3.1.3 圆柱的体积（10大题型提分练）数学人教版五四制2024六年级上册

3.1.3 圆柱的体积 题型一 圆柱体积运算 1．求出下面图形的体积。（单位：cm） 2．计算下列圆柱的体积。      3．计算下面圆柱的体积。 （1）   （2）   （3） 题型二 组合体体积 1．从一个长方体上、下面上挖通一个圆柱形孔后得到下面几何体，求这个几何体的体积（单位：cm）。（取3.14） 2．求图中几何体的体积。 3．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 4．求下面图形的体积。（单位：厘米） 5．计算下面图形的体积。 题型三 长方形旋转求体积 1．将一张长6cm、宽4cm的长方形纸以一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的体积是( )cm3或( )cm3。 2．如图，长方形的长是3dm，宽2dm，图中的虚线是长方形的宽的中点连线，以虚线为轴旋转一周，所形成的立体图形的表面积是 dm2，体积是 dm3。 题型四 长方形卷圆柱求体积 1．奇思用一张长方形纸片（如图）沿两边围成不同的圆柱形纸筒，并给这两个纸筒都配上两个底面，下面说法正确的是（    ） A．甲、乙圆柱的体积相等 B．甲、乙圆柱的表面积相等 C．甲圆柱体积大于乙圆柱体积 D．乙圆柱表面积大于甲圆柱表面积 2．将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片加工成一个圆桶，另加一个底，则这个圆桶的最大容积是（    ）立方分米。（接头处忽略不计，π取3） A．324 B．216 C．1296 D．864 题型五 圆柱的拼切 1．一个圆柱，如果把它的高截短5cm，表面积就减少125.6cm2，体积减少了（    ）cm3。 A．25.12 B．62.8 C．251.2 2．李师傅把一根长1.2m的圆柱形钢材截成三段后，表面积比原来增加了，这根圆柱形钢材原来的体积是（    ）。 A．1.44 B．7.2 C．10.8 D．14.4 3．将一个圆柱高5厘米，沿底面半径切成两个半圆柱，表面积增加了40平方厘米，这个圆柱的体积为( )立方厘米。 4．有一个高为10cm的圆柱，将高截去4cm后，圆柱的表面积减少了25.12。剩下圆柱的体积是( )。 题型六 长方体削最大圆柱 1．把一个棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）立方分米。 A．12.56 B．50.24 C．64 D．200.96 2．把一个棱长是12.56米的正方体，削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？ 3．星星小学美术组把一个长4分米，宽4分米，高6分米的长方体石膏，削成一个最大的圆柱模型，这个圆柱模型的体积是多少立方分米？ 题型七 排水法求几何体体积 1．小丁为了测量一个鸡蛋的体积，按以下步骤进行实验： 步骤一：拿一个圆柱形状的玻璃杯，从里面量得底面直径是长8厘米，高15厘米； 步骤二：把鸡蛋放入玻璃杯，然后倒入一定量的水后，使鸡蛋完全浸入水中，这时水面高8厘米； 步骤三：将这个鸡蛋取出，量得水面的高度是7厘米。 根据以上信息，请你计算这个鸡蛋的体积。 2．一个底面半径是5厘米，高是10厘米的圆柱形容器中装满了水，将一个高是20厘米的长方体铁块垂直插入到容器底部，当把长方体铁块取出后，容器内水面高度为8厘米。 （1）这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是多少平方厘米？ （2）这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？（π＝3.14） 3．如图，一个圆柱形容器的底面半径为6厘米，侧面高为18厘米，该容器中盛有一些水，水深为10厘米。现在将一个底面半径为3厘米，高为14厘米的圆柱形铁块垂直放入容器中之后，这时容器中的水深是多少厘米？ 题型八 等积转化 1．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为2分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 2．如图表示把一个高为20厘米的圆柱转化成等底等高的长方体。长方体的表面积比圆柱增加了120平方厘米，原来这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 题型九 圆柱体积、容积实际应用 1．如图，一个蔬菜大棚的外形是半圆柱形，半圆柱外覆盖了一层塑料薄膜，已知这个大棚的宽是6米，长是40米。整个大棚的空间是多少立方米？ 2．一家粮店修建了一个圆柱形粮仓，从里面量得底面直径是10米，高是4.5米。 （1）将粮仓的底面和内壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （2）这个粮仓最多装粮食多少立方米？ 3．网红食品“爆浆蛋糕”也可以叫做“泥石流蛋糕”，蛋糕上面部分是一层厚厚的奶油，揭开包装之后奶油滑落，覆盖整个蛋糕。一个圆柱形“爆浆蛋糕”的底面直径是10厘米，其中面包层厚6厘米，奶油层厚4厘米。 （1）1毫升奶油约重0.8克，制作这样一个“爆浆蛋糕”需要多少克奶油？ （2）揭开外包装后，被奶油覆盖的面包的面积是多少平方厘米？ 4．中国东盟博览会每年在广西南宁举办，为加强道路安全建设，期间工人准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱体木块。（π取3） （1）如果给一个圆柱体木块的表面刷漆，需要刷漆的面积是多少平方分米？（底面不刷） （2）做这些圆柱体木块一共需要多少立方米的木料？（损耗忽略不计） （3）将这些木块装箱，箱子的形状是一个正方体，从里面量棱长为8dm，这个箱最多能装多少个这样的圆柱体木块？ 题型十 圆柱容球 1．古希腊著名的数学家阿基米德是历史上杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容器定理”。如图，把一个球正好放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积正好是圆柱体积的，图中球的体积是多少立方厘米？ 2．在生活中，我们经常能看到球状的物体，比如篮球、足球、乒乓球，那么球的体积和圆柱体积有什么关系呢？请仔细阅读下面的内容。 古希腊著名的数学家阿基米德（Archimedes）是历史上最杰出的数学家之一。他希望自己死后的墓碑上刻有圆柱容球的图形。所谓的圆柱容球（如图），即球的直径与圆柱的高和底面直径相等。假设圆柱的底面半径为r，那么圆柱的体积。阿基米德发现并证明了球的体积公式是。 （1）你能根据自己的阅读所得，找出球的体积和圆柱体积的关系吗？ =_________ （2）求出下图球的体积是多少？ 1．等底等高的圆柱、正方体和长方体的体积相比较（    ）。 A．正方体体积大 B．长方体体积大 C．圆柱体体积大 D．体积一样的 2．圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 3．用一张长28.26cm、宽15.7cm的长方形铁皮，应该配上直径是（    ）的圆形铁皮就可以做成一个容积最大的容器。 A．2.5cm B．5cm C．9cm 4．六年级圆柱与圆锥单元，“你知道吗”栏目介绍了古希腊的数学家阿基米德，他是历史上最杰出的数学家之一。按照他生前的遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形（如下图）。圆柱容球就是把一个球放在一个圆柱形容器中，盖上容器上盖后，球恰好与圆柱的上下底面及侧面紧密接触。假设圆柱的底面半径为r，那么圆柱的体积。阿基米德发现并证明了球的体积公式是。那么，球的体积正好是圆柱体积的（    ）。    A． B． C． D． 5．把一块石头沉没在一个底面周长是62.8cm的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5cm，这个容器的底面积是( )cm2，这块石头的体积是( )cm3。 6．一根内直径2厘米的水管被冻裂，水流速度约为每秒8厘米。算算看，如果不修好水管，每分钟将会浪费水( )升。（π的值取3） 7．图中，把一个半径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是500平方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 8．妙想用橡皮泥做了一个高9cm的圆柱形玩具，如果把它的高截短5cm，它的表面积就减少94.2cm2，这个玩具原来的体积是( )cm3。 9．如图，把一个正方体削成一个最大的圆柱体，如果圆柱体的体积是169.56立方厘米，这个正方体的体积是 立方厘米。（取3.14） 10．一卷厨房纸，中间是空心的，形状如图，小明测量了一些数据标在图上。 (1)这卷厨房纸的体积是( )cm3。（结果可用含有π的式子表示）。 (2)小明将这卷厨房纸数了一下，一共有20层。若将厨房纸全部拉开，请你估计总长度约有（    ）。（提示：可以想想卷纸最外面一层大约是多长，最里面一层大约是多长。） A．大约2.5米 B．4米到5米 C．超过6.5米 11．如图，一桶水正放时，水面高度为36厘米。已知水桶的高度为40厘米，它的上、下两部分都是圆柱体，它们的底面直径分别为4厘米、20厘米。若把它倒放，则桶内水面的高度是 厘米。 12．根据条件求圆柱的表面积和体积。（单位：厘米；π取3.14） 13．求下图的表面积和体积。 14．求下面几何体的表面积和体积。（单位：厘米） 15．求如图物体的体积。 16．小文从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。求这个笔筒的表面积和体积。 17．广场上有1个用砖砌成的花坛（如图），现在准备往里填土，如果用载重15吨的卡车来运，至少要运多少车次才能把它填满？（1立方米的土大约重2.5吨） 18．用一张长28.26厘米、宽18.84厘米的长方形纸做侧面卷成一个圆柱形状的纸筒，有两种卷法。两种卷法得到的圆柱的体积一样大吗？如果不一样大，又相差多少？ 19．长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 20．一段圆木长100厘米，沿圆木的底面直径垂直切开，把圆木分成相等的两半，这时表面积增加了6000平方厘米，求这个圆木的体积是多少立方厘米？ 21．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径40厘米，高35厘米。在鱼缸中放一条鱼，此时水面高度是30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米。（鱼缸厚度忽略不计） （1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？ （2）鱼缸的容积是多少立方厘米？ 22．琳琳不小心将石头扔进了一个底面半径为6厘米的圆柱形容器里。如图，浸入石头后水深为4厘米，拿出石头后水深为3厘米，这块石头的体积是多少？ 23．学习完圆柱后，同学们知道了长方形旋转可以得到圆柱，对此他们想借助面积相同的长方形硬纸片进行更深入的研究。 （1）笑笑将长4cm、宽3cm的长方形硬纸片按上图所示的方式旋转，可以形成圆柱①。圆柱①的体积是（    ）cm3。（π取3.14） （2）淘气选择了和笑笑一样的硬纸片，他将这张硬纸片按上图所示的方式旋转，可以形成圆柱②。他说：“虽然我和笑笑选的硬纸片一样，但我这样旋转形成的圆柱的体积肯定比笑笑的大。”你同意淘气的说法吗？请说明理由。 我（    ）淘气的说法。（填“同意”或“不同意”） 我的理由： （3）妙想用的也是面积为12cm2的长方形硬纸片，分别将这张硬纸片按如下方式旋转，可以形成圆柱③和圆柱④。比较这两个圆柱的体积，能发现：圆柱③的体积（    ）圆柱④的体积。（填“大于”、 “小于”或“等于”） （4）以上三位同学借助面积相同的长方形硬纸片，通过旋转形成了四个不同的圆柱。请比较这四个圆柱的体积，在体积最大的圆柱下面的□里画“√”。 在研究和比较的过程中，你一定有了自己的发现或猜想，请写出来。 我的发现或猜想： 24．有甲、乙两个圆柱形容器，从里面量得它们的半径分别是10厘米和5厘米，两个容器的水深分别是10厘米和15厘米。 （1）甲、乙两个容器分别装有多少毫升的水？ （2）如果将乙容器中的一部分水倒入甲容器，使得两个容器的水面一样高。这时水深为多少厘米？ 25．组成木桶的木板如果长短不齐，那么木桶的盛水量就不是取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板，这就是人们常说的“木桶效应”。如图，一个底面直径为6分米的圆柱形木桶，高4.3分米。这个木桶破损了两处（如图），这个木桶最多能装多少升水？ 26．用一张长方形铁皮（如下图所示），裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。（接口处和铁皮厚度均忽略不计） （1）请你在下图中画出这个水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是 （    ）分米。 （3）这个水桶最多能盛水多少升？（写出解答过程） （4）根据以上信息提出一个新的、富有挑战性的问题，可以添加信息，此题不需要解答。 27．一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，可以完全浸没在水中，水深2厘米（如图1）。如果把这个容器如图2放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。这个铁块的体积是多少立方厘米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.3 圆柱的体积 题型一 圆柱体积运算 1．求出下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】75.36cm3 【知识点】圆柱的体积 【分析】圆柱的底面半径是2cm，高是6cm，根据V＝πr2h计算解答。 【详解】3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（cm3） 圆柱的体积是75.36cm3。 2．计算下列圆柱的体积。      【答案】（1）254.34cm3；（2）392.5m3 【知识点】圆柱的体积 【分析】（1）圆柱的体积＝底面积×高，代入数值计算即可解答； （2）已知底面周长，由底面周长＝2πr，代入数值计算出底面半径，再根据圆柱的体积＝底面积×高计算，据此解答。 【详解】（1）3.14×（6÷2）2×9 ＝3.14×9×9 ＝28.26×9 ＝254.34（cm3） （2）底面半径：31.4÷3.14÷2＝5（m） 3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（m3） 3．计算下面圆柱的体积。 （1）   （2）   （3） 【答案】（1）75.36dm3；（2）25120cm3；（3）392.5m3 【知识点】圆柱的体积 【分析】根据圆柱的体积＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】（1）4÷2＝2（dm） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（dm3） （2）20÷2＝10（cm） 3.14×102×80 ＝3.14×100×80 ＝314×80 ＝25120（cm3） （3）3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（m3） 题型二 组合体体积 1．从一个长方体上、下面上挖通一个圆柱形孔后得到下面几何体，求这个几何体的体积（单位：cm）。（取3.14） 【答案】2572立方厘米 【知识点】长方体的体积、圆柱的体积 【分析】求这个几何体的体积，用长方体的体积－圆柱的体积，长方体的体积＝长×宽×高，圆柱的体积＝底面积×高，据此列式解答。 【详解】10÷2＝5（厘米） 20×20×8－3.14××8 ＝400×8－3.14×200 ＝3200－628 ＝2572（立方厘米） 2．求图中几何体的体积。 【答案】753.6cm3 【知识点】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥）、圆柱的体积 【分析】由图可知：可以把这个几何体看作直径为8cm，高为（13＋17）cm圆柱的一半，利用圆柱的体积V＝πr2h即可求得上图的体积。 【详解】3.14×（8÷2）2×（13＋17）÷2 ＝3.14×42×30÷2 ＝3.14×16×30÷2 ＝50.24×30÷2 ＝1507.2÷2 ＝753.6（cm3） 几何体的体积是753.6cm3。 3．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【答案】214.2立方厘米 【知识点】圆柱的体积、长方体的体积、组合体的体积（长方体、正方体）、组合体的体积（圆柱、圆锥） 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 【详解】3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 4．求下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】66180立方厘米 【知识点】圆柱的体积、长方体的体积、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积）、立体图形的切拼（圆柱） 【分析】由图可知，该图形的体积可由一个长70厘米，宽30厘米，高36厘米的长方体体积减去一个底面直径为20厘米，高为30厘米的圆柱体体积。