复习14 导数与零点问题讲义-2025届高三数学一轮复习（适用新高考）

复习14 导数与零点问题 【知识梳理】 一. 零点 1. 函数零点的定义: 方程 的解叫做函数 的零点. 2. 三个等价关系: 函数 有零点 方程 有解 图象与 轴有交点. 3. 零点问题主要有如下几类: （1）零点的个数问题 (2) 零点的范围问题 (3) 隐零点问题 4. “找点”问题 (常用的“取点”方法,来寻找合理有效的数与 ,使得 ) （1）直接赋值法 （当函数相对简单时,可以将区间端点或 等特殊数值代入尝试，计算判断正负） （2）局部为零法 （3）插值取点法 ( 4 ) 放缩取点法 ①对数放缩 由不等式 得 ,再对作简单的代换,可进一步将 放大或缩小: 放大: 由 可得 ,于是 ,作用: 将 放大, 可以根据需要选择合适的常数 (其中 , 如分别取 ,可得 . 缩小: 由 可得 于是 作用: 将 缩小, 可以根据需要选择合适的常数 ,如分别取 , 可得 . ②指数放缩 由熟知不等式 可得 ,进而有 . 当 时,有 , 分别取 ,可得 . 当 时,有 , 分别取 ,可得 . 二. 隐零点 1、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围. 2、含参函数的隐零点问题 已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关. 3、隐零点问题求解，三步曲 ①用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程， 并结合单调性得到零点的取值范围； ②以零点为分界点，说明的正负，进而得到的最值表达式； ③将零点方程适当变形，整体代入最值式子，进行化简证明. 隐零点问题解决问题的基本思路是：形式上虚设、运算上代换、数值上估算 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例精炼】 题型 1: 图像法 1. (2024·新高考 II) 设函数,当 时,曲线 与 恰有一个交点,则 A. -1 B. C. 1 D. 2 2. (2023·乙卷) 函数 存在 3 个零点,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 3. 已知函数 ,若 存在唯一的零点 ,且 ,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 已知 ,函数 . 若关于 的方程 恰有 2 个互异的实数解,则 的取值范围是___. 5. 已知函数 有零点,求 的取值范围？ 题型 2: 常数赋值 6. (2020•浙江) 已知 ,函数 ,其中 为自然对数的底数. (I) 证明: 函数 在 上有唯一零点; (II) 记 为函数 在 上的零点,证明: ( i ) ; (ii) . 7. (2021·甲卷) 设函数 ,其中 . （1）讨论 的单调性; （2）若 的图像与 轴没有公共点,求 的取值范围. 8. 已知函数 . (i) 当 为何值时, 轴为曲线 的切线; (ii) 用 表示 中的最小值,设函数 ,讨论 零点的个数. 9. 已知函数 . （1）讨论 的单调性,并证明 有且仅有两个零点; （2）设 是 的一个零点,证明曲线 在点 处的切线 也是曲线 的切线. 10. 已知函数 . 证明: （1） 存在唯一的极值点; （2） 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 11. 已知函数 ,曲线 在点 处的切线 与 轴交点的横坐标为 -2 . ( I ) 求 ; (II) 证明: 当 时,曲线 与直线 只有一个交点. 题型 3: 参数赋值 (找点) 12. (2020•新课标III) 已知函数 . （1）讨论 的单调性; （2）若 有三个零点,求 的取值范围. 13. 已知函数 . （1）若 ,求 的单调区间; （2）证明: 只有一个零点. 14. (2021*新高考 II) 已知函数 . ( I ) 讨论 的单调性; (II) 从下面两个条件中选一个,证明: 恰有一个零点. ① ; ② . 15. (2022•乙卷) 已知函数 . (1) 当 时,求 的最大值; (2) 若 恰有一个零点,求 的取值范围. 16. (2020•新课标 I ) 已知函数 . (1) 当 时,讨论 的单调性; (2)若 有两个零点,求 的取值范围. 17. 已知函数 . (1) 若 ,证明: 当 时, ; (2)若 在 只有一个零点,求 . 18. 设 ,函数 . （1）求 的单调区间; （2）证明 在 上仅有一个零点; （3）若曲线 在点 处的切线与 轴平行,且在点 处的切线与直线 平行, 是坐标原点),证明: . 19. 已知函数 . ( I ) 讨论 的单调性; (II) 若 有两个零点,求 的取值范围. 20. 设函数 . (I) 讨论 的导函数 零点的个数; (II) 证明: 当 时, . 复习14 导数与恒零点问题参考答案 【典例精炼】 题型 1: 图像法 1. (2024·新高考 II) 设函数,当 时,曲线 与 恰有一个交点,则 A. -1 B. C. 1 D. 2 答案：D. 解析：解法一: 令 ,即 , 可得 ,令 , 原题意等价于当 时,曲线 与 恰有一个交点, 注意到 均为偶函数,可知该交点只能在 轴上, 可得 ,即 ,解得 , 若 ,令 ,可得 因为 ,则 ,当且仅当 时,等号成立, 可得 ,当且仅当 时,等号成立, 则方程 有且仅有一个实根 0,即曲线 与 恰有一个交点, 所以 符合题意;综上所述: . 解法二: 令 , 原题意等价于 有且仅有一个零点, 因为 , 则 为偶函数,根据偶函数的对称性可知 的零点只能为 0, 即 ,解得 , 若 ,则 , 又因为 当且仅当 时,等号成立, 可得 ,当且仅当 时,等号成立, 即 有且仅有一个零点 0,所以 符合题意;故选: D. 2. (2023·乙卷) 函数 存在 3 个零点,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案：B . 解析： ,若函数 存在 3 个零点, 则 ,有两个不同的根,且极大值大于 0 极小值小于 0, 即判别式 ,得 , 由 得 或 ,此时 单调递增, 由 得 ,此时 单调递减, 即当 时,函数 取得极大值,当 时, 取得极小值, 则 , 即 ,且 , 即 ,①,且 ,②, 则①恒成立, 由 ,平方得 ,即 , 则 ,综上 ,即实数 的取值范围是 .故选: . 3. 已知函数 ,若 存在唯一的零点 ,且 ,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 答案：A 解析： , ; ① 当 时, 有两个零点,不成立; ②当 时, 在 上有零点,故不成立; ③ 当 时, 在 上有且只有一个零点; 故 在 上没有零点; 而当 时, 在 上取得最小值; 故 ;故 ; 综上所述,实数 的取值范围是 ; 另解: 将方程 , 变形为 ,可令 ,则 , 此问题即 的图象与直线 有且只有一个交点, 则交点的横坐标大于 0 ,如图作出 的图象, 由图象可得 的范围是 .故选: A . 4. 已知 ,函数 . 若关于 的方程 恰有 2 个互异的实数解,则 的取值范围是___. 解析：当 时,由 得 ,得 , 得 ,得 ,设 , 则 , 由 得 或 ,此时递增, 由 得 ,此时递减, 即当 时, 取得极小值为 , 当 时,由 得 ,得 , 得 ,当 时,方程不成立,当 时, 设 ,则 ,由 得 ,此时递增, 由 得 或 ,此时递减, 即当 时, 取得极小值为 , 要使 恰有 2 个互异的实数解,则由图象知 ,故答案为: 5. 已知函数 有零点,求 的取值范围？ 解析： ,可得 的根为 当 时, ,可得函数在区间 上为减函数; 当 时, ,可得函数在区间 上为增函数, 函数 在 处取得极小值 , 并且这个极小值也是函数的最小值,由题设知函数 的最小值要小于或等于零, 即 ,可得 ,故答案为: . 题型 2: 常数赋值 6. (2020•浙江) 已知 ,函数 ,其中 为自然对数的底数. (I) 证明: 函数 在 上有唯一零点; (II) 记 为函数 在 上的零点,证明: ( i ) ; (ii) . 证明: (I) 恒成立, 在 上单调递增, ,又 , 函数 在 上有唯一零点. ( II ) , , 令 , 一方面, , 在 单调递增, , 另一方面, , 当 时, 成立, 只需证明当 时, , , 当 时, ,当 时, , , 在 单调递减, , 综上, , . (ii) 要证明 ,只需证 , 由 得只需证 , , 只需证 , 只需证 ,即证 , , . 7. (2021·甲卷) 设函数 ,其中 . （1）讨论 的单调性; （2）若 的图像与 轴没有公共点,求 的取值范围. 解析：(1) , 因为 ,所以 ,所以在 上, 单调递减, 在 上, 单调递增. 综上所述, 在 上单调递减,在 上 单调递增. （2）由（1）可知, , 因为 的图像与 轴没有公共点,所以 ,所以 , 所以 的取值范围为 . 8. 已知函数 . (i) 当 为何值时, 轴为曲线 的切线; (ii) 用 表示 中的最小值,设函数 ,讨论 零点的个数. 解析: .设曲线 与 轴相切于点 , 则 , 因此当 时, 轴为曲线 的切线; (ii) 当 时, , 函数 , 故 在 时无零点. 当 时,若 ,则 , ,故 是函数 的一个零点; 若 ,则 , 故 不是函数 的零点; 当 时, ,因此只考虑 在 内的零点个数即可. 1 当 或 时, 在 内无零点, 因此 在区间 内单调, 而 当 时,函数 在区间 内有一个零点, 当 时,函数 在区间 内没有零点. ② 当 时,函数 在 内单调递减,在 内单调递增,故当 时, 取得最小值 . 若 ,即 ,则 在 内无零点. 若 ,即 ,则 在 内有唯一零点. 若 ,即 ,由 , 当 时, 在 内有两个零点. 当 时, 在 内有一个零点. 综上可得: 时,函数 有一个零点. 当 时, 有一个零点; 当 或 时, 有两个零点; 当 时,函数 有三个零点. 9. 已知函数 . （1）讨论 的单调性,并证明 有且仅有两个零点; （2）设 是 的一个零点,证明曲线 在点 处的切线 也是曲线 的切线. 解析: (1) 法一: 函数 . 定义域为: ; 在 和 上单调递增, ① 在 区间取值有 代入函数,由函数零点的定义得, 在 有且仅有一个零点, ② 在 区间,区间取值有 代入函数,由函数零点的定义得, 又 , 在 上有且仅有一个零点, 故 在定义域内有且仅有两个零点; 法二: 的零点的个数,即为函数 与 的交点个数, 作出两函数的图象如图所示. 由两函数图象知有一交点在 ,有一交点在 , 故 在定义域内有且仅有两个零点; （2） 是 的一个零点,则有 ,曲线 ,则有 ; 由直线的点斜式可得曲线的切线方程, 曲线 在点 处的切线方程为: , 即: ,将 代入,即有: , 而曲线 的切线中,在点 处的切线方程为: ,将 代入化简, 即: , 故曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.故得证. 10. 已知函数 . 证明: （1） 存在唯一的极值点; （2） 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 证明: (1) 函数 . 的定义域为 , 单调递增, 单调递减, 单调递增, 又 , 存在唯一的 ,使得 . 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, 存在唯一的极值点. （2）由（1）知 ,又 , 在 内存在唯一的根 ,由 ,得 , , 是 在 的唯一根, 综上, 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 11. 已知函数 ,曲线 在点 处的切线 与 轴交点的横坐标为 -2 . ( I ) 求 ; (II) 证明: 当 时,曲线 与直线 只有一个交点. 解析: (I) 函数的导数 ; 则 在点 处的切线方程为 , 切线与 轴交点的横坐标为 -2, ,解得 . (II) 方法一: 当 时, , 设 , 由题设知 , 当 时, 单调递增, , 当 时,令 ,则 . 则 在 上单调递减,在 单调递增, 在 时, 取得极小值 , 则 在 有唯一实根. , 在 上没有实根. 综上当 时,曲线 与直线 只有一个交点. 方法二: 证明: 当 时, , 则由 ,可得 , 令 ,则 , 令 ,则 ,又 , 所以当 或 时, ; 当 时, , 所以 在 和 上单调递减; 在 上单调递增, 所以 (2) ,又当 时, 的图象如下图所示: 由图象可知,当 时,曲线 与直线 有且仅有 一个交点,即当 时,曲线 与直线 只有一个交点. 题型 3: 参数赋值 (找点) 12. (2020•新课标III) 已知函数 . （1）讨论 的单调性; （2）若 有三个零点,求 的取值范围. 解析： (1) , 时, 在 递增, 时,令 ,解得: 或 , 令 ,解得: , 在 递增,在 递减,在 递增, 综上, 时, 在 递增, 时, 在 递增,在 递减,在 递增; （2）由（1）得: , 若 有三个零点,只需 ,解得: ,故 . 13. 已知函数 . （1）若 ,求 的单调区间; （2）证明: 只有一个零点. 解析：(1) 当 时, , 所以 时,令 解得 , 当 时, ,函数是增函数, 当 时, ,函数是单调递减, 综上, 增区间 ,减区间 . （2）证明: 因为 , 所以 等价于 ,令 , 则 ,仅当 时, ,所以 在 上是增函数; 至多有一个零点,从而 至多有一个零点. 又因为 , 故 有一个零点, 综上, 只有一个零点. 14. (2021*新高考 II) 已知函数 . ( I ) 讨论 的单调性; (II) 从下面两个条件中选一个,证明: 恰有一个零点. ① ; ② . 解析: ( I ) , ① 当 时,当 时, ,当 时, , 在 上单调递减,在 上单调递增, ② 当 时,令 ,可得 或 , (i) 当 时, 当 或 时, ,当 时, , 在 上单调递增,在 上单调递减, (ii) 时, 且等号不恒成立, 在 上单调递增, (iii) 当 时, 当 或 时, ,当 时, , 在 上单调递增,在 上单调递减. 综上所述: 当 时, 在 上单调递减; 在 上 单调递增; 当 时, 在 和 上单调递增; 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 和上单调递增; 在上单调递减. (II) 证明: 若选①,由 (I) 知, 在 上单调递增, 单调递减, 上 单调递增. 注意到 . 在 上有一个零点; 由 得 , ,当 时, ,此时 无零点. 综上: 在 上仅有一个零点. 另解: 当 时,有 , 而 ,于是 所以 在 没有零点,当 时, , 于是 ,所以 在 上存在一个零点,命题得证. 若选②,则由 (I) 知: 在 上单调递增, 在 上单调递减,在 上单调递增. , 当 时, ,此时 无零点. 当 时, 单调递增,注意到 , 取 ,又易证 , , 在 上有唯一零点,即 在 上有唯一零点. 综上: 在 上有唯一零点. 15. (2022•乙卷) 已知函数 . (3) 当 时,求 的最大值; (4) 若 恰有一个零点,求 的取值范围. 解析: (1) 当 时, ,则 , 易知函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 在 处取得极大值,同时也是最大值, 函数 的最大值为 ; （2） , ① 当 时,由 (1) 可知,函数 无零点; ② 当 时,易知函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 又 ,故此时函数 无零点; ③ 当 时,易知函数在 上单调递增,在 单调递减, 且 , 又由 (1) 可得, , 即 ,则 ,则 , 当 时, , 故存在 ,使得 , 此时 在 上存在唯一零点; ④ 当 时, ,函数 在 上单调递增, 又 ,故此时函数 有唯一零点; ⑤ 当 时,易知函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 且 , 又由 (1) 可得,当 时, ,则 ,则 , 此时 , 故存在 ,使得 , 故函数 在 上存在唯一零点; 综上,实数 的取值范围为 . 16. (2020•新课标 I ) 已知函数 . (1) 当 时,讨论 的单调性; (2)若 有两个零点,求 的取值范围. 解析: 由题意, 的定义域为 ,且 . (1) 当 时, ,令 ,解得 . 当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增. 在 上单调递减,在 上单调递增; （2） 当 时, 恒成立, 在 上单调递增,不合题意; 当 时,令 ,解得 , 当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增. 的极小值也是最小值为 . 又当 时, ,当 时, . 要使 有两个零点,只要 即可, 则 ,可得 . 综上,若 有两个零点,则 的取值范围是 . 17. 已知函数 . (1) 若 ,证明: 当 时, ; (2)若 在 只有一个零点,求 . 解析：(1) 证明: 当 时,函数 . 则 , 令 ,则 , 令 ,得 . 当 时, ,当 时, , , 在 单调递增, . （3） 方法一: 在 只有一个零点 方程 在 只有一个根, 在 只有一个根, 即函数 与 的图象在 只有一个交点. 当 时, ,当 时, , 在 递减,在 递增, 当 时, ,当 时, , 在 只有一个零点时, (2) . 方法二: ① 当 时, 在 没有零点. ② 当 时,设函数 在 只有一个零点 在 只有一个零点. ,当 时, ,当 时, , 在 递减,在 递增, . 当 时,即 , (i) 由于 ,当 时, , 可得 . 在 有 2 个零点 (ii) 当 时,即 在 没有零点, (iii) 当 时,即 在 只有一个零点, 综上, 在 只有一个零点时, . 18. 设 ,函数 . （1）求 的单调区间; （2）证明 在 上仅有一个零点; （3）若曲线 在点 处的切线与 轴平行,且在点 处的切线与直线 平行, 是坐标原点),证明: . 解析: (1) , , 在 上为增函数. （2）证明: , ,即 , ,即 ,且由 (1) 问知函数在 上为增函数, 在 上有且只有一个零点. （3）证明: , 设点 则 , 在点 处的切线与 轴平行, ,即: , , 将 代入 得 . , , 要证 ,即证 , 需要证 ,即证 , 因此构造函数 , 则 ,由 得 . 当 时, , 当 时, , 的最小值为 , , , , 即: , . 19. 已知函数 . ( I ) 讨论 的单调性; (II) 若 有两个零点,求 的取值范围. 解析： (I) 由 , 可得 , ①当 时,由 ,可得 ; 由 ,可得 , 即有 在 递减; 在 递增 (如图左); ② 当 时,(如图右), 由 ,可得 , 由 ,解得 , 若 ,则 恒成立,即有 在 上递增; 若 时,由 ,可得 或 ; 由 ,可得 . 即有 在 递增; 在 递减; 若 ,由 ,可得 或 ; 由 ,可得 . 即有 在 递增; 在 递减; (II) ①由 (I) 可得当 时, 在 递减; 在 递增, 且 ; 当 时 或找到一个 使得 对于 恒成立, 有两个零点; ② 当 时, ,所以 只有一个零点 ; ③ 当 时, 若 时, 在 递减, 在 递增, 又当 时, ,所以 不存在两个零点; 当 时,在 单调增,在 单调增, 在 单调减, 只有 等于 0 才有两个零点, 而当 时, ,所以只有一个零点不符题意. 综上可得, 有两个零点时, 的取值范围为 . 20. 设函数 . (I) 讨论 的导函数 零点的个数; (II) 证明: 当 时, . 解析: (I) 方法一: 的定义域为 , . 当 时, 恒成立,故 没有零点, 当 时, 为单调递增, 单调递增, 在 单调递增, 又 , 假设存在 满足 时,且 , 故当 时,导函数 存在唯一的零点, 方法二: ,讨论 的零点个数, 即讨论 与直线 在 的交点个数, , , 单调递增, ,且 不能取到, 时, 与 无交点; 时, 与 有一个交点, 时, 无零点; 时, 有一个零点 (II) 由 (I) 知,可设导函数 在 上的唯一零点为 , 当 时, , 当 时, , 故 在 单调递减,在 单调递增, 所以当 时, 取得最小值,最小值为 , 由于 , 所以 ,当且仅当 , 即 时取等号. 故当 时, . $$