20.双曲线中求离心率范围问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

20.双曲线中求离心率范围问题 1．（22-23高三下·浙江温州·开学考试）直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南株洲·阶段练习）已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东济宁·三模）已知为双曲线的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于、两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（17-18高二上·湖南邵阳·期末）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·贵州黔东南·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，点P异于坐标原点O，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·广东深圳·期末）设，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高三上·全国·阶段练习）已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高二·全国·课后作业）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2022·山西太原·二模）已知双曲线的右焦点为，点Q为双曲线左支上一动点，圆与y轴的一个交点为P，若，则双曲线离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（2022高三·全国·专题练习）已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（20-21高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的左焦点为，若直线，与双曲线C交于M、N两点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·四川成都·模拟预测）已知双曲线的右支上一点关于原点的对称点为点，为双曲线的右焦点，若以、为直径的圆恰过点.设，且，则双曲线的离心率的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（20-21高三下·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线的离心率e的范围为（    ） A．(1，＋∞) B．(1，3] C．(2，3] D．(1，2] 20．（21-22高二上·黑龙江大庆·期中）已知双曲线：（，）右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高三下·湖南·阶段练习）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（    ） A．的离心率的取值范围为 B．的离心率的取值范围为 C．直线斜率的取值范围为 D．直线斜率的取值范围为 22．（22-23高三上·广东·阶段练习）如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线与互为共轭双曲线，设的离心率为，的离心率为，则（    ） A．若，则 B．的最小值为4 C．的最小值为4 D．的最大值为 23．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，以为直径的圆在第二象限内交于点，且直线的斜率小于，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C．4 D．6 24．（22-23高三下·河北·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上的动点，则（    ） A． B．的离心率不可能是 C．以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相切 D．存在点使得是顶角为的等腰三角形 25．（22-23高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线过点 B．直线与双曲线有两个公共点 C．双曲线的一条渐近线的斜率小于 D．双曲线的离心率取值范围为 26．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（    ） A．面积为 B．若，则 C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为 27．（21-22高三上·山东菏泽·期末）已知曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线为椭圆 B．若，则曲线为焦点在轴上的双曲线 C．若曲线为双曲线，则其焦距是定值 D．若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于 28．（2023·安徽合肥·模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 . 29．（23-24高二上·江西·期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是 . 30．（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 . 31．（2023·湖南·模拟预测）已知双曲线的右焦点，点A是圆上一个动点，且线段AF的中点B在双曲线E的一条渐近线上，则双曲线E的离心率的取值范围是 . 32．（2022高二上·全国·专题练习）设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 33．（2023·云南昆明·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e，点P在C上，且，则满足条件的一个e的值为 ． 34．（2015·浙江·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 35．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 36．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 . 37．（20-21高二·全国·课后作业）如图，以为直径的圆有一内接梯形，且．若双曲线以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为 ． 38．（2021高三·全国·专题练习）如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围. 39．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）设双曲线的右焦点为F，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于A，B两点. (1)若，求的离心率的取值范围； (2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围. 试卷第8页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A A C A B A A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B C A B C C D B B D 题号 21 22 23 24 25 26 27 答案 AC ACD BCD BC ACD ABD BD 1．D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求直线与双曲线的交点坐标、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用，，成等差数列，列式求解即可 【详解】设直线， 联立，可得，则① 联立，可得，则② 因为，所以，所以③ 因为，所以，所以，即得④ 因为，所以中点为的中点，所以, 因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以, 所以，代入①②③有， 因为且，又因为，则所以，所以，即 综上， 故选：D. 2．C 【知识点】求cosx(型)函数的值域、辅助角公式、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．因此．，．可得，结合余弦函数运算求解． 【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，， 因为，则四边形为矩形， 所以， 则，． ． ． 即， 则， 因为，则， 可得，即， 所以， 即双曲线离心率的取值范围是， 故选：C． 3．D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出点、的坐标，设点，其中，可得出，由已知可得出，可得出，整理可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】将代入双曲线的方程可得，可得， 不妨取点、，设点，其中，且， ，， 因为，所以 ， 因为，则，所以，， 可得，即， 整理可得，因为，解得. 故选：D. 4．A 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d，则由题意可得，从而可求出离心率的范围 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即， 则直线与直线的距离为 ， 因为点是直线上任意一点， 且圆与双曲线的右支没有公共点， 所以，即，得离心率， 因为，所以双曲线的离心率的取值范围为， 故选：A. 5．A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出，由勾股定理即可得到的关系，从而解出． 【详解】由题意可得，，，解得：，，因为，所以，即，亦即，所以． 故选：A． 6．C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线的定义可得，结合余弦定理及双曲线性质可得，化简求范围即可. 【详解】 由题意易得：，所以 设，，由余弦定理可得， 则 设点，则， 即 所以，故. 故选：C 7．A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求得到的距离为及，根据，结合题意转化为的不等式，即可求解离心率的范围. 【详解】由题意，双曲线， 则其中一条渐近线方程为，即 可得到渐近线的距离为，即，则， 设，即，其中， 因为，可得， 整理得，所以， 解得：， 又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：A． 8．B 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可. 【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为， 由已知易知，若在双曲线内部（如位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意； 若在双曲线与渐近线之间（如位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满足题意； 故P只能在双曲线的渐近线上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线平行的直线，该两条直线均与左支无交点； 同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线平行的直线符合要求； 即， 故， 故选：B 9．A 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】 由题意，设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：. 10．A 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简， 根据已知角范围求解即可. 【详解】在中， 由． 因为，所以， 所以，所以． 故选:A. 11．B 【知识点】判断点和双曲线的位置关系、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部；若存在(2a，a)为中点的弦，根据点差法可得弦的斜率为，要使弦不存在，则弦与双曲线无交点，则弦的斜率大于渐近线斜率，如此即可得到的取值范围，进而求出离心率的范围﹒ 【详解】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部，则，得； 假设以(2a，a)为中点存在弦，设弦与双曲线交于， 则，两式作差得， 即， ∵不存在该中点弦，∴直线AB与双曲线无交点，则，得； 综上，可得； 又∵离心率e＝，∴≤e≤，即， 故选：B 12．C 【知识点】基本不等式求和的最小值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，根据双曲线的定义，再利用基本不等式求出的最小值，从而得到，即可求出离心率的取值范围. 【详解】解：设，则，由双曲线的定义知， ∴，，当且仅当，即时，等号成立， ∴当的最小值为时，，，此时，解得，又，∴． 故选：C． 13．A 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】将条件转化为三角形两边之和大于第三边，得到实半轴长的取值范围，进而得到离心率的最大值. 【详解】 设双曲线的左焦点为,则，所以，由题意可得 所以，，，所以. 故选：A. 14．B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨设在第一象限，根据，可设.把点的坐标代入双曲线方程可得出，利用求根公式即可解出.结合，可求出，从而可求出答案. 【详解】不妨设在第一象限，因为，所以设，为锐角， 代入双曲线方程可得：，即， 化简可得，即， 因为，所以解得， 因为直线，，所以，即， 所以，所以，所以． 故选：． 15．C 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围． 【详解】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点， 则，即， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，解得， 所以双曲线离心率e的取值范围是. 故选：C． 16．C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【解析】根据题意，得到，设，则，由，求出与双曲线联立，求出，再由，列出不等式求解，即可得出结果 【详解】因为点为双曲线的左焦点，则， 设，由题意有，则，， 又，所以，则， 又在双曲线上，所以， 由解得， 又在直线上，， 所以， 即，整理得， 解得或（舍，因为双曲线离心率大于1）， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把转化为向量数量积的坐标表示，求出点的轨迹方程，结合点在双曲线上，求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 17．