根据及圆柱的体积公式代入数据解答。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 5．计算下面图形的体积。 【答案】85.12cm3 【知识点】组合体的体积（圆柱、圆锥）、长方体的体积、圆柱的体积 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积＋长方体的体积，根据圆柱的体积V＝πr2h，长方体的体积V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（cm3） 长方体的体积： 5×4×3 ＝20×3 ＝60（cm3） 一共：25.12＋60＝85.12（cm3） 图形的体积是85.12cm3。 题型三 长方形旋转求体积 1．将一张长6cm、宽4cm的长方形纸以一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的体积是( )cm3或( )cm3。 【答案】 301.44 452.16 【知识点】圆柱的体积 【分析】以长6cm为轴旋转一周，得到一个底面半径为4cm，高为6cm的圆柱；以宽4cm为轴旋转一周，得到一个底面半径为6cm，高为4cm的圆柱；再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。 【详解】以长6cm为轴： 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（cm3） 以宽4cm为轴： 3.14×62×4 ＝3.14×36×4 ＝113.04×4 ＝452.16（cm3） 则这个圆柱的体积是301.44cm3或452.16cm3。 2．如图，长方形的长是3dm，宽2dm，图中的虚线是长方形的宽的中点连线，以虚线为轴旋转一周，所形成的立体图形的表面积是 dm2，体积是 dm3。 【答案】 25.12 9.42 【知识点】圆柱的表面积、圆柱的体积、圆柱的认识及特征 【分析】根据圆柱的定义：一个长方形长3dm，宽2dm，以宽边的中点连线为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，这个圆柱的底面半径是（2÷2）dm，高是3dm，根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，求出表面积；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，解答即可。 【详解】3.14×（2÷2）2×2＋3.14×2×3 ＝3.14×12×2＋6.28×3 ＝3.14×1×2＋18.84 ＝3.14×2＋18.84 ＝6.28＋18.84 ＝25.12（dm2） 3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×3 ＝3.14×1×3 ＝3.14×3 ＝9.42（dm3） 长方形的长是3dm，宽2dm，图中的虚线是长方形的宽的中点连线，以虚线为轴旋转一周，所形成的立体图形的表面积是25.12dm2，体积是9.42dm3。 题型四 长方形卷圆柱求体积 1．奇思用一张长方形纸片（如图）沿两边围成不同的圆柱形纸筒，并给这两个纸筒都配上两个底面，下面说法正确的是（    ） A．甲、乙圆柱的体积相等 B．甲、乙圆柱的表面积相等 C．甲圆柱体积大于乙圆柱体积 D．乙圆柱表面积大于甲圆柱表面积 【答案】C 【知识点】圆柱的体积、圆柱的表面积 【分析】因为这个长方形的纸围成圆柱形就是这个圆柱的侧面积，所以这两个圆柱的侧面积相等，但是底面半径不同，所以表面积不相等。 假设长方形的长是a，宽是b，那么甲的体积是：，乙的体积是： 所以甲乙的体积跟长方形的长和宽有关，因为a大于b，所以甲的体积大于乙的体积。 【详解】A．根据分析甲体积要大，所以A选项错误； B．因为两个圆柱的侧面积相等，但是底面积不相等，所以表面积不相等，B选项错误； C．因根据分析可知甲的体积大于乙的体积，所以C选项正确； D．因为甲圆柱的底面积大于乙圆柱的底面积，所以甲的表面积大于乙的表面积，所以D选项错误； 故答案为：C 【点睛】本题中两个圆柱的侧面积是相等的。 2．将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片加工成一个圆桶，另加一个底，则这个圆桶的最大容积是（    ）立方分米。（接头处忽略不计，π取3） A．324 B．216 C．1296 D．864 【答案】A 【知识点】圆柱的展开图、圆柱的容积 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，要使围成的圆柱体积最大，要以长边为底面周长，宽为圆柱的高。根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】3×（18÷3÷2）2×12 ＝3×（6÷2）2×12 ＝3×32×12 ＝3×9×12 ＝27×12 ＝324（立方分米） 这个圆桶的最大容积是324立方分米。 故答案为：A 题型五 圆柱的拼切 1．一个圆柱，如果把它的高截短5cm，表面积就减少125.6cm2，体积减少了（    ）cm3。 A．25.12 B．62.8 C．251.2 【答案】C 【知识点】立体图形的切拼（圆柱） 【分析】根据题意知道125.6cm2就是截去部分的侧面积，由此根据侧面积公式S＝Ch＝2πrh，知道r＝S÷2π÷h，由此再根据圆柱的体积＝πr2h，计算这个圆柱体积减少的体积。 【详解】半径：125.6÷（2×3.14）÷5 ＝125.6÷6.28÷5 ＝20÷5 ＝4（cm） 体积：3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（cm3） 体积减少了251.2cm3。 故答案为：C 2．李师傅把一根长1.2m的圆柱形钢材截成三段后，表面积比原来增加了，这根圆柱形钢材原来的体积是（    ）。 A．1.44 B．7.2 C．10.8 D．14.4 【答案】C 【知识点】立体图形的切拼（圆柱）、圆柱的体积 【分析】把一根圆柱形钢材截成三段后，增加的表面积是4个底面的面积之和，先计算出一个底面的面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数值计算，据此解答。 【详解】1.2m＝12dm 3.6÷4×12 ＝0.9×12 ＝10.8（dm3） 因此这根圆柱形钢材原来的体积是10.8dm3。 故答案为：C 3．将一个圆柱高5厘米，沿底面半径切成两个半圆柱，表面积增加了40平方厘米，这个圆柱的体积为( )立方厘米。 【答案】62.8 【知识点】立体图形的切拼（圆柱）、圆柱的表面积、圆柱的体积 【分析】把圆柱体沿底面半径切割成两个半圆柱体，横截面是长方形，则表面积增加两个长方形的面积，两个长方形完全一样，长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面直径，则用增加的表面积除以2可得一个长方形的面积，再用一个长方形的面积除以圆柱的高，可得圆柱的底面直径，直径除以2得到半径，再根据圆柱体积公式代入计算即可得到圆柱的体积。 【详解】 （厘米） （立方厘米） 这个圆柱的体积为62.8立方厘米。 4．有一个高为10cm的圆柱，将高截去4cm后，圆柱的表面积减少了25.12。剩下圆柱的体积是( )。 【答案】18.84 【知识点】立体图形的切拼（圆柱）、圆柱的侧面积、圆柱的体积 【分析】圆柱的表面积减少的就是圆柱的侧面积减少的面积。即截去的高是4cm的圆柱的侧面积是25.12，圆柱的侧面积＝，则圆柱底面圆的半径＝圆柱的侧面积÷2÷3.14÷2。圆柱剩下的高是6cm，再根据圆柱的体积＝底面积×高＝得出剩下圆柱的体积。 【详解】底面周长：25.12÷4＝6.28（cm） 底面半径：6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（cm） 剩下圆柱的高：10－4＝6（cm） 剩下圆柱的体积：3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝18.84（） 则剩下圆柱的体积是18.84。 题型六 长方体削最大圆柱 1．把一个棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）立方分米。 A．12.56 B．50.24 C．64 D．200.96 【答案】B 【知识点】圆柱的体积、立体图形的切拼（圆柱） 【分析】根据题意可知：把一个棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，正方体的棱长＝圆柱的高＝圆柱的底面直径。根据圆柱的体积：V＝sh＝πr2h，代入数据计算即可求出这个圆柱的体积。据此解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 这个圆柱的体积是50.24立方分米。 故答案为：B 2．把一个棱长是12.56米的正方体，削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？ 【答案】1555.38739456立方米 【知识点】圆柱的体积 【分析】消成的最大圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，根据圆柱的体积＝底面积×高解答。 【详解】12.56÷2＝6.28（米） 3.14××12.56 ＝3.14×39.4384×12.56 ＝123.836576×12.56 ＝1555.38739456（立方米） 答：圆柱的体积是1555.38739456立方米。 3．星星小学美术组把一个长4分米，宽4分米，高6分米的长方体石膏，削成一个最大的圆柱模型，这个圆柱模型的体积是多少立方分米？ 【答案】75.36立方分米 【知识点】圆柱的体积、立体图形的切拼（圆柱） 【分析】长方体的长4分米，宽4分米，所以长方体的底面是正方形，因此要将长方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径等于长方体的底面边长，圆柱的高等于长方体的高，根据圆柱的体积公式：V=πr2h，把数据代入公式解答即可。 【详解】半径：4÷2＝2（分米） 圆柱体积为： 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方分米） 答：这个圆柱模型的最大体积是75.36立方分米。 题型七 排水法求几何体体积 1．小丁为了测量一个鸡蛋的体积，按以下步骤进行实验： 步骤一：拿一个圆柱形状的玻璃杯，从里面量得底面直径是长8厘米，高15厘米； 步骤二：把鸡蛋放入玻璃杯，然后倒入一定量的水后，使鸡蛋完全浸入水中，这时水面高8厘米； 步骤三：将这个鸡蛋取出，量得水面的高度是7厘米。 根据以上信息，请你计算这个鸡蛋的体积。 【答案】50.24立方厘米 【知识点】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥）、圆柱的体积 【分析】鸡蛋的体积等于下降部分水的体积，下降水的高度利用放入鸡蛋后水的高度减去拿出鸡蛋后水的高度，再根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】8÷2＝4（厘米） 4×4×3.14×（8－7） ＝16×3.14×1 ＝50.24（立方厘米） 答：这个鸡蛋的体积是50.24立方厘米。 2．一个底面半径是5厘米，高是10厘米的圆柱形容器中装满了水，将一个高是20厘米的长方体铁块垂直插入到容器底部，当把长方体铁块取出后，容器内水面高度为8厘米。 （1）这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是多少平方厘米？ （2）这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？（π＝3.14） 【答案】（1）15.7平方厘米； （2）314立方厘米 【知识点】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥）、长方体的体积、圆柱的体积 【分析】（1）根据题意可知，把长方体铁块从容器中取出后，下降部分水的体积就等于这个长方体铁块在水中的体积，根据圆柱的体积V＝πr2h，求出在水中长方体铁块的体积，再根据长方体的体积V＝Sh，那么S＝V÷h，此时h＝10厘米，把数据代入公式解答。 （2）根据（1）求出长方体铁块与容器底部接触面的面积后，再根据长方体的体积V＝Sh，此时h＝20厘米，把数据代入公式解答。 【详解】（1）3.14×52×（10－8）÷10 ＝3.14×25×2÷10 ＝78.5×2÷10 ＝157÷10 ＝15.7（平方厘米） 答：这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是15.7平方厘米。 （2）15.7×20＝314（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是314立方厘米。 3．如图，一个圆柱形容器的底面半径为6厘米，侧面高为18厘米，该容器中盛有一些水，水深为10厘米。现在将一个底面半径为3厘米，高为14厘米的圆柱形铁块垂直放入容器中之后，这时容器中的水深是多少厘米？ 【答案】厘米 【知识点】圆柱的体积、列方程解含一个未知数的问题、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【分析】根据题意可知，水的体积不变，设现在水的高度是x厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，可知水的体积是：（3.14×62×10）立方厘米，现在水的底面积是个圆环面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），用3.14×（62－32）即可求出底面积，再乘现在的高x厘米，也就是水的体积，据此列方程为：3.14×（62－32）×x＝3.14×62×10，然后解出方程即可。 【详解】解：设这时容器中的水深是x厘米。 3.14×（62－32）×x＝3.14×62×10 3.14×（62－32）×x÷3.14＝3.14×62×10÷3.14 （62－32）×x＝62×10 （36－9）×x＝36×10 27x＝36×10 27x＝360 x＝360÷27 x＝ 答：这时容器中的水深是厘米。 【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，可用列方程解决问题，明确物体的高度高于水的高度是解答本题的关键。 题型八 等积转化 1．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为2分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【答案】20分米 【知识点】体积的等积变形（圆柱、圆锥）、长方体的体积、圆柱的体积 【分析】熔铸前后体积不变，即圆柱体的体积等于长方体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出长方体的体积即圆柱体的体积，再根据圆柱的高＝圆柱体的体积÷圆柱的底面积，代入数据计算，即可求出钢材的长度。据此解答。 【详解】12.56×5×4÷（3.14×22） ＝12.56×5×4÷（3.14×4） ＝251.2÷12.56 ＝20（分米） 答：钢材的长度是20分米。 2．如图表示把一个高为20厘米的圆柱转化成等底等高的长方体。长方体的表面积比圆柱增加了120平方厘米，原来这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】565.2立方厘米 【知识点】立体图形的切拼（圆柱）、圆柱的体积 【分析】将一个圆柱转化成等底等高的长方体，表面积增加了长方体左右两个长方形，这两个长方形长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径。长方体的表面积比圆柱增加了120平方厘米，则这两个长方形的面积是120平方厘米，每个长方形的面积是60平方厘米，此时的高是20厘米，也就是长方形的长是20厘米，根据长方形的宽＝面积÷长得出宽是3厘米，也就是半径是3厘米，最后再根据圆柱的体积得出圆柱的体积。 【详解】120÷2＝60（平方厘米） 60÷20＝3（厘米） （立方厘米） 答：原来这个圆柱的体积是565.2立方厘米。 题型九 圆柱体积、容积实际应用 1．如图，一个蔬菜大棚的外形是半圆柱形，半圆柱外覆盖了一层塑料薄膜，已知这个大棚的宽是6米，长是40米。整个大棚的空间是多少立方米？ 【答案】565.2立方米 【知识点】圆柱的体积 【分析】由题意可知：整个大棚的空间等于底面直径是6米，高是40米的圆柱体积的一半，将数据代入圆柱的体积公式：V＝πr2h，求出体积再除以2即可得解。 【详解】3.14×（6÷2）2×40÷2 ＝3.14×32×40÷2 ＝3.14×9×40÷2 ＝28.26×40÷2 ＝1130.4÷2 ＝565.2（立方米） 答：整个大棚的空间是565.2立方米。 2．一家粮店修建了一个圆柱形粮仓，从里面量得底面直径是10米，高是4.5米。 （1）将粮仓的底面和内壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （2）这个粮仓最多装粮食多少立方米？ 【答案】（1）219.8平方米；（2）353.25立方米 【知识点】圆柱的体积、圆柱的侧面积、圆的周长的应用 【分析】（1）抹水泥部分的面积＝圆柱的侧面积＋一个底面积，根据圆的侧面积＝πdh，底面积＝πr2，代入数据解答即可； （2）这个粮仓最多能装粮食就是求这个圆柱形粮仓的体积，根据圆柱的体积＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】（1）3.14×10×4.5＋3.14×（10÷2）2 ＝31.4×4.5＋3.14×25 ＝141.3＋78.5 ＝219.8（平方米） 答：抹水泥部分的面积是219.8平方米。 （2）3.14×（10÷2）2×4.5 ＝3.14×25×4.5 ＝78.5×4.5 ＝353.25（立方米） 答：这个粮仓最多能装粮食353.25立方米。 3．网红食品“爆浆蛋糕”也可以叫做“泥石流蛋糕”，蛋糕上面部分是一层厚厚的奶油，揭开包装之后奶油滑落，覆盖整个蛋糕。一个圆柱形“爆浆蛋糕”的底面直径是10厘米，其中面包层厚6厘米，奶油层厚4厘米。 （1）1毫升奶油约重0.8克，制作这样一个“爆浆蛋糕”需要多少克奶油？ （2）揭开外包装后，被奶油覆盖的面包的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）251.2克 （2）266.9平方厘米 【知识点】圆柱的体积、圆柱的表面积 【分析】（1）奶油层厚相当于圆柱的高，根据圆柱体积公式，底面积×奶油层厚度＝奶油体积，奶油体积×1毫升奶油重量＝需要的奶油质量。 （2）被奶油覆盖的部分包括面包上面和侧面，被奶油覆盖的面积＝底面积＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【详解】（1）3.14×（10÷2）2×4 ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（立方厘米） ＝314（毫升） 314×0.8＝251.2（克） 答：制作这样一个“爆浆蛋糕”需要251.2克奶油。 （2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×6 ＝3.14×52＋188.4 ＝3.14×25＋188.4 ＝78.5＋188.4 ＝266.9（平方厘米） 答：被奶油覆盖的面包的面积是266.9平方厘米。 4．中国东盟博览会每年在广西南宁举办，为加强道路安全建设，期间工人准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱体木块。（π取3） （1）如果给一个圆柱体木块的表面刷漆，需要刷漆的面积是多少平方分米？（底面不刷） （2）做这些圆柱体木块一共需要多少立方米的木料？（损耗忽略不计） （3）将这些木块装箱，箱子的形状是一个正方体，从里面量棱长为8dm，这个箱最多能装多少个这样的圆柱体木块？ 【答案】（1）21.12平方分米；（2）3.84立方米；（3）50个 【知识点】圆柱的表面积、圆柱的体积 【分析】由图可知，圆柱体木块的高为4分米，底面直径是1.6分米。 （1）根据题意，圆柱的底面不需要涂油漆，所以刷油漆的面积＝一个底面积＋一个侧面积，底面积＝圆周率×半径的平方，侧面积＝底面周长×高，代入数据计算即可； （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，先计算出一个圆柱木料的体积，再乘500，求出全部木料的体积，最后根据1立方米＝1000立方分米，把单位换算为立方米； （3）分别用正方体的棱长去除以圆柱的高和直径，得到对应棱长能放进的数量，再用计算结果相乘即可。 【详解】（1）（1.6÷2）2×3＋1.6×3×4 ＝0.82×3＋4.8×4 ＝0.64×3＋4.8×4 ＝1.92＋19.2 ＝21.12（平方分米） 答：需要刷漆的面积是21.12平方分米。 （2）（1.6÷2）2×3×4×500 ＝0.82×3×4×500 ＝0.64×3×4×500 ＝1.92×4×500 ＝7.68×500 ＝3840（立方分米） 3840立方分米＝3.84立方米 答：做这些圆柱体木块一共需要3.84立方米的木料。 （3）（8÷1.6）×（8÷1.6）×（8÷4） ＝5×5×2 ＝50（个） 答：这个箱最多能装50个这样的圆柱体木块。 题型十 圆柱容球 1．古希腊著名的数学家阿基米德是历史上杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容器定理”。如图，把一个球正好放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积正好是圆柱体积的，图中球的体积是多少立方厘米？ 【答案】113.04立方厘米 【知识点】圆柱的体积、求一个数的几分之几的问题 【分析】圆柱体积＝底面积×高，将圆柱体积看作单位“1”，圆柱体积×球的对应分率＝球的体积，据此列式解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝3.14×9×6× ＝169.56× ＝113.04（立方厘米） 答：球的体积是113.04立方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，理解分数乘法的意义。 2．在生活中，我们经常能看到球状的物体，比如篮球、足球、乒乓球，那么球的体积和圆柱体积有什么关系呢？请仔细阅读下面的内容。 古希腊著名的数学家阿基米德（Archimedes）是历史上最杰出的数学家之一。他希望自己死后的墓碑上刻有圆柱容球的图形。所谓的圆柱容球（如图），即球的直径与圆柱的高和底面直径相等。假设圆柱的底面半径为r，那么圆柱的体积。阿基米德发现并证明了球的体积公式是。 （1）你能根据自己的阅读所得，找出球的体积和圆柱体积的关系吗？ =_________ （2）求出下图球的体积是多少？ 【答案】（1）当球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，球的体积是圆柱的体积的。 ＝ （2）113.04立方厘米 【知识点】圆柱的体积、球的球面面积、体积 【分析】（1）由阅读材料可知，当球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，圆柱的体积，球的体积公式是，用除法求出球的体积是圆柱的体积的几分之几； （2）球的体积公式是，把数据代入公式解答即可。 【详解】（1）当球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，设圆柱的底面半径为r，圆柱的体积，球的体积公式是， ＝πr3÷2πr3＝÷2＝； 即当球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，球的体积是圆柱体积的，即：＝； （2）×3.14×33 ＝×3.14×27 ＝113.04（立方厘米） 答：球的体积是113.04立方厘米。 【点睛】此题考查的是球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，圆柱的体积和球的体积关系以及球的体积公式的应用。 1．等底等高的圆柱、正方体和长方体的体积相比较（    ）。 A．正方体体积大 B．长方体体积大 C．圆柱体体积大 D．体积一样的 【答案】D 【知识点】正方体的体积、长方体的体积、圆柱的体积 【分析】圆柱体积＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长＝底面积×高，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高，据此分析。 【详解】由分析可得：圆柱、正方体、长方体的体积都可以用底面积×高来计算，所以等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积一样大。 故答案为：D 2．圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【答案】C 【知识点】积的变化规律（小数乘法）、圆柱的体积 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h以及积的变化规律可知，圆柱的高扩大到原来的n倍，则圆柱的体积就扩大到原来的n倍；圆柱的底面半径扩大到原来的n倍，则圆柱的体积就扩大到原来的n2倍；据此解答。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【详解】2×22 ＝2×4 ＝8 圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的8倍。 故答案为：C 3．用一张长28.26cm、宽15.7cm的长方形铁皮，应该配上直径是（    ）的圆形铁皮就可以做成一个容积最大的容器。 A．2.5cm B．5cm C．9cm 【答案】C 【知识点】圆柱的展开图、圆柱的体积 【分析】根据题意，做成的容器为圆柱体，长方形铁皮是圆柱的侧面，有两种做法，一种是用长做为圆柱的底面周长，另一种是用宽做为圆柱的底面周长。据此分别计算体积，判断哪个大。 【详解】第一种： 直径＝28.26÷3.14＝9（cm） 3.14×（9÷2）2×15.7 ＝3.14×4.52×15.7 ＝3.14×20.25×15.7 ＝63.585×15.7 ＝998.2845 （cm3） 第二种： 直径＝15.7÷3.14＝5（cm） 3.14×（5÷2）2×28.26 ＝3.14×2.52×28.26 ＝3.14×6.25×28.26 ＝19.625×28.26 ＝554.6025 （cm3） 998.2845＞554.6025 第一种大。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆柱体的体积和侧面展开图，关键是理解侧面展开图有两种不同形式，体积不同。 4．六年级圆柱与圆锥单元，“你知道吗”栏目介绍了古希腊的数学家阿基米德，他是历史上最杰出的数学家之一。按照他生前的遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形（如下图）。圆柱容球就是把一个球放在一个圆柱形容器中，盖上容器上盖后，球恰好与圆柱的上下底面及侧面紧密接触。假设圆柱的底面半径为r，那么圆柱的体积。阿基米德发现并证明了球的体积公式是。那么，球的体积正好是圆柱体积的（    ）。    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分数与整数的除法、求一个数占另一个数几分之几、圆柱的体积 【分析】由题意可知，假设圆柱的底面半径为r，那么圆柱的体积。球的体积公式是，然后用球的体积除以圆柱的体积即可求解。 【详解】假设圆柱的底面半径为r，高为2r ÷＝÷2＝×＝ 则球的体积正好是圆柱体积的。 故答案为：C 【点睛】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 5．把一块石头沉没在一个底面周长是62.8cm的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5cm，这个容器的底面积是( )cm2，这块石头的体积是( )cm3。 【答案】 314 471 【知识点】圆柱的体积、圆的周长的应用、圆的面积、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【分析】根据的逆运算，求出半径，再根据圆的面积公式，求出底面积，石头的体积等于上升的水的体积，即根据，代入数据计算即可得解。 【详解】 （cm） （cm2） （cm3） 这个容器的底面积是314cm2，这块石头的体积是471cm3。 6．一根内直径2厘米的水管被冻裂，水流速度约为每秒8厘米。算算看，如果不修好水管，每分钟将会浪费水( )升。（π的值取3） 【答案】1.44 【知识点】体积与容积单位间的进率及换算、圆柱的体积 【分析】把水管看作一个圆柱体，浪费水的体积就是一个底面直径为2厘米，高为8厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出每秒钟浪费水的体积，1分钟＝60秒，再乘60，即可求出每分钟浪费水的体积，注意单位名数的换算。 【详解】3×（2÷2）2×8×60 ＝3×12×8×60 ＝3×1×8×60 ＝3×8×60 ＝24×60 ＝1440（立方厘米） 1440立方厘米＝1.44升 每分钟将会浪费水1.44升。 7．图中，把一个半径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是500平方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】2000 【知识点】圆柱的体积、长方体的体积 【分析】根据题意，拼成的长方体的长等于圆柱底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于圆柱的体积。已知长方体前面的面积是500平方厘米，把它看作底面积，根据长方体的体积＝底面积×高，用500乘长方体的宽（圆柱的底面半径）即可求出长方体的体积即圆柱的体积。 【详解】500×4＝2000（立方厘米） 圆柱的体积是2000立方厘米。 8．妙想用橡皮泥做了一个高9cm的圆柱形玩具，如果把它的高截短5cm，它的表面积就减少94.2cm2，这个玩具原来的体积是( )cm3。 【答案】254.34 【知识点】圆柱的体积、圆柱的侧面积、立体图形的切拼（圆柱） 【分析】根据题意，减少的表面积是截去部分的侧面积，减少的表面积÷截短的高＝圆柱底面周长，圆柱底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，据此算出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式，计算出这个玩具原来的体积。 【详解】（cm） （cm） （cm3） 即这个玩具原来的体积是254.34cm3。 9．如图，把一个正方体削成一个最大的圆柱体，如果圆柱体的体积是169.56立方厘米，这个正方体的体积是 立方厘米。（取3.14） 【答案】216 【知识点】立体图形的切拼（圆柱）、正方体的体积、圆柱的体积 【分析】把一个正方体削成一个最大的圆柱体，最大的圆柱体的直径是正方体的棱长，高是正方体的棱长。设正方体的棱长为x厘米，根据圆柱的体积＝列出方程，对方程进行化简，发现，则正方体的体积＝，就得出了正方体的体积。 【详解】设正方体的棱长为x厘米。 则这个正方体的体积是216立方厘米。 10．一卷厨房纸，中间是空心的，形状如图，小明测量了一些数据标在图上。 (1)这卷厨房纸的体积是( )cm3。（结果可用含有π的式子表示）。 (2)小明将这卷厨房纸数了一下，一共有20层。若将厨房纸全部拉开，请你估计总长度约有（    ）。（提示：可以想想卷纸最外面一层大约是多长，最里面一层大约是多长。） A．大约2.5米 B．4米到5米 C．超过6.5米 【答案】(1)420π (2)B 【知识点】圆的周长及应用、圆柱的体积 【分析】厨房纸的体积＝大圆柱的体积减去小圆柱的体积，圆柱的体积＝πr2h；圆的周长＝πd，分别求出最内层和最外层的长度，用最内层和最外层的和乘层数再除以2即可求出总长度。 【详解】（1）π×（10÷2）2×20－π×（4÷2）2×20 ＝500π－80π ＝420π（立方厘米） （2）（10×3.14＋4×3.14）×20÷2 ＝43.96×20÷2 ＝439.6（厘米） ＝4.396（米） 长度大约是4米到5米。 故答案为：B 【点睛】此题考查圆柱的体积与圆的周长的应用，熟练掌握公式是解题的关键。 11．如图，一桶水正放时，水面高度为36厘米。已知水桶的高度为40厘米，它的上、下两部分都是圆柱体，它们的底面直径分别为4厘米、20厘米。若把它倒放，则桶内水面的高度是 厘米。 【答案】39.84 【知识点】体积的等积变形（圆柱、圆锥）、圆柱的体积 【分析】根据题意可知，水桶中水的体积不变，空气的体积也不变；根据第一个图可知，空气部分的高度是（40－36）厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出空气部分的体积；再根据圆柱的体积公式求出第二个图空气部分的高度，然后用水桶的高度减去第二个图空气部分的高度，即可求出第二个图水桶的高度。 【详解】π×（4÷2）2×（40－36） ＝π×22×4 ＝π×4×4 ＝16π（立方厘米） 16π÷π÷（20÷2）2 ＝16π÷π÷102 ＝16π÷π÷100 ＝16÷100 ＝0.16（厘米） 40－0.16＝39.84（厘米） 若把它倒放，则桶内水面的高度是39.84厘米。 【点睛】本题考查了圆柱体积公式的灵活应用，明确空气、水的体积不变是解答本题的关键。 12．根据条件求圆柱的表面积和体积。（单位：厘米；π取3.14） 【答案】351.68平方厘米；502.4立方厘米 【知识点】圆柱的表面积、圆柱的体积 【分析】圆柱的表面积，圆柱的体积，代入数据计算即可。 【详解】底面半径：（厘米） 表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 即圆柱的表面积是351.68平方厘米，体积是502.4立方厘米。 13．求下图的表面积和体积。 【答案】345.4平方分米；157立方分米 【知识点】组合体的体积（圆柱、圆锥）、组合体的表面积（圆柱）、圆柱的表面积、圆柱的体积 【分析】分析图形可知，所求图形的底面是环形，根据圆环的面积公式，求出图形的底面积，所求图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋小圆柱的侧面积＋环形底面积×2，根据圆柱的侧面积公式，代入数据即可算出图形的表面积。所求图形的体积＝环形底面积×高，据此解答。 【详解】 （平方分米） （平方分米） （立方分米） 即图形的表面积是345.4平方分米，体积是157立方分米。 14．