31.函数与方程思想-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

31.函数与方程思想 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题错误的是（   ） A．曲线过原点 B．的横坐标最大值是2 C．的纵坐标最大值是 D． 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线，为C上一点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知曲线，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线在第一象限内从左至右呈上升趋势 C．或 D． 6．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段 ． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线：和椭圆：.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为 . 8．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆的上顶点为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 9．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 . (1)设 是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值; (2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于 . (i)若 ，求 的值； (ii)证明: 10．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C的焦点坐标是，，过点垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过定点且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M，N，试判断：在x轴上是否存在点，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 11．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点. 12．（2024·天津·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，，分别为椭圆C的上、下顶点，椭圆C的右顶点为A，直线，的斜率之积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过右顶点A的直线与C交于另外一点B，与垂直的直线与交于点M，与y轴交于点N；若，且（O为坐标原点），求直线的斜率． 13．（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 14．（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2. (1)求双曲线的方程； (2)若直线交双曲线的右支于两点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； ②试探究：是否为定值？并说明理由. 15．（2024·安徽合肥·三模）已知平面上一动点P到定点的距离比到定直线的距离小2023，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与曲线交于M，N两点，是线段MN的中点，点在直线上，且AT垂直于轴．设点在抛物线上，BP，BQ是的两条切线，P，Q是切点．若，且A，B位于轴两侧，求的值． 16．（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，．求的值． 17．（2024·辽宁·二模）已知点P为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点． (1)证明：恰为的中点； (2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； 18．（23-24高三下·重庆·阶段练习）从圆上任取一点向轴作垂线段为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当为轴上的点时，规定与重合）. (1)求的方程，并说明曲线的类型； (2)若与轴和轴的交点分别为（在左侧；在下侧），点在线段上，过点且平行于的直线交于点（异于），交轴于点，直线交于点（异于点，直线交轴于点. 从下列两个问题中选择一个进行作答： ①证明：； ②与的面积是否相等？请说明理由. 19．（2024·天津和平·一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：. 20．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知点，过椭圆的上顶点作两条动直线分别与交于另外两点.当时，. (1)求的值； (2)若，求和的值. 21．（2024·陕西渭南·一模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上、下焦点分别为、，过点作斜率为的直线交椭圆于A，B两点，直线，分别交椭圆于M，N两点，设直线MN的斜率为.求证：为定值. 试卷第4页，共5页 试卷第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D D BC ABD BCD 1．D 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】设点P的坐标为，则，求其最小值即可. 【详解】设点P的坐标为，则， 且， 又因为，所以当时，有最小值. 所以的最小值为. 故选：D 2．D 【难度】0.65 【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 3．BC 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由方程研究曲线的性质、圆锥曲线新定义 【分析】对于A，由题求出的轨迹方程，令，计算即可判断；对于B，求出横坐标的取值范围，即可判断；对于C，化简方程可得，即可判断；对于D，令，将化为，结合构造函数，利用导数判断单调性，即可判断. 【详解】由题意知动点满足，， 故， 即， 即，则， 对于A，当时，，即曲线过原点，A正确； 对于B，由，得， 则，解得，即的横坐标最大值是，B错误； 对于C，因为， 当且仅当时取等号，即的纵坐标最大值是1，C错误； 对于D，若，即， 令，则，即， 设，， 即在上单调递增，故，即成立， 故成立，D正确， 故选：BC 4．ABD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】令替换看方程是否变化可判定A，利用曲线方程结合消元法转化可判定B、C、D. 【详解】对于A，令替换，显然原曲线方程不变，故曲线C关于y轴对称，A正确； 对于B，由原曲线方程可得， 显然，上式恒成立，若，， 综上所述的取值范围为，B正确； 对于C，结合上一选项知， 显然时，故C错误； 对于D，易知时，恒成立， 而时，，显然也成立，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于曲线的对称性可利用坐标的对称互换来验证曲线方程是否成立判定，一些量的范围及可根据曲线方程的等量关系消元转化来计算. 5．BCD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由方程研究曲线的性质 【分析】利用函数对称性判断A，曲线在第一象限写成关于的函数，利用导数判断B，视为关于的一元二次方程，利用判别式求解C，配方判断D即可. 【详解】对于A，用替换，得，与原方程不一样，故曲线不关于轴对称，A错误． 对于B，原方程可理解为关于的方程有实数根的问题， 其判别式，解得或， 此时，若考虑第一象限内的图象，则须，所以， 解得，再结合可知，此时恒成立， 所以在上是增函数，B正确． 对于C，由上述可知，显然正确． 对于D，即，令，则， 代入原曲线方程得，考虑到关于的方程有实数根， 有，所以，也即，故D正确． 故选：BCD． 6．/ 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆上点的坐标 【分析】由已知可得点的横坐标为，代入椭圆方程即可求得点坐标，得出结果. 【详解】因为椭圆，则，所以，， 因为, 所以点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即． 故答案为： 7． 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的定值问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线的方程为，得到，联立方程组得到，设，求得，要使得为定值，求得，，再设直线方程为，得到，联立方程组求得，化简得到，进而得到，即可求解. 【详解】当直线、的斜率不存在时，不满足题意.故直线的方程设为， 直线过点，即， 联立方程组，整理得， 则，且， 设，，有，， 设，， 整理得， 则， 将代入得， 由动直线、互不影响可知，要满足为定值， 则为定值，为定值， 因此要满足为定值，则有： ①若，，计算得，， 经检验满足，此时； ②若，即，， 则有无解； 综上，当，， 下面只需验证当时，是否为定值， 设直线方程为：，直线过点，即， 椭圆方程联立，得，可得， 设，，有，， ， 化简得， 则， 将得，所以当，，，，所以点坐标为. 故答案为：.    【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 8． 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线的方程为，联立方程组得到，根据列出方程，求得的值，进而得到答案. 【详解】根据题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则， 且， 由，所以， 所以，解得或， 当时，直线AB经过点D，不满足题意，则直线AB的方程为， 所以直线AB过定点． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 9．(1)证明见解析， (2)(i)1；(ii)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得点处的切线方程，再联立方程组，得到，结合切线的性质，得到，和，进而求解； (2) (i) 设 ，由 (1) 的的坐标，结合向量的坐标表示，进而求得的值； (ii) 由抛物线性质得到， 同理 ，利用两点间的距离公式，求得 ，和 ，结合均值不等式，即可得证. 【详解】（1）由题意，曲线，可得，则， 点处的切线方程为，即， 因为， 代入可得， 设， 联立方程组，整理得，可得， 又由切线方程可知， 抛物线在点处的切线分别为， 消去可得，消去可得， 即. （2） (i) 设 ， 由 (1) 可知 ， 由 可知 ， 由 可知 故 . (ii) 由抛物线性质可知， ， 同理 ， 又 ， 同理可得， ， 由均值不等式可知， ， 同理 ， 但取等条件 不同时成立， 因此 ， 证毕.    【点睛】结论点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 10．(1) (2)存在，或． 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的参数及范围 【分析】（1）根据椭圆定义即可求解； （2）写出直线l方程，与椭圆方程联立，得到M，N坐标关系，进而表示出的中点坐标，假设满足条件点存在，由，得到关系，利用的范围，即可得出结论. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由已知可得，又，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． （2） 设直线l：，的中点， 假设在x轴上是否存在点，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则， 由， 所以， 由于直线l与椭圆C相交于不同两点， 所以或， 所以， 因为，所以， 当时，，所以， 当时，，而，所以， 存在点，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，实数m的取值范围为或． 【点睛】解决直线与圆锥曲线问题时，一般都是直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，根据韦达定理等列关系式，对于相交的点采取设而不求等方法处理. 11．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）设，根据题意求得，结合椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程； （2）由过椭圆上一点的切线方程为，设动点，得到直线l的方程，令，求得Q，设定点为结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设， 由的中点在y轴上，且O为，的中点，可得轴，即， 又由，可得，即，， 所以，即， 解得，则， 所以椭圆C的方程为. （2）解：由（1）和题意，可得过椭圆上一点的切线方程为， 因为点在椭圆，可设点， 则直线l的方程为， 即， 令，则代入①，解得，所以Q坐标为， 假设存在点，使得以为直径的圆与轴交于定点， 则，即，， 于是 整理得， 由该方程对于任意的恒成立，可得，此时点， 所以存在定点符合条件，使得以为直径的圆与轴交于定点. 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 12．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）, 设,由已知可得, 又 , 可求椭圆 C 的方程为 ; （2）由（1）可得 , 设直线 的方程为 , 设 , 联立方组可求得 , 进而可得 , 求得 的坐标, 可得, 即可求直线 的斜率的取值. 【详解】（1）, 则 , 又 为 椭圆C 上在第一象限内的一点, 设 , 则 , 即,, 则 ,, ,代入 , 可得, 即,化简得, 则 , 又, 解得 , 故 , 椭圆 C 的方程为 ; （2）由 (1) 知椭圆 C 的方程为 , 可得 , 设直线 的方程为 , 设 ， 联立得 ， ,, 由于 , 设 , 则 又 由 , 则 直线 ， 设 , 联立得， 在 中, ,, , 即 , 即 ,解得. 直线 的斜率的取值为, 【点睛】关键点点睛：解题关键是设出，并利用直线与曲线联立方程组，根据方程的根与系数的关系表达出直线MN的方程是解题关键， 13．(1) (2)存在； 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，得到，列出方程，求得，再由点在双曲线上，得到，结合，联立方程组，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为，求得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设为，由，得到，联立方程组，得到，代入求得，得到到直线的距离为，即可得到答案. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距为，因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可得，所以， 因为，可得，且， 所以，解得或（舍去）， 又因为点在双曲线上，所以， 联立方程组得或（舍去）， 所以双曲线方程为：． （2）解：（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为， 因为，再设，则，可得， 由，联立方程组，解得，可得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为， 又，设，则，即， 则，（*） 联立方程组，整理得 当且，即且时， ， 代入（*）得， 即（其中）， 原点到直线的距离为， 综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为的圆与直线相切， 所求定圆的方程为． 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 14．(1) (2)①3；②为定值4，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设，根据题意，得到，且，联立方程组，求得的值，即可求解； （2）①设，求得，结合，即可求解； ②由（1）得直线的方程为，联立方程组，得到，结合弦长公式，求得和，进而化简得到为定值. 【详解】（1）解：设，因为与的周长之差为， 所以，即， 又因为分别为双曲线的左、右顶点，所以， 联立方程组，解得，所以， 故双曲线的方程为. （2）解：①由（1）知，双曲线的方程为， 设，则，可得， 则. ② 为定值. 理由如下： 由（1）得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为位于双曲线的左､右两支，所以，即， 可得， 又因为，所以直线的方程为， 根据双曲线的对称性，同理可得， 所以，故为定值. 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 15．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，得到的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，即可求解； （2）设，联立方程组，切点，得到，由，得到AB的方程为，联立方程组，求得，再求得点处的切线方程，设，得到与处的切线方程，根据两条切线都过点，求得PQ的方程，再由，得到，联立方程组，结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设是所求轨迹上的任意一点， 因为点到定点的距离比到定直线的距离小， 所以点到定点的距离与到定直线的距离相等， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线， 所以的方程为． （2）解：设，    联立方程组，整理得， 则且， 所以， 所以，则， 因为，所以直线AB的方程为，即， 联立方程组，整理得，解得或， 又因为两点位于轴两侧，可得， 设点在抛物线上，又由，可得，则， 则在点处的切线方程为，整理得， 设，则在与处的切线方程分别为：与， 又由两条切线都过点，则，， 则直线PQ的方程为，即， 由，点的坐标适合方程，所以点在直线PQ上， 又由是线段MN的中点，可得， 因为，则， 联立方程组，整理得， 可得且， ， 所以. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 16．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，结合双曲线的几何性质，求得的值，即可求解； （2）当直线的斜率不存在时，即，求得，得到； 当直线的斜率存在时，设，联立方程组求得，结合，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）解：由双曲线的渐近线方程为，可得， 又由焦点到渐近线的距离为，可得，可得， 又因为，可得，所以双曲线的方程为. （2）解：由（1）知，可得， 当直线的斜率不存在时，即，将代入，可得或， 不妨设， 又由，可得， 所以； 当直线的斜率存在时，即， 联立方程组，整理得， 设，则， 且， 则， 且， 则 ， 综上可得：. 【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值与定值问题的解答策略与技巧： 1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解； 2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 17．(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设切线为，联立方程组，根据，求得，得到，再联立直线与双曲线的渐近线，分别求得和，结合中点公式，即可得证； （2）由（1）求得和，求得，得到，求得，结合为的中点，得到，即可求解. 【详解】（1）由切线不可能平行于轴，即切线的斜率不可能为0， 设切线方程为， 联立方程组，整理得， 所以，可得，即， 所以，即，所以，则， 所以点， 又由双曲线的渐近线方程为， 联立方程组，可得，即， 联立方程组，可得，即， 所以 ，所以的中点坐标为 又因为，所以，所以点与的中点重合. （2）由，， 可得，， 所以，即， 又由，可得， 所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以四边形的面积为定值. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(圆锥曲线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利圆锥曲线线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 18．(1)，是长轴长为4，焦点为的椭圆； (2)①证明见解析；②相等，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设，得到，代入圆的方程，即可求解； （2）由（1）知，联立方程组，求得，再由，联立方程组，求得，求得直线，联立方程组，得到且，利用斜率公式，求得，得到共线且不共线， 若选择①，由，得到，即可得证； 若选②，得到与面积相等，即可得到与面积相等. 【详解】（1）解：设，则， 因为在圆上，可得，即， 所以的方程为， 故是长轴长为4，焦点为的椭圆. （2）解：先证明，且共线. 由（1）知，故， 直线的方程为. 当斜率不存在的时候，直线与仅有一个公共点，不合题意，所以斜率存在， 设直线，因为当时，与重合，不合题意，所以, 当斜率为零时，直线与轴重合，不合题意， 又因为点在线段上，所以，所以，且. 联立方程组，解得，即， 因为，所以，则， 因为直线交轴于点，设，由，可得， 设，由，整理得， 可得，所以， 则，即， 又由,且，可得，所以直线， 可得，设交于， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以， ， 故，所以三点共线，，且共线. 因为，且，所以，所以不重合，不共线. 若选择①，由，且共线，可得， 所以. 若选②，则由，且共线，可得与面积相等， 所以，与面积相等.    【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(圆锥曲线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 19．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数、平面解析综合 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，求得，得到，再由的方程为，联立方程组，求得，进而求得，再由弦长公式，求得，结合，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆的离心率为，且过点F且与x轴垂直的直线截得的线段长为， 可得 ，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设直线所在的直线方程为， 联立方程组，整理得， 所以，解得， 设，则， 所以，则，即， 所以的方程为， 联立，解得或，所以， 则， 又由 ， 又因为的中点， 可得， 所以.    【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决曲线问题的基础，它能将距离进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 20．(1)2 (2)， 【难度】0.4 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及范围 【分析】（1）联立直线直线和椭圆的方程，求出M点坐标，根据列出关于a的方程，即可求得答案. （2）联立直线和椭圆方程，求出点的坐标的表达式，即可求得，的表达式，结合，可推出，即三点共线，结合，可得，由此即可取得答案. 【详解】（1）由题意得，直线的方程为， 联立，解得或， 代入，得， 由得，， 解得， ； （2）由（1）知椭圆方程为，联立， 得，解得或， 即，则，即， 同理可得， 则，， 由于，故，故，即三点共线，    又，故， 又，， 故，解得，由于， 故. 【点睛】难点点睛：本题考查了直线和椭圆位置关系的应用问题，解答的难点在于计算比较复杂，并且都是有关字母参数的运算，计算量较大，需要有较强的计算能力.. 21．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，，求得为，联立方程组，求得，得到,同理，利用斜率公式，化简得到，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆的离心率为，长轴长为4. 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知，可得，设直线的方程为， 设，则， 由，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且，所以， 可得，即, 同理可得， 所以 ， 即，所以为定值.    【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 答案第32页，共33页 答案第15页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$