39.隔板法-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

39.隔板法 1．（23-24高三上·浙江·阶段练习）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（    ） A．124 B．246 C．114 D．108 2．（23-24高三上·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．720种 3．（21-22高二下·上海长宁·期末）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ） A．72项 B．75项 C．78项 D．81项 4．（2023·江苏南通·模拟预测）在空间直角坐标系中，，则三棱锥内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·江苏常州·期中）在空间直角坐标系中，，则三棱锥内部整点(所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为（    ） A．35 B．36 C．84 D．21 6．（18-19高二上·湖北·期末）若方程，其中，则方程的正整数解的个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 7．（2022·江苏盐城·模拟预测）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（    ） A．833 B．884 C．5050 D．5151 8．（2023·辽宁·模拟预测）方程的非负整数解的组的个数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 10．（2023·河北唐山·模拟预测）某高校举行一场智能机器人大赛.该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的分配方法共有（    ） A．20种 B．21种 C．28种 D．35种 11．（22-23高三下·重庆渝中·阶段练习）下列选项正确的是（    ） A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种 B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种 C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种 D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 12．（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（   ） A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法 C．若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法 13．（19-20高二·福建福州·期末）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有64种 B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种 C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种 D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种 14．（2021·辽宁·模拟预测）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（    ） A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 15．（22-23高二下·贵州毕节·期中）下列说法正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法 B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法 C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法 16．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　） A．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法 B．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法 C．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法 D．将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 17．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）已知集合满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则中的元素的个数为1 B．若，则中的元素的个数为15 C．若，则中的元素的个数为45 D．若，则中的元素的个数为78 18．（22-23高二下·安徽六安·期中）下列说法正确的是（    ） A．从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种 B．甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种 C．将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法 D．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法 19．（22-23高二下·江苏徐州·期中）下列选项正确的是（    ） A．有6个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有720种 B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种 C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种 D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 20．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）以下说法正确的是（    ） A．把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种 B． C．的二项展开式中系数最大的项为 D．已知是定义在上函数，是的导数，当时，若，则 21．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（    ） A．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法 B．九本书内容都不一样，分给三位同学有种不同的分法 C．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法 D．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有种不同的分法 22．（22-23高二上·北京·期末）把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有 种．（用数字作答） 23．（21-22高二下·浙江·期中）已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则 ． 24．（22-23高二下·湖北·期中）用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有 个． 25．（22-23高二下·北京怀柔·期中）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 . 26．（2023·河南新乡·一模）已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有 个． 27．（21-22高二·全国·课后作业）若方程，其中，则方程的正整数解得个数为 . 28．（22-23高二下·安徽合肥·期末）在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有 个（用数字回答） 29．（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是 （用数字作答） 30．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）的非负整数解有 组. 31．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）关于的方程（其中，且）的解共有 组．（用数字作答） 32．（22-23高二下·天津·期中）有12个志愿者名额全部分配给某年级的10个班，若每班至少分配到一个名额，则所有不同的分配方法种数为 . 33．（21-22高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法； （2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法； （3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法； （4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？ 34．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？ （3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？ （4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 35．（18-19高二下·重庆万州·期中）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 36．（22-23高二下·湖北·阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 37．（18-19高二下·安徽池州·期末）（1）求方程的非负整数解的组数； （2）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数. 38．（2023高二·江苏·专题练习）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 39．（22-23高二下·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 40．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念． (1)求甲、乙不相邻且不在两端的概率； (2)如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？ 41．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）安排6名教师到甲､乙､丙三个场馆做志愿者. (1)有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？ (2)六名教师站一排照相，求不相邻，且在的左边（可以不相邻）的概率？ 42．（22-23高二下·江苏苏州·期中）7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名． (1)若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？ (2)若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？ (3)现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？ 43．（22-23高二上·浙江宁波·期中）（1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 44．（2024·广东·模拟预测）在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在． (1)对于元一次方程，试求其正整数解的个数； (2)对于元一次方程组，试求其非负整数解的个数； (3)证明：（可不使用组合分析法证明）． 注：与可视为二元一次方程的两组不同解． 45．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者. （i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ （2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示） （3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示） 46．（2023高三·全国·专题练习）（1）把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？ （2）把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？ （3）把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？ （4）把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？ 47．（2022高三·全国·专题练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． (1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ (2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？ (3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 48．（2023高三·全国·专题练习）将10个优秀指标分配给3个班级： (1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？ (2)任意分配共有多少种分配方法？ (3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？ 49．（23-24高二上·全国·课后作业）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子； (2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒． 50．（11-12高二下·吉林·期中）将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求： （1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？ （2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？ （3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？ （4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？ 51．（2023高三·全国·专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求： (1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？ (2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？ (3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？ (4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？ 试卷第8页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B A A A A B D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 ABD ABD BD BD AC BD BCD BCD ABD ACD 题号 21 答案 ABC 1．C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分布乘法计数原理，根据排列及间接法计算. 【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种， 不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法. 故选：C 2．A 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】应用“隔板法”即可求解. 【详解】先在编2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球， 三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙， 插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有（种）方法． 故选:A. 3．C 【难度】0.4 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可. 【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且， 故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即. 故选：C 4．B 【难度】0.4 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、组合数的性质及应用、求平面的法向量 【分析】先利用空间向量法求得面的一个法向量为，从而求得面上的点满足，进而得到棱锥内部整点为满足，再利用隔板法与组合数的性质即可得解. 【详解】根据题意，作出图形如下， 因为，所以， 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 设是面上的点，则， 故，则， 不妨设三棱锥内部整点为，则，故，则， 易知若，则在面上，若，则在三棱锥外部， 所以， 当且时， 将写成个排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为的取值的方法个数，显然有个方法， 所有整点的个数为， 因为， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得面上的点满足，从而确定三棱锥内部整点为满足，由此得解. 5．A 【难度】0.4 【知识点】几何组合计数问题、求平面的法向量 【分析】首先求平面的一个法向量，并根据法向量确定三棱锥内部的点满足的条件， 并结合隔板法，求方法种数. 【详解】由条件可知，，， 设平面的一个法向量，则 ，令，则，故， 设是平面上的点，则， 故，则， 不妨设三棱锥内部整数点为，则，且，，，则 若时，则在平面上， 若，则在三棱锥的外部， 所以， 当，且时， 将写成个1排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为的取值的方法个数，显然有个方法， 所有整数点的个数为. 故选：A 6．A 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】将方程正整数解问题转化为排列组合问题，采用挡板法求出结果. 【详解】因为方程，其中， 则，将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列， 利用挡板法将其分成3组，第一组小球数目为；第二组小球数目为；第三组小球数目为， 共有种方法，故方程的正整数解的个数为10， 故选：A. 7．A 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合 【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得. 【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果， 因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果， 所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个 因为三个元素的每种取值有6种不同顺序， 所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个. 故选：A 8．A 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解. 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为，所以， 从而将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分， 一共有13个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 9．B 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】利用隔板法求解. 【详解】根据题意，先将13个名额分能给一班、二班每班2个，三班、四班每班1个， 而由于五班可以不分配名额， 则将剩下的7个名额加上1个空名额，再分成5组，每组至少1个名额， 由于有，利用“隔板法”，有种分配方式. 故选：B. 10．D 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用隔板法可得答案. 【详解】将8个参赛名额看成8个元素，之间会产生7个空隙，则分配方法数为：. 故选：D 11．ABD 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据分类分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可. 【详解】对于A:,故A正确； 对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个， 即或所以有种，故B正确； 对于C:应用隔板法，C选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个, 所以有种, 故C错误； 对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数， 存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有1种存放方式； 存放2个盒子，有3种； 存放3个盒子，有4种； 共有8种，故D正确. 故选：ABD. 12．ABD 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合 【分析】全排列可得A正确；先将人员分组为2,1,1，再将三组人员送到三个地方可得B正确；全排中除去甲去 区，乙去 区，再加上多减的即可判断C错误；隔板法，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，再计算后可得D正确. 【详解】A：若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确； B：若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法，故B正确； C：若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法，故C错误； D：若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确； 故选：ABD. 13．BD 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分类、分布计数原理和排列、组合，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，每人都有3种安排方法，则不同的安排方法共有（种），所以A错误； 对于B中，若恰有一地无人去，则需先在三地中选出两地，再将4人安排到这两个地方，不同的安排方法有（种），所以B正确. 对于C中，根据题意，需将4人分为3组，若甲､乙在同一组，有1种分组方法， 又甲､乙两人不能去地，所以安排甲､乙一组到地或地，有2种情况， 剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时不同的安排方法有（种）； 若甲､乙不在同一组，有种分组方法，又甲､乙两人不能去A地， 所以安排没有甲､乙的一组去地，甲､乙所在的两组安排到，两地，有种情况， 此时不同的安排方法有（种），则不同的安排方法共有（种）， 所以C错误； 对于D中，只需将20辆救护车排成一排，在形成的19个间隙中插入挡板，将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，此时不同的安排方法有（种），所以D正确. 故选：BD. 14．BD 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】对于AB，将20个名额分给n个班，且每个班至少有一个名额，相当于在20个物体的19个空中，选个位置分隔，用插空法；对于CD，将问题转化为将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结合挡板法求解即可得到. 【详解】解：对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误； 对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确； 对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有种，故C错误，D正确. 故选：BD. 15．AC 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB；利用隔板法计算判断C；利用分类加法计数原理列式计算判断D作答. 【详解】对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙， 不同分法有种，A正确； 对于B，把6本不同的书按分成3组有种方法，再分给甲、乙、丙三人有种方法， 不同分法种数是，B错误； 对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙， 取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为，C正确； 对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有种， 一人1本，一人2本，一人3本有种，一人4本，另两人各一本有种， 所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是，D错误. 故选：AC 16．BD 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB，利用分类加法计数原理结合分组分配方法列式计算判断C，利用隔板法求解判断D. 【详解】对于A，6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2本作为一组， 最后3本作为一组，共有（种）， 再将3组分给甲、乙、丙三人，共有（种），故A不正确； 对于B，6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙， 共有种不同的分法，故B正确； 对于C，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论： ①一人4本，其他两人各1本，共有（种）； ② 一人1本，一人2本，一人3本，共有（种）； ③ 每人2本，共有（种），故共有（种），故C不正确； 对于D，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法（种），故D正确. 故选：BD. 17．BCD 【难度】0.4 【知识点】判断元素与集合的关系、实际问题中的组合计数问题、集合新定义 【分析】对于A，由集合的定义即可列举出集合中所有的元素即可判断；对于B，中的元素均为正奇数，对分类讨论即可验算；对于C，原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D，原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法验算即可. 【详解】对于A，由题意得，所以中的元素的个数为，A错误； 对于B，由题意得中的元素均为正奇数，在中， 当时，有共5个元素， 当时，有共4个元素， 当时，有共3个元素， 当时，有共2个元素， 当时，有共1个元素， 所以中的元素的个数为，B正确； 对于C，，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个， 利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确； 对于D，， 可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个， 利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利得解. 18．BCD 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】选项A至少取到1件次品的取法分为两类，抽1个次品1个正品和抽2个次品； 选项B特殊位置优先排，相邻问题要捆绑处理； 选项C相同元素分配问题，可用隔板法； 选项D不同元素分配问题，先分组再分配. 【详解】选项A：从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种，故A错误； 选项B：甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间，故只需排6名学生， 老师左右各三个位置，甲乙必须站在一起，将甲乙捆绑看作一个元素， 若甲乙在老师左边，则左边还有1个位置可以在甲乙左侧或右侧，右边有3个位置， 若甲乙在老师右边，则左边还有1个位置可以在甲乙左侧或右侧，左边有3个位置， 共有种，故B正确； 选项C：隔板法，可以把问题看做由3个隔板插入10个相同元素中的9个空里，把10个元素分为4份，故共有种，C正确； 选项D：先分组，再排列， 第一类，将5个不同的小球分为数量为3、1、1的三组，再排列，有种； 第二类，将5个不同的小球分为数量为2、2、1的三组，再排列，有种 共有种，故D正确. 故选：BCD 19．ABD 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、分组分配问题 【分析】用排列的定义求解判断A，用分组分配法求解判断B，用插隔板法求解判断C，用列举法求解判断D． 【详解】选项A，6个球选5个的排列，方法数为，A正确； 选项B，按球的个数分类讨论得方法数为：，B正确； 选项C，用插隔板法，相当于8 个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子里至少一个球，方法数为，C错误； 选项D，存放方法在于球的个数，相当于把7分成3 个数的和（可以是0）， ，共8种方法，D正确． 故选：ABD． 20．ACD 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、实际问题中的组合计数问题、组合数的性质及应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对于A：第一步取出一个空盒，第二步利用隔板法将8个球放到3个盒子即可；对于B：利用组合数的性质来计算；对于C：令第项的系数最大，根据第项的系数不小于第项和第项的系数列不等式求解即可；对于D：令，求导，利用条件确定其单调性，利用单调性来比较函数值的大小. 【详解】恰有一个空盒的放法共有种，A正确． ，故B错误； 的通项为，令第项的系数最大， 则，且，解得，第三项展开式系数最大，且系数最大的项为，故C正确． 令，则，因为当时， 所以，即在上单调递减，所以，即，即，故D正确． 故选：. 21．ABC 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】对于A，利用挡板法可求解即可；对于B，每本书都有3种分配方法，求幂即可得到答案；对于C，根据题意，将9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，由组合数公式计算可得答案；对于D，可以分11类情况：①“1，2，6型”②“1，3，5型”③“1，4，4型”④“1，7，1型”⑤“1，8，0型”⑥“2，2，5型”⑦“2，3，4型”⑧“2，7，0型”⑨“3，3，3型”⑩“3，6，0型”⑪“4，5，0型”，分别计算再相加即可． 【详解】对于A，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有种不同的分法，故A正确； 对于B，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有种不同的分法，故B正确； 对于C，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有种不同的分法，故C正确； 对于D，可以分11类情况： ①“1，2，6型”有；②“1，3，5型”； ③“1，4，4型”；④“1，7，1型”；⑤“1，8，0型”； ⑥“2，2，5型”；⑦“2，3，4型”；⑧“2，7，0型”； ⑨“3，3，3型”；⑩“3，6，0型”； ⑪“4，5，0型”， 所以有种不同的分法，故D错误． 故选：ABC． 22．144 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】根据题意分2步进行：①先将票分为符合条件的4份，有2个人各一张，2个人各2张；②再将分好的4份全排列，对应到4个人，即可得答案. 【详解】解：根据题意，可分为两步进行： ①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张， 则有2个人各一张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号， 即在其中的5个空隙中插入3个板子，其有种情况； 其中出现3张三连号的有：123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456；共4种情况，不满足题意， 所以有10-4=6种情况； ②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有种情况， 由分步计数原理可得，共有种不同的分法. 故答案为：144 23． 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及与的情况，求出相应的概率，求出期望，利用计算出答案. 【详解】因为，所以随机变量X可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 时，分两种情况： ①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，， 时，也分两种情况： ①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以是，， 所以， ， 故答案为：． 24． 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、数字排列问题 【分析】将“长久数”的排列转化为将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解． 【详解】设对应个位到百位上的数字，则且，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图， 这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为，第二组数的和作为，第三组数的和作为， 故共种， 故答案为：45． 25．17 【难度】0.65 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值、x+y+z=n的整数解的个数 【分析】求出可能取值，求出相应的概率，得出的分布列，即可求出期望. 【详解】由题意可得：的可能取值为， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 若，三个正整数为或，则有种，故； 若，三个正整数为或，则有种，故； 若，三个正整数为或，则有种，故； 若，三个正整数为，则有种，故； 若，三个正整数为，则有种，故； 故的分布列为： 4 5 6 7 8 故. 所以 故答案为：. 26．66 【难度】0.65 【知识点】数列新定义、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，分的值有1种，2种以及3种讨论，结合隔板法代入计算，即可得到结果. 【详解】若的值只有1种可能，则符合条件的不同数列有3个， 若的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有个， 若的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有个， 故共有66个符合条件的不同数列． 故答案为：66 27．10 【难度】0.4 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】依据挡板法去求解即可. 【详解】因为方程，其中，则. 将其转化为有6个1排成一列，利用2个挡板法将其分成3组，第一组1的数目为， 第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个挡板的放置方法共有种，故方程的正整数解的个数为10. 故答案为：10 28．120 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题、实际问题中的组合计数问题、x+y+z=n的整数解的个数 【分析】根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为0的问题，根据0的个数分情况，结合挡板法即可求解． 【详解】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中， 若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有个， 若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有个， 若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有个， 若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况， 综上：共有个“英雄数”． 故答案为：120． 29．15 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】利用隔板法计算即可. 【详解】先在编号为2，3的盒子中分别放入1，2个小球，编号为1的盒子不放球， 再每个盒子至少放入一个小球，用隔板法将余下7个小球排一排有6个空，插入2个隔板，有种方法. 故答案为：15 30．84 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】把方程的解转化为将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？按照相同元素的排列问题进行求解即可. 【详解】本问题等价于将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？ 因此我们将6个小球排成一排，用3个隔板将小球隔成4段， 因为盒子可以为空，因此隔板可以相邻，将第1,2,3,4段放入这四个盒子中即可， 因为小球没有区别，隔板也没有区别，因此等价于将6个小球和3个隔板排成一列，则共有种方法， 故答案为：84. 31． 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】可化为，即将10分解成为10个1之和，将这些1分为三组，每一组至少一个1，利用隔板法求得分组方法数，即为方程的解的组数. 【详解】由，且，故， 则等价于， 即可将分为个之和，将这些分为三组，每一组至少一个， 即在个中间插入两个隔板，共有种. 故答案为：. 32．55 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】采用挡板法，即将12个志愿者名额看作12个相同的元素，分为10组，每组至少一个元素，在这12个元素之间形成的11个空中，选9个插入挡板即可. 【详解】12个志愿者名额全部分配给某年级的10个班，若每班至少分配到一个名额, 可将12个志愿者名额看作12个相同的元素，分为10组，每组至少一个元素， 因此在这12个元素之间形成的11个空中，选9个插入挡板即可， 故有种不同的分配方法种数， 故答案为：55 33．（1）256；（2）144；（3）84；（4）18. 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）按照分步乘法计数原理进行计算； （2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，放入3个盒子中； （3）按照插板法进行计算即可； （4）先选2个空盒，再按照插板法进行计算. 【详解】（1）每个小球有4种方法，共有种放法； （2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法； （3）9个空中插入3个板即可，种放法； （4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法. 34．（1）；（2）；（3）576；（4）. 【难度】0.65 【知识点】其他组合计数模型、分组分配问题、不相邻排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）利用捆绑法即可求得两个女生相邻的排法种数； （2）利用隔板法即可求得名额的分法种数； （3）利用插空法即可求得不同的排法种数； （4）按外科女医生来或不来分类讨论，再依据分步计数原理即可求得所有不同的派法种数. 【详解】（1）两个女生相邻捆绑处理，有种； （2）将8个体育生名额排成一列，在形成的中间7个空隙中插入4块隔板， 所以不同的放法种数为； （3）第1步，先排4个朗诵节目共种； 第2步，排说唱节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头， 从剩下4个空中选3个插空共有种，所以一共有=576种排法； （4）先分类： ①若外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1； 另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有种； ②若外科女医生不选，则一组内科3女选1，外科4男选2； 另一组内科2女选1，外科2男选2 ，共有种； 由于分赴甲乙两地，所以共有种． 35．（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560. 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】(1)根据条件每个箱子先放一个，确定余下两个小球的放法即为答案； (2)将6个相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得； (3)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，求出所有分组方法数即可； (4)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，再将每一种分法放入4个不同箱子即可得解. 【详解】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个小球，还剩下2个小球， 则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中， 所以共有2种放法； （2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板， 所以不同的放法种数为； （3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法， 所以不同的放法种数为； （4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求， 所以不同的放法种数为． 36．（1）；（2）；（3）；（4）. 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题、x+y+z=n的整数解的个数 【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果； （2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果； （4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果. 【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、， 然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种； （2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知， 将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种； （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种； （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种. 37．（1）56；（2）840种 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合、实际问题中的组合计数问题、x+y+z=n的整数解的个数 【分析】（1）设（，2，3，4），问题转化为程的正整数解的组数，利用隔板法进行求解； （2）转化为方程的非负整数解的组，利用隔板法，结合排列知识进行求解. 【详解】（1）设（，2，3，4），则方程的非负整数解的组数等于方程的正整数解的组数， 利用隔板法得方程的正整数解的组数是， ∴方程的非负整数解的组数是56. （2）设4名乘客中分别有，，，个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过， 则，即问题转化为求方程的非负整数解的组数， 共有种情况，每一种进站情况的4个位置由4个人去站有种方法， 由分步乘法计数原理得不同的进站方案有种， ∴一个4人小组进站的不同方案种数是840种. 38．(1)256(种) (2)24(种) (3)144(种) (4)12(种) 【难度】0.65 【知识点】其他组合计数模型、全排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可； （2）根据排列的定义求解即可； （3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解； （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解. 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法. （2）这是全排列问题，共有(种)放法. （3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个 盒子，有种投放方法，故共有(种)放法. （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法， 所以共有(种)放法. （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球， 余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有(种)放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有(种)放法. 39．(1)256（种） (2)24（种） (3)12（种） 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、全排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可； （2）根据排列的定义求解即可； （3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解. 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法. （2）这是全排列问题，共有（种）放法. （3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有（种）放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有（种）放法. 40．(1) (2)720种 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、不相邻排列问题 【分析】（1）由插空法结合概率公式求解； （2）由捆绑法结合分步乘法计数原理求解； 【详解】（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件， 甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为， 所以甲、乙不相邻且不在两端的概率为． （2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种， 排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体， 同余下的2位老师作全排列有种，甲、乙的排列有种． 由分步乘法计数原理，得， 所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不同的排法． 41．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、其他组合计数模型、不相邻排列问题 【分析】（1）分两步完成，第一步，每人先发一个口罩，第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，利用相同元素隔板法即可解决问题； （2）利用排列知识，求出当不相邻，且在的左边时的排法数及六名教师站一排时的排法数，再利用古典概率公式即可求出结果. 【详解】（1）因口罩全部相同，且每名教师至少发两个口罩， 分两步完成：第一步，每人先发一个口罩，只有1种发法， 第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，共有种不同的发放方法，所以共有种不同的发放方法. （2）当不相邻，且在的左边时，有种排法， 又六名教师站一排时，有种排法， 记“不相邻，且在的左边（可以不相邻）”为事件， 所以. 42．(1)960 (2)3720 (3)126 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合 【分析】（1）相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理即可； （2）特殊元素优先安排即可； （3）相同元素分配问题插板处理即可. 【详解】（1）先把除两位女生和老师这3人外的4人排好，有种排法， 由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法， 最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法． 故排法共有（种）． （2）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法； 甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法， 共有 （种）． 法二：7名学生全排列，只有种方法， 其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法， 其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法， 共有（种）． （3）法一：16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种． 法二：先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给6位同学，有五类分法： 1.四只口罩分给1人，有种分法； 2.四只口罩分成2，1，1三份分给3人，有 种分法； 3.四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法； 4.四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法； 5.四只口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有种分法； 则共有种分法． 43．（1）10；（2）65；（3）1560. 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、全排列问题 【分析】（1）应用隔板法，在6个小球队列的5个空隙中插入3块隔板，即可得结果； （2）将6个不同的小球按{2,2,1,1}和{3,1,1,1}两种方案分组放入箱子，即得结果； （3）在（2）的基础上，作全排列即可得结果. 【详解】（1）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球， 将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板， 所以不同的放法种数为； （2）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球， 先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法， 所以不同的放法种数为； （3）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球， 先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求， 所以不同的放法种数为． 44．(1) (2). (3)证明见详解. 【难度】0.4 【知识点】利用组合数公式证明、代数中的组合计数问题、其他组合计数模型 【分析】（1）建立模型个相同的球排成一行，分成组，且每组至少一个小球，利用组合方法隔板法进行求解即可. （2）令，方程的非负整数解个数，转化为方程的正整数解个数，由（1）的结论即可求出结果. （3）由得，，，两式相乘求出的系数，再由求出的系数，即可得证. 【详解】（1）取个相同的球排成一行，这个球两两之间共有个空隙，用块相同的隔板插入这个空隙，每个空隙最多插一块隔板，则插入隔板的方法数为， 这块相同的隔板将个球分成组，从左到右各组的球数依次记为，则为正整数，且， 故元一次方程的正整数解的个数为. （2）令， 则是方程的正整数解， 由（1）知，方程的正整数解个数为， 即方程的非负整数解个数为， 同理可得，方程的非负整数解个数为， 故元一次方程组的非负整数解的个数为. （3）先证明：成立， 设，（*） 令得， 将（*）两边求导得，（**） 令得， 将（**）式两边求导得 ，（***） 令得 ， 将（***）式两边求导得         ， 令得 ， 依次类推可得， 所以成立， 所以，， 所以， 而， 所以. 【点睛】关键点点睛：解决元一次不定方程的正整数解的个数问题，通过建立模型，利用隔板法进行求解. 45．