50.二项式定理-整除问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

50.二项式定理-整除问题 1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）数列满足：，则除以7的余数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 5．（23-24高二下·广东茂名·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（    ） A．2010 B．2021 C．2019 D．1997 6．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 7．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知今天是周四，那么天后是（   ） A．周一 B．周三 C．周五 D．周日 8．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设为偶数，则被整除的余数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 10．（23-24高二下·浙江杭州·期中）除以15的余数是（    ） A．9 B．8 C．3 D．2 11．（23-24高二下·广西玉林·期末）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数a，b，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 12．（2024·辽宁·模拟预测）设函数的定义域为，若，记为在上的2次迭代，为在上的3次迭代，依次类推，为在上的次迭代，即，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则能被17整除 D．若，则 13．（23-24高二下·福建三明·期末）已知，则（    ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D．当时，除以11的余数为10 14．（23-24高二下·黑龙江绥化·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．精确到0.01的近似值为0.85 D．除以15的余数为1 15．（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知，则下列描述正确的是（   ） A．除以5所得的余数是1 B． C． D． 16．（24-25高三上·浙江·阶段练习）“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ． 17．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 . 18．（2024高三·全国·专题练习）若，则除以7的余数是 ． 19．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知，则a被10除所得的余数为 . 20．（24-25高三·上海·随堂练习）设，且，若能被13整除，则 ． 21．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 22．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 23．（24-25高三·上海·随堂练习）求证：（且）能被31整除． 24．（24-25高二上·上海·假期作业）若为奇数，求被除的余数. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B B D B C A D 题号 11 12 13 14 15 答案 C AC ACD ACD AC 1．A 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理求出被除的余数即可. 【详解】， 且能被整除， 而， ， 被除的余数为， 用七进制表示十进制的，其个位数是. 故选：A. 2．C 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 3．B 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】由二项式定理将展开，即可得出答案. 【详解】． 前91项均能被100整除，剩下两项为， 显然8281除以100所得的余数为81． 故被100除所得的余数为81． 故选：B. 4．B 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、整除和余数问题、数学归纳法证明数列问题、累乘法求数列通项 【分析】构造数列满足，由猜测并运用数学归纳法证得；再由利用累乘法求得，从而得到，由结合为3的倍数、为7的倍数可求除以7的余数. 【详解】设数列满足，则， 当时，若，则， 因此，对任意，均有. 由，两边取对数，可得， 则有，即， 可得，此时也符合，所以. 因为，故若为3的倍数，则必有为3的倍数， 而时，为3的倍数，故为3的倍数，依次有为3的倍数， 因为且时，为7的倍数， 故同理可得为7的倍数. 又， 故被7除余数为1，故除以7的余数为2. 故选：B. 5．B 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】依题意可得，展开计算得到，对比选项得到答案． 【详解】因为， 又，故， 又，，， ，结合选项可知只有B符合题意. 故选：B 6．D 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理对化简，得到其除以10的余数，再结合给定条件逐个选项分析即可. 【详解】因为， 所以， 而， 故除以10余数为1，而，所以除以10余数为1， 对于A，除以10余数为4，故A错误， 对于B，除以10余数为3，故B错误， 对于C，除以10余数为2，故C错误， 对于D，除以10余数为1，故D正确. 故选：D 7．B 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】变形得，再结合二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， ， 因为可以整除7，则除7后余数为6，则天后是周三. 故选：B. 8．C 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理展开，并对讨论即可得到答案 【详解】因为能被25整除， 所以当时，，此时，， 当时，； 当时， ， 因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为， 综上所述，正整数的最小值为， 故选：C 9．A 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】结合二项式定理，化简原式，再利用二项展开式，即可求解. 【详解】由题意，可得 ， 因为为偶数， 所以原式 因为能被整除， 所以被整除的余数是. 故选：A. 10．D 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】整理可得，结合二项式定理分析求解. 【详解】因为， 对于， 令，可得； 令，可得， 可知除以15的余数是1， 所以除以15的余数是2. 故选：D. 11．C 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据二项式展开式的特征可得，即可求解除以8所得的余数为7，即可求解. 【详解】已知 则 ，即除以8所得的余数为7， 显然2023除以8所得的余数为7，即b的值可以是2023. 故选：C. 12．AC 【难度】0.4 【知识点】函数周期性的应用、求等比数列前n项和、整除和余数问题、函数新定义 【分析】对于AB：根据题意结合等比数列求和公式分析判断；对于C：根据题意结合二项式定理分析判断；对于D：根据题意结合周期性分析判断. 【详解】对于选项A：若， 则， 所以，故A项正确； 对于选项B：由， 得， 所以，解得或，故B项错误； 对于选项C：若，则， 所以 ， 所以能被17整除，故C项正确； 对于选项D：若， 则，， 所以是以2为一个周期的迭代函数，所以，故D项错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：准确理解题干给出的“ n次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键. 13．ACD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和、整除和余数问题 【分析】对于AC：利用赋值法分析求解；对于B：根据二项展开式的通项公式分析求解；对于D：整理可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：令，则； 对于选项B：因为的通项为， 可知含项为， 所以的值为，故B错误； 对于选项C：令，则； 令，则； 所以，故C正确； 对于选项D：令，则， 因为， 可知除以11的余数为， 则除以11的余数为，且除以11的余数为， 所以当时，除以11的余数为10，故D正确； 故选：ACD. 14．ACD 【难度】0.65 【知识点】近似计算问题、整除和余数问题、二项展开式各项的系数和 【分析】分析展开式项的系数的符号，赋值判断A，逆用二项式定理判断B，由展开判断C，展开判断D. 【详解】在中， 所以令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为，故C正确； ， 其中，所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D正确． 故选：ACD． 15．AC 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、整除和余数问题 【分析】利用赋值法可判断BC，由，再结合二项式定理可判断A，对于两边同时求导，再利用赋值法可判断D． 【详解】对于A，， 故除以5所得的余数是1，故A正确 对于B，令得，，令得，，所以，故B错误； 对于C，由题意可知，， 对于， 令得，，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对于两边同时求导可得， ， 令得，， 令得，， 所以，故D错误． 故选：AC． 16． 【难度】0.4 【知识点】整除和余数问题、计算古典概型问题的概率、不同进制数的互化 【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将的高次方展开并求得除以之后的余数，令余数能被整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率. 【详解】设， 则位四进制数转换为十进制为 ， 若这个数能被3整除，则能被整除． 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由组成时，有个． 因为由，，组成的位四进制数共有个， 所以能被整除的概率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将进制转化为进制之后，利用二项式定理来求解能否被整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率. 17．1 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式、整除和余数问题 【分析】先由题得再结合二项式定理展开，根据其展开式结构特征即可求解. 【详解】由题 ， 因为可以被10整除， 所以被10除的余数为1. 故答案为：1. 18．0 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理求解即可. 【详解】， ， 故展开式中的每一项都能被7整除，故余数为0． 故答案为：0 19．1 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】首先利用二项式定理化简，再将写成，再利用二项式定理的展开式，即可求解. 【详解】， ， 所以被10除所得的余数为1. 故答案为：1 20．12 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】将写成，然后将二项式展开，含52的项能被13整除， 要能被13整除，则能被13整除，即可求得. 【详解】因为 ， 因为52能被13整除， 所以能被13整除，则能被13整除，且，，故． 故答案为：12. 21．(1)证明见解析； (2)8 【难度】0.4 【知识点】由定义判定等比数列、分组（并项）法求和、整除和余数问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据得出，构造出，即可证明，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2），结合及二项式定理得出当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得出，利用二项式定理得出除以16的余数为除以16的余数，即可求解． 【详解】（1）当时，，又，所以， 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． （2）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8． 22．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求系数最大（小）的项、整除和余数问题 【分析】（1）利用二项式系数和公式先求，再利用展开式通项公式列不等式组计算即可； （2）将变形为，利用二项式定理计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则， 即，解得，所以， 展开式中系数最大的项为第6项， 即； （2）因为时， ， 记，显然能被9整除， 所以二项式的值被除的余数为. 23．证明见解析 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题、求等比数列前n项和 【分析】利用等比数列求和公式和二项式定理化简得到，证明出结论. 【详解】因为 ， 显然为整数，所以原式能被31整除． 24．7 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】根据二项式展开式可得，即可根据二项式展开，即可求解余数. 【详解】因为 由于为奇数，所以上式可化为， 所以被除的余数为7. 答案第14页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$