专题13 直线、射线与线段的五大类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题13 直线、射线与线段的五大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 类型一、直线、射线、线段的表示方法及基本作图 5 类型二、计数问题及其应用 9 类型三、直线相交的交点个数问题 13 类型四、线段的和与差的运算 17 类型五、两点确定一条直线 20 压轴能力测评 22 1.直线 （1）概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． （2）表示方法： 1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． 2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． （3）基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． （4）直线的特征： 1）直线没有长短，向两方无限延伸． 2）直线没有粗细． 3）两点确定一条直线． 4）两条直线相交有唯一一个交点． （5）点与直线的位置关系： 1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． 2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2线段 （1）线段概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． （2）线段表示方法： 1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． 2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． （3）基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 图6 3 射线 （1）概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图8 （2）特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． （3）表示方法： 1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． 2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注意： 1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线． 图9 2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图10 4 直线、射线、线段的区别与联系 （1）直线、射线、线段之间的联系 1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． 2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． （2）三者的区别如下表 注意： 1） 联系与区别可表示如下： 2） 在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 4 线段的画法 5 作线段的和与差 6 线段的比较 测量法和叠合法 7 线段的基本事实及两点的距离 （1） 两点之间，线段最短； （2） 两点的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 线段是一个图形，两点的距离是指线段的长度，是一个数值，而小提醒不是线段本身，因此不能说“A,B两点的距离是线段AB”,而应说“A,B两点的距离是线段AB的长度” 类型一、直线、射线、线段的表示方法及基本作图 例．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有_____条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了作直线、线段、射线，直线、线段、射线的数量问题等知识．熟练掌握作直线、线段、射线，直线、线段、射线的数量问题是解题的关键． （1）根据作直线、线段、射线，作图即可； （2）根据作线段作图即可； （3）根据线段的数量问题作答即可． 【详解】（1）解：如图1，直线，线段，射线即为所作；           图1 （2）解：如图1，线段即为所作； （3）解：由题意知，图中线段有、、、、、，一共6条， 故答案为：6． 【变式训练1】．如图，已知A、B、C、D四点，请按要求作图，并解答． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点P； (4)若点M是线段的中点，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)2 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义、线段的和差等知识点，掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直线的定义作图即可； （2）根据射线的定义作图即可； （3）根据线段的定义画出图形即可； （4）先求出，根据计算即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图：射线即为所求． （3）解：如图：线段，点P即为所求． （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式训练2】．如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接B，C； (4)线段和线段相交于点O． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题主要考查了作图，作直线，射线，线段，以及两线段的交点等作图知识． （1）过点A、B作直线，要向两方延伸； （2）过B、D作射线，向D点方向延伸，B点方向不延伸∶ （3）就是作线段； （4）连接、交点标注为O； 【详解】（1）解：直线如下图所示： （2）解：射线如下图所示： （3）解：线段如下图所示： （4）解：线段和线段相交于点O如下图所示： 【变式训练3】．已知A，B，C，D四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键，属于基础题． （1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （2）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （3）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （4）根据直线，射线，线段的特征可作图求解． 【详解】（1）解：根据题意画出图如图所示； （2）解：根据题意画出图如图所示； （3）解：根据题意画出图如图所示； （4）解：根据题意画出图如图所示． 类型二、计数问题及其应用 例．已知火车从苏州火车站到南京火车站，途中要停靠两个站点，如果任意两个站点间的票价都不同，那么请你想一想： (1)在这些站点之中，要制作多少种不同的车票？ (2)一共有多少种不同的票价？ 【答案】(1)在这些站点之中，要制作种不同的车票 (2)一共有种不同的票价 【分析】本题考查了线段的计数，做题的关键是分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． （1）两站之间的往返车票有两种，个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数为种，把代入上式，即可求得票的种数． （2）根据票价只有票数的一半，即可解答． 【详解】（1）解：∵两站点之间的往返车票各有一种，即每个站点到另外三个站点各有一种车票，一共四个站点， ∴不同的车票共有（种）． 答：在这些站点之中，要制作种不同的车票． （2）两站点之间往返车票的票价是相同的，所以票价种数应该是车票种数的一半，即（种）． 答：一共有种不同的票价． 【变式训练1】．往返于A，B两地的客车，中途停靠三个车站．