求下面几何体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】339.12平方厘米；398.78立方厘米 【知识点】组合体的体积（圆柱、圆锥）、组合体的表面积（圆柱）、圆柱的表面积、圆柱的体积 【分析】虽然上面的圆柱挡住了下面大的圆柱的底面的一部分，但是通过平移可以将上面的圆柱的底面平移到下面圆柱的底面，最后立体图形的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积。圆柱的侧面积：S＝Ch＝πdh，圆柱的表面积：S＝2πr2＋πdh。立体图形的体积等于两个圆柱体积之和，圆柱的体积：V＝Sh＝πr2h。据此解答。 【详解】（10÷2）2×3.14×2＋10×3.14×4＋6×3.14×3 ＝52×3.14×2＋125.6＋56.52 ＝25×2×3.14＋125.6＋56.52 ＝157＋125.6＋56.52 ＝339.12（平方厘米） 这个几何体的表面积是339.12平方厘米。 （6÷2）2×3.14×3＋（10÷2）2×3.14×4 ＝32×3.14×3＋52×3.14×4 ＝9×3.14×3＋25×3.14×4 ＝84.78＋314 ＝398.78（立方厘米） 这个几何体的体积是398.78立方厘米。 15．求如图物体的体积。 【答案】7822.5立方厘米 【知识点】长方体的体积、圆柱的体积 【分析】观察图形可知，这个图形的体积等于长30厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体的体积减去底面直径为10厘米，高30厘米的圆柱体积的一半，据此利用长方体和圆柱体的体积公式计算即可解答。 【详解】 物体的体积是7822.5立方厘米。 16．小文从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。求这个笔筒的表面积和体积。 【答案】表面积为455.3平方厘米，体积为942立方厘米。 【知识点】圆柱的表面积、圆柱的体积、圆柱的展开图 【分析】要用一个长方形和一个圆组成一个无盖圆柱，则长方形是圆柱侧面，圆是底面。此时底面圆周长就是侧面长方形的长，根据底面周长＝，可求出底面圆半径。再根据无盖圆柱表面积＝＋，体积＝，h即为长方形的宽。据此计算得出答案。 【详解】底面圆半径为r＝31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 底面圆直径为d＝5×2＝10（厘米） 圆柱的高：h＝22－10＝12（厘米） S底＝3.14×52＝78.5（平方厘米） S侧＝31.4×12＝376.8（平方厘米） S表＝S底＋S侧＝78.5＋376.8＝455.3（平方厘米） V圆柱＝S底h＝78.5×12＝942（立方厘米） 答：这个笔筒的表面积为455.3平方厘米，体积为942立方厘米。 17．广场上有1个用砖砌成的花坛（如图），现在准备往里填土，如果用载重15吨的卡车来运，至少要运多少车次才能把它填满？（1立方米的土大约重2.5吨） 【答案】53车次 【知识点】用“进一法”解决问题、圆柱的体积 【分析】利用圆的直径减去两面的墙厚就是圆柱形花坛的直径，再利用圆柱的体积公式V＝πr2h，求出需要的土的体积，再乘每立方米土的重量，就是花坛里需要土的总重量；用土的总重量除以卡车的载重量即可，除不尽的采用“进一法”保留整数。 【详解】21－0.5×2 ＝21－1 ＝20（米） 3.14×（20÷2）2×1×2.5 ＝3.14×102×1×2.5 ＝3.14×100×1×2.5 ＝785（吨） 785÷15≈53（车次） 答：至少要运53车次才能把它填满。 18．用一张长28.26厘米、宽18.84厘米的长方形纸做侧面卷成一个圆柱形状的纸筒，有两种卷法。两种卷法得到的圆柱的体积一样大吗？如果不一样大，又相差多少？ 【答案】不一样大；399.3138立方厘米 【知识点】圆柱的展开图、圆柱的体积 【分析】两种卷法：（1）以长方形的长作为圆柱的底面周长，长方形的宽作为圆柱的高；（2）以长方形的宽作为圆柱的底面周长，长方形的长作为圆柱的高； 根据圆柱的底面周长公式C＝2πr可知，圆柱的底面半径r＝C÷π÷2，求出两种圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，分别求出两种圆柱的体积，比较大小，并求出这两种圆柱的体积差。 【详解】（1）以长方形的长28.26厘米作为圆柱的底面周长，长方形的宽18.84厘米作为圆柱的高； （厘米） （立方厘米） （2）以长方形的宽18.84厘米作为圆柱的底面周长，长方形的长28.26厘米作为圆柱的高； （厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：两种卷法的体积不一样大，相差399.3138立方厘米。 【点睛】用一张长方形纸卷成圆柱有两种卷法，明确长方形的长、宽与圆柱的底面周长、高的关系；掌握圆柱的体积计算公式是解题的关键。 19．长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 【答案】62.8立方厘米 【知识点】长方体的认识及特征、圆柱的体积、立体图形的切拼（圆柱）、加工方木问题 【分析】由题意分析可知，当圆柱的底面直径等于长方体底面的边长，即4厘米，高等于长方体的高，此时削成圆柱是最大的，再根据圆柱的体积公式进行计算即可。 【详解】3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 即圆柱的体积是62.8立方厘米。 20．一段圆木长100厘米，沿圆木的底面直径垂直切开，把圆木分成相等的两半，这时表面积增加了6000平方厘米，求这个圆木的体积是多少立方厘米？ 【答案】70650立方厘米 【知识点】立体图形的切拼（圆柱） 【分析】把这段圆木沿底面直径垂直切开，分成相等的两半，这时表面积比原来增加了两个切面的面积，根据圆柱的切割特点可知，切面是两个长方形，长是100厘米，宽是圆柱的底面直径，据此求出底面直径，再根据圆柱的体积＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】6000÷2÷100 ＝3000÷100 ＝30（厘米） 3.14×（30÷2）2×100 ＝3.14×225×100 ＝706.5×100 ＝70650（立方厘米） 答：这个圆木的体积是70650立方厘米。 21．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径40厘米，高35厘米。在鱼缸中放一条鱼，此时水面高度是30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米。（鱼缸厚度忽略不计） （1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？ （2）鱼缸的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）35168立方厘米 （2）43960立方厘米 【知识点】圆柱的体积、圆柱的容积 【分析】（1）当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米，这时鱼缸的水面是30厘米下降了2厘米，则此时的水面的高度是28厘米。鱼缸中水的体积就是一个高度为28厘米的圆柱的体积：。 （2）鱼缸的容积就是求这个圆柱形的体积，利用圆柱体积的公式解答即可。 【详解】（1）30－2＝28（厘米） 3.14×（40÷2）2×28 ＝3.14×202×28 ＝3.14×400×28 ＝35168（立方厘米） 答：鱼缸中水的体积是35168立方厘米。 （2）3.14×（40÷2）2×35 ＝3.14×202×35 ＝3.14×400×35 ＝43960（立方厘米） 答：鱼缸的容积是43960立方厘米。 22．琳琳不小心将石头扔进了一个底面半径为6厘米的圆柱形容器里。如图，浸入石头后水深为4厘米，拿出石头后水深为3厘米，这块石头的体积是多少？ 【答案】113.04立方厘米 【知识点】圆柱的体积、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【分析】根据题意，把一块石头完全浸入有水的圆柱形容器中，水深为4厘米，拿出石头后水深为3厘米，水面下降（4－3）厘米，那么水下降部分的体积等于这块石头的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】3.14×62×（4－3） ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方厘米） 答：这块石头的体积是113.04立方厘米。 23．学习完圆柱后，同学们知道了长方形旋转可以得到圆柱，对此他们想借助面积相同的长方形硬纸片进行更深入的研究。 （1）笑笑将长4cm、宽3cm的长方形硬纸片按上图所示的方式旋转，可以形成圆柱①。圆柱①的体积是（    ）cm3。（π取3.14） （2）淘气选择了和笑笑一样的硬纸片，他将这张硬纸片按上图所示的方式旋转，可以形成圆柱②。他说：“虽然我和笑笑选的硬纸片一样，但我这样旋转形成的圆柱的体积肯定比笑笑的大。”你同意淘气的说法吗？请说明理由。 我（    ）淘气的说法。（填“同意”或“不同意”） 我的理由： （3）妙想用的也是面积为12cm2的长方形硬纸片，分别将这张硬纸片按如下方式旋转，可以形成圆柱③和圆柱④。比较这两个圆柱的体积，能发现：圆柱③的体积（    ）圆柱④的体积。（填“大于”、 “小于”或“等于”） （4）以上三位同学借助面积相同的长方形硬纸片，通过旋转形成了四个不同的圆柱。请比较这四个圆柱的体积，在体积最大的圆柱下面的□里画“√”。 在研究和比较的过程中，你一定有了自己的发现或猜想，请写出来。 我的发现或猜想： 【答案】（1）113.04 （2）同意； ①计算圆柱②的体积，与圆柱①的体积进行比较； ②圆柱①的体积是113.04立方厘米，圆柱②的体积是150.72立方厘米，113.04＜150.72； （3）大于 （4）圆柱③√ ①我发现如果用长方形旋转得到圆柱，当长方形面积一定时，越是细、长的圆柱体积越小，越是粗、矮的圆柱体积越大； ②我猜想当圆柱底面半径乘高的积一定时，底面半径扩大到原来的几倍，体积也扩大到原来的几倍。 【知识点】圆柱的体积 【分析】（1）圆柱①是以长方形的长边为轴旋转而成，此时圆柱的高为长方形的长边，底面半径为长方形的短边，根据圆柱的体积＝底面积×高即可计算出体积； （2）计算圆柱②的体积，与圆柱①的体积进行比较即可解答； （3）分别计算出圆柱③和圆柱④的体积即可比较； （4）比较4个圆柱的体积即可进行判断；根据以上的比较，结合长方形的面积不变，圆柱体积的变化，通过分析、归纳出发现，猜想。 【详解】（1）3.14××4 ＝3.14×9×4 ＝28.26×4 ＝113.04（立方厘米） 所以圆柱①的体积是113.04立方厘米。 （2）3.14××3 ＝3.14×16×3 ＝3.14×48 ＝150.72（立方厘米） 150.72＞113.04 所以我同意淘气的说法，因为圆柱②的体积＞圆柱①的体积。 （3）圆柱③的体积： 3.14××2 ＝3.14×36×2 ＝113.04×2 ＝226.08（立方厘米） 圆柱④的体积： 3.14××6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方厘米） 226.08＞75.36 所以圆柱③的体积＞圆柱④的体积。 （4）因为75.36＜113.04＜150.72＜226.08 所以圆柱④的体积＜圆柱①的体积＜圆柱②的体积＜圆柱③的体积； 所以应该在圆柱③的□里画√； ①我发现如果用长方形旋转得到圆柱，当长方形面积一定时，越是细、长的圆柱体积越小，越是粗、矮的圆柱体积越大； ②我猜想当圆柱底面半径乘高的积一定时，底面半径扩大到原来的几倍，体积也扩大到原来的几倍。 24．有甲、乙两个圆柱形容器，从里面量得它们的半径分别是10厘米和5厘米，两个容器的水深分别是10厘米和15厘米。 （1）甲、乙两个容器分别装有多少毫升的水？ （2）如果将乙容器中的一部分水倒入甲容器，使得两个容器的水面一样高。这时水深为多少厘米？ 【答案】（1）3140毫升；1177.5毫升 （2）11厘米 【知识点】圆柱的体积 【分析】（1）圆柱形容器中水的体积取决于容器的底面积和水的深度。底面积通过圆的面积公式（S＝π×r²）计算得出，其中r为半径。甲容器的半径为10厘米，所以底面积为3.14×10×10＝314 平方厘米。已知水深为10厘米，体积则是底面积乘水深，即 314×10＝3140立方厘米。1立方厘米等于 1 毫升，甲容器中水的体积为3140毫升。 乙容器同理，半径为5厘米，底面积为3.14×5×5＝78.5平方厘米，水深15厘米，体积为78.5×15＝1177.5 立方厘米，即1177.5毫升。 （2）首先分别求出甲、乙两个容器的底面积。甲容器底面积为314平方厘米，乙容器底面积为78.5平方厘米。然后计算水的总体积，即甲容器中水的体积3140立方厘米加上乙容器中水的体积1177.5立方厘米，得到4317.5立方厘米。要使两个容器的水面高度相同，那么水的总体积不变，将总体积按照两个容器底面积的比例进行分配，就能得到相同的水深。也就是用总体积除两个容器底面积之和，就可以得出此时的水深。 【详解】（1）甲容器的半径为10厘米，底面积为：3.14×10×10 ＝ 314（平方厘米） 水深10厘米，体积为：314×10＝3140（立方厘米） 因为1立方厘米＝1毫升，所以甲容器水的体积为3140毫升。 乙容器的半径为5厘米，底面积为：3.14×5×5＝78.5（平方厘米） 水深15厘米，体积为：78.5×15 ＝ 1177.5立方厘米＝1177.5毫升 乙容器水的体积为1177.5毫升。 答：甲容器装有3140毫升水，乙容器装有1177.5毫升水。 （2）甲容器的底面积为314平方厘米，乙容器的底面积为78.5平方厘米。 水的总体积为：3140＋1177.5＝4317.5（立方厘米） 两个容器底面积之和为：314＋78.5＝392.5（平方厘米） 此时水深：4317.5÷392.5＝11（厘米） 答：这时水深为11厘米。 25．组成木桶的木板如果长短不齐，那么木桶的盛水量就不是取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板，这就是人们常说的“木桶效应”。如图，一个底面直径为6分米的圆柱形木桶，高4.3分米。这个木桶破损了两处（如图），这个木桶最多能装多少升水？ 【答案】98.91升 【知识点】圆柱的体积、体积与容积单位间的进率及换算 【分析】由图可知，这个木桶的破损处距离桶口最深为8厘米，即0.8分米，那么最多盛水的高度为（4.3－0.8）分米，据此根据圆柱的体积V＝πr2h，代入数据求出体积，最后把单位转化为升即可。 【详解】8厘米＝0.8分米 3.14×（6÷2）2×（4.3－0.8） ＝3.14×32×3.5 ＝3.14×9×3.5 ＝28.26×3.5 ＝98.91（立方分米） 98.91立方分米＝98.91升 答：这个木桶最多能装98.91升水。 26．用一张长方形铁皮（如下图所示），裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。（接口处和铁皮厚度均忽略不计） （1）请你在下图中画出这个水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是 （    ）分米。 （3）这个水桶最多能盛水多少升？（写出解答过程） （4）根据以上信息提出一个新的、富有挑战性的问题，可以添加信息，此题不需要解答。 【答案】（1）见详解 （2）2；2 （3）6.28升 （4）问题：如果把做成的这个圆柱形水桶截成两部分，表面积增加了多少平方分米？ 【知识点】“提问题”“填条件”问题、圆柱的展开图、圆柱的体积、体积与容积单位间的进率及换算 【分析】（1）水桶的底面是一个直径为2分米的圆，侧面展开图是一个长为底面周长，宽为2分米的长方形； （2）这个水桶的底面直径是2分米，高等于侧面展开图形的宽； （3）求这个水桶最多能盛水多少升，也就是求这个水桶的容积；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算即可解答； （4）所提问题可以从围绕做成的这个圆柱形水桶出发，比如如果把做成的这个圆柱形水桶截成两部分，表面积增加了多少平方分米？所提问题不唯一，能符合题意即可。 【详解】（1）3.14×2＝6.28（dm） 如图所示： （2）这个水桶的底面直径是2分米，高等于侧面展开图形的宽，也就是长方形的宽等于2分米。 因此这个水桶的底面直径是2分米，高是2分米。 （3）3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×12×2 ＝3.14×2 ＝6.28（立方分米） 6.28立方分米＝6.28升 答：这个水桶最多能盛水6.28升。 （4）问题：如果把做成的这个圆柱形水桶截成两部分，表面积增加了多少平方分米？ 27．一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，可以完全浸没在水中，水深2厘米（如图1）。如果把这个容器如图2放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。这个铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】40立方厘米 【知识点】圆柱的体积、长方体的体积、已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，先求出图1水与圆柱形铁块的体积；再求出图2圆柱形铁块的（1－）的体积与水的体积；再用图1的体积－图2的体积，求出圆柱形铁块的的体积，由于圆柱形铁块的得量已知，求单位“1”，用除法，用圆柱形铁块的的体积÷，即可解答。 【详解】12×5×2－4×5×5.5 ＝60×2－20×5.5 ＝120－110 ＝10（立方厘米） 10÷ ＝10×4 ＝40（立方厘米） 答：这个铁块的体积是40立方厘米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$