专题4.6 圆中最值问题必考四大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）

专题4.6 圆中最值问题必考四大类型 【浙教版】 【类型1 经过定点的弦】 1 【类型2 定点定长型隐圆】 3 【类型3 遇90度圆周角构辅助圆】 5 【类型4 遇定弦定角构外接圆】 7 【类型1 经过定点的弦】 【问题提出】 M是半径为r的⊙O内一定点，OM=d（0<d<r），经过点M的弦EF=m，探究m的取值范围. 【模型建立】 （1）经过点M的直径AB是最长的弦； （2）过点M作弦CD⊥AB，则弦CD最短. 【结论】 2≤m≤2r. 【必刷题型】 1．（2024秋•邳州市校级月考）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，CD⊥AB垂足为D，点E是⊙O上动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝3，CD＝6，则DF的最大值为 　 　． 2．（2023秋•江阳区校级月考）如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD＝3，且弦CD在圆上滑动（CD的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作CP⊥AB于点P，若M是CD的中点，则PM的最大值是 　 　． 3．（2024秋•建邺区校级月考）如图，已知⊙O的半径是4，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为 　 ． 4．（2024秋•锡山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为 　 　． 5．（2023秋•游仙区期末）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 　 　． 6．（2023秋•安次区校级期中）已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5．M为CD的中点，点C从点A开始运动，到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB距离的最大值是 　 　，点M到AB距离的最小值是 　 　． 【类型2 定点定长型隐圆】 【模型总结】 条件：M是半径为r的⊙O上的一动点（OM=r定值），P是定点（OP=d定值），直线PO与⊙O交于，两点，. 结论：PM的最小值==，PM的最大值==. 【必刷题型】 1．（2024•岳阳县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为　 　． 2．（2024秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，则BC＝ 　 　；若以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则线段DF的最小值是 　　． 3．（2023•江阳区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为4，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ长度的最大值是 　 　． 4．（2024•乌鲁木齐二模）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 　 　． 5．（2024春•石景山区校级月考）如图，A，B为⊙O上两点，∠AOB＝90°，C为⊙O上一动点（不与A，B重合），D为AC的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为 　 　． 6．（2024•江安县校级模拟）点P在△PAB平面内一动点，∠APB＝90°，AB＝6，点M是PB上一点，且BM＝PA，连接AM，则AM的最小值为 　 　． 7．（2024•镇海区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 　 　． 【类型3 遇90度圆周角构辅助圆】 【模型总结】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)． 注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算． 应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。 【必刷题型】 1．（2024秋•兴化市月考）如图，∠MON＝45°，点A、B分别在OM、ON上，且AB＝6，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，连接OD，则OD的最大值是 　 　． 2．（2024秋•亭湖区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝　 　． 3．（2024•济宁二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝12，AD＝10，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　 ． 4．（2024秋•铜山区校级月考）如图，E是正方形ABCD的边BC上一动点（点E不与点B，C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于点F，垂足为P，连接PC，已知正方形ABCD的边长为4，则PC长的最小值为　 　． 5．（2024•黄山一模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D． （1）∠APB＝　 　； （2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 　 　． 6．