26.圆锥曲线中点弦问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

26.圆锥曲线中点弦问题 1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，直线与交于两点，设，，的中点为，则下列说法中正确的有（   ） A．若直线过焦点，则 B．若直线过焦点，则的最小值为 C．若直线的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 11．（2025·四川巴中·模拟预测）已知A，B为双曲线的左，右顶点，分别为双曲线C的左，右焦点．下列命题中正确的是（    ） A．若R为双曲线C上一点，且，则 B．到双曲线C的渐近线的距离为 C．若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线的斜率之积为2 D．双曲线C上存在不同两点关于点对称 12．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点，在上且直线的斜率为，则（     ） A．顺次连接的四个焦点构成一个正方形 B．的面积为的4倍 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 13．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 14．（24-25高二·上海·随堂练习）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 15．（2024·河北衡水·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点.设的中点为，直线的斜率分别为，则（    ） A．点在上 B．过点且与相切的直线与直线平行 C． D． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 17．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 18．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B两点的中点为，则的值是 19．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知双曲线，点N的坐标为，其中，存在过点N的直线与双曲线C相交于A，B两点，且点N为弦的中点，则点N的坐标是 .（写出一个符合条件的答案即可） 20．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 21．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 22．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 23．（24-25高三上·河南·开学考试）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，已知四点共圆，则圆心坐标为 ． 24．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 25．（24-25高二下·上海·期中）椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 26．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 27．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 28．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 29．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点 (1)求椭圆E的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程； (3)在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 30．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点到右焦点的距离的最小值. 31．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知圆M：，动圆D过定点且与圆M内切，圆心D的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C上三个不同的动点P，E，F满足与的倾斜角互补，且P不与曲线C的顶点重合，记P关于x轴的对称点为，线段的中点为H，O为坐标原点，证明：，H，O三点共线. 32．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C的焦点坐标为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线与椭圆C交于A、B两点，若弦中点在直线上，求直线l的方程． 33．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知椭圆C的左焦点为F，过F作直线l与椭圆C交于A、B两点，若弦中点在直线上，求直线l的方程． 34．（2024·山西长治·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程； (3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 35．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）已知椭圆C：，且该椭圆的离心率为，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C交于A、B 两点，线段 AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值； (2)若直线l的方程为，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，求椭圆C的方程． 36．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的焦距为2，不经过坐标原点且斜率为1的直线与交于P，Q两点，为线段PQ的中点，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，直线PB与的另一个交点为，直线QB与的另一个交点为，其中，均不为椭圆的顶点，证明：直线MN过定点. 37．（24-25高三上·山西大同·开学考试）由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，．如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．    (1)若是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程； (2)若，求的取值范围； (3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 38．（24-25高三上·广东·开学考试）设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)设，求当取得最小值时直线的方程； (3)设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 39．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 40．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为. (1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求. (2)当直线的斜率为3时，求点坐标. 41．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 42．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 43．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 44．（2024高三·全国·专题练习）若直线平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围． 45．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 46．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的方程为，点的坐标为． (1)设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，证明：为的中点； (2)对于椭圆上的点，如果椭圆上存在不同的两个点满足，写出求作点的步骤． 47．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．    (1)求直线的方程； (2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 48．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 49．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为． (1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长； (2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程． 50．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的方程； (2)是否存在直线使得点满足？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 51．（2024高三下·全国·专题练习）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心. 52．（2024高三下·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程. 53．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 54．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 试卷第10页，共10页 试卷第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A B B D A D BCD 题号 11 12 13 14 15 答案 BC ABD ABD BD ABD 1．B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据韦达定理求参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得解. 【详解】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意； 故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得， ， 有，，解得， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 2．B 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的中点弦 【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值. 【详解】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 3．B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求弦中点所在的直线方程或斜率、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 4．A 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据椭圆焦点坐标以及的中点坐标，利用点差法即可得，可求出椭圆的方程. 【详解】不妨设，所以， 两式相减可得，整理可得， 根据题意可知直线的斜率为， 由的中点坐标为可得； 因此，可得， 又焦点为可得，解得； 所以椭圆的方程为. 故选：A 5．B 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解． 【详解】设，由题可知，， 则，所以，即，解得， 所以，则， 所以， 故选：B． 6．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 7．D 【难度】0.65 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 8．A 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离． 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， ∴焦点为，准线方程为， 直线方程为，代入抛物线方程整理得， 设，则， 设中点为，则， ∴到准线的距离为． 故选：A． 9．D 【难度】0.85 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 10．BCD 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、抛物线的中点弦 【分析】对于A：由条件，结合抛物线的定义判断A； 对于B：设直线，根据抛物线的定义结合韦达定理可得，，故，求其最值可得结论； 对于C：利用点差法分析判断； 对于D：利用韦达定理可得，结合方程可得，再根据向量垂直分析判断. 【详解】由题意可知：，且，直线的斜率可以不存在，但不为. 对于A，因为，故A错误； 对于选项B：若直线过焦点，设直线， 联立方程，消去可得， 则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于选项C：因为，在抛物线C上， 则，两式作差可得， 若直线的斜率存在，则， 所以直线的斜率与无关，与有关，故C正确； 对于选项D：联立方程，消去可得， 可得，且， 由选项C可知：，且，可得， 则，所以，故D正确； 故选：BCD. 11．BC 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】根据双曲线的定义、渐近线、斜率、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于双曲线，， A选项，根据双曲线的定义，由， 解得或，所以A选项错误. B选项，双曲线的一条渐近线方程为，即， 到直线的距离为，所以B选项正确. C选项，设，则， ，所以，C选项正确. D选项，设不同两点关于点对称， 则， 则，两式相减并化简得， 则，即，此时直线， 代入双曲线方程得，， 这与是双曲线上不同的两点矛盾，所以D选项错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：求解双曲线定义有关问题，一定要注意双曲线定义中的“绝对值”.在双曲线中，有关弦和中点的问题，可以考虑利用“点差法”来解决. 12．ABD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】求出、的焦点坐标即可判断A，根据相似比判断B，根据曲线的变换判断C，利用相关点法判断D. 【详解】椭圆的焦点为，， 将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，则椭圆的焦点为，， 所以顺次连接的四个焦点构成一个正方形，故A正确； 将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆， 所以与为相似曲线，相似比为，所以的面积为的面积的倍，故B正确； 且的方程为，即，故C错误； 设，，则， 又，， 所以，即， 所以，即，所以， 所以线段的中点始终在直线上，故D正确；    故选：ABD 13．ABD 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的焦点、焦距、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】得出两点的坐标，即可判断A；根据椭圆的定义结合点与椭圆的关系即可判断B；利用点差法即可判断C； 根据椭圆的定义可得，进而可判断D. 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 14．BD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC；对于D，直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误． 【详解】由题意可知：， 对于选项A：设， 则，且， 因为A、B两点在椭圆上，则，相减可得， 整理可得，即， 所以直线AB与OM不相互垂直，故 A错误； 对于选项B：因为， 若点M坐标为，则，可得， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于选项C：若直线方程为，点，则， 可得，所以C错误； 对于选项D：若直线方程为， 联立方程，消去y整理得：，解得， 所以，故D正确； 故选：BD． 15．ABD 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】由已知，联立直线和抛物线的方程，消元后利用韦达定理可得点坐标，进而得到点坐标，得点坐标，满足方程，即可判断A；由，得，即可得到切线的斜率，从而判断B；由抛物线的定义，可得，， 即可判断C；由斜率公式可得，相加的，即可判断D. 【详解】    由题意知直线的方程为， 联立，得， 设，， 则，则， 即，由轴，得， 则的中点为，满足方程，故点在上，故A正确； 由，得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以，故B正确； 由抛物线的定义，得， ， 所以，故C错误； 由，同理可得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 16． 【难度】0.65 【知识点】点和椭圆的位置关系、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 17． 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程． 【详解】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 18．4 【难度】0.85 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据题意利用点差法即可求解. 【详解】设，由点A、B都在抛物线上得：， 两式相减得：，等价变形为 即，又A、B两点的中点为， 所以，又 所以， 故答案为：4 19．（或，） 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】法一：设，，通过点差法得到直线方程，再联立双曲线方程，由，即可求解； 法二：由双曲线渐近线方程，确定在双曲线靠原点的一侧，从而判断A，B一定位于双曲线的两支上，进而得到，即可求解. 【详解】法一： 设，，则，， 两式相减得到， 又，，因此， 所以直线的方程为， 与双曲线联立得， 即， 因此， 整理后得到. 所以点N的坐标可以为，，. 故答案为：（或，） 法二： 由题意易知，双曲线的渐近线为， 因为，所以在双曲线靠原点的一侧， 又因为点N为弦的中点，故A，B一定位于双曲线的两支上， 所以，即. 所以点N的坐标可以为，，. 故答案为：（或，） 20．/ 【难度】0.85 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【详解】设直线的方程为，代入椭圆方程， 可得， 由韦达定理可得， 则， 则，则， 所以. 故答案为： 21． 【难度】0.85 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】 因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点， 因为，即点为线段的中点， 设，，显然，则，， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 故答案为： 22． 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程. 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 23． 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、圆的弦长与中点弦、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】由圆心在弦的中垂线上，利用对称性可得中垂线方程，再联立椭圆方程利用韦达定理求出中点坐标，进而求得中垂线方程，联立两中垂线方程可得圆心. 【详解】由对称性可知，圆心在线段的中垂线上，也在线段的中垂线上， 设的中垂线，中点为， 设直线与椭圆交点， 联立消得，， 由韦达定理得，， 故，又点在直线上， 则，解得， 联立，解得，所以所求圆的圆心为. 故答案为：. 24． 【难度】0.85 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程. 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 25．6 【难度】0.85 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】联立椭圆与直线方程，得到两根之和，根据弦中点得到方程，求出. 【详解】联立可得． 设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系可得，， 由中点坐标公式可得，，解得. 故答案为：6． 26．/0.5 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线，则，结合已知用表示出的坐标，消去参数即可得曲线的方程，由点差法即可得解. 【详解】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 27．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】（1）利用中点弦问题求解即可； （2）利用韦达定理得到再根据斜率的坐标表示可得，结合韦达定理可证明. 【详解】（1）设，则有， 且，作差可得， 所以， 由点斜式得，， 整理得即为直线的方程. （2）    不妨设的直线方程为， 联立，消去整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以为定值. 28．(1) (2)存在，或． 【难度】0.4 【知识点】等比中项的应用、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由离心率可得的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得的值，进而求出椭圆的方程； （2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程，与椭圆的方程联立，由四边形为平行四边形由韦达定理可得的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，再由直线的斜率的平方等于直线，的斜率之积，代入韦达定理化简可得参数的又一关系，进而解方程求出参数的值，即求出直线的方程． 【详解】（1）由离心率， 得，所以椭圆的方程可设为：， 将点代入椭圆的方程得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由直线，，的斜率依次成等比数列．可知直线的斜率存在且不为0， 由四边形为平行四边形，可知直线不过原点. 设直线的方程为：，设，. 联立，整理可得：，，即， 且，，， 因为四边形为平行四边形，则三点不共线，且， 所以， 因为在椭圆上，则，整理可得：，① 又因为直线，，的斜率依次成等比数列， 即，所以 ，且. 因为 ， 所以 可得，② 由①②可得：，，满足， 故可得，， 所以直线的方程为：或. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是应用韦达定理求根与系数的关系，将点坐标与斜率关系都转化为的形式，由点在椭圆上代入椭圆方程可得到的方程；二是利用平行四边形的性质得，从而解出点的坐标. 29．(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面轨迹方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E的方程； （2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论； 思路二：求得椭圆在点处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程； （3）思路一：假设存在关于直线对称的相异的两点，联立直线与椭圆方程可得线段中点与点A重合，假设不成立； 思路二：利用点差法求出，联立直线方程可得点与点A重合，不合题意，可得结论. 【详解】（1）椭圆E经过点， 可得，解得， 因此可得椭圆E的方程为； （2）由（1）可知，， 思路一： 由题意可知，，如下图所示： 设角平分线上任意一点为，则 得或 又易知其斜率为正， ∴的角平分线所在直线为 思路二：椭圆在点处的切线方程为， 根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为， 所以的角平分线所在直线， 即 （3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点， 设， 联立可得， ∴线段中点为在的角平分线上， 即，解得； 因此与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点． 思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点， 由点差法可得，即； ∴， 因此， 联立可得与点A重合，舍去， 故不存在满足题设条件的相异的两点． 30．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据点在椭圆上以及焦点即可联立方程求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理可得坐标，进而根据中点坐标公式可得，从而判断在直线上，即可由点到直线距离公式求解. 【详解】（1）由已知 解得 所以椭圆方程为 （2）由于的斜率互化相反数，不妨设的斜率为，的斜率为. 则的方程为， 联立， 故，又，所以， 进而, 用代入可得, 所以中点的坐标为 由于, 所以在直线上， 所以点与的最小距离即是点到直线的距离 ， 当且仅当时取得最小值. 31．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据两个圆的位置关系结合椭圆的定义即可求解； （2）根据题意设出，利用点差法确定，进而有，再利用韦达定理可得， ，两式相加减可得，代入中得，从而有,所以，进而命题得证. 【详解】（1）如图，    已知圆M的圆心为，半径为4；设动圆的圆心为，半径为， 则, 所以点的轨迹是以为分别为左右焦点，且长轴为4的椭圆， 设椭圆方程为，则有， 则曲线C的方程为. （2）    设， 由题意，可知 ，两式相减得，， 而，所以， 设直线的方程为，的方程为 将的方程代入得，， 整理得，① 因为是方程①的一个根，所以，② 将的方程代入得，， 整理得，③ 因为是方程③的一个根，所以，④ ②－④可得，，⑤ ②＋④可得，，⑥ ，⑦ 将⑤⑥代入⑦式可得，，⑧ 显然，得，⑨ 将⑨代入⑧得，， 而，所以, 又因为，所以， 即，H，O三点共线. 32．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由椭圆C的焦点坐标为，且过点，利用待定系数法，即可求得椭圆C的标准方程； （2）联立于，消去x化简得到关于的一元二次方程，由韦达定理可得，又弦中点在直线上，可得，解出，即可求得直线l的方程． 【详解】（1）设椭圆C的方程为：， 又椭圆C的焦点坐标为，且过点， ，解得，, 椭圆C的标准方程为． （2） 由，消去x化简得， 设，，则， 弦中点在直线上， ，解得或， 直线l的方程为或． 【点睛】关键点点睛：（2）中直曲联立消元后，由由韦达定理可得，利用弦中点在直线上，得到关于方程，解出，求得直线l的方程． 33．(1) (2)或． 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点列出方程求解即可； （2）由题意直线斜率不为0，设直线方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出中点纵坐标，代入求出即可得直线方程. 【详解】（1）由题意，椭圆C与双曲线有相同的焦点为， 设椭圆的方程为：， 又椭圆C过点， ，解得，． 椭圆C的标准方程为． （2）当直线l与x轴重合时不满足题意； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为， 由消去x化简得． 设，，则． 弦中点在直线上， ，解得或． 直线l的方程为或． 34．(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程. （3）联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，计算，以及AF与RQ，从而判断出四边形ARQF为梯形. 【详解】（1）由题得， 将代入得： ， 椭圆E的方程为. （2）设，则， 且， 两式相减得：，可得， l方程为，即. （3）由得： ，且， ， ∴， 又直线的斜率存在，AF与RQ不平行， ∴四边形ARQF为梯形.    【点睛】关键点点睛：根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的右焦点以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程. 35．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算得解. （2）联立直线l与椭圆C的方程，结合（1）的信息及已知求出点，即可求得椭圆C的方程. 【详解】（1）依题意，因为，所以    设，则， 两式相减可得， 得，即， 因为M为线段 AB的中点，      则， 直线OM的斜率，直线l的斜率， 于是得是定值， 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.    （2）设点P的坐标为， 由，消去x并整理得：， 则，                  又四边形OAPB为平行四边形，即线段AB与线段OP互相平分， 则，即点， 而点P在椭圆C上，于是得，解得， 所以椭圆C的方程为：. 36．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、椭圆中的定值问题、椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据焦距求出，再设，，，利用点差法得到，即，从而求出、，即可得解； （2）设直线的方程为，，，表示直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元求出，即可求出点坐标，同理得到点坐标，根据的斜率为得到，即可求出直线过定点坐标. 【详解】（1）由椭圆的焦距为得，，则. 设，，，则，， 两式作差得，， 所以，即， 所以，所以， 所以，则，解得，. 故椭圆的方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 则，直线的方程为， 将其代入得，，显然， 则，所以， 将代入直线的方程，解得， 所以，同理得， 所以，得， 即， 整理得，所以， 因此直线的方程为，令，即，则， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 37．(1) (2) (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、根据a、b、c求椭圆标准方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合椭圆的性质进行进行求解即可； （2）利用椭圆的性质结合，得到不等式，再根据已知所给的不等式进行求解即可； （3）先证明斜率相同的椭圆的弦的中点在定直线上，据此可判断“果圆”平行弦的中点轨迹是否落在某个椭圆上. 【详解】（1）由，，， 解得，， 因此“果圆”的方程为，. （2）因为，故，得， 而，即， 于是，，. 又，则，∴的取值范围是. （3）我们证明一个结论： 若斜率为的直线与椭圆交于两点，则中点的轨迹在直线上, 证明：设，它们的中点为， 则且， 从而，故， 故，故中点在直线上.    对于“果园”的弦的中点， 若斜率，则设直线， 它与“果圆”的交点是，， 弦的中点满足， 弦的中点轨迹方程是， 而， 即，所以，若“果圆”弦所在直线的斜率为0，则平行弦中点轨迹是椭圆. 若“果圆”弦的斜率，则可平移过程总存在无数条斜率为的直线与“果园”的左半椭圆相交，由前述证明的结论，此时中点在直线上， 故平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 综上，斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹落在某个椭圆上. 斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中与弦的中点有关的计算问题，可利用点差法来处理，也可以直曲联立，结合韦达定理等来处理. 38．(1) (2)或 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线中的最值问题、求平面轨迹方程、求点关于直线的对称点 【分析】（1）设，由利用数量积坐标化得到关系，利用中点坐标公式将坐标用坐标表示，代入消元即可得； （2）由双曲线的性质可得的范围，得到最小值，再求解最值状态下即为实轴端点时的直线方程即可； （3）求解当直线斜率不存在时的方程；当斜率存在时，写出直线的方程，利用一垂直二平分求解点坐标，进而得到直线的方程，观察方程写出定点. 【详解】（1）设，则， 所以从而 因为，所以，即． 则，化简得． 所以点的轨迹方程为． （2）由（1）得，则的最小值为1，此时或， 即或． 当时，可得，从而直线的方程为； 当时，同理可得直线的方程为． （3）设，，由（2）可知， 当时，直线，得，直线； 当时，直线，得，直线． 当是其他点时，直线的斜率存在， 且， 则直线的方程为， 注意到，化简得． 点与关于直线对称， 设，则由， 解得， 又，所以 ， 从而， 令，得，因此直线过定点． 【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于多参设法的消参方法，一是代入消元，如第（1）问中将用动点坐标表示代入关系式即可；二是整体消元，如第（3）问中的应用；三是设而求法，解元消元，如第（3）问中坐标的运算求解. 39．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据抛物线方程求焦点或准线、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 40．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）涉及到中点弦，我们可以采用点差法得到，而由可得，两式相比即可得解； （2）设直线，联立双曲线方程，结合韦达定理可表示的坐标为，由得斜率，由此可列方程求出参数，进而得解. 【详解】（1） 因为，所以. 又设，因为， 所以. 而圆心不在坐标轴上，从而， 所以. 所以， 又，所以. （2）设直线，与联立，化简并整理得：， 其中. 设， 所以， 即点坐标为. 因为，所以，而， 即，解得. 因此，所以. 41．(1)； (2) 【难度】0.85 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线相交求直线方程 【分析】（1）设点，点，利用点差法即可求得直线方程的斜率，从而解决问题． （2）由（1），联立直线方程和抛物线方程，消元得一元二次方程，再结合根系数的关系和弦长公式即可得解. 【详解】（1）设点，点，线段所在的直线方程的斜率为k 1°当斜率k不存在时，线段所在的直线方程为， 解方程得 所以，或， 此时，线段的中点坐标为，不合题意； 2°当斜率k存在时，，在抛物线上，，． 两式相减，得． ∵点是的中点，∴，即 ， 直线的方程为，即； 综上，线段所在的直线方程为. （2）由（1）知，直线方程为：，与抛物线方程联立得： 消元得， ，， ． 42．(1)3 (2) 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线的定义列方程即可求解； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 43．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解； （2）由点差法求解直线方程． 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 44．． 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设双曲线的斜率为1的弦所在直线为，直线方程与双曲线方程联立，利用判别式可得的范围，根据直线平分双曲线的弦得该弦的中点在直线上可得，再根据的范围可得答案. 【详解】设双曲线的斜率为1的弦所在直线为， 弦的两个端点为，，其中点坐标为． ， 则，． ． 直线平分双曲线的弦该弦的中点在直线上． ∴． 由可得，． ∴a的取值范围是．    45．(1)，点M的轨迹是除去，两点的双曲线 (2)不是线段CD的中点，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据斜率公式化简得出轨迹方程； （2）法一：联立直线CD与双曲线的方程，结合韦达定理和中点坐标公式，列出方程，作出判断； 法二：利用点差法得出直线方程，再与双曲线方程联立，判别式检验. 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 因为A，B两点的坐标分别为，， 所以直线AM的斜率为 所以直线BM的斜率为 由已知得， 化简得点M的轨迹方程为， 故点M的轨迹是除去，两点的双曲线 （2）解法一：依题意易知直线CD的斜率存在 设直线CD的方程为， 联立，消y得：， 由直线CD与双曲线相交于两点可得：， 设，，则， 若是线段CD的中点，则，解得：． 此时，与矛盾， 故不是线段CD的中点 解法二：假设是线段CD的中点， 设，，则， ∵C、D在双曲线上，∴， ①-②整理可得：，即， ∴线段CD所在直线，的方程是，即， 联立，消y得：，即， ，不是线段CD的中点. 46．(1)证明见解析 (2)答案见解析 【难度】0.15 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）中点弦问题，由点差法得到的结论可以看作是椭圆的“垂径定理”； （2）利用仿射变换完成纯几何作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确定的几何意义． 【详解】（1）证法一：设， 则可得， 又，， 而由题意知，， 故，即线段的中点在直线上，也即直线与的交点为线段的中点． 证法二：由方程组消y得方程， 因为直线交椭圆于两点，，即， 设的中点坐标为，则 由方程组消y得方程， 又因为，所以故为的中点． 证法三：利用仿射变换解决这个问题： 作仿射变换：椭圆方程变为，则，， 由垂径定理得为的中点，是的中点． （2）作点的步骤： 方法一：1取的中点； 2连接，求出直线OE的斜率； 3由知为的中点，根据（1）可得的斜率； 4从而得直线的方程：； 5将直线与椭圆的方程联立，方程组的解即为点的坐标． 方法二：利用仿射变换解决这个问题： 如图，1以为圆心，椭圆的长半轴长为半径作圆； 2作射线，使，射线与圆交于； 3过圆与轴正方向的交点作轴的垂线，过圆与轴负方向的交点作轴的垂线，两垂线交于点； 4连接，取其中点； 5连接，过作的垂线，交圆于； 6过点作轴的垂线，交椭圆于点即为所求． 证明：上述作图（如图），相当于作了纵轴方向上的仿射变换，易证线段与互相平分，而伸缩变换不改变线段的比例，因此与互相平分，． 47．(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）． 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线、椭圆中三角形（四边形）的面积、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）根据“共轭点对”的定义可得； （2）（i）方法一：利用点差法可证；方法二：设联立椭圆方程，利用韦达定理可证； （ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出，利用韦达定理化简，然后利用导数求最值可得. 【详解】（1）由已知，点在直线上， 又因为直线过原点， 所以所求直线的方程为：．    （2）（i）方法1：因为，所以 设，则， 两式相减得， 整理得， 即，所以线段的中点在直线上． 所以线段被直线平分． 方法2：因为，， 所以设， 由， 由韦达定理得，于是， 从而，所以线段的中点在直线上． （ii）由（i）可知为的中点，而为的中点， 所以． 由解得，设， 由， 由， 由韦达定理得． 点到直线的距离， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以的最大值为． 【点睛】关键点睛：第二问第二小问解答关键在于对所求面积的转化，以及韦达定理的运用，将所求问题转化为关于的函数，利用导数求解可得. 48．(1) (2)(i)证明见解析；(ii)，证明见解析 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式来求解椭圆方程； （2）(i)用点差法可得中点弦斜率与中点与原点的斜率之积为定值，利用斜率相等来证明三点共线； (ii)用坐标来研究斜率，再用三点共线得到斜率相等，来找到相等关系，最后求出定点. 【详解】（1）由直线过点，得， 联立，消得：，易知， 设，则，整理得：， 又因为，所以，解得， 即椭圆. （2） (i)不妨设的中点为，的中点为， 再设 由题可知直线斜率必存在，且， 以上两式相减得， 即，同理， 因为可得：，则，即三点共线； 又因为四边形是梯形，且与交于， 由平面几何知识可知三点共线， 即得证四点共线； (ii)由(i)可知，，而， 所以， 设直线的方程为：，设直线的方程为：， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得：，不妨设， 同理，， 因为，所以 化简得：， 即 上式两边平方化简得：， 由平面几何知识易知三点共线，故设， 由可得， ，， 所以，即或（舍去） 化简得：， 结合，可得， 故直线与直线的交点为定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 49．(1) (2)在椭圆内部，． 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、求椭圆中的弦长 【分析】（1）解法一：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；解法二：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，再由弦长公式直接计算； （2）将点代入椭圆方程，即可判断点与椭圆的位置关系，设以为中点椭圆的弦与椭圆交于，利用点差法求出中点弦的斜率，从而求出中点弦方程. 【详解】（1）解法一：因为椭圆，即，则， 所以椭圆的右焦点为， 则过点且斜率为1的直线方程为， 由，消去整理得，显然，设直线与椭圆交于，， ∴，， 所以． 解法二：椭圆，即，则， 所以椭圆的右焦点为， 则过点且斜率为1的直线方程为，即， 由，其中 ， 所以． （2）∵，∴点在椭圆内部． 设以为中点的弦与椭圆交于， ∵为中点，∴， 把分别代入椭圆， 得，∴， ∴，∴， ∴以为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 ，整理得． 50．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线方程求出即可. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）假定存在直线使得点满足， 设直线的方程为，由对称性知，，设， 由消去得：，则，， 点的纵坐标为，而轴，则点， ，， ，显然， 于是，即， ，解得， 所以存在直线使得点满足，直线的方程为，即. 51．证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据点差法可求出平行弦的中点的轨迹方程为，显然直线经过椭圆中心原点. 【详解】设斜率为1的直线与椭圆交于点两点，. 中点坐标为，所以 ， ， 所以，， 作差得，， 即有，即， 因为弦的中点在椭圆内部，所以， 即，解得， 故平行弦的中点的轨迹方程为，，过原点， 所以椭圆中斜率为1的平行弦的中点轨迹过椭圆中心. 52． 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线的中点弦 【分析】求出直线过的定点，设出三点的坐标，利用点差法求得三个坐标之间的关系将定点坐标代入化简可得中点的轨迹方程. 【详解】设直线为，设， 由，得， 因为点在抛物线上， 所以， 所以，解得或（舍去）， 由，得， 由，得， 则，得， 所以直线恒过定点， 设，则， 因为点在抛物线上， 所以， 两式相减得， 当时，，即， 因为直线恒过定点，所以， 所以，所以， 当，亦满足上式 所以所求为. 53．(1). (2). 【难度】0.94 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解； （2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程； 【详解】（1）由题意可得，，，则， 又，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，点恰为弦的中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 54．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、求双曲线中的弦长 【分析】（1）设，结合中点弦的“点差法”，即可求解； （2）由（1）知，直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式. 【详解】（1）设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 答案第52页，共59页 答案第12页，共60页 学科网（北京）股份有限公司 $$