7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦立体几何基础与综合应用，以概念辨析-直观图-表面积-体积-组合体-最值为主线，系统覆盖一轮复习核心考点，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识复习|概念+公式|多面体/旋转体结构、直观图规则、表面积体积公式|从几何体结构到度量计算的逻辑链条| |典例一|4题|空间几何体基本概念辨析|通过反例强化对棱柱、棱锥、棱台等定义的准确理解| |典例二|4题|直观图与原图形转化计算|斜二测画法规则应用，培养几何直观| |典例三|6题|表面积计算（棱台、圆锥、圆台等）|结合展开图与公式，提升运算能力| |典例四|6题|体积计算（柱、锥、台、组合体）|运用体积公式及祖暅原理，强化空间度量能力| |典例五|6题|组合体表面积与体积|综合运用多几何体知识，培养综合应用意识| |典例六|4题|体积最值与范围|结合函数与几何，发展数学思维与创新意识|

7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（精讲） 第一部分：知识复习 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)特殊的棱柱 ①侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. ②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. ③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. ④底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. (3)正棱锥 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． (4)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于 一点 延长线交于 一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 2．立体图形的直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4．柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [常用结论] 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)． 2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 第二部分：典型例题 典例一：空间几何体的基本概念 1．（25-26高三上·浙江台州·期末）下列说法中正确的是（   ） A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．底面是矩形的直平行六面体是长方体 D．长方体、正方体都是正四棱柱 2．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）下列结论正确的是（     ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．以梯形的一条边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆台 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 3．（25-26高三上·河南许昌·期末）下列结论正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台 B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C．侧棱长与底面多边形的边长相等的正棱锥可能是正六棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 4．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题正确的是（   ） A．过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 典例二：空间几何体的直观图 5．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 6．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，四边形的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，，，则将四边形绕着旋转一周得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 典例三：空间几何体的表面积 9．（25-26高三上·吉林长春·期末）已知正三棱台上下底面边长分别为2，4，高为2，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知圆锥的底面半径为，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，截得的圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·福建福州·期末）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，则三棱锥的表面积为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·江西南昌·期末）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·广东广州·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与下底面所成角为，则该棱台侧面积为_________． 典例四：空间几何体的体积 15．（25-26高三上·福建福州·期末）如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 16．（25-26高三上·浙江台州·期末）圆台的上底面半径长为2，下底面半径长为3，侧面展开图的面积等于，则圆台的体积为________． 17．（25-26高三上·内蒙古阿拉善·期末）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台. 如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为__________. 18．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，则三棱锥与三棱柱的体积之比为__________． 19．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为等边三角形，平面平面，E为的中点，则三棱锥的体积为________． 典例五：组合体的表面积和体积 21．（25-26高三上·辽宁大连·期末）某博物馆馆藏一件正四棱台形礼器，上底面边长为分米，下底面边长为分米，且侧棱长为分米，文物修复计划制作恰好完整包裹器物的球形防尘保护罩（即几何体的外接球），则该球形防尘保护罩的表面积（单位：平方分米）（     ）    A． B． C． D． 22．（25-26高三上·辽宁·期末）《九章算术》成书于西汉末年，又经众多学者的整理、删补和修订，是几代学者智慧的结晶．它对数学知识由易到难、由浅入深、从理论到实践的编排体例，使它成为后世数学学习者的启蒙教材．其中卷五商功中[卷五-18]今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？[卷五-19]今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？在解决过程中“公式-应用”的结构体现尤为明显．我们按照前人的思路来看下面问题：注释：[1]刍甍：盖上草的屋脊．这里指底面为矩形的屋脊状楔体；[2]刍童：上下底面皆是长方形的几何体． (1)如图几何体是底面为矩形的屋脊状楔体，平面，，，高为h，，求这个几何体的体积； (2)上下底面皆是长方形的几何体，丈，丈，高丈，丈，丈，求这个几何体的体积． 23．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在三棱锥中，，，，分别为所在棱的中点，如图，四边形把三棱锥分成两部分，则多面体与多面体的体积之比为______． 24．（25-26高三上·黑龙江·期末）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，则将四边形ABCD绕着AB旋转一周得到的旋转体的体积为（    ） A．28π B．48π C．56π D．60π 25．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）（1）已知八面体的每个面都是正三角形，并且四个顶点A， B， C， D在同一平面内，ABCD是边长为30cm的正方形，求该几何体的表面积. （2）在中，，求将绕所在的直线旋转一周所得的几何体的体积. 26．（25-26高三上·山东菏泽·期末）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，以直线AD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 典例六：空间几何体体积的最值与范围问题 27．（2026·福建福州·模拟预测）三棱锥中，，且，，则三棱锥体积的最大值为________． 28．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 29．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2026·湖南衡阳·二模）已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（精讲） 第一部分：知识复习 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)特殊的棱柱 ①侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. ②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. ③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. ④底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. (3)正棱锥 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． (4)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于 一点 延长线交于 一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 2．立体图形的直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4．柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [常用结论] 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)． 2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 第二部分：典型例题 典例一：空间几何体的基本概念 1．（25-26高三上·浙江台州·期末）下列说法中正确的是（   ） A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．底面是矩形的直平行六面体是长方体 D．长方体、正方体都是正四棱柱 【答案】C 【详解】对于A，棱台的所有侧棱延长线必须交于一点，如图满足题意，但不是棱台，A错误；    对于B，斜二测画法保持图形的平行性不变，梯形有且仅有一组对边平行， 因此梯形的直观图只有一组对边平行，不可能是平行四边形，B错误； 对于C，底面是矩形的直平行六面体是长方体，C正确； 对于D，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，所以正方体是正四棱柱， 长方体的底面不一定是正方形，所以长方体不一定是正四棱柱，D错误. 2．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）下列结论正确的是（     ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．