专题16 角的关系和动角问题三种类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题16 角的关系和动角问题三种类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、方程思想求角度 1 类型二、探究角的关系 3 类型三、角的旋转问题 5 压轴能力测评 7 1. 角的旋转问题关注旋转方向（顺时针还是逆时针）； 2. 旋转角度超过180时，角的内部和外部发生的变化； 3. 解决角的旋转问题时，往往用字母参数表示有关的角； 类型一、方程思想求角度 例．如图，点O在直线上，与的度数之比为，，求的度数．    【变式训练1】．已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【变式训练2】．已知直线与相交于点O，且平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 【变式训练3】．如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角尺旋转过的角度为 ； (2)继续将图2中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系？并说明理由． 类型二、探究角的关系 例．阅读与实践：【问题情境】七年级(1)班的小明在数学兴趣小组中研究直线与直角的关系．如图1，，点O在直线上，射线平分． 小明用量角器度量发现，，他给出了如下说理： 因为，所以． 因为射线平分，所以 因为， 所以 ……… （1）请你帮助小明完成剩下的说理； 【实践探究】 小明将绕点O顺时针旋转至图2的位置， （2）请问与的数量关系是否发生了变化，若发生变化，请求出他们之间的数量关系；若不变化，请说明理由． 【问题拓展】 小明继续将绕点O顺时针旋转至图3的位置， （3）请直接写出与的数量关系． 【变式训练1】．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【变式训练2】．如图1，将直角三角形纸片的直角边放置在直线上，为内部的一条射线． (1)观察图1，解决下列问题： ①若，则______°，______°； ②若，求的度数． (2)如图2，当直角三角形纸片只有点放置在直线上时，平分． ①若，求的度数； ②请直接写出与的关系． 【变式训练3】．已知点是直线上一点，过点作射线，，满足，是的平分线． (1)如图1，射线，在直线的同侧，且在的内部． ①若，通过计算判断是否平分； ②设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)若在的外部，请直接写出与之间的等量关系． 类型三、角的旋转问题 例．已知：如图1，，的补角是的3倍， (1)求的度数； (2)如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，试求t的值； (3)如图3，若射线从开始绕O点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果） 【变式训练1】．如图，直线，相交于点，且，射线（与射线重合）绕点按逆时针方向旋转，速度为，射线（与射线重合）绕点按顺时针方向旋转，速度为．两射线，同时运动，运动时间为． (1)当时，　　，　　． (2)当时，若，试求出的值． 【变式训练2】．如图①，射线在内部，图中共有三个角：，，，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线为的“倍分线”． (1)若射线是的角平分线，则射线________（填“是”或“不是”）的“倍分线”； (2)如图②，若，射线为的“倍分线”，求； (3)若，射线从射线的位置开始，绕点逆时针以每秒的速度向射线运动，当射线到达射线时停止运动，运动的时间为秒，同时射线从射线的位置开始以每秒的速度向射线运动，如图③所示，并与射线同时停止，则当经过多少秒时，射线是的“倍分线”． 【变式训练3】．如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 1．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 2．【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 3．将一直角三角板的直角顶点放在直线上的点处，过点作射线. (1)已知， ①如图1，当在射线上时，的度数为________； ②如图2，当在内部时，若，求的度数； (2)如图3，，在内部，.在图中画射线，使为的三等分线，且.当时，探究与的数量关系，并说明理由. 4．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)观察分析∶若则 ，若则 ； (2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系． 5．将一副三角尺放在同一平面内，使直角顶点重合于点O． (1)如图①，若，求、、的度数． (2)如图①，你发现与的大小有何关系？与有何关系？直接写出你发现的结论． (3)如图②，当与没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否仍然成立，请说明理由． 6．如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 7．已知与互补，射线平分，设，． (1)如图1，在的内部，当与互余时，求的值； (2)如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．（提示：分别用含的式子表示出与的度数） 8．射线在内部，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转；同时，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点逆时针方向旋转： (1)若，当射线、运动了2秒，求的值； (2)若射线、在内部时，总有，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在内部过点作射线，且，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． 9．如图1，将直角三角板中一个角的顶点O放置在直线上． (1)若按照图2摆放，使边在内部，且平分，，则______度； (2)若按照图3摆放，射线平分，写出与度数关系，并说明理由； (3)若三角板边与射线重合时（如图4），三角板在直线上绕点O逆时针旋转运动（边始终在内），，在旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． 10．已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．    (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 角的关系和动角问题三种类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、方程思想求角度 1 类型二、探究角的关系 5 类型三、角的旋转问题 11 压轴能力测评 20 1. 角的旋转问题关注旋转方向（顺时针还是逆时针）； 2. 旋转角度超过180时，角的内部和外部发生的变化； 3. 解决角的旋转问题时，往往用字母参数表示有关的角； 类型一、方程思想求角度 例．如图，点O在直线上，与的度数之比为，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差，平角定义，先根据平角定义求出的度数，再根据得出答案． 【详解】解：∵，与的度数之比为， ∴. 又∵， ∴． 【变式训练1】．已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 【变式训练2】．已知直线与相交于点O，且平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的平分线的计算； （1）根据平角的定义，角的平分线的意义计算即可； （2）设，则，，， 整体代入计算即可． 熟练掌握角的倍分关系，角的和等是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ， ∵， ∴． （2）解：∵，， 设， 则，，即， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式训练3】．如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角尺旋转过的角度为 ； (2)继续将图2中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算： （1）根据旋转的定义即可得； （2）先根据平角的定义可得，再根据角的和差可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：， 三角尺旋转过的角度为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 设，由，可得， ， ， 解得，即， ①， 又， ②， 由②①得：． 类型二、探究角的关系 例．阅读与实践：【问题情境】七年级(1)班的小明在数学兴趣小组中研究直线与直角的关系．如图1，，点O在直线上，射线平分． 小明用量角器度量发现，，他给出了如下说理： 因为，所以． 因为射线平分，所以 因为， 所以 ……… （1）请你帮助小明完成剩下的说理； 【实践探究】 小明将绕点O顺时针旋转至图2的位置， （2）请问与的数量关系是否发生了变化，若发生变化，请求出他们之间的数量关系；若不变化，请说明理由． 【问题拓展】 小明继续将绕点O顺时针旋转至图3的位置， （3）请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）不变；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）根据，把代入，求出即可； （2）根据角平分线定义得出，根据，得出，根据，即可证明结论； （3）根据角平分线定义得出，根据，得出，，，求出即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 因为射线平分， 所以 ， 因为， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 即； （2）与的数量关系保持不变；理由如下： 因为射线平分， 所以 ， 因为， 所以， 因为， 所以； （3）因为射线平分， 所以， 因为， 所以， ， ， 所以 ， 即． 【变式训练1】．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与α有关，与β无关，，理用见解析 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）解：同理（1），， ，， ； （3）解：与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 【变式训练2】．如图1，将直角三角形纸片的直角边放置在直线上，为内部的一条射线． (1)观察图1，解决下列问题： ①若，则______°，______°； ②若，求的度数． (2)如图2，当直角三角形纸片只有点放置在直线上时，平分． ①若，求的度数； ②请直接写出与的关系． 【答案】(1)①；；② (2)①；② 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算问题、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． （1）①根据角度可得到，然后两个角度相加减即可得到结果； ②根据以及角度相减可得到结果； （2）①根据角平分线分得的两个角大小一样，再用两角相减表示其中一个角，根据题意构造等式，即可得到结果； ②根据四个角度和等于可得到结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵，                                        ∴， 故答案为：；； ②若， 则； （2）解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴； ②∵平分， ∴， 由图可得：， 其中， ， ∴， 化简可得：． 【变式训练3】．已知点是直线上一点，过点作射线，，满足，是的平分线． (1)如图1，射线，在直线的同侧，且在的内部． ①若，通过计算判断是否平分； ②设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)若在的外部，请直接写出与之间的等量关系． 【答案】(1)①平分，见解析；② (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）①先求出，利用角平分线的定义得，再求出即可求解； ②先求出，利用角平分线的定义得，进而可求出的度数； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况求解即可． 【详解】（1）①，， ， 是的平分线， ， ， ， 平分； ②，， ． 是的平分线， ， ； （2）当在直线的上方时， 设， ∵， ∴． 是的平分线， ∴， ∴， ∴， ； 当在直线的下方时， 设， ∵， ∴． 是的平分线， ∴， ∴， ∴， ． 综上可知，或． 类型三、角的旋转问题 例．已知：如图1，，的补角是的3倍， (1)求的度数； (2)如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，试求t的值； (3)如图3，若射线从开始绕O点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果） 【答案】(1) (2)5，10，12.5或13.75 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角度的双角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行合适分段讨论是解题关键． （1）由题意可得，，可直接求解； （2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①逆时针运动时，，相遇前和相遇后；②顺时针旋转，，相遇前和相遇后，分别画图求解即可； （3）根据射线的运动，需要分四种情况，①当射线与重合前，②当射线与重合后，前，③前，④与重合前，画出图形，结合角平分线求解即可． 【详解】（1）解：（1），， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，，， ①逆时针运动时，即时， 由，的运动可知，，， ，相遇前，如图2（1），，即，解得， ，相遇后，如图2（2），，即，解得； ②顺时针旋转时，，， ，相遇前，如图（3），，即，解得， ，相遇后，如图（4），，即，解得， 综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，． （3）由（1）知， 根据射线的运动，需要分四种情况， ①当射线与重合前，如图3（1）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，如图3（2）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ③∠CON＝180°前，如图3（3）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ④OP与OQ重合前，如图3（4）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 【变式训练1】．如图，直线，相交于点，且，射线（与射线重合）绕点按逆时针方向旋转，速度为，射线（与射线重合）绕点按顺时针方向旋转，速度为．两射线，同时运动，运动时间为． (1)当时，　　，　　． (2)当时，若，试求出的值． 【答案】(1)， (2)秒或10秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用． （1）根据时间和速度分别计算和的度数，再根据角的和与差可得结论； （2）分两种情况：①如图所示，当时，②如图所示，当时，分别根据已知条件列等式可得的值； 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故答案为：，； （2）当与重合时，， 当与重合时，， ①如图所示，当时，，， 由，可得， 解得， ②如图所示，当时，，， 由，可得， 解得， 综上，的值为秒或10秒． 【变式训练2】．如图①，射线在内部，图中共有三个角：，，，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线为的“倍分线”． (1)若射线是的角平分线，则射线________（填“是”或“不是”）的“倍分线”； (2)如图②，若，射线为的“倍分线”，求； (3)若，射线从射线的位置开始，绕点逆时针以每秒的速度向射线运动，当射线到达射线时停止运动，运动的时间为秒，同时射线从射线的位置开始以每秒的速度向射线运动，如图③所示，并与射线同时停止，则当经过多少秒时，射线是的“倍分线”． 【答案】(1)是； (2)或或； (3)或或秒 【分析】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，正确理解“倍分线”的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）根据“倍分线”的定义分析即可； （2）分三种情况讨论：当时；当时；时，利用“倍分线”的定义分别求解即可； （3）由题意可知，，，，分三种情况讨论：当时；当时；当时，利用“倍分线”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：射线是的角平分线， ， 射线为的“倍分线”， 故答案为：是； （2）解： ①如图1，当时，； ②如图2，当时， ， ； ③如图3，时， ， ， ， 综上可知，的度数为或或； （3）解：由题意可知，，，， ①当时，此时， 则， 解得：； ②当时， 则， 解得：， ③当时，此时， 则， 解得：； 综上可知，当经过或或秒时，射线是的“倍分线”． 【变式训练3】．如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【答案】(1)； (2)运动或秒时，直线平分； (3)或． 【分析】（）利用同角的余角相等即可求解； （）分两种情况平分和平分时，分别计算可得答案； （）分四种情况分别画出图形可得答案； 此题考查了角的计算与角平分线的定义，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分 根据题意得，， 解得； 情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得， 综上，运动或秒时，直线平分； （3）或，理由： ，如图： ，如图： ，如图： ，如图： 综上可知：或． 1．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线” 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； 【详解】解：（1）∵根据角平分线的定义可知，这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边的角的两倍， ∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； （3）依题意得：，，， ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴与（2）同理可得：或或， 即：或或， 分别解得：，，， ∴当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线”． 3．将一直角三角板的直角顶点放在直线上的点处，过点作射线. (1)已知， ①如图1，当在射线上时，的度数为________； ②如图2，当在内部时，若，求的度数； (2)如图3，，在内部，.