24.圆锥曲线弦长问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

24.圆锥曲线弦长问题 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 3．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线垂直于轴，则 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 4．（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形 5．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则说法不正确（ ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 6．（24-25高三上·河北唐山·开学考试）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 7．（广西壮族自治区来宾市2025届高三第一次教学质量监测数学试题）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 8．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，则（    ） A．与有相同离心率的椭圆标准方程一定是 B．过的直线与椭圆交于两点，则 C．设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值 D．设圆，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 9．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）直线与抛物线有公共点，为抛物线C焦点，直线与轴交于点，下列说法正确的是（    ） A．，，则抛物线的准线方程为 B． C．重合时，的内切圆半径为 D．到的最大值为 10．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积大于4 11．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上两点，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（    ） A．存在直线，使得 B．若为的中线，则 C．若为的角平分线，则 D．对于任意直线，都有 13．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 14．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线C的虚轴长为 B． C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为 15．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作斜率为直线与交于，两点．若直线经过点，则（   ） A． B． C． D．的取值范围是 16．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知拋物线上的动点到焦点的距离最小值是2，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于两点，则（   ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D．满足条件的直线有2条 17．（24-25高三上·广西·阶段练习）两条都与轴平行的直线之间的距离为，它们与抛物线和圆分别交于点，和，，则的最大值为 . 18．（2023·四川绵阳·三模）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 19．（23-24高三下·河南·阶段练习）若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且与轴相切于的焦点，则 . 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上的任一点到其焦点的距离比其到轴的距离大1，过作直线交抛物线于，以线段为直径的圆交轴于，则的最小值为 ． 21．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，焦点为，若过点的直线（斜率大于0）与抛物线、轴及准线的交点从上至下依次为，且，其中为准线与轴交点，则抛物线的方程为 ． 22．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 . 23．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为 ． 24．（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 . 25．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. (1)设直线，的斜率分别为，，证明：； (2)设线段AB的中点为N，求的取值范围. 26．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与椭圆相交于两点. (1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长； (2)若（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值. 27．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 28．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长为4.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线． (1)求椭圆E的标准方程： (2)若与椭圆E的相交于两点，求的长度； (3)若直线的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标． 29．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. (1)求直线斜率的取值范围； (2)求的取值范围. 30．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 31．（2024·四川南充·一模）已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 32．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆的离心率是椭圆的一个顶点为，直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段的中点的横坐标为求直线的斜率以及弦长 33．