以梯形的一条边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆台 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【答案】D 【分析】根据立体图形的定义进行判断． 【详解】底面是正多边形，侧棱相等的棱锥叫做正棱锥，故A选项错误； 以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆台，故B错误； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故C错误； 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线，D正确． 3．（25-26高三上·河南许昌·期末）下列结论正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台 B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C．侧棱长与底面多边形的边长相等的正棱锥可能是正六棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 【答案】D 【详解】对于选项A：如图所示，上下底面四边形的比例不同，该几何体不是四棱台，故A错误； 对于选项B：如图所示，两个共底面三棱锥拼接而成，该几何体不是三棱锥，故B错误； 对于选项C：设正六棱锥的底面正六边形的中心为，则， 可知，即正六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，故C错误； 对于选项D：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥，故D正确. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题正确的是（   ） A．过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 【答案】BCD 【详解】当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故A错； 球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径，B正确； 用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，C正确； 根据球的半径的定义可知D正确． 典例二：空间几何体的直观图 5．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可. 【详解】如图过作， 由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即，即C错误； 还原平面图为下图， 即，即A正确； 过作，由勾股定理得， 故四边形ABCD的周长为：，即B错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 6．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法概念结合题设可得答案. 【详解】根据斜二测画法可知，， 则． 7．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，四边形的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，，，则将四边形绕着旋转一周得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由斜二测画法规则，得四边形为直角梯形，，， 因此将四边形绕着旋转一周得到的旋转体为上、下底面半径分别为，高为6的圆台， 所以所求体积为． 8．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 四边形是正方形的直观图，在轴上且，根据斜二测画法规则，平行于轴的线段长度不变， ∴ 原正方形的对角线. ∴ 原正方形的面积. ∵ 斜二测画法中，直观图面积与原图形面积的比例为， ∴ 四边形的面积. 典例三：空间几何体的表面积 9．（25-26高三上·吉林长春·期末）已知正三棱台上下底面边长分别为2，4，高为2，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】上底面边长为2，面积， 下底面边长为4，面积， 上底面边心距， 下底面边心距， 已知，斜高， 一个侧面的面积， 故表面积为：． 10．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知圆锥的底面半径为，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，截得的圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用相似关系得到截面圆半径和圆台的母线长，再分别计算圆台的侧面积、上底面积与下底面积，求和即可得到圆台的表面积. 【详解】已知原圆锥底面半径，高，由勾股定理得母线长. 由于截面过高的中点且平行于底面，截得的小圆锥与原圆锥的相似比为， 因此小圆锥底面半径，母线长，可得圆台的母线长. 上底面积；下底面积； 侧面积， 因此圆台的表面积. 11．（25-26高三上·福建福州·期末）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，则三棱锥的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合直角三角形面积公式推理求解. 【详解】取中点，连接，由，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 而平面，于是，由平面，平面， 得，又平面，因此平面， 而平面，则，又，则， 所以三棱锥的表面积为. 12．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥的表面积公式和侧面展开图，列出等式求得半径和母线长，即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 侧面展开图是一个半圆，，即， 圆锥的表面积为，， ，，圆锥的高. 13．（25-26高三上·江西南昌·期末）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】已知底面半径，底面周长为，该周长等于侧面展开扇形的弧长， 设母线长为，已知侧面展开圆心角为，则，解得. 底面积，侧面积， 则总表面积. 14．（25-26高三上·广东广州·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与下底面所成角为，则该棱台侧面积为_________． 【答案】 【分析】先根据侧棱与下底面的夹角求出正四棱台的高，再求出侧面等腰梯形的斜高，最后代入侧面积公式计算. 【详解】记正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则为棱台的高，记为 过作于，由正四棱台的性质可知垂直下底面， 故为侧棱与下底面所成的角，即， 已知上底面边长为2，下底面边长为4，因此上底面对角线，下底面对角线， 可得 ，在中，， 过作于，过作于，连接，则为侧面等腰梯形的斜高，记为， 过作于，则，， 在中： ， 正四棱台侧面积为4个全等等腰梯形的面积和，代入侧面积公式： . 典例四：空间几何体的体积 15．（25-26高三上·福建福州·期末）如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 【答案】 【详解】设底面正三角形的边长为，其面积为 当侧面水平放置时，水面与交于，与交于，由水面平行于侧面得，故， 由得相似比，因此 水的横截面积为梯形ABED的面积： 正三棱柱侧棱长为，故水的体积为 当底面ABC水平放置时，设水面高度为，水形成底面积为、高为的正三棱柱，因此 代入得 16．（25-26高三上·浙江台州·期末）圆台的上底面半径长为2，下底面半径长为3，侧面展开图的面积等于，则圆台的体积为________． 【答案】 【分析】利用圆台侧面展开图面积计算公式计算出母线长，再计算出高，最后求得圆台的体积. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为，那么 ，， 如图所示，四边形为圆台轴截面，为上底面圆心，为下底面圆心，作于点，则, 所以, 故. 17．（25-26高三上·内蒙古阿拉善·期末）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台. 如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为__________. 【答案】 【分析】设原正四棱台的高为，根据米的高度下降一半，确定剩余米和取出米分别构成两个高为的正四棱台，利用棱台轴截面梯形的中位线性质求出中间截面边长，分别计算两部分的体积比，结合质量与体积成正比求解. 【详解】设原盛满米的正四棱台容器的高为，上底面边长，下底面边长. 由题意可知，取出米后，米的高度下降一半， 则剩余米的部分是一个高为的正四棱台， 取出米的部分也是一个高为的正四棱台. 设高度下降一半处的截面（即剩余米的上底面）边长为， 由棱台的几何性质可知，该截面边长为上下底面边长的算术平均数， 即. 设米的密度为，剩余米的质量为. 取出米的体积为 ， 剩余米的体积为. 因为米的质量与体积成正比，所以， 解得. 故剩余的米的质量为. 18．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，则三棱锥与三棱柱的体积之比为__________． 【答案】 【分析】根据中点以及直三棱柱的特点将三棱锥的体积等价转换为容易计算的三棱锥的体积，从而可得两几何体的体积之比. 【详解】因为是的中点，所以， 又因为平面，所以， 又因为平面，所以， 所以，所以体积比为. 19．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积． 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线， 则圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 由，得，解得， 所以圆锥的体积． 20．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为等边三角形，平面平面，E为的中点，则三棱锥的体积为________． 【答案】/0.5 【分析】取AD中点作PO垂直底面，利用E为PC中点的性质，所求三棱锥P-BDE的体积等于三棱锥 P-BCD 体积的一半. 【详解】取的中点，连接,因为是边长为的等边三角形，所以， 且等边三角形的高 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，即是点到平面的高, 因为底面是边长为的菱形，，因此，且， 即是边长为的等边三角形，其面积 所以 因为为的中点，所以点、点到平面的距离相等， 因此三棱锥与三棱锥同底等高，体积相等，即 ， 又 ，因此 典例五：组合体的表面积和体积 21．（25-26高三上·辽宁大连·期末）某博物馆馆藏一件正四棱台形礼器，上底面边长为分米，下底面边长为分米，且侧棱长为分米，文物修复计划制作恰好完整包裹器物的球形防尘保护罩（即几何体的外接球），则该球形防尘保护罩的表面积（单位：平方分米）（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作正四棱台，先求出其高线的长，借助于直角梯形建立关于该几何体的外接球半径的方程，求出球的半径即得其表面积. 【详解】如图，正四棱台中，上下底面边长分别为，    设点是上下底面的中心，依题意，该几何体的外接球的球心在上，设其半径为， 在直角梯形中，易得， 则， 当O在棱台内部时，由，解得， 当O在棱台外部时，由，此时无解， 故该球形防尘保护罩的表面积为平方分米. 22．（25-26高三上·辽宁·期末）《九章算术》成书于西汉末年，又经众多学者的整理、删补和修订，是几代学者智慧的结晶．它对数学知识由易到难、由浅入深、从理论到实践的编排体例，使它成为后世数学学习者的启蒙教材．其中卷五商功中[卷五-18]今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？[卷五-19]今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？在解决过程中“公式-应用”的结构体现尤为明显．我们按照前人的思路来看下面问题：注释：[1]刍甍：盖上草的屋脊．这里指底面为矩形的屋脊状楔体；[2]刍童：上下底面皆是长方形的几何体． (1)如图几何体是底面为矩形的屋脊状楔体，平面，，，高为h，，求这个几何体的体积； (2)上下底面皆是长方形的几何体，丈，丈，高丈，丈，丈，求这个几何体的体积． 