（2024•榕城区校级三模）如图，P为矩形ABCD的边AB的延长线上的动点，AH⊥PC于H，点E在边AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，则线段EH的最大值为 　 　． 7．（2024•潢川县三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝12，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD内部找一点E，使得∠BEC＝∠BPC，则线段DE的最小值为 　 　． 【类型4 遇定弦定角构外接圆】 【模型总结】 固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分． 如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧（AB）上也有圆周角，需要根据题目灵活运用) 如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当°时，点C在优弧上运动；当°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当°时，点C在劣弧上运动． 【必刷题型】 1．（2023•武侯区校级三模）△ABC中，∠A＝45°，BC＝4，点D为AC上的一点，且AB＝2CD，则BD的最小值为 　 　． 2．（2023•惠城区一模）如图，四边形ABCD为矩形，E为平面内一点，且∠AED＝30°，连接BE，则BE的最大值是 　 　． 3．（2023秋•和平区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝2，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为 　 　． 4．（2023秋•汕尾期末）如图，在△ABC中，BC＝4，∠A＝45°，则△ABC面积的最大值为 　 　． 5．（2024•徐州二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠APC＝150°，则线段PB长度的最小值为 　 　． 6．（2024•子洲县校级模拟）如图，在平面内有四点A，B，C，D，其中AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，若∠BDC＝90°，则AD的最大值是 　 　． 7．（2024•东莞市三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，D为平面内一点，连接AD，CD，∠ADC＝30°，连接BD．则线段BD的最小值为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.6 圆中最值问题必考四大类型 【浙教版】 【类型1 经过定点的弦】 1 【类型2 定点定长型隐圆】 7 【类型3 遇90度圆周角构辅助圆】 16 【类型4 遇定弦定角构外接圆】 24 【类型1 经过定点的弦】 【问题提出】 M是半径为r的⊙O内一定点，OM=d（0<d<r），经过点M的弦EF=m，探究m的取值范围. 【模型建立】 （1）经过点M的直径AB是最长的弦； （2）过点M作弦CD⊥AB，则弦CD最短. 【结论】 2≤m≤2r. 【必刷题型】 1．（2024秋•邳州市校级月考）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，CD⊥AB垂足为D，点E是⊙O上动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝3，CD＝6，则DF的最大值为 　7.5　． 【分析】延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC，根据垂径定理得到CD＝DG，推出，得到当GE取最大值时，DF也取得最大值，然后在Rt△OCD中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC， ∵CD⊥AB，即CG⊥AB，且AB是⊙O的直径， ∴CD＝DG， ∵点F为CE的中点， ∴， ∴当GE取最大值时，DF也取得最大值， 设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣3， 在Rt△OCD中，OC2＝OD2+CD2， ∴r2＝（r﹣3）2+62， 解得：r＝7.5， ∴GE的最大值为15， ∴DF的最大值为7.5， 故答案为：7.5． 2．（2023秋•江阳区校级月考）如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD＝3，且弦CD在圆上滑动（CD的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作CP⊥AB于点P，若M是CD的中点，则PM的最大值是 　4　． 【分析】延长CP交圆于K，连接KD，由垂径定理推出PC＝PK，由三角形中位线定理推出PMKD，当KD最大时，PM最大，当KD是圆直径时，KD最大，于是得到PM的最大值是8＝4． 【解答】解：延长CP交圆于K，连接KD， ∵直径AB⊥CK， ∴PC＝PK， ∵M是CD中点， ∴PM是△CKD的中位线， ∴PMKD， ∴当KD最大时，PM最大，当KD是圆直径时，KD最大， ∵⊙O的直径AB＝8， ∴PM的最大值是8＝4． 故答案为：4． 3．（2024秋•建邺区校级月考）如图，已知⊙O的半径是4，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为 　4　． 【分析】过D作DE⊥AB交⊙O于点E，连接CE交AB于点P，连接OE，作OF⊥CE于点F，点D与E关于AB对称，此时PC+PD最小． 【解答】解：过D作DE⊥AB交⊙O于点E，连接CE交AB于点P，连接OE，作OF⊥CE于点F，此时PC+PD最小， ∴弧BD＝弧BE， ∴∠BOE＝∠BOD＝36°， ∵∠AOC＝96°， ∴∠BOC＝84°， ∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°， ∵OC＝OE＝4， ∴∠OCE＝∠OEC＝30°， ∵OF⊥CE， ∴CF＝EF，OF，CF， ∴CE＝2CF＝4， 即PC+PD最小值为4． 故答案为：4． 4．（2024秋•锡山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为 　5　． 【分析】作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，根据轴对称确定最短路线问题可得MN′与AB的交点即为PM+PN最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠MOB＝40°，然后求出∠BON＝20°，再根据对称性可得∠BON′＝∠BON＝20°，然后求出∠MON′＝60°，从而判断出△MON′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出MN″，即为PM+PN的最小值，从而求得△PMN周长的最小值． 【解答】解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′， 则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′， ∵∠MAB＝20°， ∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°， ∵N是弧MB的中点， ∴∠BON∠MOB40°＝20°， 由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°， ∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°， ∴△MON′是等边三角形， ∴MN′＝OM＝OBAB8＝4， ∴△PMN周长的最小值＝1+4＝5， 故答案为：5． 5．（2023秋•游仙区期末）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 　4　． 【分析】连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，根据圆周角定理得到∠EOF＝120°，再计算出EFOE，则OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到AD的长度最小值为AN的长，接着计算出AN＝8，从而得到OE的最小值为4，然后确定EF长度的最小值． 【解答】解：连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图， ∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°， 而OE＝OF，OM⊥EF， ∴∠OEM＝30°，EM＝FM， 在Rt△OEM中，OMOE， EMOE， ∴EF＝2EMOE， 当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小， 即AD的长最小， ∵AD的长度最小值为AN的长， 而ANAB＝8， ∴OE的最小值为4， ∴EF长度的最小值为4＝4． 故答案为：4． 6．（2023秋•安次区校级期中）已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5．M为CD的中点，点C从点A开始运动，到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB距离的最大值是 　　，点M到AB距离的最小值是 　　． 【分析】连接OC，OD，OM，过点M作MH⊥AB于点H，先证明△OCD是等边三角形，当OM⊥AB时，点M到AB的距离有最大值，即当点C与点A重合或点D与点B重合时，点M到AB距离有最小值．据此求解即可． 【解答】解：连接OC，OD，OM，过点M作MH⊥AB于点H， ∵ ∴OC＝OD＝CD， ∴△OCD是等边三角形， ∵点M是CD的中点， ∴OM⊥CD，∠C＝60°，∠COM＝30°， ∴， ∴， 当OM⊥AB时，点M到AB的距离有最大值，最大值为； 当点C与点A重合或点D与点B重合时，， ∴， 故答案为：；． 【类型2 定点定长型隐圆】 【模型总结】 条件：M是半径为r的⊙O上的一动点（OM=r定值），P是定点（OP=d定值），直线PO与⊙O交于，两点，. 结论：PM的最小值==，PM的最大值==. 【必刷题型】 1．（2024•岳阳县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为　　． 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD，即OM的最大值为； 故答案为． 2．（2024秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，则BC＝ 　5　；若以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则线段DF的最小值是 　　． 【分析】由等腰三角形的性质得，CD⊥AB，由勾股定理即可求得BC的长度；连接BE，CE，则，当BE最小时，DF最小，此时E点在线段BC上时，BE最小，从而DF最小，最后求得最小值即可． 【解答】解：∵AC＝BC，CD是△ABC的高， ∴，CD⊥AB， ∴； 如图，连接BE，CE， ∵点F是AE的中点，点D是AB中点， ∴DF是△AEB的中位线， ∴， ∴当E、C、B三点共线，且E点在线段BC上时，线段BE的长最小，线段DF的长取得最小值， 又因为BE＝BC﹣CE＝5﹣2＝3， 所以DF最小值为． 故答案为：5；． 3．（2023•江阳区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为4，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ长度的最大值是 　　． 【分析】连接OQ，作CH⊥AB于点H，首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于点H， ∵AQ＝QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO＝90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，， 连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大， ∵∠AOC＝120°， ∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝60°， 又∵CH⊥AB， ∴在Rt△OCH中，∠OCH＝90°﹣∠COB＝90°﹣60°＝30°， ∵OC＝4， ∴，， ∴KH＝KO+OH＝2+2＝4， ∴在Rt△CKH中，， ∴CQ的最大值为． 故答案为：． 4．（2024•乌鲁木齐二模）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 　4　． 【分析】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算． 【解答】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P， 过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ， ∵点B与点B′关于x轴对称， ∴PB+PN＝PB′+PN， 当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值． 在Rt△ABC中，AC5， 由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r， ∴S△AOC（3r+4r+5r）3×4， 解得r＝1， ∴ME＝MN＝1， ∴QB′＝4﹣1＝3，QM＝3+1＝4， ∴MB′＝5， ∴PB′+PN＝5﹣1＝4， 即PB+PN最小值为4， 故答案为：4． 5．（2024春•石景山区校级月考）如图，A，B为⊙O上两点，∠AOB＝90°，C为⊙O上一动点（不与A，B重合），D为AC的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为 　1　． 【分析】取OA的中点E，连接OC，BE，DE，得到EO＝EA，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，再求最值即可． 【解答】解：如图，取OA的中点E，连接OC，BE，DE，则， ∵D为线段AC的中点， ∴DE是△OAC的中位线， ∴． ∴EO＝EA＝DE，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点． ∴求线段BD长度的最大值即是求点B与⊙E上的点的最大距离． 如图2，当点D在线段BE的延长线上时，线段BD的长度取得最大值， ∵OB＝2，OE＝1，∠AOB＝90°， ∴． ∴线段BD长度的最大值为． 故答案为：． 6．（2024•江安县校级模拟）点P在△PAB平面内一动点，∠APB＝90°，AB＝6，点M是PB上一点，且BM＝PA，连接AM，则AM的最小值为 　　． 【分析】取AB中点C，连接PC，作BO⊥AB于B，且，连接OM，构造△APC≌△MBO（SAS），推出OM＝CA＝3，进而可得点M在以点O为圆心，3为半径的圆上，因此求AM的最小值转化为求点A到⊙O距离的最值，可知当点M，O，A共线时，AM取最小值． 【解答】解：∵点P在△PAB平面内一动点，∠APB＝90°，AB＝6， ∴点P在以AB为直径的圆上， 取AB中点C，连接PC，作BO⊥AB于B，且，连接OM， ∵∠APB＝90°，BO⊥AB， ∴∠APC+∠BPC＝90°，∠MBO+∠CBP＝90°， 又∵CP＝CB， ∴∠CBP＝∠BPC， ∴∠APC＝∠MBO， 在△APC和△MBO中， ， ∴△APC≌△MBO（SAS）， ∴OM＝CA＝3， ∴OM＝OB， ∴当点P在AB上方时，点M在以点O为圆心，3为半径的圆上， ∴当点M，O，A共线时，AM取最小值， ∵， ∴AM的最小值， 当点P在AB下方时，同理可得AM的最小值， 故答案为：． 7．（2024•镇海区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 　　． 【分析】连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F，构造正方形，计算圆的半径，然后作OE的中点M，连接MG，连接OH，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接AM与圆M的交点就是AG的最小值． 【解答】解：如图所示，连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F， ∵CE＝1，DE＝7，∴CD＝CE+DE＝1+7＝8， ∵OF⊥CD， ∴， ∴EF＝CF﹣CE＝4﹣1＝3， ∵AE＝DE，OA＝OD，OE＝OE， ∴△AOE≌△DOE（SSS）， ∴， ∵OK⊥AE，OF⊥CD， ∴OK＝OF， ∵∠AED＝90°， ∴四边形OKEF是正方形， ∴OK＝KE＝EF＝OF＝3， ∴，， 如图所示，作OE的中点M，连接MG，连接OH， ∵点M是OE的中点，G为HE中点， ∴， ∴点G在以点M为圆心，以 为半径的圆上运动， 连接AM交⊙M于点G’，过点M作MN⊥AE， ∴当点A，G，M三点共线时，即点G和点G'重合时，AG的值最小， ∵点M是OE的中点，， ∵MN⊥AE，∠NEM＝45°， ∴∠NME＝45°， ∴△NME是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴ACG的最小值为 ， 故答案为：． 【类型3 遇90度圆周角构辅助圆】 【模型总结】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)． 注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算． 应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。 【必刷题型】 1．（2024秋•兴化市月考）如图，∠MON＝45°，点A、B分别在OM、ON上，且AB＝6，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，连接OD，则OD的最大值是 　33　． 【分析】由∠MON＝45°，AB＝6可得点O在以AB为弦，所含圆周角为45°的优弧上运动，设优弧所在圆为⊙E．连接AE，BE，由圆周角定理得到∠AEB＝2∠AOB＝90°，从而在Rt△AEB中，求得 AE＝BE＝3．连接BD，根据正方形的性质可得∠ABD＝45°，BD＝6，又∠EAB＝∠ABE＝45°，得到∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝90°，连接DE，在Rt△BDE中，求得DE＝3，连接OE，OD，则根据OD≤OE+DE即可求解． 【解答】解：∵∠MON＝45°，AB＝6， ∴点O在以AB为弦，所含圆周角为45°的优弧上运动，设优弧所在圆为⊙E，如图所示， 连接AE，BE， ∴∠AEB＝2∠AOB＝2×45°＝90°， ∵AE2+BE2＝AB2＝36， ∴AE＝BE＝3， 连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝6，∠ABC＝∠C＝90°，∠ABD∠ABC＝45°， ∴BD6， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠ABE ∵∠ABE+∠EAB＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴∠EAB＝∠ABE＝45°， ∴∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝45°+45°＝90°， 连接DE， ∴DE3， 连接OE，OD， ∵OE＝AE＝3， ∴OD≤OE+DE＝33， 即OD的最大值为33． 故答案为：33． 2．（2024秋•亭湖区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝　　． 【分析】连接DC，由圆周角定理可得∠CDE＝90°，得到∠CDB＝90°，即可得动点D在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上运动，可知当A、D、O在一直线上时，AD的值最小，利用勾股定理求出AO即可求解． 【解答】解：连接DC， ∵∠CDE﹣∠CDB＝90°， ∵BC＝4， ∴动点D在以BC中点O为圆心，2为半径的圆上运动， ∵AD≥AO﹣OD， 当A、D、O在一直线上时，AD的值最小， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，OC＝2， 由股股定理可得： ， ∴， 最小值为， 故答案为：． 3．（2024•济宁二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝12，AD＝10，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　8　． 【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与⊙O的交点为点F′，证明∠AFD＝90°，可知点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到BO与⊙O的交点F′时，线段BF有最小值，据此求解即可． 【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，如图， 设BO与⊙O的交点为点F′， ∵∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠DAF+∠BAE＝90°， ∵∠ADF＝∠BAE， ∴∠DAF+∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝180°﹣（∠DAF+∠ADF）＝90°， ∴点F在以AD为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到BO与⊙O的交点F′时，线段BF有最小值， ∵AD＝10，AB＝12， ∴， ∴， ∴BF的最小值为BF′＝OB﹣OF′＝13﹣5＝8． 故答案为：8． 4．（2024秋•铜山区校级月考）如图，E是正方形ABCD的边BC上一动点（点E不与点B，C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于点F，垂足为P，连接PC，已知正方形ABCD的边长为4，则PC长的最小值为　　． 【分析】以AD为直径作⊙H，连接CH，交⊙H为点P，根据点圆最值的性质，则PC为最小距离，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵AF⊥DE， ∴∠APD＝90°， ∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上一段圆弧上， 如图，取AD中点H，连接CH，交⊙H为点P，则PC为所求， ∵正方形的边长为4， ∴DC＝4，DH＝2， ∴， ∵HP＝2， ∴． 故答案为：． 5．（2024•黄山一模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D． （1）∠APB＝　90°　； （2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 　　． 【分析】（1）由∠ABP+∠PBC＝90°得到∠BAP+∠ABP＝90°，即可得到∠APB＝90°； （2）首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可得到，即可得到S△BCPS△OBC． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°； 故答案为：90°； （2）设AB的中点为O，连接OP，则OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴， ∵S△OBCBC•OB4×3＝6， ∴S△BCPS△OBC6， 故答案为：． 6．（2024•榕城区校级三模）如图，P为矩形ABCD的边AB的延长线上的动点，AH⊥PC于H，点E在边AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，则线段EH的最大值为 　　． 【分析】连接AC，以AC为直径作△ABC的外接圆⊙O，当E，O，H三点共线时，EH取最大值，再过O作OF⊥AD于F，根据勾股定理求出OE，而，即可求出线段EH的最大值． 【解答】解：连接AC，以AC为直径作△ABC的外接圆⊙O， ∵AH⊥PC， ∴点H在⊙O上， 当E，O，H三点共线时，EH取最大值， 过O作OF⊥AD于F， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， ∵F为AD的中点， ∴， 在Rt△OEF中，，， ∴线段EH的最大值为． 故答案为：． 7．（2024•潢川县三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝12，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD内部找一点E，使得∠BEC＝∠BPC，则线段DE的最小值为 　5　． 【分析】以BP的中点O为圆心，OB为半径画圆，可得所画圆是Rt△BCP的外接圆，弦BC左侧圆弧上任意一点E与BC构成的∠BEC与∠BPC共弦，可得∠BEC＝∠BPC，连接OD与圆的交点即为DE的最短距离，作OH⊥DC于点H，可得OH是△PBC的中位线，根据勾股定理求出OP和OD的值，进而可得DE的最小值． 【解答】解：如图，以BP的中点O为圆心，OB为半径画圆， 在矩形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD＝12， ∵∠BCP＝90°， ∴所画圆是Rt△BCP的外接圆， 弦BC左侧圆弧上任意一点E与BC构成的∠BEC与∠BPC共弦， ∴∠BEC＝∠BPC， 连接OD与圆的交点即为DE的最短距离， 作OH⊥DC于点H， ∴H是PC的中点， ∴OH是△PBC的中位线， ∴OHBC＝4， ∵P为CD的中点， ∴CP＝DPCD＝6， ∴PHCP＝3， ∴DH＝DP+PH＝3+6＝9， ∴OP5， ∴OE＝OP＝5， ∵OD， ∴DE＝OD﹣OE5． 故答案为：5． 【类型4 遇定弦定角构外接圆】 【模型总结】 固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分． 如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧（AB）上也有圆周角，需要根据题目灵活运用) 如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当°时，点C在优弧上运动；当°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当°时，点C在劣弧上运动． 【必刷题型】 1．（2023•武侯区校级三模）△ABC中，∠A＝45°，BC＝4，点D为AC上的一点，且AB＝2CD，则BD的最小值为 　4　． 【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，进而求出△ABC的外接圆半径，再取AB的中点E，由AB＝2CD，可BE＝CD，再构造全等三角形进而得到FE＝BD，取OB的中点O1，当点F，点E，点O1在一条直线上时，EF最短，即BD最小，根据三角形内角和定理、圆周角定理以及全等三角形的性质得出△FBO1是直角三角形，由勾股定理求出FO1，进而求出EF即可． 【解答】解：如图，点O是△ABC的外接圆圆心，连接OA，OB，OC， 在△BOC中，∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，BC＝4， ∴OB＝OC＝OABC＝4， 取AB的中点E，则AE＝BEAB， ∵AB＝2CD， ∴CD＝BE， 作△BEF≌△CDB，则BF＝BC＝4，BD＝FE，∠BCD＝∠FBE， 取OB的中点O1，连接O1E，则O1E＝2， 当点A在⊙O上移动时，点E在以O1为圆心，半径为2的圆上， 当点F，点E，点O1在一条直线上时，EF最短，即BD最小， 在△AOB中，OA＝OB， ∴∠ABO1 ＝90°﹣∠BCD ＝90°﹣∠FBE， 即∠ABO1+∠FBE＝90°， ∴△FBO1是直角三角形， ∵BF＝BC＝4，BO1＝2， ∴FO16， ∴EF＝6﹣2＝4， 即BD的最小值是4． 故答案为：4． 2．（2023•惠城区一模）如图，四边形ABCD为矩形，E为平面内一点，且∠AED＝30°，连接BE，则BE的最大值是 　22　． 【分析】作△ADE的外接圆⊙O，作直线AO，交⊙O于点E1，作直线BO，交⊙O于点E2，连接DE1，此时∠AE1D＝∠AED＝30°，当E与E2重合时，BE最大，最大值为BE2的长，作OG⊥BC，交AD于H，则OH⊥AD，根据垂径定理得到BG＝AH，根据圆周角定理得出∠ADE1＝90°，即可对称AE1＝2AD＝4，则OE2＝OE1＝2，解直角三角形AOH求得OH＝3，即可得到OG＝3+2＝5，利用勾股定理求得OB，进一步求得BE2的长即可． 【解答】解：作△ADE的外接圆⊙O，作直线AO，交⊙O于点E1，作直线BO，交⊙O于点E2，连接DE1，此时∠AE1D＝∠AED＝30°，当E与E2重合时，BE最大，最大值为BE2的长， ∵AE1是直径， ∴∠ADE1＝90°， ∴AE1＝2AD＝4， ∴OE2＝OE1＝2， 作OG⊥BC，交AD于H，则OH⊥AD， ∴AH， ∵OA＝2， ∴OH＝3， ∴OG＝3+2＝5， ∵BG＝AH， ∴OB2， ∴BE2＝OB+OE2＝22， ∴BE的最大值是22． 故答案为：22． 3．（2023秋•和平区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝2，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为 　　． 【分析】在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．根据三角形的内心为三角形角平分线的交点，求得∠APB＝180°﹣45°＝135°，进而判断出点P的运动轨迹在以K为圆心，KA为半径的圆上运动，求出DK，PK，结合DP≥DK﹣PK，可得结论． 【解答】解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T． ∵点P是△ACB的内心，∠C＝90°， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣45°＝135°， ∴点P在以K为圆心，KA为半径的圆上运动， ∵AB＝2，AK＝BK，∠AKB＝90°， ∴，∠ABK＝45°， ∵∠ABT＝90°， ∴∠KBT＝45°， ∴KT＝BT＝1， ∵OA＝OB＝BD＝1， ∴DT＝2， ∴， ∴， ∴DP的最小值为． 故答案为：． 4．（2023秋•汕尾期末）如图，在△ABC中，BC＝4，∠A＝45°，则△ABC面积的最大值为 　44　． 【分析】作出△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠BOC＝90°，过点O作OD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出半径OB的长度，再根据三角形的面积公式，底边BC一定，边BC上的高越大则三角形的面积越大，所以，当BC边上的高过圆心O时，三角形的面积最大，进行求解即可． 【解答】解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°， 过点O作OD⊥BC，垂足为D， ∵OB＝OC， ∴BD＝CDBC＝2， ∵∠BOC＝90°，OD⊥BC， ∴ODBC＝2， ∴OB2， ∵BC＝4保持不变， ∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大， 此时BC边上的高为：22， ∴△ABC的最大面积是：4×（22）＝44． 故答案为：44． 5．（2024•徐州二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠APC＝150°，则线段PB长度的最小值为 　22　． 【分析】如图，作△APC的外接圆⊙O，根据圆周角定理可得∠COA＝60°，得△AOC是等边三角形，可知点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，根据勾股定理和线段的差可得结论． 【解答】解：如图，作△APC的外接圆⊙O， ∵∠APC＝150°， ∴∠COA＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA＝OC＝AC＝2， ∴点P的运动轨迹是， 当O、P、B共线时，PB长度最小， 设OB交AC于D， 此时PA＝PC，OB⊥AC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AD＝CDAC＝1，∠ABD∠ABC＝30°， ∴BD＝OD， ∵OP＝OC＝2， ∴PD＝2， ∴PB＝BD﹣PD（2）＝22． 故答案为：22． 6．（2024•子洲县校级模拟）如图，在平面内有四点A，B，C，D，其中AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，若∠BDC＝90°，则AD的最大值是 　3+3　． 【分析】先证△ABC是等边三角形，可得BC＝6，由∠BDC＝90°，可得点D在以BC为直径的圆上运动，则当点D'在线段AO的延长线上时，AD'有最大值，由等边三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，连接BC，取BC的中点O， ∵AB＝AC＝6，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝6， ∵∠BDC＝90°， ∴点D在以BC为直径的圆上运动， ∴当点D'在线段AO的延长线上时，AD'有最大值，OD'＝3， ∵△ABC是等边三角形，BO＝CO＝3， ∴AO⊥BC， ∴AO3， ∴AD的最大值＝AO+D'O＝3+3． 故答案为：3+3． 7．（2024•东莞市三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，D为平面内一点，连接AD，CD，∠ADC＝30°，连接BD．则线段BD的最小值为 　24　． 【分析】如图，作△ADC的外接圆⊙I，连接IQ，IC，ID，IB，过点I作IH⊥CB于点H．解直角三角形求出ID，IB，可得结论． 【解答】解：如图，作△ADC的外接圆⊙I，连接IQ，IC，ID，IB，过点I作IH⊥CB于点H． ∵∠AIC＝2∠ADC＝60°，IA＝IC， ∴△ACI是等边三角形， ∴IA＝IC＝ID＝4，∠ACI＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ICH＝30°， ∵IH⊥CB， ∴IHCI＝2，CHIH＝2， ∵CB＝6， ∴BH＝BC﹣CH＝4， ∴BI2， ∴BD≥IB﹣ID＝24， ∴BD的最小值为24， 故答案为：24． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$