精品解析：江西省鹰潭市余江区第一中学2024-2025学年高一上学期10月期中数学试题

2024级高一上学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 6. 已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（ ） A. 7 B. 9 C. -7 D. -9 7. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 关于x的不等式（其中），其解集可能是（ ） A. B. R C. D. 11. 定义，设，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当，的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是_________． 13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____ 14. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知. （1）若成立，求实数的取值范围， （2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到； （2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值． 18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. （1）求关于的函数表达式； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 19. 已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． （1）判断函数的单调性； （2）解不等式：； （3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一上学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再结合交集的定义求结论. 【详解】因为集合， 所以， 所以. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出使函数有意义 的自变量范围． 【详解】由，解得或． 用区间表示对应D选项. 故选：D． 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入已知点坐标求得解析式，然后计算函数值． 【详解】设，因为幂函数的图象过，则有，所以，即，所以. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质以及定义特殊值可求得结果. 【详解】取，，可知A，B错误； 因为，所以C正确； 取，可知D错误； 故选：C. 5. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 6. 已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（ ） A. 7 B. 9 C. -7 D. -9 【答案】B 【解析】 【分析】根据是定义域为的奇函数，分别求出的值，结合题意，即可求解 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，，， 所以． 故选：B． 7. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，故或或，从而得到. 【详解】由，得，解得， 因此，或， 又因为表示不大于的最大整数，所以.只有选项B满足要求. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同， 因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同， 所以是同一个函数，故C正确； 对于D，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同， 所以两函数是同一个函数，故D正确. 故选:CD. 10. 关于x的不等式（其中），其解集可能是（ ） A. B. R C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，一定满足不等式，A错误；B选项，当，时满足要求；C选项，当，时满足要求；D选项，当，时满足要求. 【详解】A选项，当时，，所以解集不可能为，故A错误； B选项，当，时，不等式恒成立，即解集为R，故B正确； C选项，当，时，不等式的解集为，故C正确； D选项，当，，不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD． 11. 定义，设，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当，的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是_________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故答案为：， 13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意设设，进而利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 14. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）成立的一个必要条件是，则，求解即可； （2）由，则或，求解即可. 【小问1详解】 因为集合，． 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. 【小问2详解】 若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 16. 已知. （1）若成立，求实数的取值范围， （2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，根据存在性问题分析求解； （2）取反面：当和均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果. 【小问1详解】 若成立， 因为时，，可得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立， 若成立， 因为时，，可得； 若成立时，，解得或； 若均成立时，可得， 所以至多有一个成立时，则. 综上上述：实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到； （2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值． 【答案】（1）由于， 所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到． （2）证明：因为， 所以的图象关于中心对称； 则，，…，， 所以． 【解析】 【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程. （2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. （1）求关于的函数表达式； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 【答案】（1） （2）海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为. 【解析】 【分析】（1）由实际问题得出长和宽，建立函数的表达式即可； （2）由（1）知，然后由基本不等式求解最小值，及取得等号的条件即可. 【小问1详解】 由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ， 整理得. 【小问2详解】 由（1）知，即， 由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. ，当且仅当即时等号成立， 海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为. 19. 已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． （1）判断函数的单调性； （2）解不等式：； （3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数是定义在上的增函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义即可得到结果. （2）由第一问的结果增函数即可求解不等式的解集. （3）首先将函数恒成立问题转化成立，就是关于t的不等式求解，再构造函数进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由于函数是定义在上的奇函数，所以， 设则由得到， 即，由函数单调性的定义易得函数是定义在上的增函数. 【小问2详解】 由（1）知函数是定义在上的增函数，且； 则有,解得，所以不等式的解集为 【小问3详解】 因为，所以，若对所有， 恒成立，则成立，且， 所以对恒成立，即，恒成立， 令，则,即,解得，故实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $