专题14 线段等分点和动点的四类有关计算-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题14 线段等分点和动点的四类有关计算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段的和与差 1 类型二、线段的中点问题 4 类型三、线段的等分点问题 6 类型四、线段有关的动点问题 12 压轴能力测评（10题） 13 1.线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 图7 备注：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 2线段大小比较方法：叠合法，度量法，圆规法及计算推理法； 3.线段的n等分点 4.线段的双中点模型 ◎结论1：已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC，BC的中点，则MN=AB. ◎结论2：已知点C在线段AB延长线上，点M、N分别是AC，BC的中点，则MN=AB. 已知点C是线段BA 延长线上一点，点 M，N分别是 AC，BC的中点，则MN=AB 总结：无论线段之间的和差关系如何变 ，MN的长度只与AB有关.即MN=AB. 类型一、线段中点的有关计算 例．如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点，一元一次方程与线段数量关系的计算，掌握线段中点，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，由即可求解； （2）设，则，根据题意可得，，解得，由此即可求解的长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴． 【变式训练1】．已知：如图，点C在线段上，点M、N分别是、的中点． (1)图中线段一共有　　条； (2)若，，求线段的长； (3)若，，则线段的长用含a，b的代数式可以表示为　　　． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段的定义，线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握定义，数形结合． （1）根据线段的定义进行判断即可； （2）根据线段中点定义求出，，然后得出答案即可； （3）根据线段中点定义得出，根据线段间的关系得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：图中线段有、、、、、、、、、，共10条． （2）解：∵点M、N分别是、的中点， ∴，， ∴． （3）解：∵，点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴． 【变式训练2】．如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长． 【答案】2.5 【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系． 可设，，，再根据求出k的值，故可得出线段的长度，再根据P是的中点可求出的长，由即可得出结论 【详解】解：如图，， 可设，，， ∵，即 ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ． 【变式训练3】．如图，点在线段上，点，分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，其他条件不变，你能猜想的长度吗并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查线段两点间距离；熟练掌握线段的中点定义，利用线段之间的和差关系进行解题是关键： （1）由中点的定义可得，，，再由线段之间的关系得到，将已知条件代入即可； （2）由（1）得到的即可求解． 【详解】（1）解：、分别是、的中点，，， ，， ； （2）解：， 理由是：、分别是、的中点， ，， 又， ． 类型二、线段n等分点的有关计算 例．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 【答案】(1)线段，线段，线段，线段，线段，线段 (2) 【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的三等分点等知识点，根据三等分点确定各线段的长度成为解题的关键． （1）根据线段的定义确定各线段即可； （2）根据线段的三等分点可得，， ，然后求出各线段的和即可． 【详解】（1）解：图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段． （2）解：∵线段，M、N为线段的三等分点， ∴， ， ， ∴这些线段长度的和是． 【变式训练1】．如图，将线段延长到点C，使，延长到点D，使，延长到点E，使．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出来线段的和差计算，一元一次方程的应用： （1）先求出，进而求出，则，由此即可得到； （2）设，则，．根据题意，得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则，，． 根据题意，得， 解得． ∴的长为． 【变式训练2】．已知：点在同一条直线上，线段，点是线段的三等分点，求线段的长．    【答案】的长为或或或． 【分析】本题考查了线段的和差计算，三等分点的含义，数形结合、分类讨论是解题的关键．本题分四种情况讨论：如图，当在的右边，时，如图，当在的右边，时，如图，当在的左边，时，如图，当在的左边，时，再求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的三等分点， ∴或， 如图，当在的右边，时，    ∵， ∴， 如图，当在的右边，时，    ∴， 如图，当在的左边，时，    ∴， 如图，当在的左边，时，    ∴； 综上：的长为或或或． 【变式训练3】．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ 故答案为：3； （2）由题意可得：， ∴， 点是线段的三等分点，分两种情况： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：当为或时，点是线段的三等分点； 由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 点，点分别是，的三等分点，的值为或或． 类型三、线段的数量关系 例．如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查非负数的性质，线段和差倍分的计算，分类讨论是解题的关键． （1）依据非负数的性质可知，，从而可求得m、n的值； （2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段、的中点”，先计算出、的长度，然后计算；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得的长度； （3）先求得，然后求得，从而可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：①点C在点B右边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； ②点C在点B左边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； 综上，． （3）证明：当点B与点D重合时，如图： ， ， ． ， 即． 【变式训练1】．如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【答案】(1)16 (2) (3)有变化，4 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段间的数量关系． （1）根据线段间的数量关系，求出，，然后求出结果即可； （2）根据线段间的数量关系进行解答即可； （3）先求出，再求出，根据线段间的数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：有变化． 理由如下：当C点在的延长线时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长度有变化． 【变式训练2】．某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中，对“线段中点”问题进行探究，已知线段 ，点 E、F 分别是线段、的中点. (1)如图 1，若点 C 是线段 上任意一点,求线段 的长度， (2)如图 2，若点 C 是线段延长线上的一点，求线段 的长度 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】此题主要考查了线段的和差，线段的中点的相关计算．熟练掌握各线段之间的数量关系，线段中点的定义，是解决问题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，，根据，， 即得； （2）根据线段中点的定义得到，，根据，，即得． 【详解】（1）∵点 E、F 分别是线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， 故线段 的长度为； （2）∵点 E、F 分别是线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， 故线段 的长度为． 【变式训练3】．已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上． (1)如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段和差倍分的计算，掌握线段中点、三等分点的概念是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，于是得到； （2）根据，，得到，，求得，，于是得到结论． 【详解】（1）解： 线段，点是线段的中点， ， ， ； （2）点在线段上，，， ，， ，， ，， ． 类型四、与线段有关的动点问题 例．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 【变式训练1】．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）由已知条件得、的长，由即可求解； （2）由已知条件得，，由，即可求解； （3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解； （4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解； 能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ， ， 故答案：；； （2）解：由题意得 ，， ； 故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ， ， 即 ， 又 ， ， ， ． 故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 【变式训练2】．【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点 ； （2）设运动时间为，则 ． 【变式训练3】．点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)当t为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点 【分析】（1）根据“最强点”的定义计算即可； （2）根据“最强点”的定义列式即可； （3）将点、的运动分成未相遇，相遇后，点经过点后，和点到达点后四种阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的点的情况． 【详解】（1）∵点是的最强点， ， ，， ， 故答案为：； （2）∵是的最强点， ， ， 又，， ， ， 故答案为：； （3）解：根据题意，当时、相遇， ， 解得， 阶段一：点、未相遇时，即时， ①设时点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴满足题意； ②设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时， ③设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； ④设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时， ⑤设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； ⑥设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴不符合题意，舍去； 阶段四：点到达点后，即时， ∵， ∴点不可能为的最强点； ⑦设时，点为的最强点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； 综上所述，当为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点等问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键． 1．已知：如图，B、C是线段上两点，且，M是的中点，，求线段的长． 【答案】12 【分析】本题考查，线段的和差，线段中点，一元一次方程．利用方程的思想求解是解题的关键． 根据线段的比例，可设未知数，根据线段的和差，可得AD的长度，根据线段中点的性质，可得MD的长，根据线段的和差，可得方程，求解方程，即可求得答案． 【详解】解∶设，，，则， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 2．如图，已知线段，为的中点，点在上，点为的中点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 根据为的中点，且可直接得出的长，再根据与的长可直接得出结论． 【详解】解：是的中点， ； 为的中点，且， ； ，， ． 3．直线l上的三个点A、B、C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1， ，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”． 若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，． (1) ． ； (2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度． 【答案】(1)4；12或4 (2)或 【分析】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是分情况讨论． （1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，然后分两种情况，求解即可； （2）根据点G是线段的中点，结合（1）分两种情况即可求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点P是点M关于点N的“半距点”，． ∴， 若点P在射线上，； 若点P在线段上，； 综上所述，或4； 故答案为：4；12或4 （2）解：若点P在射线上， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴； 若点P在线段上， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，线段的长度为或． 4.【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，② ，③，即可求解； （3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得， ②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或，理由如下： ①当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，   ， ，， ， ， 解得：， (ⅱ)如图，   ， ，， ， ， 解得：； ②当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，   ， ，， ， ， ， ， 解得：； (ⅱ)如图，   ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键． 5．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，．    (1)比较大小： ______（填“”、“”或“”）； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段之间的数量关系， （1）根据得出即可得出； （2）先根据，且，求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，根据图形填空和解答． (1)图中共有线段 条； (2) ； (3)若D是的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)6 (2) (3)． 【分析】本题主要考查线段的和差关系及线段中点的性质，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键； （1）根据图形可直接进行求解； （2）根据线段的和差关系可进行求解； （3）由题意可设，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：图中有线段，共6条； 故答案为：6； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵D是的中点，且， ∴， 设，则有，则有， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 7．有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点． (1)如图，的长为 　 　cm； (2)继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为的三段，当，则细线未剪开时的长为 　 　． 【答案】(1)4 (2)2或6 【分析】本题主要考查了线段中点的计算，根据条件得出线段之间的关系式是解题的关键． （1）根据点与是线段的中点即可得到答案； （2）根据条件得到，分两种情况：当时以及当时讨论即可． 【详解】（1）解：点为的中点，点为的中点， ∴，， ∴； （2）解：，细线剪开后分成三段， ， 当时，， ， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 8．如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点．    (1)当时，求线段的长度； (2)当t为何值时，点P恰好是的中点？ (3)当t为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点， （1）如图：当时，先求出，然后再求出，最后根据求解即可； （2）先求出，再说明，然后由即可求得t； （3）分P在线段上和P在线段延长线上两种情况解答即可． 【详解】（1）当时，． ∵点为的中点，    ∴， ∴． （2）∵点为的中点， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）当点在线段上时，，   ， ∴， 解得． 当在线段的延长线上时，，   ， ∴， 解得． ∴或． 9．如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2 (2)3 (3) 【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． （1）根据同类项的定义列方程即可得到结论； （2）设，则，根据题意列方程即可得到结论； （3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则 设，则，      故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，， 解得：， ②当点在线段的延长线上时，， 解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 10．线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒． (1)当t＝6时，AC＝　 　． (2)用含t的式子表示线段AC的长； 当0≤t≤5时，AC＝　 　； 当5＜t≤10时，AC＝　 　． (3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长， 【答案】(1)8 (2)，； (3)的长度不变，长度为5 【分析】（1）根据点的运动速度和可得答案； （2）根据路程速度时间可求的长度； （3）分情况讨论，再根据线段中点的定义可得答案． 【详解】（1）当时，动点运动了个单位， ， ． ． 故答案为：8； （2）当时，； 当时， ． 故答案为：，； （3）当时， ； 当时， ； 故的长度不变，长度为5． 【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 线段等分点和动点的四类有关计算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段的和与差 1 类型二、线段的中点问题 4 类型三、线段的等分点问题 6 类型四、线段有关的动点问题 12 压轴能力测评（10题） 13 1.线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 图7 备注：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 2线段大小比较方法：叠合法，度量法，圆规法及计算推理法； 3.线段的n等分点 4.线段的双中点模型 ◎结论1：已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC，BC的中点，则MN=AB. ◎结论2：已知点C在线段AB延长线上，点M、N分别是AC，BC的中点，则MN=AB. 已知点C是线段BA 延长线上一点，点 M，N分别是 AC，BC的中点，则MN=AB 总结：无论线段之间的和差关系如何变 ，MN的长度只与AB有关.即MN=AB. 类型一、线段中点的有关计算 例．如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【变式训练1】．已知：如图，点C在线段上，点M、N分别是、的中点． (1)图中线段一共有　　条； (2)若，，求线段的长； (3)若，，则线段的长用含a，b的代数式可以表示为　　　． 【变式训练2】．如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长． 【变式训练3】．如图，点在线段上，点，分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，其他条件不变，你能猜想的长度吗并说明理由． 类型二、线段n等分点的有关计算 例．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 【变式训练1】．如图，将线段延长到点C，使，延长到点D，使，延长到点E，使．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【变式训练2】．已知：点在同一条直线上，线段，点是线段的三等分点，求线段的长．    【变式训练3】．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 类型三、线段的数量关系 例．如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【变式训练1】．如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【变式训练2】．某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中，对“线段中点”问题进行探究，已知线段 ，点 E、F 分别是线段、的中点. (1)如图 1，若点 C 是线段 上任意一点,求线段 的长度， (2)如图 2，若点 C 是线段延长线上的一点，求线段 的长度 【变式训练3】．已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上． (1)如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度（用含a的式子表示）． 类型四、与线段有关的动点问题 例．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【变式训练1】．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【变式训练2】．【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【变式训练3】．点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 1．已知：如图，B、C是线段上两点，且，M是的中点，，求线段的长． 2．如图，已知线段，为的中点，点在上，点为的中点，且，求的长． 3．直线l上的三个点A、B、C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1， ，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”． 若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，． (1) ． ； (2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长度． 4.【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    5．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，．    (1)比较大小： ______（填“”、“”或“”）； (2)若，，求的长． 6．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，根据图形填空和解答． (1)图中共有线段 条； (2) ； (3)若D是的中点，，，求线段的长． 7．有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点． (1)如图，的长为 　 　cm； (2)继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为的三段，当，则细线未剪开时的长为 　 　． 8．如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点．    (1)当时，求线段的长度； (2)当t为何值时，点P恰好是的中点？ (3)当t为何值时，？ 9．如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 10．线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒． (1)当t＝6时，AC＝　 　． (2)用含t的式子表示线段AC的长； 当0≤t≤5时，AC＝　 　； 当5＜t≤10时，AC＝　 　． (3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$