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2． (1)求，的方程； (2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的最小值． 34．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且直线与的斜率之积为． (1)求C的方程； (2)直线与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B． （ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程； （ⅱ）若点B与点重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求的值． 35．（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点． (1)若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围； (2)是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 36．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 37．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 38．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 39．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为 (1)求的标准方程； (2)若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点. ①求直线斜率的取值范围； ②求的取值范围. 40．（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的离心率为，焦距为． (1)求的标准方程； (2)若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围． 41．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长． 42．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 43．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为. (1)分别求和的方程； (2)已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系. 44．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点. (1)设直线的斜率为，已知，求证：； (2)直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 45．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知椭圆的左焦点，左､右顶点分别为，上顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求圆的方程以及的取值范围，若不存在，请说明理由. 46．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． (1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； (2)求四边形的面积的最大值． 47．（24-25高三上·上海·开学考试）已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）.    (1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； (2)若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长. 48．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知椭圆的短轴长为，右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与抛物线交于两点，求四边形的面积的取值范围. 试卷第10页，共10页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C B B ABD ABD BD ABD 题号 11 12 13 14 15 16 答案 ABC BD AD BCD ABD BC 1．B 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 2．D 【难度】0.85 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、由弦长求参数 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 3．B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断D选项. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设，， 对于A选项，轴，直线，由，得：，则，A选项错误； 对于B选项，不垂直于轴时，设的方程为， 由，消去并整理可得：， 则，， ， 显然，， 于是得， 由选项A知，当轴时，，因此，B选项正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C选项错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即， 于是得， 因此，D选项错误； 故选：B. 4．C 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出的坐标并求得，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设， 则，焦点， A选项，当时，解得，所以， 则，是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，解得，所以， 由于，所以关于直线对称，而， 所以此时是等腰三角形. 对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形， 则，则， 此时，， 所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确. 故选：C 5．B 【难度】0.65 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】A：通过联立思想得到，由此可计算出，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离是否等于半径即可；D：代入坐标，计算出的值，根据结果再进行判断. 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立，可得，且， 所以，所以，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线， 垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，. 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：B 【点睛】结论点睛：已知是抛物线的过焦点的一条弦，设，则有：（1）；（2）. 6．B 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题 【分析】首先求直线的倾斜角和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【详解】如图，过点作， 由条件可知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由，，所以, 设直线的直线方程为， 联立，得， 易知，则， 而，得.    故选：B 7．ABD 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】由直线，可知焦点，得的值和抛物线方程，可判断A选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合，求出两点坐标和的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD. 【详解】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确. 故选：ABD. 8．ABD 【难度】0.15 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】由离心率的定义可得A正确；设过的直线方程为，，联立椭圆方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简可得B正确；由椭圆的定义得到，进而可得C错误；设切线方程为，联立椭圆方程，由判别式为零可得两直线的斜率为，进而可得D正确； 【详解】对于A，椭圆的离心率，又可变为， 离心率为，故A正确； 对于B，设过的直线方程为，，同时设 联立，消去可得，， ， ，同理， 所以 ，故B正确； 对于C，由椭圆的定义可得， 所以， 当三点不共线时，，共线时， 所以有最大值，有最小值，故C错误； 对于D，设圆上任意点， 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为， 代入椭圆方程， 所以， 整理可得， 所以， 又，所以， 当斜率不存在时，显然垂直，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题B、D的关键在于直曲联立时化简较为麻烦，计算量较大. 9．BD 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设，，对于A：根据抛物线的定义可得，，代入可得抛物线的方程运算求解即可；对于B：根据抛物线的定义可得，结合弦长公式分析判断；对于C，当，重合时， 是顶点为F的等腰直角三角形，由等面积法求其内切圆的半径；对于D，分和两种情况，由C知最大值为1，根据点到直线的距离公式可判断． 【详解】由题意可知：，， 设，，则，， 对于选项A：因为，，即，， 可得，， 则，解得． 可知抛物线的方程是，其准线方程为，故A错误； 对于选项B：因为， 所以，故B正确； 对于选项C：当，重合时，即直线和抛物线相切， 联立方程，消去y可得， 且则，可得， 原方程化为，解得，可得， 即直线和抛物线相切于点或， 则，且，可知是顶点为F的等腰直角三角形， 设的内切圆半径为， 由等面积法可得，解得，故C错误； 对于选项D：若，则点到直线：的距离； 若，由选项C可知：，解得， 则点到直线：的距离， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：到的最大值为，故D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：对于选项CD：根据直线与抛物线的位置关系求k的值或取值范围，进而分析求解. 10．ABD 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、已知切线（斜率）求参数、求两曲线的交点、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得,故，即B正确； 对于C， 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点, 由解得，由解得，, 即得, 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为， 于是,由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题. 解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 11．ABC 【难度】0.4 【知识点】余弦定理及辨析、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由题意得三点共线，即直线是过焦点的直线，设其倾斜角为，，由焦点弦公式计算可判断；由焦半径公式，，可得，可判断；由与互补，结合诱导公式可得，继而可判断；由两点间的距离公式和弦长公式可得，可得，即可判断. 【详解】由可知，三点共线， 所以直线是过焦点的直线， 设其倾斜角为，， 所以焦点弦，故A正确， 设直线与的夹角为， 设（轴上方的焦半径），（轴下方的焦半径）， 所以，故B正确， ， 故，故C正确， 所以， 即不存在，使，故D错误. 【点睛】焦点弦常用结论： 若抛物线焦点弦所在直线的倾斜角为， 则，，，， 证明：设，， 又， ， 解得， ， 同理可得， 注：表示轴上方的焦半径，表示轴下方的焦半径. ， . 12．BD 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】设，不妨令都在第一象限，，联立抛物线，根据韦达定理可得，，则，再根据各选项描述、抛物线定义判断它们的正误. 【详解】由题意，设，不妨令都在第一象限，， 联立和，则，且，即， 所以，则． A选项，若，过点作垂直于准线于点， 则，即为等腰直角三角形，此时，即， 所以，所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故A错误； B选项，若为的中线，则，所以，所以，故，所以，则，故B正确； C选项，若为的角平分线，则，作垂直准线于， 则且，所以，即， 则，将代入整理得， 则，所以，故C错误； D选项，，而，结合， 可得，即恒成立，故D正确． 故选：BD． 13．AD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据已知，结合四边形的形状判断AB；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，结合与之间的关系求最值判断D. 【详解】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形， 由双曲线可知：， 对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，据双曲线定义可知：， 若，则四边形为矩形， 则，所以， 即 所以，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由双曲线的方程可知， 在中，， 又因为双曲线渐近线方程为：，所以， 所以，即，故C错误； 对于D， 当且仅当时，取到最小值为4，故D正确． 故选：AD． 14．BCD 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的实轴、虚轴、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据双曲线的虚轴定义及b判断A,根据渐近线斜率及倾斜角判断进而判断B,联立方程组得出弦长最小值为通径，结合定义得出周长最小值判断C, 根据的周长及面积计算的内切圆半径为r判断D. 【详解】 对于A:因为，所以虚轴长为，A错误； 对于B:因为双曲线渐近线方程为，倾斜角为， 过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点,得出B正确； 对于C: 的周长为, 结合双曲线的定义， 设双曲线的右焦点为，， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，则 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， 又，故或, 而 ， 所以当直线与x轴垂直时，的长最小，即最小值为，的周长最小值为，故C正确； 对于D: 当时, 设直线的方程为 联立，消去，得， ，当时,A点坐标 ， ， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D正确. 故选：BCD. 15．ABD 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】首先求出，从而得到，判断A，联立直线与抛物线方程，由根的判别式和韦达定理可判断B,C，由焦半径公式化简可得：，结合二次函数的最值问题即可判断D. 【详解】因为抛物线的焦点为，且直线经过点， 所以，则，解得：，故A正确； 所以抛物线方程为：，则， 设过点作斜率为直线的方程为：， 联立：，消去可得：， 显然，，解得或，故C错误； 由韦达定理可得：，，故B正确； 因为，， 所以， 令，则，则， 所以的取值范围是，故D正确； 故选：ABD 16．BC 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】根据题意求出p的值，判断A；根据准线方程，判断B；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，结合应用弦长公式计算判断C；设直线联立方程组根据判别式判断直线个数及特殊斜率不存在直线结合即可判断D. 【详解】对于A，由题意拋物线的动点到焦点的距离最小值是2，即，A错误； 对于B，抛物线的准线方程为，B正确； 对于C，由题设, 为，联立，可得， 则，故，    C正确. 对于D，因为在外，令过P的直线与相切， 所以，若，， 可得有两个根 故与相切直线有两条，又与只有一个交点， 所以过与有且仅有一个公共点的直线共有三条，D错误； 故选：BC 17． 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、圆的弦长与中点弦、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】设直线方程为，结合直线与圆相交可知，则直线的方程为，根据直线与圆相交的弦长及直线与抛物线相交得弦长可得，设，结合导数可得的最大值. 【详解】设直线方程为， 由已知圆的圆心，半径， 由直线与圆相交，即点到直线的距离，解得， 且； 直线的方程为，设，， 联立直线，则，， 则， 则， 设， 则， 设， 则， 令，解得，令，解得， 即在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取得最大值为， 则的最大值为， 故答案为：. 18．8 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先设直线联立方程得出韦达定理，应用弦长公式得出，再结合垂直斜率关系得出，最后应用基本不等式得出弦长和的最小值即可. 【详解】由题意知，直线的斜率都存在且不为 0，， 设， 则直线的斜率为，联立方程得， 消去得，设， 则． 所以 同理，用替换可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8． 故答案为：8. 19．2 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、圆的对称性的应用、圆的弦长与中点弦、直线与抛物线相交求直线方程 【分析】不妨令圆在第一象限,假设出圆的方程，利用圆与抛物线在公共点处有相同的切线，得到直线与垂直，得到关于的方程，联立点在圆上的方程求解出，从而求解出 【详解】抛物线的焦点为， 根据对称性，不妨令圆在第一象限，， 则圆的半径，故圆的方程为， 设，由，得， 所以抛物线在点处的切线的斜率， 因为圆与抛物线在公共点处有相同的切线， 所以直线与垂直，即，则①， 又点在圆上，所以，则②， 将①代入②可得， 整理可得，解得或（舍去）， 所以，所以.    故答案为：2. 20． 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】利用抛物线定义先确定抛物线方程，设点坐标由韦达定理可得坐标，利用垂径定理计算弦长，再由二次函数的性质求最值即可. 【详解】由抛物线定义可知，即，则焦点为或， 取，则抛物线方程为． 设直线，代入，得． 设，则，， 则． 则以线段为直径的圆的圆心， 半径， 过作于点，连接， ， 当时，有最小值． 同理可设当取抛物线方程为时，也有最小值． 故答案为： 21． 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线方程为，联立方程组，可得，结合，解得，再由，可解，从而得解. 【详解】易得，设直线方程为且，令，则， 联立得， 即，则， 则， 由可得，， 化简得，解得． 令，则，又，即，解得， 所以抛物线方程为． 故答案为： 22． 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】由渐近线方程设出双曲线方程，再直曲联立得到韦达定理，最后由弦长公式求出，解出即可； 【详解】由于的一条渐近线为，可设双曲线的方程为， 将代入双曲线得， 若直线与双曲线交点为， 则， 则，解得， 经检验，满足题意； 故该双曲线的方程为，即. 故答案为：. 23． 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】联立方程，利用韦达定理可得，线段的中点，利用中垂线求得，进而可得面积. 【详解】设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 则，且， 可知线段的中点，则线段的中垂线方程为， 令，则，可得， 所以的面积为． 故答案为：. 24．6 【难度】0.85 【知识点】求抛物线的轨迹方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】设点，由题意得到，化简得圆心的轨迹方程为，将其与直线联立，写出韦达定理，利用弦长公式计算即得. 【详解】 如图，设动圆的圆心，由题意得， 两边取平方，，化简得，故圆心的轨迹方程为. 联立方程，消去整理得， 设，则， 故. 故答案为：6. 25．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的切线方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设切线方程，分别用点的横坐标表示，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，由的表达式求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在， 设点，，直线l的方程为， 由得， ，，. 由，得切点，， 则切线的方程为，代入，得， 所以，解得， 同理，得切线的斜率， 所以. （2）由（1）可得， 故，. 由（1）得， 可化为，① 同理得，② 由①②，得，，即， 则. ， 所以. 由，，得，故， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 26．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据椭圆中基本量的关系计算可得椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得线段的长即可； （2）设点，，根据，可得，再联立方程利用韦达定理表示关于基本量，的关系，可转化为，因为，可得，从而可得长轴长得最大值. 【详解】（1），， ，，则， 椭圆的方为， 联立消去得：， 设，，则， ， （2）设，， ， ，即， 由，消去得， 由，整理得， 又，， ， 由，得：， ，整理得：， ，代入上式得， ， ，则， 则，， 则，故长轴长的最大值为. 27．(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据弦长求参数 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值. 【详解】（1）由题意得解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得， 则. ， 解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 28．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据椭圆离心率公式及长轴长求得，再根据即可求解； （2）根据几何关系求得直线的方程，与椭圆方程联立，结合弦长公式求解即可； （3）设，因为点为第一象限的点，故，当时，与相交于，与题设不符；当时，得出直线和直线的方程，联立求得点坐标，再根据在椭圆上即可求解． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以，得， 所以， 因此椭圆的标准方程为． （2）设， 由题可知，点横坐标为，所以， 由点得，，所以， 由得，，则， 所以．    （3）设，因为点为第一象限的点，故， 当时，与相交于，与题设不符； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为， 从而直线的方程：①， 直线的方程：②， 由①②解得，所以， 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或， 又在椭圆上，故， 由，解得； 由，无解； 故点的坐标为．    29．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）设，直线的方程为，与椭圆联立消x得，利用韦达定理结合已知列不等式，根据直线与圆的位置关系列不等式求解m范围，即可得解. （2）利用弦长公式求解，利用垂径定理求得，从而求得的表达式，然后设，利用二次函数性质求解范围即可. 【详解】（1）设，由题意可得直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为， 与联立得， 所以， 又两点在轴同一侧，所以.此时，即. 圆的方程为，点到直线的距离， 由得，由得，所以或 因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是. （2）由（1）可得 . ， 所以 设，则， 所以的取值范围是.    30．(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的焦距、求双曲线中的弦长、双曲线中的定值问题 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 31．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据弦长求参数 【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解； （2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解. 【详解】（1）由题意，， 整理化简得，， 所以曲线C的标准方程为. （2）由题意，直线的斜率都存在，设， 则直线的方程为， 分别延长，交曲线于点， 设， 联立，即， 则， 根据对称性，可得， 则 ， 即，解得， 所以直线FM的斜率为. 32．(1)； (2)， 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）由题意可得，再由求解即可； （2）根据题意可得中点的纵坐标为，将两点坐标代入椭圆方程作差，结合中点坐标公式及斜率公式，即可求得的值；联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可. 【详解】（1）解：因为椭圆的一个顶点为，离心率是 所以，解得， 又因为， 所以椭圆的方程为； （2）解：由题意可得， 两式相减，得， 所以， 又因为线段的中点的横坐标为 所以， 且中点的纵坐标为， 所以， 所以， 所以 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以； 所以直线， 由，可得， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线交相，涉及中点坐标时，经常采用点差法求解更简单些. 33．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据双曲线特征设，结合已知列方程求解； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程应用两根的和结合中点M，即可证明；（ⅱ）先把面积转化为再设函数借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值. 【详解】（1）由题设可设 ,这里. 易知渐近线为 ，焦距为, 的右焦点， 由题设可知 , 解得. 所以 的方程为,的方程为. （2）（ⅰ）设直线 , 联立直线 和 的方程 ,得. 为使直线 和 均有2个交点，必须有， , 解得且． 由韦达定理可得 注意到 ，因此线段 和线段 具有相同的中点． 记上述中点为 ，注意到,所以 . （ⅱ）由（ i ）可知和的面积相等． 记的面积为  , 的面积为 , 的面积为. 由 与 的方向相同可知 . 因为 ， 同理 所以 ， , 设, 则, 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此, 当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最小值为． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点时把面积转化为，设函数借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值. 34．(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算即可得出椭圆方程； （2）（i）设结合，向量关系列方程求出点的坐标，即可求出直线方程；（ⅱ）设方程联立方程组，韦达定理结合弦长公式计算求解. 【详解】（1）将点代入C的方程得：①， 设C的焦距为，则， 故，解得②， 又③，由①②③解得或， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题，，设，O为坐标原点， 因为A，B恰为弦MN的两个三等分点，所以, 则，即，解得，所以， 又，即，解得，所以 将点M，N的坐标代入C的方程得，解得， 因为，所以， 所以直线l的方程为． （ⅱ）由题直线l过点，所以， 与椭圆方程联立，得， ， 设，则， 所以 ， 又， 所以MN中点为， 所以MN的垂直平分线方程为， 令得，故， 所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：（2）（i）解题的关键点是应用向量关系列方程求出点的坐标即可求出直线方程； 35．(1) (2)存在，或 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求弦长，然后求解三角形的面积分析求解最值即可； （2）设直线方程为，联立方程组，将转化为，求解直线的方程即可. 【详解】（1）由题可知，且直线的斜率不为0， 设． 设直线的方程为，因为，则， 因此点到直线的距离为， 联立则，显然， 所以， 则， 所以， 当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为，所以的取值范围为． （2）设直线方程为，即， 联立得，故即, 又， 易知， 因为，则， 因为，所以，即， 解得或， 故存在斜率为1的直线，使得，此时直线的方程为或． 36．(1)2 (2) 【难度】0.85 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据圆外一点到圆上的点的最小距离的求法确定的值. （2）设过点的切线方程，带入抛物线方程，由直线与抛物线相切，可求切线斜率和切点坐标，利用两点间的距离公式求. 【详解】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故. （2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：. 如图：    因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即， 代入得：，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以或. 当时，由，所以切点； 当时，由，所以切点. 所以 37．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 38．(1)方程为，左、右焦点坐标分别为 (2) 【难度】0.85 【知识点】求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. 【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 39．(1) (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由右焦点到其中一条渐近线的距离为，求出，由此可得双曲线标准方程； （2）①设，，设直线的方程为，由设而不求法得到，，根据已知求出直线斜率的取值范围； ②求出，，再求的表达式，由此可求其范围. 【详解】（1）由题意可得， 且右焦点到渐近线的距离为， 所以，， 所以的标准方程为. （2）①由（1）知，，设，， 由题意可得直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为 与联立得， 所以，， ，， 又两点在轴同一侧，所以. 此时，即. 圆的方程为，点到直线的距离， 由得， 由，得， 所以或， 因为直线的斜率， 所以直线斜率的取值范围是. ② . ， 所以， 设，则 ， 所以的取值范围是.    【点晴】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 40．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据题意列出的方程运算得解； （2）设直线的方程为，代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得的范围，由弦长公式求得，再求得的坐标得线段长，然后计算比值，由的范围求得结论． 【详解】（1）因为的离心率为，焦距为， 所以，解得，所以． 所以的标准方程为． （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 不妨设分别在左､右位置，联立，得， 联立，得， 所以， 联立，得， 设，则， 由，即， 所以， 所以， 又，所以， 所以的取值范围为． 41． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆中的弦长 【分析】根据题意可得直线的方程为.方法一：联立方程求出交点坐标，结合两点间距离公式求弦长；方法二：联立方程消去y，根据韦达定理结合弦长公式运算求解；方法三：联立方程消去x，根据韦达定理结合弦长公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为直线过椭圆的右焦点，且斜率为， 则直线的方程为，且直线与椭圆必相交， 方法一：解方程组，解得或， 不妨令，， 所以； 方法二：设，， 联立方程，消去得， 则，． 所以； 方法三  设，， 联立方程，消去得， 则，， 所以． 42．(1) (2)或． (3)． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据椭圆的定义求得，即可求解； （2）由题意设，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，结合的面积建立方程，计算即可求解； （3）由（2）可得，进而，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为． （2）易知的斜率不为0，设， 联立，得， 所以． 所以， 由， 解得， 所以的方程为或． （3）由（2）可知， 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 得． 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为．    43．(1)双曲线的方程分别为，； (2)相切或相交. 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）由焦距求出的值即得双曲线的方程，再由双曲线的离心率及所过点，求出双曲线的方程. （2）设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，求出，结合已知求出的关系即可判断得解. 【详解】（1）依题意，双曲线N的焦距为，解得， 所以双曲线的方程为； 由双曲线与双曲线的离心率相同，得，又，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率，设，直线交轴于点， 直线的方程为，由消去得， ，， 由消去得， ，， ， 整理得，因此，即点在圆上或内， 而直线为时，，，满足， 所以直线与圆相切或相交. 44．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长、根据弦长求参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）利用点差法表示直线和直线的斜率关系，再利用点在椭圆内，建立不等式，即可求解； （2）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，以及点的坐标，并得到直线的方程，并求解弦长，根据条件得到代入公式，即可求解. 【详解】（1）设， 由，得，变形得， 即，故，又，解得，故. （2）由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 可得. ， 则弦的中点的坐标为， 故的方程为.联立，得， 由对称性，不妨设，则，其中. 可得. 由题意， 且， 故，即 代入，得， 解得，故直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是将条件等式转化为，从而利用韦达定理表示弦长和. 45．(1)椭圆的方程为. (2)圆的方程为；的取值范围为. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）先由椭圆的几何性质得，再由已知条件结合余弦定理得，进而结合即可求出椭圆的方程. （2）先假设存在，接着分圆的切线斜率存在和不存在两种情况进行分析，当切线斜率存在时，设圆切线方程为，联立方程得和韦达定理，进而得，从而由得，进而由圆心到切线的距离即可求出圆的半径，得出圆的方程，且由弦长公式结合导数工具可求解的取值范围. 【详解】（1）由椭圆的几何性质可得， 所以由余弦定理得， 化简得，又，所以， 所以椭圆的方程为. （2）假设存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且， （i）当该圆的切线斜率存在时，设该圆切线方程为， 联立方程， 则，即， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 满足， 因为直线即为圆心在原点的圆的一条切线， 故圆的半径为即，所以， 所以所求圆的方程为， 所以 ， 令，， 则恒成立，且， 令（舍去）或， 则当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 又当时，当时， 所以当时，有，当时，有， 所以，所以有. （ii）当该圆的切线斜率不存在时，则切线方程为， 代入得， 所以切线与椭圆的两个交点坐标为或， 显然满足，即满足，此时. 综上所述，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个 交点，且，. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线的存在性问题常用策略 1. 肯定顺推法：首先假设满足条件的元素存在，然后利用题目条件进行推理和计算， 若不出现矛盾且得到相应的几何元素或参数值，则元素存在；否则元素不存在.   2. 反证法‌：通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立. 3. 分类讨论‌：当条件和结论不唯一时，需要对不同情况进行分类讨论. 4. 条件追溯法‌：针对一个结论，条件未知需探索，通过寻找结论成立的必要条件， 再通过检验或认证找到充分条件. 46．(1) (2)3 【难度】0.4 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率； （2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【详解】（1）由可知,椭圆上顶点为，即, 直线的斜率为，则直线的方程为：， 将其代入整理得，，解得，或， 因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：； （2） 如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和， 利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半. 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为 代入，整理得：，显然， 设，则， 于是， ， 点到直线的距离为， 则四边形的面积为， 令，则，且，代入得，， 因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时. 47．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由圆心坐标和抛物线焦点坐标计算可得； （2）联立圆与抛物线的方程，消去后再解出方程的根，结合图形判断即可； （3）设出直线方程和，联立直线和抛物线方程，得到韦达定理，再由题中以及抛物线的定义组成方程组解出最后利用求出结果； 【详解】（1）由可知圆心坐标为， 因为抛物线的焦点与圆心重合， 所以， 所以抛物线的方程. （2），消去并整理方程可得， 解得， 抛物线和圆恒有一个公共点，且恒成立， 所以令，解得. （3）设，直线的方程为，原点到直线的距离为， 由消去可得，其中， ， 所以， 则，① 因为 ，② 由①②解得 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能利用抛物线的定义与已知组成方程组，求出. 48．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由题意可得，再由求出，从而可求出椭圆方程； （2）根据已知条件设出直线的方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系得出弦长，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得出弦长，结合四边形的面积公式及对勾函数的性质即可求解. 【详解】（1）依题意可得：椭圆右焦点，且，即. 又因为，所以， 故椭圆的标准方程为：. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，. 联立，消去，整理得，， 所以， 所以. 由垂直关系可设直线的方程为，设，， 联立，消去，整理得，， 则根据根与系数的关系，得， 所以， 所以， 设，则， 因为在上单调递增， 所以， 所以四边形的面积S的取值范围为. 答案第66页，共66页 答案第10页，共67页 学科网（北京）股份有限公司 $$