在图中画射线，使为的三等分线，且.当时，探究与的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了余角与补角，一元一次方程的应用，三等分线的有关计算，正确的识别图形是解题的关键． （1）①根据余角的定义即可得到结论； ②设，，求得，列方程得到，于是得到； （2）根据为的三等分线，设，，得到，，列方程得到，于是得到． 【详解】（1）解：①，， ； 故答案为：； ②， 设，， ， ， ， ， ； （2）． 理由：如图， 为的三等分线， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)观察分析∶若则 ，若则 ； (2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系． 【答案】(1) ； ； (2)，理由见解析． (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据三角板的特点及角度和差求解即可； （2）根据三角板的特点及角度和差求解即可； （3）根据角度和差求解即可； 本题考查了角的运算，熟练掌握角度和差运算是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴ 故答案为：，； （2），理由： 由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴． 5．将一副三角尺放在同一平面内，使直角顶点重合于点O． (1)如图①，若，求、、的度数． (2)如图①，你发现与的大小有何关系？与有何关系？直接写出你发现的结论． (3)如图②，当与没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否仍然成立，请说明理由． 【答案】(1)、， (2)； (3)成立，见解析 【分析】本题主要考查了角的和与差， （1）根据角的和差关系求解即可； （2）根据角的和差关系求解即可； （3）根据角的和差关系求解即可． 能准确找出题中所求角与已知角存在怎样的和与差的关系是做出本题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴； （2）由（1）可得，； ； （3）成立，理由如下； 据图可知，∵，， ∴，， ∴； ∵，， ∴ ∴． 6．如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角， (2) (3)，（答案不唯一） (4)90 【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解； （2）根据图形即可求解； （3）根据图形即可求解； （4）由题意可知，结合，即可得． 【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角， 则； （2）由图可知，； （3）由图可知，，（答案不唯一） （4）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90． 7．已知与互补，射线平分，设，． (1)如图1，在的内部，当与互余时，求的值； (2)如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．（提示：分别用含的式子表示出与的度数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角和补角以及角平分线的定义，角的计算，正确的识别图形是解题的关键； （1）根据补角和余角的定义以及角的和差关系解答即可； （2）根据角平分线的定义以及补角的定义求解即可； 【详解】（1）∵与互余， ∴， ∵与互补，延长于F． ， ， ∴， ， ． （2）∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 8．射线在内部，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转；同时，射线从射线的位置开始以每秒的速度绕点逆时针方向旋转： (1)若，当射线、运动了2秒，求的值； (2)若射线、在内部时，总有，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在内部过点作射线，且，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2);理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】本题考查了角的和差关系；熟练掌握几何图中角的和差关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系计算即可； （2）由题意可知：，再根据角的和差关系得出；进而得出结论； （3）根据、可得出；由可得出，从而得出结论； 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴ （2）解：；理由如下： 由题意可知，在相同的时间内满足： ∵ ∴ 即： ∴； （3）解：如图： ；理由如下： ∵， ∴ ∴ 由（2）可知： ∴ ∴ 9．如图1，将直角三角板中一个角的顶点O放置在直线上． (1)若按照图2摆放，使边在内部，且平分，，则______度； (2)若按照图3摆放，射线平分，写出与度数关系，并说明理由； (3)若三角板边与射线重合时（如图4），三角板在直线上绕点O逆时针旋转运动（边始终在内），，在旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2) (3) 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义等相关知识，由图形得到角度之间的和差关系是解题关键． （1）直接利用角平分线的定义求得，再计算即可求解； （2）设，推出，，进一步计算即可求解； （3）设，分边也在内和边不在内，两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：20； （2）解：， ∵射线平分， ∴设， ∴，即，， ∴； （3）解：设， 当边也在内时，如图， 则，， ∴； 当边不在内时，如图， 则，， ∴； 综上，． 10．已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．    (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到； （2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变， 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$