D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，表示出离心率，然后根据辅助角公式化简，由正弦型函数的值域即可得到结果. 【详解】 设双曲线的左焦点为，由已知得点在双曲线的左支上，连接， 根据双曲线的定义，， 因为是的中点，所以四边形为平行四边形， 由以、为直径的圆恰过点，可得，故四边形为矩形，得， 所以，所以， 则离心率，又， 由正弦函数性质可得当时， 即时，且， 取得最大值为 故选:D 18．B 【知识点】切线长、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由切线长定理可知，根据得，设点，由根据的范围可得答案. 【详解】连接、、，则，， 由切线长定理可知，，又因为， 所以，，所以，， 则， 设点，则，且，所以， ， 所以，，故. 故选：B. 19．B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，求出和，利用可得结论． 【详解】设，则，， 则， ， 因为，所以，即，又，所以，，所以． 故选：B． 【点睛】结论点睛：本题考查求双曲线离心率的范围，解题关键是求出双曲线上的点到焦点的距离．双曲线的焦点半径公式：是双曲线的左右焦点，是双曲线上任一点，则，． 20．D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，．则四边形为矩形．因此．，．可得，求出即可． 【详解】解：如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，． ，四边形为矩形． 所以． 则，． ． ． 即， 则， ， ， 则， ,， 则， 即， 故双曲线离心率的取值范围是， 故选：D．    21．AC 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据二次函数的最值或值域求参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可. 【详解】解：设为的中点，根据重心性质可得， 因为，则， 因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部， 故有，解得， 当直线斜率不存在时，的中点在轴上， 故三点不共线，不符合题意舍， 设直线斜率为，设， 所以，， 因为在双曲线上，所以， 两式相减可得：， 即， 即有成立， 即有，因为不共线， 即，即，即， 所以的离心率的取值范围为， 因为 ， 因为，即， 所以， 所以. 故选：AC 【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有： （1）设出点的坐标； （2）根据中点坐标建立等式：，； （3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形； （4）将，及代入等式中即可得出关系. 22．ACD 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由双曲线的离心率求参数的取值范围 【分析】对于A：利用离心率的定义直接计算；对于B：利用基本不等式求出的最小值为，即可判断；对于C：利用基本不等式直接计算；对于D：先求出.三角换元后利用三角函数求最值. 【详解】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则. 由共轭双曲线的定义可得：双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为. 所以. 对于A：，即.所以， 所以.故A正确； 对于B：（当且仅当时等号成立）， 所以的最小值为.故B错误； 对于C：（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值为4.故C正确； 对于D：因为，，所以. 不妨设，则（当且仅当，即时等号成立）.故D正确. 故选：ACD 23．BCD 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由题意可知，用和表示，，根据双曲线的性质和离心率求出离心率范围即可求解. 【详解】设，则由题意可知，连接， 因为，所以， 由，得， 因为， 所以，即双曲线的离心率的范围为， 故选：BCD 24．BC 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线的定义判断选项A；由，求的离心率的取值范围判断选项B；求到渐近线的距离与的关系判断选项C；分类讨论是等腰三角形时的条件，验证顶角是否为，判断选项D. 【详解】，A选项错误； 因为，所以的离心率，B选项正确； 设，则到渐近线的距离，C选项正确； 由双曲线定义可知，若，则直线的斜率为1且点在的右支上， 由可知直线与的右支无交点，所以，若， 由对称性易知也不存在点使得是顶角为的等腰三角形，D选项错误， 故选:BC. 25．ACD 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】将点代入双曲线即可判断A选项，然后结合题干信息得到。从而可求出离心率的范围进而可判断D选项，再结合的范围利用放缩即可判断C选项，联立根据即可判断B选项，进而可得出结果. 【详解】A选项：将点代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，故A选项正确； D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，所以，解得，所以.因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是，D选项正确； C选项：双曲线的一条渐近线为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，故C选项正确， B选项：联立，得，即，则，由C选项得，，此时，故B选项错误. 故选：ACD. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 26．ABD 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，，，不妨设M在第一象限．，，，，． .根据余弦定理、同角三角平方关系和三角形面积公式可判断A；根据不同的条件结合余弦定理和离心率公式计算判断其余选项； 【详解】设，，，，不妨设M在第一象限． ∴，，∴，，． . 对于A，在中，由余弦定理可得， ， ，A正确． 对于B，在中，由余弦定理可得， 即， ∴． ∴ ∴，∴．B正确； 对于C，当时， 即，所以，所以．∵， ∴．设，∴， 所以．C错误； 对于D，，记， ∴，即．D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是经过计算变形得到，，．，结合这些条件即可判断选项. 27．BD 【知识点】判断方程是否表示椭圆、求双曲线的焦距、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】取判断A；根据双曲线的定义以及性质判断BCD. 【详解】对于A，当时，表示圆，不是椭圆，故A错误； 对于B，当曲线为焦点在轴上的双曲线时，，解得，故B正确； 对于C，当时，，此时曲线为焦点在轴上的双曲线，，则焦距不是定值，故C错误； 对于D，由C选项可知，，，令，则，故D正确； 故选：BD 28． 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、双曲线的对称性、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，再结合得为直角三角形，设直线倾斜角为，从而求得离心率，求解函数的值域即可得范围. 【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则. 因为直线过原点，由对称性，原点平分线段， 又原点平分线段，所以四边形为平行四边形. 在和中，分别有中位线，，， 因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形. 不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且， 在Rt中可得：， 所以， 因为，所以， 又在上为增函数， 所以. 故答案为：    29． 【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围 【分析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知轴，设，又在渐近线上，可得，利用，和离心率的取值范围可得答案围． 【详解】由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限， 由轴，可知轴，所以可设， 又在渐近线上，所以，所以， 因为的离心率的取值范围是， 所以， 又，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，利用求解. 30． 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围． 【详解】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点， 所以，代入， 得， 当且仅当时取等号，即， 又点是双曲线左支上任意一点，所以， 即：. 故答案为：． 31． 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先表示出点B的坐标，然后代入双曲线的渐近线方程，可得的范围，然后可得结果. 【详解】因为点A是圆上一个动点，所以设， 则，不妨设双曲线的一条渐近线方程为， 因为点B在双曲线的一条渐近线上，所以，即； 因为，其中， 因为，所以，即离心率. 故答案为： 32． 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】取直线的方程为，过点作于，则有，为等腰直角三角形，所以,,,由，可得，即可得，即可得出离心率的取值范围. 【详解】解：由题可知，点，如图所示，不妨取直线的方程为，过点作于，则到直线的距离， ，且， 为等腰直角三角形， ，， ，，， ，，即， 离心率， 令，，则，即]， ． 故答案为：. 33．2（写出中的任意一个实数即可） 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义及性质计算即可. 【详解】先证双曲线上一点到焦点的距离最小为. 设右支上一点，， 则， 由得. 由题意及双曲线的定义得， 故写出中的任意一个实数即可. 故答案为：2（写出中的任意一个实数即可）. 34． 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线定义，设，则利用基本不等式的性质，，根据等号成立条件，求得离心率取值范围. 【详解】设，则， 由双曲线的定义知，，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴当的最小值为时，，， 此时，解得，又， ∴， 故答案为： 35． 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设M，G分别是BC，BE与圆的切点，，设，在中，余弦定理求出，即可表示出、，在中，设，由余弦定理可得，，从而求解. 【详解】如图，设M，G分别是BC，BE与圆的切点，由圆的切线性质知， ，设， ，， 在中， ， 以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为， 以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为， 则， 在中，设，，，， 由余弦定理可知： 从而得到，. 由， ，． 【点睛】思路点睛： （1）充分利用所给图形，有利于分析数量关系； （2）借助“换元”，有利于从“数”的角度求解最值问题. 36． 【知识点】双曲线中x、y的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线的焦半径与焦点弦问题 【分析】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，先求出，，由条件可得，再根据，根据建立不等式从而可得答案. 【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则 则 同理可得 由，可得 ，又 所以，即，即 所以，即，即，即 所以，即 故答案为： 37． 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】连接，设，将梯形的周长表示成关于的函数，求出当时，有最大值，即可得到答案； 【详解】连接，设，， 作于点，则，， 所以， 梯形的周长． 当，即时，有最大值， 这时，，， ，． 故答案为： 38． 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】如图建立直角坐标系，设E，C，C点坐标代入，求出，由定比分点性质可求出E点坐标，将点C、E的坐标和代入双曲线方程化简可得，即可求出的取值范围. 【详解】以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，如图， 则CD⊥轴，双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 ，                                                    依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距， 是梯形的高，由定比分点坐标公式得：          ， 设双曲线的方程为，则离心率 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得： ，            ①     ②             由①式得  ， ③  ，将③式代入②式，整理得：     ， 故                       由题设得，， 解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 39．(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可； （2）设直线l的方程，与双曲线方程联立，以双曲线的实半轴长a和m表示A，B两点坐标，根据恒为锐角，转化为，代入坐标计算，由关于m的不等式恒成立，求得a的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，，所以， 则的离心率， 又，所以的离心率的取值范围是. （2）因为，直线的斜率不为零，所以可设其方程为. 结合， 联立得， 设，由韦达定理，得 由于两点均在的右支上，故，即. 则 . 由恒为锐角，得对，均有， 即恒成立. 由于，因此不等号左边是关于的增函数， 所以只需时，成立即可，解得， 结合，可知的取值范围是. 综上所述，的实轴长的取值范围是.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 答案第32页，共32页 答案第12页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $$