32.数形结合思想-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

32.数形结合思想 1．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 5．（24-25高一上·四川内江·开学考试）代数式的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 10．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 11．（24-25高二上·江西·阶段练习）若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（   ） A．0 B． C．2 D． 12．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 13．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线．已知星形线上的点到x轴的距离的最大值为1，则（    ） A． B．C上的点到原点的距离的最大值为1 C．C上的点到原点的距离的最小值为 D．当点在C上时， 14．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 15．（24-25高二上·江西·阶段练习）在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是 万元. 16．（2024高二·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 17．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 . 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 19．（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 20．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知定点，动点到定点距离之比为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作的切线，切点为，求所在直线方程． 21．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知以点为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于另一点A，与y轴交于另一点B． (1)求证：为定值 (2)设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程． (3)在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 22．（24-25高二上·天津南开·阶段练习）圆，点为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N. (1)若，求切线方程； (2)直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； (3)若两条切线PM，PN与直线y=1分别交于A，B两点，求面积的最小值. 23．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，求直线的斜率的取值范围． 24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右顶点，点为上一点，且的面积为3． (1)求的方程； (2)过点作直线，分别与交于两点，直线与轴交于点，过点作直线交于两点，若在线段上，且，求的面积． 25．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求抛物线的方程： (2)已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值； (3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围． 26．（24-25高二上·全国·课堂例题）类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D D B A B B BC 题号 11 12 13 答案 BD ACD ABD 1．A 【难度】0.4 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题、轨迹问题——圆 【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定P的轨迹，取点构造相似结合三角形三边关系计算即可. 【详解】因为直线，直线，易知， 且分别过定点，取其中点，易知， 则P点在以C为圆心，3为半径的圆上，取点，连接, 不难发现，则，所以， 则， 当且仅当三点共线，且与线段和圆C的交点重合时取得等号. 故选：A. 2．D 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出直线恒过定点，再结合图象求解即可. 【详解】直线，即， 由，解得，所以直线恒过定点， 又，，    由图可知，要使直线与线段有公共点， 则直线斜率的取值范围为. 故选：D. 3．B 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】由题意，，， 因为过点的直线与线段相交， 结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为. 故选：B. 4．D 【难度】0.4 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是， 则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为，    则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确. 故选：D. 5．D 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】易知表示点到点与点的距离之和，画出图形，数形结合即可得解. 【详解】表示点到点与点的距离之和， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接， 则， 即当点为与轴交点时，代数式取得最小值13. 故选：D. 6．B 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 【详解】由点，可求得： 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线的斜率的斜率范围是. 故选：B. 7．A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】由圆得圆心,半径. 因为直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆与圆有交点，当长度最小时，两圆外切， 且两圆圆心所在直线与垂直，如图，    因为圆心到直线的距离， 所以， 故选：A 8．B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 9．B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据、点在上，求出可得答案． 【详解】由题设知，，则， 所以，且，易知， 又因为点在上，所以，所以， 因为，所以， 则，化简得 ， 解得或（舍去）．所以， 故的离心率为． 故选：B． 10．BC 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 11．BD 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线过定点及曲线为半圆，作出图象，求出切线、割线对应斜率，数形结合即可得解. 【详解】直线恒过定点， 由可得，如图， 由解得或（舍去），即, 由，可得, 由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点. 故选：BD 12．ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据直线切过定点且该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【详解】对于A，将直线整理得， 由，解得，所以直线过定点， 因为，所以该定点在圆内，则圆与直线必有两个交点，故A正确；    对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，，，    因为，为切点，所以，， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，， 又因为半径为2，所以，， 又，，所以垂直平分，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 13．ABD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】根据星形线求出可判断AB；设点在C上，根据利用立方差公式、基本不等式可判断C；由利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，因为星形线上的点到x轴的距离的最大值为1， 令得，因为，可得，故A正确； 对于B，由图可得C上的点到原点的距离的最大值为1，故B正确； 对于C，设点在C上，则， 因为 ，当且仅当等号成立， 即星形线上的点到原点距离的最小值为，故C错误； 对于D，当点在C上时， 因为， 得，当且仅当等号成立， 即星形线上的点到轴距离的乘积的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是从方程出发，利用基本不等式求最值. 14． 【难度】0.94 【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程. 【详解】 连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得， 则有， 所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆， 则，即， 所以点M 的轨迹方程为：，即， 故答案为：. 15．15 【难度】0.4 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】由题意求出点的轨迹方程，再根据椭圆的定义化简费用关系式，数形结合可知在处有最小值. 【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的直 角坐标系. 设Р为沿湖小径上的任意一点，则， 根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆. 所以， 则点P的轨迹方程为， 由题意，修建两条观景步道的总费用为， 由图形可知，当三点共线且在之间时，即运动到处时，总费用最低，最低为. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立平面直角坐标系，利用椭圆定义得到动点的轨迹方程，再由数形结合，得出三点共线时，动点的位置，属于较难题目. 16． 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据斜率公式求解斜率，即可结合图形求解. 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 如图：所以要使直线与线段有公共点，的取值范围为． 故答案为： 17． 【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】由题意可知圆与圆相离，由弧所对的圆心角为，分析两圆的外公切线与内公切线及圆心的变化位置，通过构造法求出，分析计算可得弧上的点与圆上的点的最短距离. 【详解】如图，构造等腰三角形，其中顶角，则， 过作的角平分线交于，则. 故与相似，不妨设，， 则，， 则，即，由，解得， 则，则. 由题意，弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切， 则圆与圆有4条公切线，即两圆相离，且与圆相切的切点均在弧上. 如图， 设弧的中点为，弧所对的圆心角为， 圆的半径，在弧上取两点，则， 分别过点作圆的切线，由对称性可知两切线交直线于同一点，设为， 当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线， 则圆的圆心在线段上，且不包括端点，即. 过点，分别向作垂线，垂足为， 则即为圆的半径，由两圆相离可知，. 设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度. 在中，， 则， 而. 故 即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径和，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径和，即. 18． 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】方程表示以为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点），故t可以看作半圆上的动点与定点连线的斜率，画出图形结合图形可得答案． 【详解】由得， 它表示以为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆（含与x轴的交点）， 故t可以看作半圆上的动点与定点连线的斜率． 如图，，，， 则，，则或． 故答案为：. 19．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】（1）设，则，代入，求解即可； （2）设直线的方程为：，在直线取点，利用点到直线的距离等于点到直线的距离，求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知点在直线上， 所以设， 所以中点， 又因为点在直线上， 所以，解得， 所以； （2）解：因为， 设直线的方程为：， 又因为， 所以直线的方程为：， 又因为的角平分线所在的直线方程为， 在直线取点， 则点到直线的距离等于点到直线的距离， 即有，整理得， 解得：或， 当时，所求方程即为直线的方程， 所以， 所以直线的方程为： . 20．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆的公切线方程 【分析】（1）首先根据题意列出等式，再化简即可得到轨迹方程. （2）根据条件得出四点共圆，进而求出以为直径的圆的方程，然后利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程即可. 【详解】（1）设，由题意知， 得， 所以点的轨迹的方程为 （2）连接PE，QE，则 所以四点共圆，其圆是以为直径的圆， 因为，的中点为， ， 所以为直径的圆的方程为 所以所在直线方程为， 即 21．(1)证明见解析 (2) (3)的最小值为， 【难度】0.4 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而得点的坐标可得答案； （2）由已知可得原点在线段的垂直平分线上，利用直线垂直求出可得答案； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为， 整理得， 令得或， 令得或，可得， 所以； （2）若，则原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则三点共线， 的斜率，所以， 解得，可得圆的方程为； （3）由（2）得圆，其半径为，， 设点关于直线对称点为， 则的中点坐标为， 且，解得，所以， 则， 又点到圆上点的最短距离为 ， 则的最小值为， 此时直线的方程为即， 此时点即为直线与直线的交点， 由解得， 即点． 【点睛】方法点睛：动点到定点与到圆上点的距离之和的最值问题，一是利用对称性，把定点转化为关于直线的对称点，二是把圆外的点转化为到圆心的距离加减半径得最大值和最小值． 22．(1)和； (2)直线过定点，理由见解析； (3) 【难度】0.65 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、过圆外一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设过点且与圆相切的直线方程，由直线与圆相切的相关知识求解即可； （2）由题意可知四点共圆，其直径为，求出此圆的方程，与圆联立，消去二次项，可得直线的方程，即可得解； （3）设直线，的方程分别为：，从而可得是方程的两根，结合韦达定理可得的最小值，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为，所以， 设过点且与圆相切的直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 解得或， 所以切线方程为：和； （2）解：直线过定点，理由如下： 由题意可知四点共圆，其直径为， 所以圆心为，半径为， 所以此圆的方程为: , 即， 由，可得， 即直线的方程为， 所以直线过定点； （3）解：设直线，的方程分别为：， 又因为与分别与圆相切， 所以， 即， 所以是方程的两根， 所以， 又因为， 所以， 当时，取等号， 所以. 【点睛】方法点睛：求过动点与圆相切的直线方程时，为避免讨论直线的斜率是否存在，常将直线方程设为的形式. 23．． 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据的范围，取点的两端点，利用斜率公式，求出相应的斜率，即可求直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，所以设，如下图： 点在线段上运动， 当点与点重合时，； 当点与点重合时，， 由图可知，直线的斜率的取值范围为． 24．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求直线与双曲线的交点坐标、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由，可得，再代入点，即可得答案； （2）设直线的方程为的方程为，与双曲线方程联立，可得坐标，再根据三点共线，可得，设过的直线方程为，与双曲线联立，结合韦达定理及，可得，最后根据三角形的面积公式代入求解即可. 【详解】（1）解：由题知，解得， 所以， 将代入的方程，得，解得， 所以的方程为． （2）解：由（1）可知， 因为，可得直线的方程为的方程为，    联立，得， 解得或，代入，可得， 即， 联立，得， 解得或，代入，可得， 即， 设，由三点共线，可得， 即， 将的坐标代入化简得， 解得，即， 过的直线的斜率显然不为0， 可设过的直线方程为， 联立，得， 设， 则，且， 由，可得， 所以， 两式相加可得， 所以，解得， 所以 ． 25．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线的应用、平面解析综合 【分析】（1）利用题意求出焦点坐标求解就可以了； （2）找到距离之间关系，利用几何法求解即可； （3）利用内心的性质找到面积之间的关系，然后表示出面积，再利用函数关系求其范围即可. 【详解】（1）由题可知，椭圆右焦点坐标为，抛物线焦点坐标为 所以, 所以抛物线方程为, （2）    由题可知，为抛物线准线，所以点到的距离等于点到焦点的距离； 联立， 显然无实数根，故直线与抛物线相离，记点到的距离为, 所以的最小值为焦点到直线的距离为. （3）    设点，已知点 所以的面积, 设的内切圆半径为, 则有, 所以, 所以, 因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点）, 所以，, 所以, 经整理得：, 构造函数, 得, 显然单调增, 令，解得, 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递増； 所以, 所以. 【点睛】对于距离问题先用几何法找到其中关系；对于内心相关的面积问题，可以利用等面积法，得到不同部分面积之间的关系求解即可，当处理的式子比较复杂的时候，可以构造函数求解. 26．答案见解析 【难度】0.94 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义，类比椭圆的探究建立直角坐标系，利用两点之间距离公式结合双曲线的定义公式，建立方程，整理化简，可得答案. 【详解】如图，以，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设双曲线的焦距为，，此时双曲线的焦点分别为，， 设是双曲线上一点，则， 因为，， 所以①， 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①， 得，两边同除以，得． 由双曲线的定义知，，即，所以，类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中，代入上式，得． 答案第26页，共26页 答案第15页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $$