29.定值问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

29.定值问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为椭圆上一点，过原点的直线交椭圆于两点，为椭圆上另一动点，若，则（    ） A．2 B． C．0 D．1 5．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（   ） A．曲线的方程为： B．的最小值为1 C．为坐标原点，的最小值为 D．为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 6．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C． D．的面积等于的面积 7．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切 8．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则= 9．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知是椭圆长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于的任意一点，则直线与的斜率之积为定值 . 10．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 . 11．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，则的值为 . 12．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知椭圆的两个焦点是、，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，且，证明：直线与圆相切． 13．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线的焦点为为右支上的一点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：； (3)是否存在一条直线同时将和分成两部分，且使得每个三角形在两侧的顶点到直线的距离之和相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 14．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆过点为的右焦点，轴，且，如图，过点的两条动直线交椭圆于. (1)求实数的值； (2)设是的动点，过点作直线的垂线为垂足，求； (3)记，若直线的斜率为，求的最大值. 15．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆：的右焦点F在直线上，A，B分别为的左、右顶点，且. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线交C于M，N两点，使得直线，的斜率之和等于-1？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由. 16．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作三条不同的直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值. 17．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 18．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由. 19．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 20．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．    (1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程； (2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 21．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 22．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，圆，点是圆上任一点，线段的垂直平分线交线段于. (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于两点，设点，问：直线，的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由. 23．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）如图，已知抛物线：上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． (1)求抛物线的方程； (2)试求的长是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 24．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆分别与轴正半轴交于两点，为圆上的动点. (1)若线段AP上有一点，满足，求点的轨迹方程; (2)过点的直线截圆所得弦长为10，求直线的方程; (3)若为圆上异于的动点，直线AP与轴交于点，直线BP与轴交于点，求证:为定值. 25．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）在直角中，为直角，顶点A，B的坐标分别为，，圆D是的外接圆，D为圆心，已知点，过点P作两条相异直线分别与圆D相交于M，N． (1)求圆D的方程并判断点与圆D的位置关系； (2)若直线PM和直线PN与x轴分别交于点G、H，且，试判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 26．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且离心率. (1)求双曲线的方程; (2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于M，N两点.探究:是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由. 27．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，过作直线圆交于点． (1)求证：是定值； (2)若点．求的值． 28．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 29．（24-25高三上·江西·阶段练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的取值范围； (2)若为锐角三角形，设，探究是否存在，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 30．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 31．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. (1)求椭圆的标准方程. (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值. (3)求证： 32．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知动圆过点且与圆：内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设动圆：，与相交于四点，动圆：与相交于四点.若矩形与矩形的面积相等，求的值. 33．（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 34．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点，则，．已知曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：． (1)求曲线的方程； (2)已知，分别是曲线的上、下焦点，M，N是曲线上两动点且它们分布在y轴同侧、x轴异侧，，若，求实数λ的值； (3)在（2）问中，若与的交点为P，则是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线，的左、右焦点分别为，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为. (1)求的标准方程 (2)直线与C交于两点，点是的平分线上一动点，且，试探究是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由， 36．（2024·吉林长春·模拟预测）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍． (1)求椭圆伴随双曲线的方程； (2)点为的上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若，求． 37．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，若为上一点，当最大时，． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），直线与轴交于点，证明：为定值． 38．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知点P在椭圆上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点，的最小值为，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率为k（k≠0），直线的斜率为，求的值． 39．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过点作的切线． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，直线与直线关于对称，与交于，证明：直线与垂直． 40．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 41．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：． 42．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知椭圆经过点，且左､右焦点分别为，过的一条直线与椭圆交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与斜率之和为定值. 43．（2024高三·全国·专题练习）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．    (1)求证：； (2)求证：为定值，并求出该定值； 44．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：交x轴于M，N两点，过以为长轴，离心率为的椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆C于A，B，分别交y轴和圆O于P，    (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求证：为定值； (3)过原点O作直线l的垂线交直线于点试探究：当点H在圆O上运动时不与M，N重合，直线与圆O是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由． 45．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，，自M，N引直线的垂线，垂足分别为，.    (1)用分别表示线段，MF的长； (2)证明：. 46．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 47．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 48．（23-24高三上·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 49．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知椭圆过点，且的右焦点为. (1)求的方程： (2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点. （i）证明：到直线和的距离相等； （ii）若的面积等于的面积，求的坐标. 50．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)记直线的斜率分别为，证明：是定值； (3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值． 51．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点. (1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求； (2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：. 52．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线：．，为上两点，且，分别在第一、四象限．            (1)直线与正半轴交于，与负半轴交于，若，求横坐标的取值范围； (2)直线与正半轴交于，与负半轴交于，记的重心为，直线，的斜率分别为，，且． 若，证明：为定值． (3)若过，作抛物线的切线，，交点在直线上，求面积的最小值. 53．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 试卷第14页，共14页 试卷第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B C ACD ABD ACD 1．B 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】由已知可得关于，，的方程组，从而可得，的值，从而可得椭圆的方程；设直线，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出和，作比，结合根与系数的关系即可求解． 【详解】由题意可知，，， 椭圆的标准方程为． 设直线：，联立直线和椭圆方程， ，得 ，记，， 则， 由题意知和．则，， 则， 所以． 故选：B 2．C 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题 【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解. 【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为， 联立解得， 不妨取，同理可得， 则， 因为四边形是平行四边形， 于是， 由于点在上，所以，因此，故C正确. 故选：C． 3．B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】根据双曲线性质先确定双曲线方程，设Q坐标及切线方程，联立双曲线方程，借助韦达定理得，计算即可. 【详解】由题意得，又， 所以，所以的方程为， 设，过点的切线方程为， 联立得， 则，即， 又，所以，所以， 又，且，所以． 故选：B 4．C 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、椭圆的对称性、椭圆中的定值问题 【分析】设点，由关于原点对称可得，且，代入斜率公式可得，由此可知. 【详解】设点，则， 即，又， 则， 因为，所以． 故选：C.    5．ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据曲线方程的求法求解判断A，由椭圆的定义及“1”的变形技巧运用均值不等式求最值判断B，根据题意知，转化后求椭圆上点到直线与原点距离和的最值判断C，利用斜率公式及椭圆方程化简计算斜率之积判断D. 【详解】对A，设，则，即， 化简得，故A正确； 对B，设椭圆另一个焦点为，如图， 由O为和中点可知四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对C，由定义知动点到定点与它到定直线距离满足， 所以，即求椭圆上一点到与直线距离和的最小值， 显然当在椭圆右顶点时，取得最小值，故C正确； 对D，设，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 6．ABD 【难度】0.15 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题 【分析】对于A：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B：设直线的方程为，利用韦达定理可得，即可得结果；对于C：整理可得，进而分析判断；对于D：整理可得，，结合题意分析证明. 【详解】对于选项A：由几何性质可知，且， 可得，所以，故A正确： 对于选项B：设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，即， 由条件知同号，所以. 则，可得， 因为，则， 同理可得，则，故B正确； 对于选项C：因为， 可得， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：设， 由，可知直线关于直线对称， 所以. 因为， 可得. 则， ， 所以的面积等于的面积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 7．ACD 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】对于A,B,根据抛物线的定义即可求解p,进而知道抛物线方程和准线方程；对于C,D，由抛物线的性质易知该结论正确.证明过程见详解. 【详解】对于A，如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，    则由抛物线的定义可知:, 解得 . 抛物线的方程为:,故正确; 对于，抛物线的准线方程为，故错误； 对于 ,如图所示，取的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,    易知抛物线的焦点，设，则,, 所以, 所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于, 当直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点时，直线的斜率存在， 假设,设,AB的中点为,则 ， 如图所示，作垂直于准线于点，则,    联立，消去并整理可得， 所以， 所以所以, , , , 以 为直经的圆与准线相切，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：如图所示，    已知抛物线,过其焦点且与抛物线交于两点的直线，则有如下常用结论： （1） （2）若直线的倾斜角为，则; （3）以为直径的圆都与轴相切，以为直径的圆与准线相切； （4）; 8．/0.25 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】根据离心率和点在椭圆上建立方程组可求椭圆的方程；设出点，根据对称性得到点，表示出，，结合椭圆的方程可证为定值. 【详解】由题意得：且，得， 所以椭圆的方程为. 由椭圆方程可知，，，设，则，其中且； 则，，则，所以为定值. 故答案为: 9．/ 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、椭圆中的定值问题 【分析】根据直线的斜率求解直线与的斜率，然后化简即可求解. 【详解】设，， 则， ， ， 故答案为： 10． 3 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的定值问题 【分析】根据换元法设点结合圆的方程化简得出比值，焦点三角形应用余弦定理结合三角函数值域得出最小值即可. 【详解】由题意知M在双曲线右支上，， 设，设点，则， 即， 则， 即， 又， 所以，所以，所以. 点在双曲线C右支上，所以，所以. 由对称性可得为的中点， 在中，， 即， 又在中，， 所以， 由于，故， 故， 所以双曲线的离心率的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：根据换元法设点结合圆的方程化简得出比值，焦点三角形应用余弦定理结合三角函数值域得出最小值即可. 11．4 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】设椭圆的半焦距为，由题意可得的关系式，求得椭圆方程，可得为的中点，两点关于轴对称，设直线，设，则，求得，求得的横坐标，进而计算可得结论. 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意知，解得， 椭圆的方程； 因为的面积与的面积总相等，故为的中点， 结合对称性可知两点关于轴对称， 由题意直线斜率存在且不为0，并且纵截距不为0， 设直线，故， ，化简得， 由得，，整理得， 设，则， 则， 直线，令得， ， 所以. 故答案为：4. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 12．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，求出的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，写出直线的方程，直接验证；当直线的斜率存在时，设的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据可得出，再利用直线与圆的位置关系可证得结论成立. 【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为， 由椭圆定义可得，则， 由已知可得，所以，， 所以，椭圆的标准方程为． （2）证明：由题意，圆的圆心为，半径为． 当直线的斜率不存在时，由对称性可知， 不妨设，则，可得， 即直线的方程为或，此时直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立得， 由，得， 由韦达定理得，， 则 则，即． 圆心到的距离为，此时直线与圆相切． 综上，直线与圆相切． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 13．(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【难度】0.15 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的切线方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据焦点坐标和得到方程组，得到，求出双曲线方程； （2）设切线AB的方程为，联立双曲线方程，由得到，故直线AB的方程为，分别与两条渐近线方程联立，得到点的横坐标，由于，从而证明出结论； （3）方法一：设三角形顶点坐标为，其中，根据上部分的距离和等于下部分的距离和，由点到直线距离公式得到方程，得到，结合（2）中求出的，得到三个方程，求出，得到直线方程； 方法二：设三角形顶点坐标为，其中，根据上部分的距离和等于下部分的距离和，由点到直线距离公式得到方程，得到，故直线l必过该三角形的重心.，因为，故的重心为，设与重心分别为，根据比例关系得到，，故三点共线，则，所以l的斜率为1，得到直线方程. 【详解】（1）由题意知， 将代入得， 解得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）过P的切线即为AB，切线斜率存在，设为k，则AB的方程为， 联立，得， 由得，， 化简得，解得，所以直线AB的方程为， 又渐近线方程为，联立两直线方程得， 故有， 故； （3）方法一：设三角形顶点坐标为，其中， ：，则到的距离为， 又因为将顶点分为上下两部分，则有上部分的距离和为， 下部分的距离和为，上部分的距离和等于下部分的距离和， 从而，整理得， 由（2）可得， 在中，，即①， 在中，， 即②， 在中，， 即③， 联立①②解得，代入③式验证，成立. 所以直线1的方程为，整理得. 方法二：设三角形顶点坐标为，其中， ，则到l的距离为， 又因为l将顶点分为上下两部分，则有 上部分的距离和为， 下部分的距离和为， 上部分的距离和等于下部分的距离和， 从而， 整理得. 即直线l必过该三角形的重心.， 因为，则的重心为. 设与重心分别为，则，所以， 因为为的重心，所以，所以. 所以三点共线， 则，所以l的斜率为1， 所以直线l的方程为，整理得. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 14．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由椭圆方程得，由已知条件得，代入椭圆方程待定系数可得； （2）设出动点的坐标，将坐标化，由点的坐标适合椭圆方程，代入化简可得； （3）利用正弦定理化边为角，利用（2）结论化斜为直，将转化为即来表示，再化边为角得到，在中可得，最后利用三角函数有界性可得最值. 【详解】（1）由椭圆的方程， 得，故， 因为点在椭圆上，轴，且， 所以的坐标为， 代入椭圆方程得，解得. （2）由（1）知椭圆的方程为， 设动点，则，所以， 故， 又， 所以. （3）不妨设的外接圆半径为，由， 则在中，由正弦定理， 所以. 如图，过分别作直线的垂线，垂足分别为，， 过作于点， 由（2）的结论可得， 所以，即， 所以， 又，得， 则在中，，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题难点即第三问的关键在于转化：一是应用正弦定理化边为角的转化，设，则；二是利用（2）结论化斜为直，将斜线段之差转化为来表示；三是将直线的斜率转化为直角三角形内角的正切值来表示，从而求. 15．(1) (2)存在，. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）先求出点的坐标，得出椭圆中的，结合椭圆的几何性质可出答案. （2）设直线的方程为：，，，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意，将韦达定理代入可出答案. 【详解】（1） 设右焦点， 直线与x轴的交点为， 所以椭圆C右焦点F的坐标为， 故在椭圆C中， 由题意，结合，则， ， 所以椭圆C的方程为：； （2）当直线的斜率为0时，显然不满足条件， 当直线的倾斜角不为时， 设直线的方程为：，，， 由，可得， 由题意， 则，， 由 ， 由，即， 故存在满足条件的直线，直线的方程为：. 16．(1) (2)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得，结合双曲线的定义分析求解； （2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得，，再求，的坐标，代入化简整理即可得结果. 【详解】（1）设内切圆的圆心为，且与三边切于点， 则， 可得， 且，，，即， 可得， 可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支（顶点E除外）， 则， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由题意可知：，双曲线的渐近线为， 设，，且， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，整理可得， 同理可得， 则直线， 令，可得 ， 则， 同理可得， 则 ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17．(1)； (2)； (3)是定值，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的参数及范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【详解】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； （2）由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 （3）法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 18．(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的切线方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题意得，求出即可得解； （2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况去分析求解即可，对于直线斜率存在且不为0情况，先设切线方程，接着联立椭圆方程利用和整理得切线l的斜率，从而得切线方程，再利用点到直线距离公式和即可计算求解. 【详解】（1）由题可得，且椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）， 当直线斜率不存在时，则由（1）得或， 当时，，，此时， 同理可得时，； 当直线斜率存在时，设， 联立， 则， 整理得①， 又即，故， 将其代入上式①可得即，故， 所以，整理得， 所以点到l的距离的乘积为 . 综上，是定值且. 19．(1) (2)为定值，且定值为 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    20．(1)或 (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、椭圆中的定值问题 【分析】（1）利用设直线方程，求点到直线的距离即可得解； （2）利用方程组思想，研来交点与定点的斜率，再利用正切的和角公式来计算，即可得出定值. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，原点O到直线的距离为3，不符合题意； 当直线的斜率存在时，可设直线：， 由原点O到直线的距离为1可得：，解得， ∴直线的方程为或. （2）设直线：，，    如图可记，， 联立方程，得   ∴，， ∴，， ∴ ∵，都是锐角   ∴的定值． 即存在锐角，满足，． 21．(1)或 (2)①；②证明见详解 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 22．(1) (2)是，定值为 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据中垂线的性质结合椭圆的定义得知点的轨迹为椭圆，结合椭圆定义即可得轨迹方程； （2）分直线斜率是否存在可设直线的方程为或，若斜率存在，将直线方程与曲线的方程联立，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理计算斜率之和即可得，若斜率不存在，则直接求出斜率之和即可得. 【详解】（1）由题意得：， 所以， 所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆， 且，从而， 所以的轨迹方程为：； （2）当直线斜率存在时，设直线，（其中），， 联立，消可得， 则，解得或， 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，直线，则关于轴对称， 所以，所以； 综上可得直线，的斜率之和为定值. 23．(1) (2)是定值， 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）根据抛物线的定义得到，即可求出，从而得解； （2）设直线：，联立直线与抛物线方程，消元整理，根据求出，不妨令直线，则直线：，即可求出的坐标，设，设直线：，联立直线与抛物线方程，即可得到点坐标，再求出点的坐标，即可得解. 【详解】（1）抛物线：的焦点，准线， 则，则，抛物线的方程为； （2）（ⅰ）设直线：，由，可得， 则，解得， 则，解得， 不妨令直线：，直线：， 则，设，， 设直线：， 由，可得， 由，可得或（舍）， 则，直线：，由，可得， 故，为定值． 24．(1) (2)或 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、求平面轨迹方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）利用相关点法求解即可； （2）易得圆心到直线的距离，再分直线的斜率是否存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式即可得解； （3）设，分别求出直线的方程，进而可得点的坐标，再结合两点间的距离公式计算化简即可. 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得， 故， 又为圆上， 所以，化简得， 故点的轨迹方程为； （2）因为过点的直线截圆所得弦长为10， 所以圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则， 直线方程是，代入，得，即， 直线方程是，代入，得，即， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 25．(1)，点在圆D上 (2)是定值，定值为 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、判断点与圆的位置关系、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）根据AB是直径，求出AB的中点为圆心，并得到半径，得到圆的方程，将满足圆的方程，故点在圆上； （2）设，，分别与圆的方程联立，由韦达定理求出，，从而得到，得到答案. 【详解】（1）∵在直角中，是直角，顶点A，B的坐标分别为，， ∴AB是直径，则AB的中点，即圆心， 半径，则圆D的方程为． 满足，所以点在圆D上． （2）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数， 故可设，， 由，得， 因为P的横坐标一定是该方程的解，故可得， 由，得， 因为P的横坐标一定是该方程的解，故可得， 所以， 所以，直线MN的斜率为定值． 26．(1) (2)是定值，1 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求的值，可得双曲线的方程. （2）对直线斜率是否为0分类讨论.当直线斜率部位0时，设其方程为：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，，再表示出，化简即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）如图： 由题意得，， 当直线MN的斜率为零时，则 当直线MN的斜率不为零时，设直线MN的方程为， 点，联立，整理得， 则，解得且， 所以， 所以 ， 综上，，为定值. 27．(1)为定值，证明见解析 (2)-1 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、斜率公式的应用、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）易知当直线的斜率不存在时；当直线的斜率存在时，设直线方程和，联立圆方程，利用韦达定理表示，结合平面向量的坐标表示化简计算即可求解； （2）根据两点表示可得，由（1）知，计算化简即可求解. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则， 则，所以； 若直线的斜率存在，设， ，消去，得， ，又， 所以. 综上，为定值. （2）易知直线的斜率存在，由（1）知， 所以，得， 由，得， 所以. 28．(1) (2)①；②证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据离心率定义和三角形面积公式列方程组求解可得； （2）①直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理求解即可；②利用韦达定理代入化简即可得证. 【详解】（1）因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． （2）证明：①将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ②由①知，， 所以 ， 故为定值． 29．(1) (2)定值为 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据余弦定理，表示出，结合基本不等式求解；（2）根据三角形的边长关系，可分析出顶点的轨迹在一个椭圆上运动，因此可考虑建立坐标系，利用解析几何知识求解. 【详解】（1）根据余弦定理，， 根据基本不等式，，解得，当取等号， 此时， 结合，可得 （2）以为轴，中点为原点，建立如图所示的直角坐标系， 由题意定值，且， 根据椭圆的定义可知，的轨迹是以为焦点的椭圆（不共线）， 则椭圆的，方程为， 设，根据，则， 则，故； 设，根据，则， 则，故， 于是， 结合在椭圆上，， 可得， 要想乘积为定值，则，结合，解得， 此时    【点睛】关键点睛：根据三角形的三边关系，抓住两边之和是“定值”这一特点，可联系到椭圆的知识点，在第二问建立坐标系以方便利用椭圆的工具简化计算. 30．(1) (2)证明见解析，. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可. （2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可． 【详解】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2） 证明:依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 31．(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求出，可得椭圆的标准方程. （2）设过点的切线方程的点斜式，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得的值. （3）设（），再设过点的切线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，的表达式.再把和用，表示，化简整理即可. 【详解】（1）由题意：. 所以椭圆的标准方程为：. （2）设过点的切线方程为：，即， 由，消去，整理得：， 由， 整理得：， 所以. （3）设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则. 设点的椭圆的切线方程为：，即， 由消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立， 即成立. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 32．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）设动圆半径为，根据题意可以得到，利用椭圆的定义知动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，从而求出动圆圆心的轨迹的方程； （2）设，由矩形与矩形的面积相等，得，再根据在椭圆上，从而求出所以， ，即可求出的值. 【详解】（1） 设动圆半径为，则，（内切）， ，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆． ，，． 则动圆圆心的轨迹的方程为：． （2） 设，由矩形与矩形的面积相等，得 ，故， 因为点，均在椭圆上，所以，， 整理可得：， 由，知，所以，同理可得 ， 因此. 33．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解； （2）利用“点差法”可得直线斜率与斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可得证. 【详解】（1）代入双曲线上两点得，， 故，解得，， 故双曲线C标准方程为：. （2）如图， 设，， 由题知， 相减得， 又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 34．(1) (2) (3)，分别为，且定值为6 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用旋转可得相关点坐标，即可代入求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据向量共线的坐标关系可得，进而得，利用两点距离公式，代入化简即可求解， （3）根据平行得相似，即可根据相似比，结合双曲线定义即可化简求解. 【详解】（1）由于曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：， 故曲线绕原点逆时针旋转后得到曲线：． 设是上任意一点，绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点， 则，， 由于在上，所以，化简得， 故的方程为， （2）设直线，,, 联立直线与双曲线的方程，消去得， ， 所以由韦达定理可得，， 因为，故，， 即， ，化简得， 代入可得，故， 结合，故， 由可得 ， 由于在双曲线上，故， 所以， 代入和可得， 故 （3）由双曲线方程可得， 不妨设，由（2）知， 故， 由于，则，， ， 因此 ， 故存在两个定点，，使得为定值， 且，分别为，且定值为6 【点睛】关键点点睛：利用向量共线坐标关系得，利用得，代入两点距离化简可得，第三中，利用（2）的结合和相似，结合双曲线的定义求解. 35．(1) (2)是定值，1 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）利用给定条件求出基本量，再写出标准方程即可. （2）依据题意结合韦达定理每一条线段的长度，再证明定值即可. 【详解】（1）由椭圆方程知得， 所以，则， 到直线的距离， 双曲线C的标准方程为． （2）由（1）知：， 与双曲线C的左右半支各交于一点， 如图，设，    设中点为，则， 又为的角平分线，； 由得：， ， ， ，即，解得：， ； ， ， ， ， 所以，为定值. 36．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，根据离心率公式得到方程，求出，即可得解； （2）设直线的斜率为，，，直线的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出，由，求出，再由可得，即可得解. 【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为，， 依题意可得，，即， 即，解得， 所以椭圆C：， 则椭圆C伴随双曲线的方程为． （2）    由（1）可知，， 设直线l的斜率为k，，，则直线l的方程， 与双曲线联立并消去y，得， 则， 所以，，则， 又， 又，解得或（舍去）， 又， 所以 ， 因为，所以． 37．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】（1）根据焦点三角形，结合余弦定理以及基本不等式即可求解的最小值为，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，根据点斜式求解直线方程，令，代入化简即可求解的值. 【详解】（1）设，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为， 所以，又，解得， 所以的方程为． （2）设，，易知， 联立得， 则， 因为，则直线的方程为， 令，得， 故，所以为定值． 38．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题意可得，点坐标为，进而计算可求椭圆的方程； （2）设点，，，由题可得，计算可得结论. 【详解】（1）因为的最小值为，所以，所以， 当直线的斜率为零时，点与点关于轴对称，又点与点关于点对称， 由椭圆的对称性可知，此时点与点关于轴对称，则， 由几何关系可解得点坐标为， 代入椭圆的方程：得：，解得， 故椭圆的方程为； （2）设点，，， 因为点和均在上，故，由得：， 即，又， 即. 39．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）设直线方程，联立椭圆方程，利用即可求解； （2）设，联立椭圆方程求得坐标，同理求坐标，再结合斜率计算公式即可求解. 【详解】（1）设直线，联立整理得， 由，得． 即方程为，即． （2） 设直线，联立 整理得， 设，则， 所以， 由于直线与直线关于直线对称，则直线的斜率为， 设，同理可得， 直线的斜率 ． 由于，所以直线与直线垂直． 40．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由，得，再把点代入椭圆方程求出即可； （2）设出直线的方程，代入椭圆方程，设，由，，表示出，利用韦达定理化简得定值. 【详解】（1）由题意可知，，所以， 因为点在上，所以， 解得，故， 所以椭圆的方程为. （2）由已知得直线的斜率必存在，可设直线的方程为， 代入椭圆方程，整理得，， 设，则， 又，由得. 所以， 因为， 所以为定值. 41．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆的半焦距和椭圆上的已知点列出方程组，计算即得椭圆方程； （2）先考虑直线斜率为0时满足，再设直线的横截距式方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，写出韦达定理，并发现内在关系，计算并消去，得其分子为，代入前式，计算即得分子为0，则得证. 【详解】（1）依题意，可得，解得， 故椭圆C的标准方程为：； （2） 如图，当直线l的斜率时，可得，显然满足； 当时，不妨设直线，由消去，整理得，， 显然，设，则由韦达定理，故， 因,则， 则， 此式的分子为：， 故得，即，得证. 42．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用椭圆经过的点和椭圆的定义式，结合条件，即可分别求出的值，进而得到椭圆方程； （2）依题设直线的方程，与椭圆方程联立，消元整理成一元二次方程，写出韦达定理，计算化简即可证明. 【详解】（1）因椭圆经过点，可得， 由的周长为，可得，解得， 故椭圆方程为：； （2） 如图，依题设直线方程为：，即，代入， 整理可得：， 由，解得或. 设，则 则直线与斜率之和为： 为定值，故得证. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆相交产生的定值问题，属于较难题.解题的关键在于将直线方程与椭圆方程联立消元后，列出韦达定理，化简时，要先利用直线方程消去，通分后将其整理成关于和的对称式，代入韦达定理，化简即可. 43．(1)证明见解析 (2)证明见解析，定值为1 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）联立直线与椭圆方程得，然后利用判别式法化简证明即可； （2）结合（1）的结论，利用点到直线的距离和数量积的定义即可求得为定值1. 【详解】（1）联立与消y得：， 由直线与椭圆有一个公共点可知：， 化简得：； （2）由题意得：， 因为，所以∥，故， 其中，， 所以， 为定值，该定值为1. 44．(1) (2)证明见解析 (3)直线HK与圆O相切；证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）由离心率和间关系可直接得到椭圆方程； （2）设出直线方程，直曲联立表示出韦达定理，再结合题意，用坐标表示出向量关系，结合韦达定理化简即可； （3）设出点坐标，表示出直线的方程，得到点坐标，再由化简即可； 【详解】（1）由，解得，又因为，所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为 （2）证明，如图，由题设知直线l的斜率存在，    设直线l的方程为：，则点， 将直线l代入椭圆方程可得， 设，， ，， 由，可得， 由，可得 知， 故 （3）点H在圆O上运动时，直线与圆O相切， 证明：设，则， ，， 直线的方程为， 即点， ，， ，即，故直线与圆O相切． 45．(1)，； (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】函数 【分析】（1）利用两点间距离公式得到线段，MF的长； （2）设过的直线方程为，联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由题意知，，计算出，得到垂直关系. 【详解】（1），. （2）显然过点的直线斜率存在，设过的直线方程为， 联立方程， ， 由题意知，， . 故. 46．(1) (2) (3)证明见解析，2 【难度】0.4 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成的方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）    由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，， 又，所以，所以的方程为； （2）直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为； （3）    由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 47．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可； （2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可. 【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为， ， ， 解得， 则， 故双曲线C的标准方程为； （2）设，则， 为双曲线C上的两点， 两式相减得，整理得， 则， 故为定值，定值为4． 48．(1) (2)是， 【难度】0.15 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)根据离心率公式、焦距以及之间的关系，列出等式即可求得； (2)设出直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到根的表达式，设出直线的方程。得到点的坐标，同理可求得点坐标，再根据向量的坐标运算进行求解即可. 【详解】（1）依题意知：， 解之得：，，， 所以椭圆C的方程为. （2）由于B，D异于A，故设直线的方程为， 联立得： 设，，则 因为，，所以设直线的方程为， 联立得：，同理有 因为，所以， 所以 所以，即.    【点睛】关键点点睛：将直线和椭圆方程联立利用韦达定理求出相关点的坐标，进而可表达出向量，，再根据向量积的值可得结果. 49．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或. 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）代入条件，转化为关于和的方程组，即可求解； （2）（ⅰ）首先设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，由题意转化为证明和的斜率和为0； （ⅱ）由面积公式，结合条件，再结合几何关系，确定，即可确定点的位置，即可求解. 【详解】（1）根据题意有， 且由椭圆的几何性质可知， 所以. 所以的方程为. （2）（i）显然的斜率存在，设的方程为，代入的方程有： ，其中. 设，则， 若到直线和的距离相等，则直线平分， 易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0. 设的斜率分别为，则： ， ， 代入， 有，故命题得证. （ii）由（i）知直线平分，即. 因为的面积等于的面积， 故，即，故. 故在线段的垂直平分线上. 易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有， 故的坐标为或.    【点睛】关键点点睛：本题第二问中第一小问的关键是由几何关系转化为证明，第二小问的关键是转化几何关系为. 50．(1)； (2)证明见解析； (3)3. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的最值问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可. （2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. （3）由（2）得，联立直线与的方程求出点的横坐标，再求出三角形的面积的函数关系并求出最小值. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，设直线的方程为，，    由消去x并整理得， 由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ， 解得， 则，，即，而， 所以 为定值. （3）由（2）知，直线：，直线：， 则点的横坐标为， 于是 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧： 1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解； 2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 51．(1)16 (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据离心率和，得到方程组，求出双曲线方程，利用点差法进行求解； （2）设，设直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式得到，得到，由，所以，从而，证明出结论. 【详解】（1）设双曲线方程为， 则，解得， 所以， 设 因为两点都在双曲线上， 所以， 两式作差得， 整理得 则；      （2）设，设直线的方程为， 联立， 化简得， ， 则， 故， ， 由，所以， 从而 ，即. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 52．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）设直线：，与抛物线联立，得到根与系数的关系，再由，得到关于的不等式，求解即可得到横坐标的取值范围； （2）求出直线，的斜率，结合，可得，再结合，求出为定值； （3）求出切线，切线的方程，再求出切点弦的方程，再把的面积看成同底的两个三角形的面积和，利用基本不等式即可面积的最小值. 【详解】（1）设，，由题意知，设直线：， 又直线与正半轴交于，与负半轴交于， 则，， 联立，整理得， 所以，， 则， ， 若，则， 解得，， 又，则横坐标的取值范围为； （2）因为为重心，所以， 由（1）可得 设，， 又直线与正半轴交于，与负半轴交于， 则，， 由直线：，则，，， 所以， 由，则，即， 又， ， 因此时，为定值． （3）设过点的切线方程为， 则联立方程，化简可得， 因为直线与抛物线相切，则，得， 而为抛物线上一点，则， 代入可得，得， ，则，即， 即过点的切线方程为． 因此过的切线：, 过的切线： , 又切线与切线的交点在直线上，可设， ，， 即，的坐标都满足方程， 所以，直线方程为， 故直线过定点，因此, 由联立可得，, 可得，， 则， 当且仅当时取等号. 所以面积的最小值为. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 53．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值；设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为， 点的坐标为，所以，． 从而． 设，则，所以直线的方程为：， 直线的方程为，联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 答案第42页，共76页 答案第1页，共76页 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