第19章 几何证明 章节整合练习（21个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第19章 几何证明 章节整合练习（21个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 知识点2．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点3．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点4．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点5．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点6．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点7．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点8．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点9．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点10．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点11．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点12．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点13．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点14．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点15．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点16．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点17．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点18．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 知识点19．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 知识点20．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点21．轨迹 轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等． 章节题型整合练习 一．两点间的距离公式 1．（2023秋•杨浦区期末）若点在轴上，点坐标是，且，则点的坐标是 　　． 2．（2023秋•长宁区校级期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 　　 二．平行线的判定与性质 3．（2021秋•普陀区期末）如图，已知与互补，，如果，那么的度数是 　　． 4．（2023秋•浦东新区期中）如图，点，在直线上，，． （1）求证：． （2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，再求的度数． 三．三角形内角和定理 5．（2022秋•长宁区校级期中）已知的三个内角满足，则该三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（2023秋•徐汇区月考）已知：如图，在中，平分，点是的中点，，交的延长线于点．求证：． 四．三角形的外角性质 7．（2023秋•徐汇区月考）和是两个外角的平分线，则为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•松江区校级月考）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则　　度． 五．直角三角形全等的判定 9．（2020秋•浦东新区校级月考）如图，在中，，于点，于点，和相交于点，的延长线交于点，则图中全等的直角三角形有　　对． A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2023秋•普陀区校级期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一组锐角和斜边分别对应相等 B．两个锐角分别对应相等 C．两组直角边分别对应相等 D．斜边和一组直角边分别对应相等 六．全等三角形的判定与性质 11．（2023秋•浦东新区期末）在中，是边上的中线，，如果，，那么的长是 　　． 12．（2023秋•杨浦区期末）如图，点、、、在同一直线上，，垂足为，，垂足为，、相交于点，且，．求证：． 七．角平分线的性质 13．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，△中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）直接写出的度数　　； （2）求证：平分； （3）若，，且，求△的面积． 八．线段垂直平分线的性质 15．（2023秋•黄浦区校级期中）如图，中，、两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则　　． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 九．等腰三角形的判定与性质 17．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，△中，，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．则△的周长等于　　 A．17 B．15 C．12 D．11 18．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在三角形中，是边上的一点，过点作，交的平分线于点，交的邻补角的平分线于点，求证：． 一十．直角三角形的性质 19．（2022秋•浦东新区期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交、于、，若，则　　．（用含的代数式表示） 20．（闵行区校级期中）如图，在中，，是上一点，且． 求证：． 一十一．含30度角的直角三角形 21．（2022秋•思明区校级期末）如图，在中，，，如果是的中点，，垂足是，那么的值等于　　 A． B． C． D． 22．（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在中，为边上的中线，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 一十二．直角三角形斜边上的中线 23．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知中，，，分别是斜边上的高和中线，则下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•青浦区校级期中）△中，，为的中线，，则　　． 一十三．勾股定理 25．（2024秋•闵行区校级月考）已知：在△中，，为斜边上的高，如果，，那么　　． 26．（2022秋•金山区校级月考）如图，已知△中，，，，点是△边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，速度为每秒，设运动的时间为秒． （1）如图1，若点在上，且，求运动时间． （2）当点在边上运动时，求能使△成为等腰三角形的运动时间． 一十四．勾股定理的证明 27．（2023秋•杨浦区期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 　　． 28．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点． （1）求证：； （2）如果． ①求证：； ②若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理． 一十五．勾股定理的逆定理 29．（2023秋•杨浦区期末）下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是　　 A．4，8， B．4，8， C．7，24，25 D．7，14，15 30．（2024春•永兴县校级月考）已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 　　度． 一十六．勾股数 31．（普陀区期末）已知以下各组数中，其中有一组不是勾股数组，那么这组数是　　 A．3、4、5 B．4、5、6 C．5、12、13 D．8、15、17 一十七．勾股定理的应用 32．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，一棵树在一次强台风中在离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成，这棵树在折断前的高度为　　 A．4米 B．6米 C．7米 D．8米 33．（2023秋•徐汇区月考）如图，学校的旗杆高为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高为3米的香樟树．小明发现在旗杆和香樟树之间的连线上有一个位置到旗杆顶部与到树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆底部之间的距离． 一十八．平面展开-最短路径问题 34．（2021秋•徐汇区校级月考）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边的行程，若上、下行速度都是3米分钟，横行速度是4米分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形的面积为，而且机器人走的路线较短？ 一十九．等腰直角三角形 35．（2021秋•奉贤区校级期末）已知：如图在中，且，是边上一点，是边上一点，，若为等腰三角形，则的度数为　　． 36．（2022秋•杨浦区校级期中）等边内接于等腰直角（直角边长为内，且平行斜边，那么的面积是多少？ 二十．命题与定理 37．（2023秋•浦东新区校级期末）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是　　 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 38．（2023秋•静安区校级期末）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果那么”的形式为 　 　． 二十一．轨迹 39．（2022秋•普陀区校级期中）到点、两点的距离之和为5的点的轨迹是　　 A．线段的垂直平分线 B．以、为端点的线段 C．线段的延长线 D．与线段的距离为4的两条平行直线 40．（2023秋•闵行区期末）经过定点且半径为的圆的圆心的轨迹是　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 几何证明 章节整合练习（21个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 知识点2．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点3．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点4．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点5．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点6．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点7．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点8．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点9．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点10．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点11．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点12．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点13．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点14．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点15．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点16．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点17．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点18．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 知识点19．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 知识点20．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点21．轨迹 轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等． 章节题型整合练习 一．两点间的距离公式 1．（2023秋•杨浦区期末）若点在轴上，点坐标是，且，则点的坐标是 　　． 【分析】设出的坐标，利用两点距离公式，求出的坐标． 【解答】解：由题意设，因为， ， 解得：或， 所以点的坐标是或， 故答案为：或， 【点评】此题考查点的坐标问题，关键是两点间距离公式的应用，考查计算能力． 2．（2023秋•长宁区校级期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 　　 【分析】直接利用两点间的距离公式求解． 【解答】解：、， 点和点的距离． 故答案为：． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 二．平行线的判定与性质 3．（2021秋•普陀区期末）如图，已知与互补，，如果，那么的度数是 　　． 【分析】由平行线的判定与性质可求得，结合垂线的定义可求解． 【解答】解：与互补， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，垂线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 4．（2023秋•浦东新区期中）如图，点，在直线上，，． （1）求证：． （2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，再求的度数． 【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等两直线平行即可得答案； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数． 【解答】（1）证明：，， ， ； （2）解：， 即， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 三．三角形内角和定理 5．（2022秋•长宁区校级期中）已知的三个内角满足，则该三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：，， ， 解得：， 该三角形是直角三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 6．（2023秋•徐汇区月考）已知：如图，在中，平分，点是的中点，，交的延长线于点．求证：． 【分析】先证明得到，再证明，得到，结合三角形内角和定理即可证明． 【解答】证明：， ， 平分， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，熟记以上知识点是解题的关键． 四．三角形的外角性质 7．（2023秋•徐汇区月考）和是两个外角的平分线，则为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得，，由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得与的关系，从而计算出的度数． 【解答】解：如图，、是的外角平分线， ，， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理．解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 8．（2023秋•松江区校级月考）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则　　度． 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，，，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得． 【解答】解：如图，过点作三边的垂线段，，， 三角形的两个外角和的平分线交于点， ，， ， 在的角平分线上，即是的角平分线， ． 故答案为：25． 【点评】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 五．直角三角形全等的判定 9．（2020秋•浦东新区校级月考）如图，在中，，于点，于点，和相交于点，的延长线交于点，则图中全等的直角三角形有　　对． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】全等三角形有，，，，，，根据全等三角形的判定和性质定理证明即可． 【解答】解：全等三角形有，，，，，，共6对， 理由是：，， ，， 在和中， ， ， ，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 同理：， 在和中， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确运用全等三角形的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有；②全等三角形的对应边相等，对应角相等． 10．（2023秋•普陀区校级期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一组锐角和斜边分别对应相等 B．两个锐角分别对应相等 C．两组直角边分别对应相等 D．斜边和一组直角边分别对应相等 【分析】由直角三角形全等判定依次判断可求解． 【解答】解：、若一组锐角和斜边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，故选项不符合题意； 、若两个锐角分别对应相等，不能证明这两个直角三角形全等，故选项符合题意； 、若两组直角边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，故选项不符合题意； 、若斜边和一组直角边分别对应相等，可证这两个直角三角形全等，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练运用直角三角形的全等判定是本题的关键． 六．全等三角形的判定与性质 11．（2023秋•浦东新区期末）在中，是边上的中线，，如果，，那么的长是 　　． 【分析】过点作交的延长线于，利用证明，得，，再利用勾股定理即可得出答案． 【解答】解：如图，过点作交的延长线于， 是边上的中线， ， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．（2023秋•杨浦区期末）如图，点、、、在同一直线上，，垂足为，，垂足为，、相交于点，且，．求证：． 【分析】由“”可证，可得，可得结论． 【解答】证明：， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 七．角平分线的性质 13．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解． 【解答】解：在上截取，连接， ， ， 点是平分线上的一点， ， 在和中， ， ， ， ， 解得， 不可能为7， 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键 14．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，△中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）直接写出的度数　　； （2）求证：平分； （3）若，，且，求△的面积． 【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到，然后根据即可解答； （2）如图：过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【解答】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）证明：如图：过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：，，， ， 即，解得， ， ． 【点评】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 八．线段垂直平分线的性质 15．（2023秋•黄浦区校级期中）如图，中，、两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则　62　． 【分析】首先根据角平分线定义得到．结合为的中垂线，可得．然后根据三角形的内角和等于，结合，可以得到的度数，即可得的答案． 【解答】解：为的角平分线， ． 为的中垂线， ， ， ， 又， ． ，，且的内角和为， ， ，， ， 答的度数为． 故答案为：62． 【点评】本题主要考查角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质，可以根据线段垂直平分线和角的平分线结合平角进行解答． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 【分析】过点作于点，连接，如图，先根据角平分线的定义和角平分线的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，接着利用三角形外角性质得到，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后利用等线段代换得到结论． 【解答】证明：过点作于点，连接，如图， ，平分，，， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， 而，， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了角平分线的性质． 九．等腰三角形的判定与性质 17．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，△中，，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．则△的周长等于　　 A．17 B．15 C．12 D．11 【分析】根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，即可推出结果． 【解答】解：， ，， 又平分，平分， ，， ，， △的周长， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明，是解题的关键． 18．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在三角形中，是边上的一点，过点作，交的平分线于点，交的邻补角的平分线于点，求证：． 【分析】由是的角平分线结合平行线的性质得出，从而得出，同理可得：，即可得证． 【解答】证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 同理可得：， ． 【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边是解此题的关键． 一十．直角三角形的性质 19．（2022秋•浦东新区期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交、于、，若，则　　．（用含的代数式表示） 【分析】运用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：线段的垂直平分线交于， ， ， 在中， ，， ，即， 是线段的垂直平分线， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 20．（闵行区校级期中）如图，在中，，是上一点，且． 求证：． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质推知；然后由已知条件求得，即；最后根据的外角性质以及等量代换证得 ． 【解答】证明：在中，， （直角三角形的两个锐角互余）； 又（已知）， ，即， （三角形外角性质）， （等量代换）． 【点评】本题考查了三角形外角性质、直角三角形的性质．直角三角形的两个锐角互余． 一十一．含30度角的直角三角形 21．（2022秋•思明区校级期末）如图，在中，，，如果是的中点，，垂足是，那么的值等于　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据直角三角形的性质得到，，得到，结合图形得到答案． 【解答】解：连接， ，， ，， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 22．（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在中，为边上的中线，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据三角形的中线定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，，再利用三角形的内角和定理可得，最后根据垂直定义可得，从而可得，进而根据同角的余角相等即可解答； （2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答． 【解答】（1）证明：为边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 一十二．直角三角形斜边上的中线 23．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知中，，，分别是斜边上的高和中线，则下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高线，中线的性质逐项判定解答即可． 【解答】解：，是斜边上的中线， ，故选项正确，不符合题意； ， 分别是斜边上的高线， ， ，故选项正确，不符合题意； ， ，故选项正确，不符合题意； 只有当时，，故选项错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 24．（2023秋•青浦区校级期中）△中，，为的中线，，则　　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【解答】解：在△中，，为的中线， ， ， ． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 一十三．勾股定理 25．（2024秋•闵行区校级月考）已知：在△中，，为斜边上的高，如果，，那么　　． 【分析】在△中，，由勾股定理可求出斜边的长度，利用面积法求出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【解答】解：在△中，，，， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要勾股定理，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 26．（2022秋•金山区校级月考）如图，已知△中，，，，点是△边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，速度为每秒，设运动的时间为秒． （1）如图1，若点在上，且，求运动时间． （2）当点在边上运动时，求能使△成为等腰三角形的运动时间． 【分析】（1）根据“路程速度时间”用含的代数式表示出，再由写出与的数量关系，在△中利用勾股定理列关于的方程并求解即可； （2）分别求出、、时的值，从而求出运动的路程的值，再根据“路程速度时间”列关于的方程并求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， 在△中利用勾股定理，得，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 运动时间为秒． （2）如图，连接． 在△中利用勾股定理，得． ①当时： ， ， ， 解得； ②当时： 过点作交于点． ， ， 在△中利用勾股定理，得， ， ， ， ， 解得； ③当时： 过点作交于点． ， ， ， ， ， ， ， 解得． 综上，能使△成为等腰三角形的运动时间为秒或12秒或13秒． 【点评】本题考查勾股定理、一元一次方程的应用、角的计算、等腰三角形的判定，掌握勾股定理、等腰三角形的性质及一元一次方程的解法是解题的关键． 一十四．勾股定理的证明 27．（2023秋•杨浦区期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 　　． 【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出和的长，进而可得的值． 【解答】解：小正方形的面积是25， ， ， ， 大正方形的面积为49， ， ， 设， 则， 在中：， 解得：，， 当时，， 当时，， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了勾股定理和锐角三角函数，关键是掌握勾股定理的应用． 28．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点． （1）求证：； （2）如果． ①求证：； ②若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理． 【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立； （2）①根据可以证明结论成立； ②根据，代入字母计算即可证明结论成立． 【解答】证明：（1），于点， ，， ； （2）①于点，于点， ， 由（1）知：， 在和中， ， ， ； ②由图可知： ， ， 化简，得：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 一十五．勾股定理的逆定理 29．（2023秋•杨浦区期末）下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是　　 A．4，8， B．4，8， C．7，24，25 D．7，14，15 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、，能够成直角三角形，故本选项错误； 、，能够成直角三角形，故本选项错误； 、，能够成直角三角形，故本选项错误； 、，不能够成直角三角形，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查的是如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 30．（2024春•永兴县校级月考）已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 　　度． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：， 此三角形是直角三角形，2是斜边， 直角三角形的斜边等于一个直角边的一半， 它的最小角为． 故答案为：30． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 一十六．勾股数 31．（普陀区期末）已知以下各组数中，其中有一组不是勾股数组，那么这组数是　　 A．3、4、5 B．4、5、6 C．5、12、13 D．8、15、17 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可． 【解答】解：、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； 、，不能构成直角三角形，故不是勾股数； 、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； 、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数． 故选：． 【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方． 一十七．勾股定理的应用 32．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，一棵树在一次强台风中在离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成，这棵树在折断前的高度为　　 A．4米 B．6米 C．7米 D．8米 【分析】根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意米， ， 米， 米． 故选：． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 33．（2023秋•徐汇区月考）如图，学校的旗杆高为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高为3米的香樟树．小明发现在旗杆和香樟树之间的连线上有一个位置到旗杆顶部与到树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆底部之间的距离． 【分析】根据题意可得：，，，由于，根据勾股定理得到方程求解即可． 【解答】解：根据题意可得：，，． 如图，设该位置为点，且 ．， 由题意得：，则， ， 解得：， ， 由可知，该位置是存在的． 答：该位置与旗杆之间的距离为6米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 一十八．平面展开-最短路径问题 34．（2021秋•徐汇区校级月考）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边的行程，若上、下行速度都是3米分钟，横行速度是4米分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形的面积为，而且机器人走的路线较短？ 【分析】设安排机器人上行的时间为分钟，则下行的时间为分钟，横行的时间为分钟，根据面积为，列出方程即可解决问题． 【解答】解：设安排机器人上行的时间为分钟，则下行的时间为分钟，横行的时间为分钟， 根据题意得： ， 解得或， 当时，机器人走的路程为： （米； 当时，机器人走的路程为： （米， ， 取，从而， 安排上、下行和横行的时间分别为3分钟，3分钟，2分钟． 【点评】本题主要考查了矩形的面积，一元二次方程的应用，读懂题意，设出合适的未知数列出方程是解题的关键，注意对答案的取舍． 一十九．等腰直角三角形 35．（2021秋•奉贤区校级期末）已知：如图在中，且，是边上一点，是边上一点，，若为等腰三角形，则的度数为　或　． 【分析】分两种情形：或分别求解即可解决问题． 【解答】解：当时，，， ， ， ， ， ， ，， ， 当时，， ， ， ， ，， ， 故答案为或． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 36．（2022秋•杨浦区校级期中）等边内接于等腰直角（直角边长为内，且平行斜边，那么的面积是多少？ 【分析】连接，过点作于点，易证是的垂直平分线，点为的中点，，，，可得，由勾股定理可得：，求得，，即可求得的面积． 【解答】解：如图，连接，过点作于点， 是等腰直角三角形，， 也是等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， 是的垂直平分线， ， 由三线合一可得：点为的中点， 的直角边长为， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， ， ， ， ，， 【点评】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理解三角形，用含的式子表示出的长是解题的关键． 二十．命题与定理 37．（2023秋•浦东新区校级期末）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是　　 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：①对顶角相等逆命题是相等的角是对顶角，不成立； ②全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，成立； ③如果两个实数是正数，它们的积是正数逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 38．（2023秋•静安区校级期末）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果那么”的形式为 　 　． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点评】考查了命题与定理的知识，任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 二十一．轨迹 39．（2022秋•普陀区校级期中）到点、两点的距离之和为5的点的轨迹是　　 A．线段的垂直平分线 B．以、为端点的线段 C．线段的延长线 D．与线段的距离为4的两条平行直线 【分析】由点、，先求出，由此能求出平面上到点、距离之和为5的点的轨迹． 【解答】解：点、， ，动点到两定点距离之和为， 动点轨迹为线段． 故选：． 【点评】本题考查点的轨迹的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用． 40．（2023秋•闵行区期末）经过定点且半径为的圆的圆心的轨迹是　 　． 【分析】求圆心的轨迹实际上是求距点5厘米能画一个什么图形． 【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到点的距离等于5厘米的点的集合，因此应该是一个以点为圆心，为半径的圆， 故答案为：以点为圆心，为半径的圆． 【点评】此题考查了轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆． 学科网（北京）股份有限公司 $$