广东省佛山市南海外国语高级中学2024-2025学年高二上学期10月一检数学试题

南海外国语高级中学2024-2025学年第一学期一检考试 高二年级 数学科 答题卷 (全卷150分，考试时间：120分钟) 一、单选题：本盟共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1,某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每湖100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为10%那么以下理 解正确的是() A.某人抽奖100次，一定能中奖10次 B.某人消费1000元，至少能中奖1次 C某人抽奖1次，一定不能中奖 D.某人抽奖10次，可能1次也没中奖 2,在掷一个般子的试验中，事件A表示"向上的面小于5的偶数点出现”，事件B表示“向上的面小于4的 点出现”，则在一次试验中，事件AUB发生的概率为 A月 B月 c月 D.6 3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷同上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷向 上的点数之和是4”，C表示班件“两次抛掷向上的点数之和是7”，则() A,A与B互斥 B.B与C对立 CA与B相互独立D,A与C相互独立 4.经过两点(W5,-V②)，(-√2，V的直线的倾斜角是( A员 B.3 c D 2 5,英高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是亏，若每位面试者共有三次机 会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不间题目能否答 对是独立的，则李华最终通过面试的概率为() 人品 0 B.27 26 C. 8 D. 6.已知{可6为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是() Aa+6,6+b,a-6 B.a+26,6ad C2a+6,2a+5,a+6+E D.a+6+2a,6-2d 7.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止 用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率。用1,2,3,4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利 用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机棋拟 产生了以下18组随机数： 341332341144221132243331112342241244342142431233214344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为() A司 5 B. C. D.18 8如图，在直三按柱ABC-Aa4O中，∠BAC-受，AB=AC=AM=1,已知G与E分别为B和 CC的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF,则线段DF的长度的 高二年级数学科试卷，第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人题在用的用播A印 平方取值范围为) 0.) A后) a传岁 c D.(1,V2) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点W在线段OM上，点P在线段AN上，且AP=3PN, ON-0,设Oi=云，O死=了，O心=亡，则下列等式成立的是( A0丽-8- 日丽-五+-云 c市=邦-江- Do丽-扣+打+ 10.设A,B为两个随机事件，以下命题正确的是( A.若A与B对立，则P(AB)=I B若A与B互乐，P风)=专PD)-克则PA+到-号 C若P(间=P()=,且P(AB)=言，则A与B相互独立 D若A与B湘互数立，P=P()-子，则PA=日 L.已知正方体ABCD-A1BCD的棱长为1，点P满足B驴=λBC+BB,其中A∈0，，4∈0,1， 点E、F分别是DD:、AD1的中点，下列选项不正确的是( A当入=1时，△ABP的面积为定值 B.当入+：=亏时，三棱锥P-CEF的体积为定值 C.存在0<p<入<1使得A1D与平面ABP所成的角为5° D.当L=2时，存在点P,使得A1B1平面ABP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 高二年级数学科试卷，第2页，共4项 CS扫描全能王 3亿人幕在用的月播APP 12.经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1，m),则m= 13,为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面9与水平面。的交线为，小明分别在 水平而a和斜坡面P选取A,B两点，且AB=7,A到直线1的距离AA1=3,B到直线l的距离B,B=4, A1B1=2V3,则该斜坡的y城度是 14.某同学高考后参加国内3所名牌大学A,B,C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大 学A,日，C招生考试的概率分别为二，”，号，该间学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该 6 同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为8，则该同学至少通过1所大学招生考试的獭率为 该同学恰好通过A,B两所大学招生考试的概率最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)在一次抛掷硬币的试验中规定：若正面向上（用数字1表示），质点向东移动1个单位： 若正面向下（用数字0表示），质点向北移动1个单位·甲同学将一枚质地均匀的硬币连续抛掷7B次，则质 点在水平面中从B点经过3次移动后到达乃点，记事件A=“=V5”· ()写出甲同学进行该试验的样本空间Q,并求P(A): (②)如果乙同学技照甲同学完全相同的方式独立的进行试验，记事件B=“B引=3”，求A与B至少有 一个发生的概率， 16(本小题15分)在平面直角坐标系0y中，已知△ABC的边AB,BC的中点分别为B,P,且E号o, F(6,0).·(1)求AC所在直线的斜率；(2)求AC边上的高所在直线的斜率 17.(本小题15分)甲、乙、丙三人组成一组，参加一个间关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关 成功的概率为了甲、乙都闻关成功的频率为后，乙、丙都间关成功的概率为后， 每人阅关成功记2分，三 人得分之和记为小组团体总分， (1)求乙、丙各自阀关成功的概率；(2)求团体总分为4分的概奉： 高二年级数学科试卷，第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的月播A时 18.(本小题I7分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中，AA1=AB▣AC=1,AB⊥AC,M,N, Q分别为CC,BC,AC的中点，点P在线段A1B1上运动. (1Y正明：AM⊥平面PNQ: (2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC的夹角为6O°？若存在，试确定点P的恤置：若不存在， 请说明理由. 19.(本小题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥.平面ABCD,PALAB,PA=AD=4, BCI/AD,AB⊥AD,AB=BC=2,PE=APC0≤X<1). 1 ()若入=，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值： 回设二面角B-AB-C的大小为0，若as到-2医，求入的值， (③)阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值：若不是， 说明理由。 “链接”运用空间向量求异面直线间的距离 如图，设A，P分别为异面直线a,b上的点，元是与直线a,b都垂直的向量，从而异面直线a,b间的 距离为4-.可，即为向量示在向量元上的投影向量的模。 高二年级数学科试卷，第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的月描A单 南海外国语高级中学2024-2025学年高二年级第一学期 数学科一检试卷·参考答案和部分解析 一、选择题 2 8 9 10 11 D B D BD BD ACD 二、填空题 12. 13.3 4名品 8.【解析】本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查枝柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识， 考查运算求解能力，属于拔高题 根据直三棱柱中三条棱两两垂直，可建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量GD,E户的坐标， 利用CD⊥EF求得x与y的关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A0,00),E0,1,Gr,0,, 设F(x,0,0),D(0,,0),其中0<x<1,0<y<1, G刃=(2-0㎡=e,-1 GD⊥EF, 1 六22-+2=0， =1-划，0<y<分 D1=V+F=V-2P+护=V网-g+1=V5-3+月 高二年级数学科试卷，第1页，共B页 CS扫描全能王 3亿人都在用的月描A单 当y=号时，蚊及DP长度的最小值是后 又y=0时， 211 V5-+后=1 故线段DF的长应的取值范用是：【 . 11.【解析】木题以正方体为栽体，考查向量的运算及向量共俄的条件，三梭锥的体积问题，线面垂直的判 定，属于较难题。 对于A,当入=1时，可确定P在线段CC上运动，即可判断A: 对于B,取BB的中点M,BC的中点N,建立空间直角坐标系，当入+u=时，可确定P在线段MN 上运动，结合MN∥平面CEF,可得P到平面CEF的距离是定值，结合三梭锥的体积公式，即可判断 、B 对于C,建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用法向量求直线与平面所成的角的正弦，即可 判断C; 对于D,L=时，再取CC的中点Q,则P在线段MQ上运动，利用线面垂直的判定定理，问题转化为 只需AB在平面BCCB1上的射影BB1与BP垂直，即可判断D, 解：对于A,当入=1时，B乎=Bd+BB=B0+uCC, 此时P在线段CC上运动，在△AB1P中，AB1=√2，AB不平行于CC,则P到AB1的距离不是定值， 因此△ABP的面积不为定值，故A错误： 对于B,以BC为x轴，BA为V轴，BB为z轴建立空间直角坐标系，则BC=(L,0,0),BB=(0,0,1), .B萨=ABC+BB=(（,O,M,又入+4=行：取BB的中点M,BC的中点N,则点P在线段MN 上运动。又M的坐标为Q0,,的坐标为（传0,0），5的坐标为(（合，），F的坐标为(1,1）， M不=0，，=分0，克MN∥EF,又 MN￠平面CEF,EFC平面CEF,∴.MN∥平面CEF, ∴P到平面CEF的距离是定值，△CEF的面积也是定值，，三棱锥P-CEF的体积也是定值，故B 正确： 对于C,BA=(0,1,0,B乎=(X0,,设平面ABP的法向量为元=(x,头刘，则 9=0 z以+=0：令x=4,则z=-入.=(4,0，-月，又Ad=(11,0)-0,1,1)=1,0,-), 高二年级数学科试卷，第2页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的月描A时 小a孤到万血行 2,得出=0，又0<u<A<1, 故C错误： 对于D,“=时，歌=C+超可. D 取CC的中点Q,则P在线段MQ上运动， 因为A1B⊥AB,要使AB⊥平面ABP,只需A,B⊥B1P, 只需AB在平面BCCB上的射影BB与BP垂直即可， 因为四边形BCCB为正方形，P在MQ上，所以BB与BP不可能垂直，故D错误. 14.【解析】本题考查利用基本不等式求最值、互斥事件与相互独立事件的判断、相互独立事件同时发生的 版率，属于较难题。根据愿意得出三十)一习一？，不利用该同学至少通过1所大学的对立事件是一所大学设 有通过，即可求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率；该同学恰好通A,B两所大学招生考试的概 率，利用基本不等式即可求出该同学恰好通过A,B两所大学招生考试的橛率最大值， 解：因为该同学能通过这3所大学A,B,C招生考试的概率分别为：，”，方 4 且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为8， 5 所以到(-》+2-小计-动宝高整理得z+g-理 15 5 由题意知该同学至少通过1所大学的对立事件是一所大学没有通过， 所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为： 1-0-加--(-到-1-0-e+-训=1-x号- 该同学恰好通A,B两所大学招生考试的概率为：P=(-司》=到。 5 因为x+y-y=,且0<x<1,0<y<1, 5 所以x+y=g+w≥2√可， 即9(V可2-18v同+5≥0.解得0<V同< 高二年级数学科试卷，第3页，共8页 C③扫描全能王 3亿人都在用的月描A时 即0<到≤行当且仅当x=y=时等号成立，所以0<到≤高， 故该同学恰好通过A,B两所大学招生考试的概率最大值为8· 三、解答题 15.解：(1)由题意2={000,001,010,100,110,101,011,111}， 事件A=(001,010,100,110,101,011), 从酒P肉=禍- 1 (②☒由()知P(B)=事件A与B至少有一个发生可以表示为“AUB”, 由籼立事件同时发生的概率公式及概率的性质得 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) -=+x品 4 【解析】本题考查了有限样本空间、样本点，古典概型及其计算，相互独立事件的概率乘法公式，互斥事 件的概率加法公式，属于基础题。 ()由样本空间的定义以及古典概型概率即可求解。 (2)由独立乘法公式以及并事件的橛率公式即可求解。 16.解：四因为武6)，P6,0,所以eF7。-5 5. 因为△ABC的边AB,BC的中点分别为E,F,所以EF∥AC, 12 所以KAC=kBF=5, 12 即AC所在直线的斜率为亏： ②)由四知，AC所在直线的斜率为号， 因为AC边上的高与直线AC垂直， 所以AC边上的高所在直线的斜率为一多， 【解析】本题主要考查直线的斜率、两直线平行的性质及两直线垂直的性质，考查了学生的计算能力，培 养了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题。 高二年级数学科试卷，第4页，共8页 CS扫描全能王 3亿人幕在用的月播AP的 (I)根据题意求得直线EF的斜治，进而利用两直线平行的性质即可求得结果 (②)根据题意利用两直线垂直的性质即可求得结果。 17.【答案】解：(1)设乙闯关成功的概率为乃，丙网关成功的概案为B .1 因为乙丙独立关，根据独立事件同时发牛的概常公式得： B= PP5 1 解阳R-分乃-号 答：乙阀关成功的概率为2丙间关成功的概率为后 (2)闭体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关， 设“团体总分为4分”为事件A, 1、121 则P(A)=山-)×2×写+3×(1-)×+5x 3 答：团体总分为4分的概率为0 【解析】本题考查互斥事件，考查概率的计算，属于中档题 ()设乙阅关成功的概率为R,丙阅关成功的概率为A,根据甲阅关成功的概率为分甲、乙都阅关成功 的概率为。，乙、丙都闯关成功的概率为亏，建立方程组，即可求得乙、丙各自闯关成功的概率： (2)团体总分为(4分)，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而为外一人没过关，出此可求概率 18.解：(1)以点A为坐标原点，AB,AC，,AA1所在直线分别为E轴，y轴，2轴建立如图所示的空间直 角坐标系，则A00,).B,0,M0,1克.N50,Q0号0. 设PA0,0≤A≤，则PN=-号-)，网=(0,0.=0,1月， 因为.网=0，丽=专分0， 高二年级数学科试卷，第5页，北8顶 CS扫描全能王 3亿人题在用的月描Ap印 历以A雨1NQ,A1⊥PN,又NPONQN,NP,NQc平浙PNQ. 所以AM⊥平面PNQ: ☒设元=，到是平面PMN的一个法肉错，丽=(2， 可.N=0.即 2+的+=0 分.PN=0 (与-江+-=0 1+2入 解得 .2-2入 2= 3 令x=3,则y=1+2入，z=2-2入， 所以元=(3,1+2入，2-2入)是平面PMN的一个法向量. 取平面ABC的一个法向量为元=(0,0,1). 假设存在点P,则|cos(元，1=一 2-2州 +1+2训+2-2-克， 化简得4入2-14λ+1=0， 解得入=7-3V5或入=7+3V5(合去). 4 综上，存在点P,且当AP=7-3N5时，满足平面PMN与平平面ABC的夹角为60. 4 【解析】考查线面垂直的判定，二面角，是中档题·利用向量知识解决立体几何问愿的优点在于用代数化的 方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空问向量，是中档题， (1)建立空间直角坐标系，得到点的坐标，由向量数量积证得答案： (2)求出平面PMN的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面PMN与平面ABC所 成的二面角为60°，即可得出结论. I9.解：因为平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,平面PABn平面ABCD=AB,PAC平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD. 齿为ADC平面ABCD,所以PA⊥AD. 又AB⊥AD,所以PA,AB,AD两两互相垂直。 以{AB,AD,A)为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A一xy?. 高二年级数学科试卷，第6页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的月描A时