ∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的、，然后把结论否定，即可确定答案 【详解】条件中的、，把结论否定 ∴“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1” 故选：D 【点睛】本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的、且否定原结论 8. 设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数在处取得最大值.根据已知即可列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为，所以，解得，所以. 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，在处取得最小值， 所以，在处取得最大值， 所以，函数在处取得最大值. 因为，所有点构成一个正方形区域， 所以，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分. 9. 已知为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值2 C. 有最小值2 D. 有最大值2 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式和重要不等式求和的最小值. 【详解】为正数，且， 则有，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值2，有最小值2. 故选：AC. 10. 已知命题是真命题，则下列说法正确的是（ ） A. 命题“”是假命题 B. 命题“”是假命题 C. “”是“命题为真命题”的充分不必要条件 D. “”是“命题为真命题”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】由命题的否定判断AB选项；分离变量法求出为真命题时的取值范围，再根据充分必要条件的概念判断CD. 【详解】不能否定，A选项错误； 命题是真命题，则是假命题，故B选项正确； ，则当时，， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以是命题是真命题的充要条件. 时有，时不一定有， “”是“命题为真命题”的充分不必要条件，C选项正确； 时不一定有，时一定有， “”是“命题为真命题”的必要不充分条件，D选项正确. 故选：BCD 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转换为集合问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑. 结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是 C. 先递减后递增 D 方程有且仅有一个解 【答案】AC 【解析】 【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项． 【详解】依题意，， 对于A，，则的图象是轴对称图形，A正确； 对于B，设，，，则，如图， 线段轴，当时，，即， 又，而不可能共线，即，因此，B错误； 对于C，设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则， ，则， 即，而在轴上点的右侧，， 因此，即 于是点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确； 对于D，，， 设，则的解是和，有一个解， 由，得，两边平方解得或， 因此有三个解，D错误． 故选：AC 【点睛】思路点睛：将题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，利用数形结合使得较为复杂的函数问题得到解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 集合的子集个数为__________个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据“集合中有个元素，子集个数为”可得结果. 【详解】∵集合中元素个数为2， ∴集合的子集个数为. 故答案为：4. 13. 已知一元二次不等式的解集为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解以及根与系数关系列方程组，由此求得的值. 【详解】由于一元二次不等式的解集为， 所以，解得. 故答案为： 14. 函数满足：对任意的都有，且，若恒成立，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转化为，利用函数的单调性得，分离参数，结合基本不等式求的最小值. 【详解】∵对任意的都有， ∴在上为增函数， 令，则在上为增函数. ∵， ∴， ∴不等式可转化为， ∴， ∴，即 令，则， ， ∵（当且仅当，即时取等号）， ∴， ∴， ∴，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查构造函数解决不等式问题，具体思路如下： 根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转化为，利用函数的单调性得，分离参数得，转化为，令，利用换元法结合基本不等式求的最小值. 四、简答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，，或. （1）当时，求； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）分析可知，结合题意可知集合中的唯一的整数为，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，， 又因为，则. 【小问2详解】 解：因，或， 因为只有一个整数，则，所以，解得， 由题意可知，且， 则集合中的唯一的整数为，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 16. 某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元. （1）写出总造价与间的关系； （2）水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值. 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出底面积与侧面积，再根据每平米造价即可表示出总造价. （2）利用基本不等式求其最小值即可. 【小问1详解】 根据题意可知， ，则， 又根据题意， 总造价 【小问2详解】 由（1） ， 当且仅当时，等号成立， 故水池的长和宽均为时，总造价最低，最低值为元. 17. 已知命题：“，使得”为真命题． （1）求实数m的取值的集合A； （2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可； （2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可. 【小问1详解】 命题“，使得”为真命题， 所以， 即， 解之得或， 所以实数m的取值的集合或；； 【小问2详解】 不等式的解集为， 因为是的必要不充分条件，所以， 则或， 所以或， 故实数a的取值范围为． 18. 函数 （1）时，求方程的解； （2）求在上的解集； （3）若时，①②同时成立，求的取值范围. ①恒成立； ②函数的值域为. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式来求得方程的解. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式在上的解集. （3）根据不等式恒成立以及函数的值域列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以或， 解得或 【小问2详解】 当时，， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时， ①， ，而， 当且仅当时等号成立，所以. ②函数的值域为， 当时，，，不符合. 当，二次函数的开口向下，不符合值域为， 当时，二次函数开口向上， 对称轴， 要使的值域为， 则需， 解得. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 分段函数的解法：对于小问1，通过分段讨论函数的解析式，分别求解各个区间上的方程的解． 分类讨论法：在小问2中，利用分类讨论的方法处理不等式在不同区间上的解集，确保所有情况均被覆盖． 二次函数值域分析：在小问3中，通过分析二次函数的对称轴和开口方向，确定函数的值域并结合不等式求解参数的取值范围． 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） （2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值. 【答案】（1）存在优美区间是，不存在优美区间； （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解； （2）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参数范围. 【小问1详解】 ，在上单调递增，由得或1， 函数的值域是，存在优美区间是， 是增函数，若存在优美区间，则， 而方程组无解，不合题意，所以不存在优美区间； 【小问2详解】 ，因为， 所以在和上都是增函数， 因此优美区间或， 因为函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. 所以，所以有两个同号的不等实根， ，， ，，或， ，同号，满足题意，又， ， 因为或，所以当，即时，． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键点在于根据函数的单调性得到，从而转化为有两个同号的不等实根，结合韦达定理，即可求出，结合二次函数即可求出最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$