假期作业(5)抛物线-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

第一部分快乐假期轻松学 假期作业（五） 抛物线 摘要 3.(多选)已知抛物线C:y=2p.x(p>0)的 焦点F到准线的距离为2，过点F的直 1抛物线及其标准方程. 线与抛物线交于P,Q两点，M为线段 2抛物线的简单几何性质. PQ的中点，O为坐标原点，则() 简向速答杭遗忘 A.C的准线方程为y=1 问题1：平面内与一个定点F和一条定直 B.线段PQ长度的最小值为4 线！距离相等的动点的轨迹一定是抛物 C.M的坐标可能为(3,2) 线吗？ D.0P.0Q=-3 二、填空题 4.抛物线y=2px(p>0)上有一点M,它 问题2：抛物线的离心率能否变化？对抛 的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则此 物线的形状有影响吗？ 抛物线的方程为 5.斜率为1，且过抛物线y= 的焦点的 直线被抛物线截得的弦长为 问题3：如何判断抛物线的焦点在哪个坐 三、解答题 标轴上，以及开口方向？ 6.已知抛物线y=一x与直线y=k(x+1) 相交于A,B两点，O是坐标原点. (1)求证：OA⊥OB: 综合训练捉考能 一、选择题 1.过抛物线y=4x的焦点F作直线，交抛 物线交于A(x1,y)、B(x2,y2)两点，若 x1+x2=6,则|AB的值为 A.10 B.8 C.6 D.4 (2)△OAB的面积等于√10时，求k的值， 2.抛物线y=2p.x(p>0)的焦点为F,其准 线与双曲线号-号-1的渐近线相交A、 B两点，若△ABF的周长为4√2，则p A.2 B.2√2 C.8 D.4 。9 玩转假期·高二数学 启主探究培素养 ∠AQB?若存在，求出直线l的方程；若 与抛物线有关的新定义问题 不存在，请说明理由。 如图，由抛物线y2=m.x+1(m>0)的一 部分和圆x2十y=2的一半所组成的曲 线称为“黄金抛物线C”,若“黄金抛物线 C”经过点(3,2)和 13 2·2 词读实践裙视野列 (1)求“黄金抛物线C”的方程. 植物的数学奇趣（一） 人类很早就从植物中看到了数学特 征：花瓣对称排列在花托边缘，整个花朵几 乎完美无缺地呈现辐射对称形状，叶子沿 着植物茎秆相互叠起；有些植物的种子是 圆的，有些是刺状，有些则是轻巧的伞 状…所有这一切向我们展示了许多美丽 的数学模式，著名数学家笛卡尔，根据他所 研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了 (2)设P,Q分别为“黄金抛物线C”与y x3十y3一3a.xy=0的方程式，这就是现代数 轴的正、负半轴的交点，过点P作直线( 学中有名的“笛卡尔叶线”（或者叫“叶形 与“黄金抛物线C”相交于A,P,B三点， 线”)，数学家还为它取了一个诗意的名字 问是否存在这样的直线，使得QP平分 茉莉花瓣曲线。 假期作业（六） 直线与圆锥曲线的位置关系 摘 要 问题2：弦长公式？ 1直线与圆锥曲线的交点 2直线与國锥曲线的综合问题. 简问速答抗遗忘 问题1：如何判断直线与圆锥曲线的位置 问题3：抛物线的焦点弦计算公式？ 关系？。 参考答案 自主探索·培素养 又：△ABF的周长为4√2， 解：1)由整理得-2+2kx十2=0 六FA+PB+AB=3y2+3y 9+号=4. 依题意，直线！与双曲线C的右支交于不同的两点， p=2.故选A. k2-2≠0. 3.BCD由抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F到准线的 4=(2k)2-8(k-2)>0, 距离为2，得p=2,则y=4虹， 所以 2k70 k-2 解得-2<k<一√2， C的准线方程为x=一1，故A错误： 要使线段PQ的长度最小，则直线方程为x=1,此时线 2>0 段PQ的长度最小，为4，故B正确： 所以实数k的取值范围为（一2，一√②）. 若M3,2,则由两点式可得直线方程为8-号，即 (2)设A,B两点的坐标分别为（工1y),(x:y2) y=x-1. 2k 2 则x1十x21-2 由/=-1 y2=4x, 可得交点坐标为(3十2√2,2+22)，(3- 假设存在实数k,使得以线段AB为直径的回经过双曲 2√2,2-2√)，中点坐标正好是(3,2)，故C正确： 我C的右焦点F(,0),则FA1FB, 当直线PQ斛率存在时，设直线PQ的方程为y=k(x 1)(k≠0)，代入y2=4r,可得kx2-(22+4)x+k=0, 所以Fi.F成=0即(4，-号)(，-）+=0， 设P().Q)则1=1，+=2+4 所以（西9）(-)+(+1D:+I)=0, 所以OP,OQ=1x1十yy 中1++(k-）++号=0， =x1x2+k(x1-1)k(x-1)=x1x2+k[.x1x2-(x1+ 1+22+(-9）·22+-0 +=1+(-)=1+.24 一3，当直线PQ斜率不存在时，直线PQ方程为x=1,易 化简得5k+2√6k-6=0, 知直线PQ与抛物线的两交点坐标为(1,2)和(1，一2)此 解得6=一6+5或k-6-5(合去)， 时OP.OQ=一3，所以D正确. 5 故选BCD. 故存在k= 6十⑤，使得以线段AB为直径的圆经过双 5 4.解析：过点M作准线1：江=一号的垂线，垂足为卫.设抛 曲线C的右焦点F, 假期作业（五）抛物线 新战的袋点为F,依题意得，MP=MF,即3十专= 简问速答·抗遗忘 5,解得p=4, 1,提示：不一定，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定 抛物线的方程为y=8x 点且与定直线垂直的直线 答案：y2=8x 2.提示：抛物线的离心率是固定不变的，抛物线的离心率 e一1.抛物线的离心率对抛物线的形状无影响如抛物线 5,解析：由抛物线y=得=4“p=2,焦点坐标 y2=x与y2=2x形状不同，离心率为1. 为(0,1)，.斜率为1，且过焦点的直线方程为y=x十1， 3.提示：焦点所在轴与一次项变量一致，开口方向与一次 项系数的正负有关，如t2=2py(p>0),一次项为2py, 中1·消去，得-6+1=0，授孩直线与抛浙 由 x2=4y, 一次项系数为正，故可知抛物线的焦点在y轴上，开口 线交点A,B的坐标分别为（工y1),(cy)则y1十y= 向上 综合训练·提考能 6直线被抛物线藏得的弦长为十号十十号=y 1.B依题意得，AB1=AF1+BF=十号十十 十y十p=6+2=8. 答案：8 台AB到=十十p,又2p=4∴p=2.周北.AB 6.解析：(1)证明：当=0时，直线与抛物线仅有一个交点， 不合题意，.k≠0 =6十2=8，故选B 2.A双询线号一苦-1的渐运钱方程为y士号 由y=(x+D,得x=名-1，代入y=一整理y+ r,抛物 1 线=2p(p>0)的准线方程为r=一台，不坊设A在 Fy-1=0. 设A(x1,),B(x2y) 剩%十%=一名=-1 AB=号.FA=FB√+-3 ”点A,B在抛物线y2=一x上， 4 A(-y,y).B(-y2). ·33· 玩转假期·高二数学 y ②|AB|=x1十x2十p: -yi-y:yiya 1=-1.0A⊥0B. 1 12 (2)设直线AB与x轴交于点E, ③AF+BF-p 则E(-1.0)..OE引=1， 综合训练·提考能 1.C 号+号-是<1.P1在箱国内斯 12 Saw=20E(1+)=号-：- 品√层+4=而，解得=士行 易得直线1的斜率存在，设A(x1y1),B(xy),l的 料率为k, 自主探究·培素养 解：0黄金排扬线C过点3,2)（←号号》 由题意得 +兽. ,两式相减得+二垃 5 2=(-号）广+(）=14=3m+1m=1, )+)+”》》=0,别号+ 3 ∴“黄盒抢物线C”的方程为y=x十1(x≥0)和x十y =1(x0). 2器-号+号-保-号 (2)显然P(0,1),Q(0,-1). 假设存在这样的直线I,使得QP平分∠AQB,显然直线 故1的方程为y-1=-号(g-D,即3x十5y-8=0, 1的斜率存在且大于0， 故速：C 设直线l:y=kx+1,A(xAya),B(xny#). 由/y=r+1, 2.C由离心率为受√+（合），有台= y2=x+1, 去y,得2十(2k-1).x=0, 1 n=1-2k 2-1片中B22. 由y=2, A的丝标为（一品。） x-y十1=0 .ko=1-2k1 由一宁”得：B的金恭为（一异n)》 由/yr+1, x-ny十1=0 lx2+y2=1 消去y,得(k+1).x2+2kx=0, 设线段AB中点为P,则MP⊥AB,且P的坐标 中A(华)： 2k 1一k QP平分∠AQB,∴ka十km=0, k 1 六仁2以本=0，解得=-1土② 又>0，∴.k=√2-1， ∴存在直线l:y=(W2-1)x十1，使得QP平分∠AQB. 假期作业（六）直线与圆锥曲线的位置关系 当n≠0时，kM·k 简问速答·抗遗忘 1,提示：直线y=kx十m与圆维曲线的位置关系的判断方 1+2+i2-n 法：联立直线方程与圆锥曲线方程， 8×=-1，解出=士3， 消去y得到一个关于x的一元二次方程。直线与园雏曲 当n=0时，符合条件. 线的位置关系、对应一元二次方程解的个数及△的取值 综上所述，n=士3或n=0. 的关系如表所示， 故选：C 直线与圆维曲线 解的个数 △的取值 3.ABD对A,设M(x1y1),N(x2y),(x1x>0), 因为这些MN倾斜角不为0， 两个不同的公共点 两解 4>0 一个公共点 一解 则授直线MN的方程为x=y十号，联立耥物线得了 △=0 6ky-9=0, 没有公共点 无解 40 则y1十=6k,y·y=-9, 2.提示：若斜率为(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x, 西十=（十）十3=6k+3=为十警 为)，B()两点， 则|AB1=√(1十k)[(x1十x2)-4x12] +)+是-是 3.提示：过抛物线y=2x(p>0)的焦点F的一条直线与 则MN1=m1十x2十3=6k+6>≥6（当且仅当k=0时等 它交于两点A(x1y),B(x2,y2),则 号成立)，A正确： ①=-4=g 对B,如图MA⊥抛物线准线，|MF|+|MP= |MA|+|MP|要使其最小， ·34·