（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60 【难度】0.65 【知识点】其他组合计数模型、分组分配问题 【分析】 （1）（i）利用隔板法求解即可； （ii）把，视为一人，再把人按和分组，再分配即可； （2）把4名干部按和分成两组，再分配到两个街道列式计算作答； （3）根据给定条件，利用倍缩法列式计算作答. 【详解】 （1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙， 插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可， 所以不同的发放方法种； （ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆， 分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 所以不同的安排方法有种方法； （2）把4名干部按分成两组，有种分组方法， 按分成两组，有种分组方法， 所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）； （3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法， 其中中间一列按从下往上有1种，占， 最右一列按从下往上只有1种，占， 所以不同取法数是（种）. 46．（1）4；（2）；（3）14；（4）15 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理、排列组合综合 【详解】（1）由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有型、型．型，型，故只有4种放法． （2）（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法． （3）（先分组后分配）先将不同小球分为3组，有型（种放法）、型（种放法）、型（种放法）、型（种放法），共14种分组方法，再将3组小球分配到3个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14种放法． （4）解法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有型，型，型，型．由于小球相同，故各只有1种分组方法，再将三组小球分配到3个盒子，由于盒子不同，故有种放法． 解法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有种放法． 47．(1)3876 ； (2)； (3)126 ． 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】（1）由隔板法知，在19个空隙中放4个板子；（2）在24个空隙中放4个板子；（3）先在1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再将剩余的10个球利用隔板法分为5份. 【详解】（1）把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； （2）由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； （3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种. 48．(1)36 (2)66 (3)15 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、实际问题中的组合计数问题 【详解】由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子的模型，可采用“隔板法”． （1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有种分配方法． （2）排隔板，即10个指标和2个隔板．从12个位置中选2个放隔板，共有种分配方法． （3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的7个优秀名额用插隔板法，共有种分配方法． 总之，凡是处理“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”．若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目可为0个时，可用排“隔板”． 49．(1)4096 (2)1560 (3)10 (4)2160 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、组合数的计算 【分析】 （1）根据分步乘法计数原理可得答案； （2）先把6个小球分为4组，每组个数为或，再放入不同的4个盒子中，即可求得答案. （3）采用隔板法可求得答案. （4）将6个不同的小球分为3组，球的个数为或或，结合平均分组以及不平均分组知识，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能的放法， 故有种不同的方法； （2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； 先把6个小球分为4组，每组个数为或，再放入不同的4个盒子中， 共有种不同的方法. （3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球， 即将6个相同的小球分为4份即可，可采用隔板法，即将6个小球排成一排， 在中间形成的5个空中选3个插入隔板，即可将6个相同的小球分成4份， 故有种方法. （4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒, 将6个不同的小球分为3组，球的个数为或或， 然后从4个不同的盒子中选3个放入这3组球， 则有种不同的方法. 50．（1）（种）；（2）（种）；（3）（种）；（4）（种）. 【难度】0.65 【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题、x+y+z=n的整数解的个数 【分析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有个小球，利用排列数可得出结果； （2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、、，然后分配给个盒子中的个盒子，利用组合与排列计数原理可得出结果； （3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，列举出此种情况下其它个球均未放入相应编号的盒子里，在此种放法种数上乘以可得结果； （4）空盒编号有种情况，然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，利用隔板法求出结果，乘以即得所求放法种数. 【详解】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）； （2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、、，然后分配给个盒子中的个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）； （3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，则其它个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为、、的盒子中放入的小球编号可以依次为、、或、、， 因此，所求放法种数为（种）； （4）按两步进行，空盒编号有种情况， 然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒， 则只需在个完全相同的小球所形成的个空（不包括两端）中插入块板， 由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）. 【点睛】本题考查计数应用题，涉及分步乘法计数原理、隔板法以及列举法的应用，考查计算能力，属于中等题. 51．(1)24 (2)144 (3)8 (4)12 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题、分组分配问题 【分析】利用分步乘法计数原理逐一分析即可求解. 【详解】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）； （2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子， 由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）； （3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子， 那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3， 因此，所求放法种数为（种）； （4）按两步进行，空盒编号有4种情况， 然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒， 则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板， 由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）. 答案第30页，共34页 答案第11页，共34页 学科网（北京）股份有限公司 $$