专题15 角的计算八种类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题15 角的计算八种类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、角的计数问题 3 类型二、角的单位及其换算 5 类型三、方位角 6 类型四、钟面角 7 类型五、角的大小比较 9 类型六、角的和差 10 类型七、角的n等分线 12 类型八、余角和补角的有关计算 13 压轴能力测评 15 1 角的概念 定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2角的表示 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 备注：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3 角的分类 角可以分为锐角、直角、钝角和平角 4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角。 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 5 钟面角 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 由两指针的夹角度数判断钟表的时刻：将钟表中时针与分针的夹角问题可转化为行程问题与角的问题结合的应用题，利用方程思想可以使复杂的问题变得直观，易于解决。 6 角的度量 角度制及其换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 7 钟表里的旋转角度问题 在钟表中每个大格的夹角是30°，每个小格的夹角是6°；时针每分钟转30°÷60=0.5°，分针每分钟转360°÷60=6°，将这些结论与行程问题结合，便可解决钟表里的旋转角度的问题。 类型一、角的计数问题 例．（1）观察图形并填写下表： 图形 射线的条数 锐角的个数 （2）进一步思考：在一个锐角的内部画出n条射线时，图中共有_______条射线，共有_______个锐角． 【变式训练1】．阅读理解: 我们知道:一条线段有两个端点，线段和线段表示同一条线段.  若在直线上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有 条;若取了四个不同的点，则共有线段 条;…;依此类推，取了个不同的点，共有线段条.(用含的代数式表示) 类比探究: 以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线. (1)若引出两条射线，则所得图形中共有 个锐角; (2)若引出条射线，则所得图形中共有 个锐角.(用含的代数式表示) 拓展应用: 一条铁路上共有8个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票? 【变式训练2】．（1）数一数图①中共有 个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角． （2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？ 【变式训练3】．回答下列问题： (1)如图①所示，当以点 为端点的射线有 条时，图中共有___________个角，它们分别是___________； (2)如图②所示，当以点 为端点的射线有 条时，图中共有___________个角，它们分别是___________； (3)如图③所示，当以点 为端点的射线有 条时，图中共有___________个角，它们分别是___________； (4)当以点 为端点的射线有 为大于或等于 的正整数）条时，请你猜想共有___________个角，并简述理由． 类型二、角的单位及其换算 例．计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【变式训练1】．计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练2】．（1）； （2）． 【变式训练3】．计算： (1)； (2)． 类型三、方位角 例．根据下列语句，画出图形（用铅笔作图）． (1)已知四点、、、． ①画直线AB，射线，线段； ②在图中确定一个O，使得点O到四个点，，，的距离之和最短． (2)如图，一艘货轮在沿某小岛北偏东方向航行中，发现了一座灯塔A．某一时刻，灯塔A与货轮分别到小岛的距离恰好相等，作图确定点位置，用量角器度量得到此时的度数是______°（精确到度）． 【变式训练1】．李叔叔坐船从甲港出发沿北偏东方向行驶到达乙港办事． (1)在图中画出李叔叔坐船从甲港到乙港的路线图； (2)办完事后，他坐船按原路线返回，他沿 方向行驶 到达甲港． 【变式训练2】．如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【变式训练3】．如图，在观测站O测得渔船A在它的东北方向上，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船B与渔船A位于不同的捕渔区，在观测站O观看两艘渔船的视角，求渔船B相对观测站O的方向． 类型四、钟面角 例．用方程研究钟表中的数学问题： (1)求时钟在点分时分针与时针之间的夹角的度数； (2)从时至时，钟表上的时针与分针经过多少分钟成的角？ (3)从时至时，钟表上的秒针与时针共有几次成的角？ 【变式训练1】．探究实验：《钟面上的数学》 实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想． 实验准备：机械钟（手表）一只 实验内容与步骤： （一）观察与思考： (1)时针每分钟转动______，分针每分钟转动______． (2)从3点整到3点20分，分针转动的角度为______． （二）操作与探究： (3)若时间为，则钟面角为______°（钟面角是时针与分针所成的夹角）． (4)1点整到3点整之间，钟面角为的情况有______种． （三）拓展延伸： (5)晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看时钟，发现此时时针和分针在同一直线上，他做完作业，八点不到，此时，时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间？（直接写出答案） 【变式训练2】．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【变式训练3】．钟面上的数学 【基础知识】 钟表上，时针每小时转动的角度是． （1）时针每分钟转动的角度是，等于多少分？等于多少秒？ 【问题初探】 （2）在某一天的5点到6点之间（包括5点整和6点整），假设这一时刻是5点分． ①求时针和分针重合时的值； ②求用含有的代数式表示时针与分针的夹角． 【类比分析】 （3）小明17点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是，他做完作业后还是当天17点多钟，且时针和分针的夹角还是，求小明做作业用了多少分钟． 【学以致用】 （4）在某一天5点15分到5点16分之间，当秒针是时针和分针的角平分线时，请求出此时的时间． 类型五、角的大小比较 例．对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【变式训练1】．如图所示，写出图中符合下列条件的角．    (1)能用一个大写字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中所有小于平角的角． (4)若，，请比较与的大小． 【变式训练2】．如图，平面内有两个点A，B．应用量角器、圆规和带刻度的直尺完成下列画图或测量： （1）经过A，B两点画直线，写出你发现的基本事实； （2）利用量角器在直线AB一侧画； （3）在射线BC上用圆规截取BD＝AB（保留作图痕迹）； （4）连接AD，取AD中点E，连接BE； （5）通过作图我们知道．，观察并测量图形中的角，写出一组你发现的两个角之间可能存在的数量关系． 【变式训练3】．（1）等于多少分？等于多少秒？ （2）和相等吗？如不相等，哪一个大？ 类型六、角的和差 例．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知． (1)求的度数． (2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值． 【变式训练1】．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【变式训练2】．阅读理解 线段类多解问题：已知，点A、B、C在同一直线上，且，，求的长． 解：①如图1当点C在点B的右侧时 ②如图2当点C在点B的左侧时 综上所述或4．    (1)类比上述过程解决类多解问题：同一平面内，，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若是角平分线，是角平分线，求的度数． (3)若同一平面内，，是角平分线，是角平分线，直接用含x的式子表示出． 【变式训练3】．如图，已知，射线从位置出发，绕点按顺时针方向旋转，每秒旋转；与此同时，射线从位置出发，绕点按逆时针方向旋转，每秒旋转，当时，与同时停止运动． (1)第15秒时，_______°，当平分时，_______°. (2)当时，求旋转的时间. 类型七、角的n等分线 例．如图，点在直线上，，射线在内部，且． (1)若是的平分线，求的度数． (2)设，用含的式子表示，并写出推导过程． 【变式训练1】．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【变式训练2】．在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数． (2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值． (3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【变式训练3】．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 类型八、余角和补角的有关计算 例．阅读解题过程，回答问题． 如图，在内，和都是直角，且，求的度数． 解：过O点作射线，使点M，O，A在同一直线上． ， ，    (1)如果，那么等于多少度？如果，那么等于多少度？ (2)如果，求的度数． 【变式训练1】．与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）． (1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上， ①请找出图中与相等的一个角，并说明理由； ②若的度数比的度数的一半小，求的度数． (2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数． 【变式训练2】．已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 【变式训练3】．如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 1．下图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A．B．C． D． 2．如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A．B． C．   D．   3．上午9时整，钟面上分针与时针成（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 4．如图，是直角，则射线表示的方向是（ ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 5．如图所示，射线在东北方向，，则的方向是（   ） A．南偏西 B．西偏南 C．西偏南 D．南偏西 6．若，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    8．计算： (1) (2) 9．李明在“玩转三角尺”活动课上，将一把三角尺的直角顶点放在直线上的点处，如图1所示．（注：） (1)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转一定角度至图2位置时，若，则______． (2)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转，在旋转过程中，当时，求此时的度数．（提示：分情况讨论） 10．直角三角尺的直角顶点在直线上，平分． (1)在图中，若，求的度数； (2)在图中，若，直接写出的度数（用含的式子表示）； (3)将图中的三角尺绕顶点旋转至图的位置，写出与之间的关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 角的计算八种类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、角的计数问题 3 类型二、角的单位及其换算 7 类型三、方位角 9 类型四、钟面角 13 类型五、角的大小比较 19 类型六、角的和差 22 类型七、角的n等分线 28 类型八、余角和补角的有关计算 33 压轴能力测评 38 1 角的概念 定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2角的表示 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 备注：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3 角的分类 角可以分为锐角、直角、钝角和平角 4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角。 （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 5 钟面角 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 由两指针的夹角度数判断钟表的时刻：将钟表中时针与分针的夹角问题可转化为行程问题与角的问题结合的应用题，利用方程思想可以使复杂的问题变得直观，易于解决。 6 角的度量 角度制及其换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 7 钟表里的旋转角度问题 在钟表中每个大格的夹角是30°，每个小格的夹角是6°；时针每分钟转30°÷60=0.5°，分针每分钟转360°÷60=6°，将这些结论与行程问题结合，便可解决钟表里的旋转角度的问题。 类型一、角的计数问题 例．（1）观察图形并填写下表： 图形 射线的条数 锐角的个数 （2）进一步思考：在一个锐角的内部画出n条射线时，图中共有_______条射线，共有_______个锐角． 【答案】（1）从左到右，第一行：2，3，4，5；第二行：1，3，6，10；（2）， 【分析】（1）由图易得射线的条数，锐角的个数可由前面一个图形锐角的个数与加上一条射线后增加的锐角的个数的和求得； （2）通过寻找锐角个数与射线条数的统一规律即可求解． 【详解】解：（1）射线的条数自左至右分别为：2，3，4，5； 锐角的个数自左至右第一格为1，第二格为1+2=3，第三格为3+3=6，第四格为6+4=10； 故答案为：从左到右，第一行：2，3，4，5；第二行：1，3，6，10； （2）在一个锐角的内部画出n条射线时，图中共有条射线， ∵画出1条射线时，共有3个锐角，3=， 画出2条射线时，共有6个锐角，6=， 画出3条射线时，共有10个锐角，10=， ……， ∴画出n条射线时，共有个锐角． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了锐角的定义及图形类规律探索问题，解题的关键是掌握锐角的定义并能找出在一个锐角的内部画出射线的条数与锐角个数的统一规律． 【变式训练1】．阅读理解: 我们知道:一条线段有两个端点，线段和线段表示同一条线段.  若在直线上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有 条;若取了四个不同的点，则共有线段 条;…;依此类推，取了个不同的点，共有线段条.(用含的代数式表示) 类比探究: 以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线. (1)若引出两条射线，则所得图形中共有 个锐角; (2)若引出条射线，则所得图形中共有 个锐角.(用含的代数式表示) 拓展应用: 一条铁路上共有8个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票? 【答案】;  (1)6;  (2) ;  拓展应用:  铁路局需为这条线路准备56种车票. 【分析】对于“阅读理解”，假如l上取三点A，B，C，则线段有AB，AC，BC，自己试着总结出规律，再根据线段的定义解答； 类比探究：根据角的定义解答； 拓展应用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答． 【详解】解答： 阅读理三个不同的点，以它们为端点的线段共有3条， 若取了四个不同的点，则共有线段6条，…， 依此类推,取了n个不同的点,共有线段n(n−1)2条； 类比探究： (1)引出两条射线，共有4条射线，锐角的个数为6； (2)引出n条射线,共有n+2条射线,锐角的个数： ； 拓展应用：8个火车站共有线段条数 =28， 需要车票的种数：28×2=56. 故答案为3,6, ;6; ；56. 【点睛】本题考查直线、射线、线段, 角的概念，探究规律，有特殊情况再推广得到一般规律. 【变式训练2】．（1）数一数图①中共有 个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角． （2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？ 【答案】（1）3，6，10；（2）第n个图形共有角的个数： 【分析】（1）根据图形直接数出角的个数即可； （2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：（1）∵，则图①中共有3个角， ，则图②中共有6个角， ，则图③中共有10个角． （2）∵，，， ∴第n个图形共有： ． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，图形的变化规律，根据已知得出数字是连续整数的和是解题关键． 【变式训练3】．回答下列问题： (1)如图①所示，当以点 为端点的射线有 条时，图中共有___________个角，它们分别是___________； (2)如图②所示，当以点 为端点的射线有 条时，图中共有___________个角，它们分别是___________； (3)如图③所示，当以点 为端点的射线有 条时，图中共有___________个角，它们分别是___________； (4)当以点 为端点的射线有 为大于或等于 的正整数）条时，请你猜想共有___________个角，并简述理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，见解析 【分析】（1）把每个角都写出来即可； （2）把每个角都写出来即可； （3）把每个角都写出来即可； （4）由（1）（2）（3）所得的角出发，总结归纳角的数量规律，从而可得答案． 【详解】（1）解：图中共有3个角，分别为 （2）图中共有6个角，分别为 （3）图中共有10个角，分别为 （4）；理由如下： 观察（）（）（）的结论， 可知 ． 由此猜想当以点 为端点的射线有 为大于或等于 的正整数）条时，共有 个角． 【点睛】本题主要考查角的定义与计数，熟练掌握角的定义与计数的方法以及规律探究的方法是解决本题的关键． 类型二、角的单位及其换算 例．计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练1】．计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练2】．（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式训练3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意，． （1）先度分秒分别相加，再根据满进的原则求出即可； （2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 类型三、方位角 例．根据下列语句，画出图形（用铅笔作图）． (1)已知四点、、、． ①画直线AB，射线，线段； ②在图中确定一个O，使得点O到四个点，，，的距离之和最短． (2)如图，一艘货轮在沿某小岛北偏东方向航行中，发现了一座灯塔A．某一时刻，灯塔A与货轮分别到小岛的距离恰好相等，作图确定点位置，用量角器度量得到此时的度数是______°（精确到度）． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了作直线、射线、线段，方向角，两点之间线段最短，根据题目的已知画出图形，并结合图形去分析是解题的关键． （1）①根据直线，射线，线段概念作出图形即可； ②连接、相交于O，根据两点之间线段最短可得点O到A、B、C、D的距离之和最短． （2）先画出表示北偏东方向的射线，再以O为圆心，为半径作弧，交于B，得到等腰，，再用量角器量出的度数即可解答． 【详解】（1）解：①如图所示，直线，射线，线段即为所求； ②点O即这所求． （2）解：如图：点B即是所求， 量得． 【变式训练1】．李叔叔坐船从甲港出发沿北偏东方向行驶到达乙港办事． (1)在图中画出李叔叔坐船从甲港到乙港的路线图； (2)办完事后，他坐船按原路线返回，他沿 方向行驶 到达甲港． 【答案】(1)图见解析 (2)南偏西；． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的方位角问题，熟悉掌握方位是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据方位推出甲港在乙港的南偏西方向km处即可解答． 【详解】（1）解：图即为所求： （2）解：根据图象可得：甲港在乙港的南偏西方向km处， ∴办完事后，他坐船按原路线返回，他沿南偏西方向行驶km到达甲港； 故答案为：南偏西；． 【变式训练2】．如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【答案】(1)见解析 (2)南偏西或北偏东 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算， （1）根据方向角的意义画出表示客轮和海岛方向的射线，； （2）根据题意列出方程，解方程求得，进而根据方向角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图．，即为所求； （2）由题意可得． 解得． ， 或 所以渔船的方位角是南偏西或北偏东． 【变式训练3】．如图，在观测站O测得渔船A在它的东北方向上，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船B与渔船A位于不同的捕渔区，在观测站O观看两艘渔船的视角，求渔船B相对观测站O的方向． 【答案】渔船B在观测站O的北偏西的方向上 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，解题的关键是熟练掌握方向角的表示方法． 【详解】解：∵在观测站O测得渔船A在它的东北方向上， ∴， ∴， ∴渔船B在观测站O的北偏西的方向上． 类型四、钟面角 例．用方程研究钟表中的数学问题： (1)求时钟在点分时分针与时针之间的夹角的度数； (2)从时至时，钟表上的时针与分针经过多少分钟成的角？ (3)从时至时，钟表上的秒针与时针共有几次成的角？ 【答案】(1)时钟在点分时分针与时针之间的夹角的度数为； (2)从时至时，钟表上的时针与分针经过分钟或分钟成的角； (3)从时至时，钟表上的秒针与时针共有次成的角． 【分析】（）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可； （）分当分针在时针下方时，当分针在时针上方时两种情况列出方程解答即可； （）在个小时内，秒针相对于时针走了圈，所以秒针与时针共有次成的角； 本题考查了钟表分针所转过的角度计算和一元一次方程，在钟表问题中，理解时针与分针转动的度数关系，分针转动的速度是时针的倍，分针每分钟转，时针每分钟转 是解题的关键． 【详解】（1）∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， ∴钟表上时分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过时，分针在数字上， ∵钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴时分钟时分针与时针的夹角， 答：时钟在点分时分针与时针之间的夹角的度数为； （2）设从时至时，经过分钟，时针与分针成角， 当分针在时针下方时，， 解得：； 当分针在时针上方时，， 解得：， ∴从时至时，钟表上的时针与分针经过分钟或分钟成的角； （3）在个小时内，秒针相对于时针走了（圈）， ∴秒针与时针共有次成的角， 答：从时至时，钟表上的秒针与时针共有次成的角． 【变式训练1】．探究实验：《钟面上的数学》 实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想． 实验准备：机械钟（手表）一只 实验内容与步骤： （一）观察与思考： (1)时针每分钟转动______，分针每分钟转动______． (2)从3点整到3点20分，分针转动的角度为______． （二）操作与探究： (3)若时间为，则钟面角为______°（钟面角是时针与分针所成的夹角）． (4)1点整到3点整之间，钟面角为的情况有______种． （三）拓展延伸： (5)晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看时钟，发现此时时针和分针在同一直线上，他做完作业，八点不到，此时，时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间？（直接写出答案） 【答案】(1)0.5，6° (2)120 (3)105 (4)4 (5)小强做数学作业花了分钟 【分析】本题主要考查了钟面角、一元一次方程的应用等知识点，根据时针与分针每小时转动的角度和时针与分针所形成的夹角列方程求解成为解题的关键 （1）钟面总度数为，钟面分为12个大格，每个大格分为5个小格，则时针每分钟转动度数：，分针每分钟转动：； （2）从3点整到3点20分走了20分钟，根据分针每分钟转动，得出分针转动的角度为； （3）以时间为起点，先计算时针转动的度数，再计算分针转动的度数，分针转动的度数减去时针转动的度数求得钟面角； （4）设1点整到3点整之间经过x小时时针与分针的夹角为，列出方程式求得x的值，那么x的个数为几，钟面角为的情况就有几种； （5）小强做完作业时第二次时针和分针在同一直线上，求出此时的时间，即可求得小强做作业花的时间，设每经过y分钟时针与分针在同一条直线，列出方程式求得y的值． 【详解】（1）解：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 故答案为：0.5，6°． （2）解：． 故答案为：120． （3）解：时间为，则钟面角为． 故答案为：105． （4）解：设经过x小时钟面角为， 当时间在1点整到2点整之间，钟面角为的情况： ①，解得： ； ②，解得：， 所以时间分别为，； 当时间在2点整到3点整之间，钟面角为的情况： ①，解得： ， ②，解得：， 所以时间分别为，； 综上所述，当时间为、、、3点整时，钟面角为90°； 故1点整到3点整之间，钟面角为的情况有4种． 故答案为：4． （5）解：设每经过y分钟时针与分针在同一条直线， 第一次时针与分针在同一条直线，小强开始做作业：，解得 ， 第二次时针与分针在同一条直线，小强结束做作业：，解得：， 所以（分钟）， 所以故小强做数学作业花了分钟． 【变式训练2】．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【答案】(1)线段的长度不发生变化，理由见解析 (2)①，；②6秒，或秒 (3)12 【分析】(1)先求出的长，根据中点定义得到，，再根据，即得； (2)①根据点A表示的数为，点P从点A以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，得到点P表示的数为：，根据点B表示的数为10，点从点以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，得到点表示的数为：；②点与点相距3个单位长度，分两种情况讨论：当点P在点Q左侧时，，解得，当点P在点Q右侧时，，解得，； (3) 设经过分钟后，钟表上的时针与分针的夹角从第一次转到，得到，解得． 本题主要考查了数轴上的动点，钟面角．解题的关键是熟练掌握动点表示的数，两点间的距离公式，时针与分针转动的角速度和转过的角度，列方程解答． 【详解】（1）如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下：    ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和10， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∴点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （2）①∵点A、在数轴上表示的数分别为和10， ∴在运动过程中，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：，； ②点与点相距3个单位长度，分两种情况： 当点在点左侧时，如图， ， 解得，    当点在点右侧时，如图， ， 解得，    综上所述，运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度； （3）时针每小时转，分针每分钟转， 设经过分钟后，的度数第一次等于， 则， 解得， ∴经过12分钟后，的度数第一次等于． 故答案为：12． 【变式训练3】．钟面上的数学 【基础知识】 钟表上，时针每小时转动的角度是． （1）时针每分钟转动的角度是，等于多少分？等于多少秒？ 【问题初探】 （2）在某一天的5点到6点之间（包括5点整和6点整），假设这一时刻是5点分． ①求时针和分针重合时的值； ②求用含有的代数式表示时针与分针的夹角． 【类比分析】 （3）小明17点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是，他做完作业后还是当天17点多钟，且时针和分针的夹角还是，求小明做作业用了多少分钟． 【学以致用】 （4）在某一天5点15分到5点16分之间，当秒针是时针和分针的角平分线时，请求出此时的时间． 【答案】（1）分，秒；（2），或；（3）分；（4）5点15分秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟表时针与分针的夹角以及列代数式表示式. （1）根据分秒的转化进率求解即可． （2）①根据题意，列出关于的一元一次方程即可求解． ②分两种情况，当分针没有超过时针时和当分针超过了时针时求解即可． （3）设小明开始写作业的时间是17点分， 设小明写完作业的时间是17点分，分别计算出a，b的值，然后相减即可． （4）设当秒针是时针和分针的角平分线时时间为5点15分秒，列出关于的一元一次方程解题即可． 【详解】（1）分，秒； （2）① 解得：； ②当分针没有超过时针时， 夹角为 当分针超过了时针时， 夹角为 综上所述，时针和分针的夹角为或 （3）设小明开始写作业的时间是17点分， 根据题意得：， 解得：， 设小明写完作业的时间是17点分， 根据题意得：， 解得：， 完成作业的时间为分； （4）设当秒针是时针和分针的角平分线时时间为5点15分秒， 根据题意得：， 解得：， 故此刻的时间是：5点15分秒． 类型五、角的大小比较 例．对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角的大小比较，根据图形和角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）由题意得，， 故答案为：； （4）由题意得，， 故答案为：． 【变式训练1】．如图所示，写出图中符合下列条件的角．    (1)能用一个大写字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中所有小于平角的角． (4)若，，请比较与的大小． 【答案】(1)， (2)（或），（或）． (3)，，，，，， (4) 【分析】（1）根据角的表示即可得解； （2）根据角的表示即可得解； （3）根据平角定义及角的表示即可得解； （4）将、的大小化为同单位后比较即可． 【详解】（1）解：因为影图中以，为顶点的角各只有一个， 所以能用一个大写字母表示的角有，． （2）解：以为顶点的角有个．分别为（或），（或）． （3）解：题图中所有小于平角的角有，，，，，，． （4）解：， 所以． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟知角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、）表示，或用阿拉伯数字（，表示 【变式训练2】．如图，平面内有两个点A，B．应用量角器、圆规和带刻度的直尺完成下列画图或测量： （1）经过A，B两点画直线，写出你发现的基本事实； （2）利用量角器在直线AB一侧画； （3）在射线BC上用圆规截取BD＝AB（保留作图痕迹）； （4）连接AD，取AD中点E，连接BE； （5）通过作图我们知道．，观察并测量图形中的角，写出一组你发现的两个角之间可能存在的数量关系． 【答案】（1）画图见解析，基本事实：两点确定一条直线；（2）画图见解析；（3）画图见解析；（4）画图见解析；（5） 【分析】（1）直接过AB两点画直线即可； （2）用量角器直接画图即可； （3）以B为圆心，BA长度为半径画圆即可； （4）用带刻度的直尺量出AD长度取中点即可； （5）用量角器测量各个角度大小即可； 【详解】（1）画图如下，基本事实：两点确定一条直线 （2）画图如下； （3）画图如下； （4）画图如下； （5）不唯一，正确即可． 例如：，，等 或 【点睛】本题考查线段和角度作图，熟练使用量角器、圆规和带刻度的直尺是解题的关键． 【变式训练3】．（1）等于多少分？等于多少秒？ （2）和相等吗？如不相等，哪一个大？ 【答案】（1）2100分，126000秒；（2）不相等，大． 【分析】（1）利用1°=60′=3600″即可得出答案； （2）将38.15°，转化为38°9′，进而比较得出答案． 【详解】解：（1）35°=(35×60)分=2100分 35°=(35×3600)秒=126000秒； （2）∵0.15°=(0.15×60) ′=9′ ∴38.15°=38°9′， ∴38°15′＞38°9′． ∴不相等，大． 【点睛】此题主要考查了度分秒的转换，正确转化度分秒是解题关键． 类型六、角的和差 例．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知． (1)求的度数． (2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度之间的和差计算，解题的关键是根据图形得出角度之间的数量关系． （1）先求出，再根据即可解答； （2）根据，，得出，结合，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式训练1】．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 【变式训练2】．阅读理解 线段类多解问题：已知，点A、B、C在同一直线上，且，，求的长． 解：①如图1当点C在点B的右侧时 ②如图2当点C在点B的左侧时 综上所述或4．    (1)类比上述过程解决类多解问题：同一平面内，，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若是角平分线，是角平分线，求的度数． (3)若同一平面内，，是角平分线，是角平分线，直接用含x的式子表示出． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）分两种情况讨论：当在的外部时，；当在的内部时，，进行计算即可； （2）分两种情况讨论：当在的外部时，；当在的内部时，，进行计算即可； （3）同第（2）问，分两种情况讨论，分别进行计算即可． 本题考查了角的计算、角的大小比较、角平分线的定义等有关内容，关键在于要分两种情况讨论，不要遗漏． 【详解】（1）解：当在的外部时，如图1，   ； 当在的内部时，如图2， ， 综上所述，的度数为或； （2）解：如图1， 是角平分线，是角平分线， ，， ； 如图2， 是角平分线，是角平分线， ，， ； 综上所述，的度数为； （3）解：如图1，   是角平分线，是角平分线， ，， ； 如图2，是角平分线，是角平分线， ，， ； 综上所述，的度数为． 【变式训练3】．如图，已知，射线从位置出发，绕点按顺时针方向旋转，每秒旋转；与此同时，射线从位置出发，绕点按逆时针方向旋转，每秒旋转，当时，与同时停止运动． (1)第15秒时，_______°，当平分时，_______°. (2)当时，求旋转的时间. 【答案】(1)15，60 (2)当时，旋转的时间为10秒或26秒． 【分析】本题主要考查角平分线的定义、角的和差倍分关系，同时考查了分类讨论思想，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）第15秒时分别计算出、度数，再用减去两角度数和即可；当平分时，设运动时间为，则，，再用表示出度数，根据角平分线定义构造方程求出值，则度数即可求． （2）设转动时间秒时，，有两种情况：①在内部；②的边在内部，边在外部．画出图形后根据角的和差列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：第15秒时， 如图1，设运动秒时，平分， 由已知可得，． 所以． 平分， ， ，解得． ． ． 故答案为：15，60； （2）解：设转动时间为秒时，． 如图2，，解得． 如图3，，解得． 所以当时，旋转的时间为10秒或26秒． 类型七、角的n等分线 例．如图，点在直线上，，射线在内部，且． (1)若是的平分线，求的度数． (2)设，用含的式子表示，并写出推导过程． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题考查了几何图形中的角度计算和角平分线的相关计算， （1）根据角平分线的定义可得，再由平角定义可得，再根据求得，即可求得； （2）根据得，再根据求出，即可求得． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵ 点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 【变式训练2】．在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数． (2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值． (3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义． （1）根据即可求解； （2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解； （3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵， ∴， 平分，平分， ， ， ； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ． 【变式训练3】．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 类型八、余角和补角的有关计算 例．阅读解题过程，回答问题． 如图，在内，和都是直角，且，求的度数． 解：过O点作射线，使点M，O，A在同一直线上． ， ，    (1)如果，那么等于多少度？如果，那么等于多少度？ (2)如果，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． （1）根据题目中解答的过程的结论，直接计算即可； （2）根据题意用含的式子表示即可． 【详解】（1）解：如果，那么， 如果，那么 （2）解：， ， ． 【变式训练1】．与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）． (1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上， ①请找出图中与相等的一个角，并说明理由； ②若的度数比的度数的一半小，求的度数． (2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数． 【答案】(1)①，理由见解析；②； (2)． 【分析】题目主要考查角度的计算，一元一次方程的应用，角平分线的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）①根据等角的补角相等即可得出结果；②设，则，根据题意列出方程求解即可； （2）根据角平分线得出，结合图形进行等量代换求解即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴； ②设，则， ∴， ∴，， ∴； （2）∵分别平分与， ∴， ∴． 【变式训练2】．已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 【答案】(1) (2) (3)见解析，或 【分析】本题考查余角概念，补角概念，角平分线定义，角的和差运算． （1）根据补角的概念即可得出答案； （2）先根据角平分线求出的大小，再根据余角的概念求出的大小，即可求出的大小； （3）分在直线的上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）由（1）知， ∵平分， ∴ 又∵， ∴； （3）由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， ①当射线在内部时， ， ②当射线在外部时， ， 综上所述，的度数为或． 【变式训练3】．如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据与互补，及可求出的度数，根据角平分线的定义求出、的度数，即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据得出，结合与互补即可求出的度数． 【详解】（1）解：；理由如下： 与互补， ， ， ； （2）解：∵与互补，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴①， ∵②， 得． 1．下图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的表示，根据角的表示方法逐项判断即可得出答案，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、顶点处有四个角，不能用表示，错误； B、顶点处有二个角，不能用表示，错误； C、顶点处有三个角，不能用表示，错误； D、顶点处有一个角，且能同时用，，表示，正确． 故选：D． 2．如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A．B． C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了角的分类，根据锐角是0到90度的角进行求解即可． 【详解】解；A、图中时针与分针所成角的度数在0到90度之间，是锐角，符合题意； B、图中时针与分针所成角的度数是0度，不是锐角，不符合题意； C、图中时针与分针所成角的度数大于90度，不是锐角，不符合题意； D、图中时针与分针所成角的度数等于90度，不是锐角，不符合题意； 故选A． 3．上午9时整，钟面上分针与时针成（　　） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的特征是正确判断的前提．表盘有12个大格，则每一个大格为，根据题意时针和分针相隔3个大格，列式即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 4．如图，是直角，则射线表示的方向是（ ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题考查方位角．根据题意，求出即可判断． 【详解】解：如图， 射线表示的方向是南偏东． 故选：B． 5．如图所示，射线在东北方向，，则的方向是（   ） A．南偏西 B．西偏南 C．西偏南 D．南偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义． 由方向角的定义得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵射线在东北方向， ∴， ∵， ∴， ∴射线的方向是南偏西． 故选：D． 6．若，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度大小的比较．先把化为度为单位，再逐项比较即可． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 7．如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    【答案】/度 【分析】本题考查三角板中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系是解题的关键． 利用即可求解． 【详解】解：由图可知：， ， ， ． 故答案为：． 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； （2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．李明在“玩转三角尺”活动课上，将一把三角尺的直角顶点放在直线上的点处，如图1所示．（注：） (1)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转一定角度至图2位置时，若，则______． (2)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转，在旋转过程中，当时，求此时的度数．（提示：分情况讨论） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系； （1）根据邻补角的定义即可求解； （2）分两种情况，分别讨论，结合角与角之间的关系即可求解； 【详解】（1）解：，， ； （2）解： 如上图，此时， ， ∴， ； 如图，此时， ， ， ， ， ， 故为或． 10．直角三角尺的直角顶点在直线上，平分． (1)在图中，若，求的度数； (2)在图中，若，直接写出的度数（用含的式子表示）； (3)将图中的三角尺绕顶点旋转至图的位置，写出与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质以及角的计算． （1）先求出和的度数，再根据求解即可； （2）先用表示出和，再根据求解即可； （3）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 又平分， ， ； （2）解：，， ， ， 又平分， ， ； （3）解：．理由如下： 点在直线上， ， 平分， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$