假设站点与站点之间的路程及站点与A，B两地之间的路程都不相等，请问： (1)一共有多少种不同的票价？ (2)一共要准备多少种不同的车票？ 【答案】(1)10种 (2)20种 【分析】本题主要考查运用线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法． （1）先画出示意图，求出线段的条数，再计算票价即可； （2）根据往返的车票都不相同，计算车票的种数即可． 【详解】（1）解：如图，记中途三个车站分别为，则共有： ， ∴10种不同的票价， （2）解：因为车票需要考虑方向性，如“”与“”票价相同，但车票不同， 所以共有种车票． 【变式训练2】．如图，在平面内有A，B，C三点，按要求完成下列任务．    (1)画直线，射线； (2)在线段上任取一点D（不同于点B，C），连接； (3)数一数此时图中线段的条数，并写出来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图中线段有，，，，，共6条 【分析】本题主要考查了画直线、射线和线段，线段条数问题，解题的关键是熟练掌握线段，射线和直线的定义． （1）根据题意画直线和射线即可； （2）根据题意作图即可； （3）根据线段定义进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求：    （2）解：如图，线段即为所求：    （3）解：图中线段有，，，，，共6条． 【变式训练3】．观察图形，并回答下列问题： (1)【观察思考】图中共有______条线段； (2)【模型构建】若线段上有n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段． (3)【拓展应用】请你用上述模型构建来解决以下问题： ①十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？ ②十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10 (2) (3)①共握手105次；②共送了210张 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，直线、射线、线段： （1）以A为端点的线段有四条；以B为端点的且与前面不重复的线段有三条；以C为端点的且与前面不重复的线段有两条；以D为端点的且与前面不重复的线段有一条，相加即可求解； （2）画出图形找到规律即可； （3）①由，代入数值即可求出结果；②15人参加聚会，每个人都送给其他人一张名片，所有同学共送了张名片，依此即可解决问题． 【详解】（1）解：以A为端点的线段有四条； 以B为端点的且与前面不重复的线段有三条； 以C为端点的且与前面不重复的线段有两条； 以D为端点的且与前面不重复的线段有一条． 则（条）． 故答案为：10； （2）解：如图， 线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：； ⋯ 线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为：； 故答案为：； （3）解：①由上面结论可知（次）． 答：共握了105次； ②（张）． 答：共送了210张． 类型三、直线相交的交点个数问题 例．我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为． 【分析】此题考查图形规律的探究． （1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解； （2）根据（1）得到的规律，即可得解． 【详解】（1）解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； 故答案为：10；15； （2）解：n条直线交点最多为． 答：有条直线相交，最多交点的个数为． 【变式训练1】．按要求完成作图及作答： (1)如图1，平面上有四个点，，，，作射线； (2)如图1，取一点，使点既在直线上又在直线上； (3)如图1，若点到，，，四点距离之和最短．画出点的位置； (4)如图2，平面内三条直线交于、、三点，点、是平面内另外两点，若分别过点、各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增__________个交点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，直线的性质：两点之间，线段最短，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． （1）按要求作射线即可． （2）根据题干的条件点既在直线上又在直线上，所以点是直线与直线的交点． （3）本题考查“两点之间，线段最短”，结合图形理解概念即可解题． （4）本题考查两直线相交，有且只有一个交点，结合图形和题干的条件分析，即可解题 【详解】（1） （2） （3） （4）解：平面内有3条直线，过点作的直线，最多与这3条直线都有交点，则增加3个交点，过点作的直线，最多与平面内现有的4条直线都有交点，则增加4个交点，综上所述，最多可增加7个交点． 故答案为：7． 【变式训练2】．先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 【答案】(1)分类讨论 (2)四或六或七 【详解】（1）分类讨论 （2）由答图①②③④可知，三条直线可以将平面分成四或六或七部分． 【变式训练3】．请按要求完成下列问题； (1)在图1中作线段； (2)在图1中作射线； (3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小； (4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线和相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线，与直线、和相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)45 【分析】（1）根据题意，画出线段即可； （2）根据题意，画出射线即可； （3）连接交于点P，则点P即为所求； （4）根据题意得：2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作线段即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求； 理由：∵， ∴当的值最小时，点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小， 此时点P位于线段上； （4）解：根据题意得： 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， ……， 由此发现，n条直线相交最多有个交点， ∴10条直线相交最多有个交点， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了画线段，射线，最短距离问题，相交线的交点问题，明确题意，熟练掌握两点之间，线段最短；（4）问中根据题意得到规律是解题的关键． 类型四、线段的和与差的运算 例．如图，点，在线段上． (1)填空： ___________． (2)若是线段中点，，cm，求线段的长． 【答案】(1)， (2)cm 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系． （1）根据线段的和差运算求解即可； （2）根据中点的定义求出，根据推出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：，； （2）∵是线段中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】．如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 【答案】(1)、； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查线段长度的计算，熟练掌握图形中线段的和差是解题的关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）根据线段的和差求解即可； （3）由（2）得，根据，得，进而即可得解． 【详解】（1）解：由图可得， 故答案为：、； （2）解：，理由如下， ∵，． ∴， ∴， （3）解：由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】．广州地铁8号线，线路起于滘心站，途经白云区、荔湾区、海珠区，贯穿广州国际会议展览中心、新港路沿线，止于万胜围站，如图，点、、、分别表示8号线四个车站的位置． (1)用关于、的代数式表示、两站之间的距离是 ；（最后结果需化简） (2)若已知、两站之间的距离是，求、两站之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的和差运算，整式的加减运算，理解题意是解题关键． （1）直接利用线段的和差运算可得答案； （2）先求解，利用可得，再代入化简求值即可． 【详解】（1）解：用关于、的代数式表示、两站之间的距离是 ； 故答案为：； （2）， ， ， ． 答：、两站之间的距离． 【变式训练3】．已知B、C在线段上．如图，若．．且，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段之间的和差关系，一元一次方程的实际应用． 设，则，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 类型五、两点确定一条直线 例．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？ 【答案】见解析 【分析】根据直线的性质，结合实际意义，易得答案． 【详解】解：如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即可看到哪儿打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上． 【点睛】题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合生活中的射击场景，立意新颖，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 【变式训练1】．探究归纳题： （1）试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作_______条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作_______条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作______条．通过以上分析和总结，图1共有______条直线． （2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_________条直线；图3共有________条直线； （3）探索归纳：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有____条直线．（用含n的式子表示） （4）解决问题：中职篮（CBA）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？ 【答案】（1）2，2，2，3；（2）6，10；（3）；（4）190 【详解】试题分析：（1）、（2）根据两点确定一条直线即可得出结论； （3）由（2）可得出结论； （4）根据（3）列式求值即可. 试题解析：（1）2；2；2；3； （2）6；10； （3） （4）当n=20时，=（场）. 故一共进行了190场比赛. 【变式训练2】．木工检验木条的边线是否是直的，常常用眼睛从木条的一端向另一端望去，如果看到两个端点及这条边线中的各点都重合于一点，那么这条边线就是直的，你可以同伙伴试一试这个方法，并说一说其中的道理． 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据经过两点有且只有一条直线来判断． 试题解析：解：如图，有3条线段，它们分别是线段AB，线段BC，线段AC，因为看到两个端点及这条边线中的各点都重合于一点，根据经过两点有且只有一条直线，可知A、B、C三点在同一直线上，所以这条边线是直的． 【变式训练3】．观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10条，见解析； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 1．根据下列语句画图： (1)画直线a，与线段b交于点E； (2)过直线l外一点M和直线上一点F画射线； (3)反向延长线段至P点，使线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了基本的作图，理解线段、射线以及直线的延伸性是关键． （1）根据题目的叙述利用直尺作图； （2）根据题目的叙述利用直尺作图； （3）根据题目的叙述利用直尺作图． 【详解】（1）解：直线a，与线段b交于点E，所作图形如图①； （2）过直线l外一点M和直线上一点F画射线，所作图形如图②； （3）反向延长线段至P点，使线段，所作图形如图③． 2．若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【答案】（1）3（2）6（3）（4）B 【分析】（1）直接利用线段的定义即可得到结论． （2）直接利用线段的定义即可得到结论． （3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答． （4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答． 此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】解：（1）直线上有、、，线段总条数是：， 故答案为：3； （2）若直线上有四个点、、、，线段总条数是：， 故答案为：6； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）解：（种， 要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 3．如图，在平面上有四个点，，，，按要求完成下列问题： (1)画射线； (2)连结，与射线相交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——射线，线段，熟练掌握射线，线段的定义是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）如图所示，线段和点O即为所求． 4．（1）如图，线段上有三个点B，C，D，图中共有 条线段； （2）如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？ （3）边形共有 条对角线． 【答案】（1）  （2）条  （3） 【分析】本题考查规律问题，根据图形总结出规律是解题的关键． （1）数出图形中所有的线段即可； （2）根据的值的变化得到线段的条数，总结规律即可解题； （3）根据的值的变化得到对角线的条数，总结规律即可解题； 【详解】解：（1）线段有，共条， 故答案为：； （2）∵当 时，有条线段； 当时,有 (条)线段； 当 时，有 (条)线段； 当 时,有 (条)线段； 当 时,有 (条)线段； 所以当有个点时，有条线段. （3）解：边形有（条）对角线； 边形有（条）对角线； 边形有（条）对角线； 边形有（条）对角线； ∴边形共有（条）对角线． 故答案为：. 5．如图，已知B、C在线段上． (1)图中共有 条线段． (2)若． ①比较线段的长短： （填“”、“”或“”）． ②若，，求的长度． 【答案】(1)6 (2)①；②16 【分析】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案； ②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长． 【详解】（1）解：图中有线段：、、、、、，共6条， 故答案为：6． （2）解：①∵， ∴， 即， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】(1)；； (2)这一轮要进行场比赛 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 根据题意，结合图形，发现：条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点．条直线相交最多有个交点，而，，，，故可猜想，条直线相交，最多有个交点； 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】（1）解：①两条直线相交最多有个交点：； ②三条直线相交最多有个交点：； ③四条直线相交最多有个交点：； ④五条直线相交最多有个交点：， ⑤六条直线相交最多有个交点： … 条直线相交最多有个交点； 故答案为：；； （2）解：该类问题符合上述规律，所以可将代入， 即； 故这一轮要进行场比赛 7．如图，已知A，B，C，D四个点，请按下列要求作图． (1)画线段，； (2)画直线，直线相交于点E； (3)在射线上确定一点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图、直线、射线、线段，解题的关键是： （1）根据线段的定义画图即可； （2）根据直线的定义画图即可； （3）根据线段的倍数关系找到符合的点即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示； （3）如图所示． 8．画图题： (1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹． ①画射线； ②连接； ③反向延长至D，使得； ④在直线l上确定点E，使得最小； (2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理． 如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________； 情景二： 同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________． 【答案】(1)①见解析②见解析③见解析④见解析 (2)图见解析，两点之间线段最短；两点确定一条直线 【分析】（1）根据射线、线段、两点之间线段最短即可解决问题； （2）利用两点之间线段最短和两点确定一条直线即可解决问题． 【详解】（1）解：①射线，如图所示； ②线段，如图所示； ③线段如图所示； ④点E即为所求； （2）解：情景一：两点之间线段最短； 如图：线段即为所求； 情景二：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查线段、射线的含义，以及两点之间线段最短和两点确定一条直线，解题的关键是掌握其定义与性质． 9．如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)或11 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和与差： （1）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系进行计算即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系求出的长，即可得出结论； （3）分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：7； （2）由题意，得：， ∵D点在线段上运动， ∴，， ∴； （3）当时，，， ∵， ∴点在点的左侧， 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 综上：或11． 10．如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，． (1)____________； (2)若点是直线上一点，且满足，求的长； (3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 【答案】(1)24；12 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和两点之间的距离， （1）根据，点O是线段上的一点，．即可得出答案； （2）设的长是，当点在线段上，线段上，线段的延长线上时，分别列出方程，解之即可得到答案； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为，当点P与点Q重合时，即，得到t的值，然后分情况讨论，即可得到答案； 正确理解题意，弄清题中量的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∵， 解得，， 故答案为：24；12； （2）设的长是，依题意有： ①当点在线段上时，，解得，； ②当点在线段上时，，解得，（舍去）； ③当点在线段的延长线上时，，解得，， 故的长为或； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为， 当时，， ， ， 当时，有，解得，； 当时，有，解得， 故当为或时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 直线、射线与线段的五大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 类型一、直线、射线、线段的表示方法及基本作图 5 类型二、计数问题及其应用 7 类型三、直线相交的交点个数问题 8 类型四、线段的和与差的运算 9 类型五、两点确定一条直线 10 压轴能力测评 11 1.直线 （1）概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． （2）表示方法： 1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． 2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． （3）基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． （4）直线的特征： 1）直线没有长短，向两方无限延伸． 2）直线没有粗细． 3）两点确定一条直线． 4）两条直线相交有唯一一个交点． （5）点与直线的位置关系： 1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． 2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2线段 （1）线段概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． （2）线段表示方法： 1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． 2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． （3）基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 图6 3 射线 （1）概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图8 （2）特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． （3）表示方法： 1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． 2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注意： 1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线． 图9 2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图10 4 直线、射线、线段的区别与联系 （1）直线、射线、线段之间的联系 1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． 2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． （2）三者的区别如下表 注意： 1） 联系与区别可表示如下： 2） 在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 4 线段的画法 5 作线段的和与差 6 线段的比较 测量法和叠合法 7 线段的基本事实及两点的距离 （1） 两点之间，线段最短； （2） 两点的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 线段是一个图形，两点的距离是指线段的长度，是一个数值，而小提醒不是线段本身，因此不能说“A,B两点的距离是线段AB”,而应说“A,B两点的距离是线段AB的长度” 类型一、直线、射线、线段的表示方法及基本作图 例．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有_____条． 【变式训练1】．如图，已知A、B、C、D四点，请按要求作图，并解答． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点P； (4)若点M是线段的中点，，则 ． 【变式训练2】．如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接B，C； (4)线段和线段相交于点O． 【变式训练3】．已知A，B，C，D四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 类型二、计数问题及其应用 例．已知火车从苏州火车站到南京火车站，途中要停靠两个站点，如果任意两个站点间的票价都不同，那么请你想一想： (1)在这些站点之中，要制作多少种不同的车票？ (2)一共有多少种不同的票价？ 【变式训练1】．往返于A，B两地的客车，中途停靠三个车站．假设站点与站点之间的路程及站点与A，B两地之间的路程都不相等，请问： (1)一共有多少种不同的票价？ (2)一共要准备多少种不同的车票？ 【变式训练2】．如图，在平面内有A，B，C三点，按要求完成下列任务．    (1)画直线，射线； (2)在线段上任取一点D（不同于点B，C），连接； (3)数一数此时图中线段的条数，并写出来． 【变式训练3】．观察图形，并回答下列问题： (1)【观察思考】图中共有______条线段； (2)【模型构建】若线段上有n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段． (3)【拓展应用】请你用上述模型构建来解决以下问题： ①十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？ ②十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 类型三、直线相交的交点个数问题 例．我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【变式训练1】．按要求完成作图及作答： (1)如图1，平面上有四个点，，，，作射线； (2)如图1，取一点，使点既在直线上又在直线上； (3)如图1，若点到，，，四点距离之和最短．画出点的位置； (4)如图2，平面内三条直线交于、、三点，点、是平面内另外两点，若分别过点、各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增__________个交点． 【变式训练2】．先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 【变式训练3】．请按要求完成下列问题； (1)在图1中作线段； (2)在图1中作射线； (3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小； (4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线和相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线，与直线、和相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点． 类型四、线段的和与差的运算 例．如图，点，在线段上． (1)填空： ___________． (2)若是线段中点，，cm，求线段的长． 【变式训练1】．如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 【变式训练2】．广州地铁8号线，线路起于滘心站，途经白云区、荔湾区、海珠区，贯穿广州国际会议展览中心、新港路沿线，止于万胜围站，如图，点、、、分别表示8号线四个车站的位置． (1)用关于、的代数式表示、两站之间的距离是 ；（最后结果需化简） (2)若已知、两站之间的距离是，求、两站之间的距离． 【变式训练3】．已知B、C在线段上．如图，若．．且，求的长度． 类型五、两点确定一条直线 例．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？ 【变式训练1】．探究归纳题： （1）试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作_______条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作_______条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作______条．通过以上分析和总结，图1共有______条直线． （2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_________条直线；图3共有________条直线； （3）探索归纳：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有____条直线．（用含n的式子表示） （4）解决问题：中职篮（CBA）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？ 【变式训练2】．木工检验木条的边线是否是直的，常常用眼睛从木条的一端向另一端望去，如果看到两个端点及这条边线中的各点都重合于一点，那么这条边线就是直的，你可以同伙伴试一试这个方法，并说一说其中的道理． 【变式训练3】．观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 1．根据下列语句画图： (1)画直线a，与线段b交于点E； (2)过直线l外一点M和直线上一点F画射线； (3)反向延长线段至P点，使线段． 2．若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 3．如图，在平面上有四个点，，，，按要求完成下列问题： (1)画射线； (2)连结，与射线相交于点． 4．（1）如图，线段上有三个点B，C，D，图中共有 条线段； （2）如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？ （3）边形共有 条对角线． 5．如图，已知B、C在线段上． (1)图中共有 条线段． (2)若． ①比较线段的长短： （填“”、“”或“”）． ②若，，求的长度． 6．我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 7．如图，已知A，B，C，D四个点，请按下列要求作图． (1)画线段，； (2)画直线，直线相交于点E； (3)在射线上确定一点F，使． 8．画图题： (1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹． ①画射线； ②连接； ③反向延长至D，使得； ④在直线l上确定点E，使得最小； (2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理． 如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________； 情景二： 同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________． 9．如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 10．如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，． (1)____________； (2)若点是直线上一点，且满足，求的长； (3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$