【答案】(1) (2)立方丈 【分析】（1）将几何体拆分为两个全等的四棱锥和一个三棱柱，由此利用棱锥和棱柱的体积公式进行计算； （2）可根据已知条件以及《九章算术》中刍童的体积公式，代入数值进行计算． 【详解】（1） 如图所示，将几何体拆分为两个四棱锥，和一个三棱柱； 四棱锥的底面，； 则， ； 故几何体体积为． （2）根据刍童的体积公式可知： ； 根据题意可知，上广，下广；下袤，上袤，高； 代入公式可得， 故几何体体积为立方丈． 23．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在三棱锥中，，，，分别为所在棱的中点，如图，四边形把三棱锥分成两部分，则多面体与多面体的体积之比为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，将多面体SEHBGF分割为三棱柱与三棱锥，求出其体积，进而求出多面体AEFCGH的体积，相比即可 【详解】取SB的中点为M，连接EM，FM，则，，， 从而平面平面HBG，故几何体为三棱柱， 四边形EFGH把几何体分为两部分，其中一部分是三棱柱与三棱锥的组合体． 设三棱锥的底面积为4s，高为2h，则三棱柱的底面积为s，高为h， 三棱锥的底面积为s，高为h， 多面体SEHBGF的体积为， 又， 所以多面体AEFCGH的体积为， 故多面体SEHBGF与多面体AEFCGH的体积之比为． 24．（25-26高三上·黑龙江·期末）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，则将四边形ABCD绕着AB旋转一周得到的旋转体的体积为（    ） A．28π B．48π C．56π D．60π 【答案】C 【详解】根据斜二测画法的性质，得出如图所示的四边形ABCD.易得四边形ABCD为直角梯形，则，，，所以将四边形ABCD绕着AB旋转一周得到的旋转体为上、下底面半径分别为2，4，高为6的圆台，所以所求体积为. 25．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）（1）已知八面体的每个面都是正三角形，并且四个顶点A， B， C， D在同一平面内，ABCD是边长为30cm的正方形，求该几何体的表面积. （2）在中，，求将绕所在的直线旋转一周所得的几何体的体积. 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）先计算每个面的面积，再乘以8即为表面积. （2）画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可. 【详解】（1）每个面的面积为； 所以该几何体的表面积. （2）由，得，为直角三角形. 如图(2)为绕旋转而成的旋转体，是两个同底面的圆锥，作，则底面半径为， 由，解得. 所以. 26．（25-26高三上·山东菏泽·期末）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，以直线AD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解三角形确定梯形各边长度及位置关系，发现，将旋转体分割为圆锥和圆台挖去圆锥的组合体，分别计算体积后求和． 【详解】在直角梯形 中，过点作于点， 因为，，所以 因为，所以， 因为，，所以四边形 为矩形，因此， 在 中，由余弦定理得：， 所以， 因为 所以，即 ， 该几何体由 和 绕直线旋转而成， （1） 绕直线旋转形成一个圆锥，底面半径 ，高 ， 所以该部分体积为； （2） 绕直线旋转形成的几何体为圆台挖去一个圆锥， 如图，直角梯形绕直线形成圆台，绕直线形成圆锥， 因为，所以， 因为，所以，作所在直线，所以， 所以可得圆台的上底半径，下底半径，高， 所以圆台体积 小圆锥体积 所以该部分体积为 综上，该几何体的体积为 典例六：空间几何体体积的最值与范围问题 27．（2026·福建福州·模拟预测）三棱锥中，，且，，则三棱锥体积的最大值为________． 【答案】 【分析】将三棱锥体积表示为两个三棱锥体积之和，最后将体积的最大值转化为和 的公垂线段的最大值. 【详解】    设是和的公垂线段，则，因为，，平面，所以平面， 设，所以三棱锥体积， 因此，体积最大值等价于的最大值； 在中，，，由正弦定理：， 其中是外接圆的半径，则， 点的轨迹是一个过两点半径为的圆的弦所对的优弧， 弧上的点到的最大距离出现在弧的最高点（离最远的位置）， 此时为等边三角形（）， 点到的距离， 同理，点到的最大距离，此时是等腰三角形， 因为平面，所以，因为此时为等边三角形， 所以是的中点， 因为此时 是等腰三角形，所以是的中点，此时 ， 所以， 所以三棱锥体积的最大值为. 28．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及共面定理可得，由等体积法求得,,根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】由于四边形是平行四边形，可得, 则, 根据题意, 而,,,四点共面， 所以，可得， , , , 当且仅当，即时取等号. 29．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据面面垂直得出线面垂直，再应用三棱柱的体积公式结合三角函数值域计算求解. 【详解】取中点中点，，则， 由平面，平面平面，平面平面得平面， 由勾股定理知，可得， 设，可得， 同理，由知． 由勾股定理得， 于是三棱柱的体积， 记， 结合二次函数单调性可得，于是． 30．（2026·湖南衡阳·二模）已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面内的点都满足，再去证明动点M在以为圆心，以为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题. 【详解】如图所示，设， 在正方体中，平面，因为平面， 所以，又，平面， 所以平面， 因为是线段的中点，，则， 所以点在平面内，即，    又因为，所以点在以点为球心，1为半径的球面上， 而，则平面， 所以到平面的距离为，由正方体的边长为1，则， 因为平面，所以，则， 所以在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 则到平面的距离的最小值为，最大值为1， 而正方形的面积为1， 所以四棱锥体积的最小值为， 最大值为， 则四棱锥体积的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $