北京市日坛中学教育集团2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

北京市日坛中学教育集团2024—2025学年度秋季学期 初中期中联考 九年级 数学科试题2024.10 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 4. 如图，将绕点顺时针旋转到，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标为( 　　　) A. B. C. D. 6. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 18 8 2 0 2 … 当时，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 有最大值为9 D. 当时，随的增大而增大 8. 如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，正例函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_________． 11. 若点，在抛物线上，则______．（填、、或） 12. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________． 13. 若抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则所得的抛物线的解析式是______． 14. 关于的方程无实数根，则二次函数的图象的顶点在第______ 象限． 15. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为___________． 16. 某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表． 小区 需送快递数量 需取快递数量 15 6 10 5 8 5 4 7 13 4 （1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）； （2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解下列方程：； 18. 解方程：． 19. 若是关于的一元二次方程的根，求的值． 20. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 21. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）向左平移3个单位得到的，则点，，的对应点，，的坐标分别为（ ， ），（ ， ），（ ， ）． （2）画出绕点顺时针旋转后得到的． （3）求三角形的面积． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 24. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0.0 1.0 2.0 3.0 4.8 … （米） 1.0 1.75 2.0 1.75 0 … 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点距离湖面的高度为______米，此时抛物线的解析式为______． （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的4人平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．求公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（备注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同） 25. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 26. 已知抛物线，若点，，在抛物线上． （1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）； （2）若当时，，则的值为______； （3）若对于时，都有，求的取值范围． 27. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图像上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 北京市日坛中学教育集团2024—2025学年度秋季学期 初中期中联考 九年级 数学科试题2024.10 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】二 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. A，B，C(答案不唯一) ②. A，B，E 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】, 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】（1），；； （2） 如图： ； （3） 【21题答案】 【答案】 （1）证明：令得：① △ 方程①有两个不等的实数根， 原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）m的值为-3或1. 【22题答案】 【答案】（1）2， （2） 如图，即为所求． （3）6 【23题答案】 【答案】（1） （2） 【24题答案】 【答案】（1） 如图 （2）2； （3）水枪高度调节到1.66米以上 【25题答案】 【答案】（1） （2）当时，小花园的面积最大，最大面积是 【26题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【27题答案】 【答案】（1） 补全的图形如图所示：     证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （2）， 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，     ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． 【28题答案】 【答案】（1） 如图 （2）或 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $