19.双曲线中渐近线综合问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

19.双曲线中渐近线综合问题 1．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建·模拟预测）已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 3．（2023·山东威海·一模）已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，右焦点到渐近线的距离为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·山西临汾·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·天津和平·二模）设、分别为双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过点，若在双曲线右支上存在点，满足，且点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则点到该双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 8．（2024·云南曲靖·一模）已知双曲线，过其右焦点作一条直线分别交两条渐近线于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·贵州遵义·三模）过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高三下·河南·阶段练习）设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，A是的一个顶点，是与A不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误的是（    ） A．的一条渐近线的斜率为 B． C．（分别为直线的斜率） D．若，则恒成立 12．（22-23高二下·陕西西安·期末）如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与双曲线左支的交点满足，则双曲线的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 13．（2023·天津河北·一模）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的上下焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若直线与圆E：相切，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高三上·北京东城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（    ） A． B． C． D． 16．（2023·河北唐山·一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，第一象限的点M在双曲线C上，且，线段与双曲线C的左支交于点N，若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2021·广东广州·二模）已知双曲线的左､右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（2023·山东·一模）已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（    ） A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 19．（2023·山西·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 20．（2023·广东广州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（    ） A．若的两条渐近线相互垂直，则 B．若的离心率为，则的实轴长为 C．若，则 D．当变化时，周长的最小值为 21．（22-23高三下·重庆渝中·阶段练习）双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点到渐近线的距离是3 B．若，则的面积是9 C．直线的斜率为，直线的斜率为，则 D．过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为 22．（23-24高三上·江苏·阶段练习）双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（    ） A．存在直线，使得 B．在运动的过程中，始终有 C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值 D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为 23．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（    ） A．为定值 B．O、P、M、N四点一定共圆 C．的最小值为 D．存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线 24．（2023·河北石家庄·三模）已知曲线为上一点，则（    ） A．与曲线有四个交点 B．的最小值为1 C．的取值范围为 D．过点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率 25．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知曲线，以下说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是两条直线 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是圆，其半径为 26．（2024·广东深圳·二模）已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为 ；的取值范围为 ． 27．（2023·江苏·三模）已知F1，F2，分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为 ． 28．（22-23高三下·上海嘉定·阶段练习）定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为 . 29．（2024·湖北·模拟预测）已知正方形的边长为，两个点，（两点不重合）都在直线的同侧（但，与在直线的异侧），，关于直线对称，若，则面积的取值范围是 . 30．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为 . 31．（21-22高三上·广东揭阳·期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则 . 32．（2024·辽宁·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为记以为直径的圆与C的渐近线在第一象限交于点P，点Q为线段与C的交点，O为坐标原点，且，则C的离心率为 . 33．（2024·北京延庆·一模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 34．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 35．（2023·辽宁沈阳·一模）已知双曲线的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为，过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，点A，C在第一象限，O为坐标原点． (1)求双曲线E的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求的取值范围． 36．（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 试卷第8页，共8页 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A D B B B B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D B B B C D C ABD AB ACD 题号 21 22 23 24 25 答案 ABD BD ABC BCD BC 1．D 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求点到直线的距离、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 2．D 【难度】0.65 【知识点】平面解析综合、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设与渐近线交于，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得的面积. 【详解】 设与渐近线交于，则，，， 所以，， 由分别是与的中点，知且，即， 由得，所以， 故选：D 3．D 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程. 【详解】如图所示，不妨设在左支， 设右焦点为，连接， 由对称性知四边形为平行四边形， 由得， 由双曲线定义知：， 所以， 因为，所以 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，即，所以， 则C的渐近线方程为. 故选：D 【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式. 4．A 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由焦点到渐近线的距离为，可得，结合双曲线定义与可得，即可得圆的面积. 【详解】如图，因为右焦点到渐近线的距离为，故， 作于点于点， 因为与圆相切，所以， 因为，即， 在直角中，， 又点在双曲线上，由双曲线的定义可得： ，整理得， 因为，所以，圆的面积. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作于点于点，从而结合双曲线定义与直角三角形的性质可得，即可得圆的面积. 5．D 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为，结合弦长可得，运算求解即可. 【详解】设双曲线的半焦距为， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线为， 因为圆的圆心为，半径， 可知圆关于x轴对称，不妨取渐近线为，即， 则圆心到渐近线的距离，可得， 又因为圆与双曲线C的一条渐近线相交弦长为， 由题意可得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D. 6．B 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】取的中点，连接，分析可得，，利用双曲线的定义结合已知条件可得出三边边长，利用勾股定理可求得的值，进而可求得的值，最后利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】取的中点，连接，如下图所示： 易知抛物线的准线方程为，则、， 因为双曲线的右支上存在点，使得， 又因为为的中点，所以，， 由双曲线的定义可得，则， 由题意可知，， 由勾股定理可得，即， 所以，，故，可得， 所以，， 双曲线的右焦点到渐近线的距离为. 故选：B. 7．B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】数形结合，设，分别联立直线与双曲线，直线与直线可分别解得点的纵坐标,再根据点是中点，由中点坐标公式即可解得关系，从而可得双曲线C的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设，如图， 直线与双曲线联立方程组，解得： ，即， 点的纵坐标为， 直线与直线联立方程组，可得 ， 点的纵坐标为， 由于点是中点，由中点坐标公式可得， ，， 即. 故选：B. 8．B 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由题设有双曲线渐近线为，，且，求坐标，根据得到齐次方程，即可得渐近线. 【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为，，则直线， 故，可得，故，即， 又三角形BOF为等腰三角形，所以，则， 整理得，即双曲线的渐近线方程为. 故选：B    9．B 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、由双曲线的离心率求参数的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】 由双曲线的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由于双曲线的渐近线为， 且注意到双曲线的离心率为， 又在双曲线中有平方关系：， 所以离心率为， 又由题意， 所以有，解得， 即双曲线的渐近线的斜率为， 由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是或. 故选：B. 10．B 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据题意及图形可求出渐进线的倾斜角，即可得答案. 【详解】如图，设双曲线右焦点为，OM，ON为双曲线的两条渐进线. 由题意可知，，又，则M为FN中点，则为等腰三角形， 则，又，则. 所以双曲线的渐进线方程为：. 故选：B    11．D 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的定值问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】A选项，由等比中项的性质得到离心率，进而得到，A正确；B选项，求出和的斜率，得到，得到；C选项，利用点差法得到；D选项，设直线，与双曲线方程联立，求出，再求出，计算出，判断出结论. 【详解】A选项，因为成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），所以，所以，即的一条渐近线的斜率为，故正确； B选项，不妨设为左焦点，为虚轴的上端点，则A为右顶点， 则的斜率的斜率，所以， 所以，故B正确； C选项，设，则， 作差后整理得，即， 所以，故C正确； D选项，设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则， ， 将换成得， 则与的值有关，故D错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 12．B 【难度】0.4 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、正弦定理解三角形 【分析】在和中，由正弦定理结合已知条件可得，设，由双曲线的定义和勾股定理可得，再由即可求得结果. 【详解】在中，由正弦定理得，①， 在中，由正弦定理得，②， 因为，所以， 所以①式与②式相比，得 ， 因为， 所以， 所以， 设，则 由双曲线的定义得，， 因为，所以， 所以，解得， 在中，由勾股定理得， 所以，得， 所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率，考查的关键是在和中利用正弦定理结合已知条件可得，再利用勾股定理和双曲线的定义可求得的关系，考查数学计算能力，属于较难题. 13．B 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、求点到直线的距离 【分析】设渐近线的倾斜角为，则，由点到直线的距离和双曲线的性质得到，再由题中几何关系得到，解方程即可求出. 【详解】 设渐近线的倾斜角为，则， 又到渐近线的距离为， 又，所以， 所以，所以， 所以， 即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 14．B 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、由直线与圆的位置关系求参数、双曲线定义的理解 【分析】根据题意画出图象，利用直线与圆相切以及三角形相似即可求出，再由勾股定理即可得，可得渐近线方程. 【详解】如下图所示： 设直线与圆E：相切于点，且圆心，半径； 因为以为直径的圆过点，所以， 又圆E与直线的切点为，所以，从而； 由，得，所以， 又，所以，解得， 因此渐近线的方程为， 故选：B． 15．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦距、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线的渐近线方程为，所以.再结合题意可得到，解出，即可求得的焦距. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，的面积为4， 所以，解得，， 所以，即的焦距为. 故选：C. 16．D 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由，可得，由结合双曲线定义可得，，最后利用勾股定理可得a，c，即可得答案. 【详解】双曲线C：的左、右焦点分别为，，第一象限的点M在双曲线C上，且，故在以直径为的圆上，故. 因线段与双曲线C的左支交于点N，, 则， ，. 则在直角三角形中，由勾股定理可得： ， 则，又，，则在直角三角形中， ，则 ，则双曲线C的渐近线方程为：. 故选： 17．C 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理求外接圆半径 【分析】设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值， ， ， ， 当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值， 点的坐标为，代入，可得 ，即，即 ． 所以双曲线的渐近线方程为：． 故选：C 【点睛】方法点睛：本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题 18．ABD 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、等轴双曲线、求投影向量 【分析】由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判断A，由已知可得渐近线的倾斜角为，可判断B，设，解得，可得，可判断C，设,可得，代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D. 【详解】对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|, Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，， 为等轴双曲线，故B正确； 对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，， ，，，，故C错误； 对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，， ，在双曲线上，，，， 的渐近线方程为，即，故D正确. 故选：ABD 19．AB 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、余弦定理解三角形、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】先根据抛物线方程得出的坐标，即的值，进而求出，得出双曲线的方程.即可得出A项；联立双曲线与抛物线的方程，求出点坐标，即可求得的值，判断B项、得出的面积，判断C项、求得的值，根据余弦定理，得出的值，判断D项. 【详解】 由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以， 所以，双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的的渐近线方程为，故A项正确； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程， 整理可得，，解得或（舍去负值）， 所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项错误； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：AB. 20．ACD 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中的弦长、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确； B选项，若的离心率为， 解得，所以实轴长，故B错误； C选项，若，则， 整理得，故C正确； D选项，根据双曲线的定义可知，， 两式相加得， 所以周长为， 当时，取得最小值， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以周长的最小值为，故D正确. 故选：ACD 21．ABD 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据点到直线的距离公式即可判断A，根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解B，利用反例即可说明C，根据面积公式即可求解D. 【详解】因为焦点到渐近线的距离是，故A正确； 时，则，故， 由勾股定理得 得， 则，所以， 由三角形的面积公式可得，故B正确； 当时，，当M在右顶点时，，故不是定值，故C错误； 过右顶点B作的平行线交：于P点，则，故， 则的面积为，解得，则双曲线的离心率为，故D正确， 故选：ABD. 22．BD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线：分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出和 坐标，从而可对B、C项判断；根据，求出，从而可对D项判断. 【详解】对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误； 对于B项：设直线:，与双曲线联立，得：， 设，，由根与系数关系得：，， 所以线段中点， 将直线：，与渐近线联立得点坐标为， 将直线：与渐近线联立得点坐标为 所以线段中点， 所以线段与线段的中点重合，所以，故B项正确； 对于C项：由B项可得，，因为为定值， 当越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷， 所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误； 对于D项：联立直线与渐近线，解得， 联立直线与渐近线，解得由题可知，， 所以即 ，解得，所以，故D项正确. 故选：BD. 23．ABC 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、双曲线中的定值问题、数量积的运算律 【分析】根据点到直线距离计算可判断A选项，根据对角互补判断四点共圆判断B选项，应用平面向量的数量积运算结合双曲线的性质判断C选项，根据双曲线对称性判断D选项. 【详解】设，点到渐近线的距离为， 同理，则， ，即， （定值），故A正确； 当M、N均不与O重合时，由，和均为直角三角形， 故M，N两点在以OP为直径的圆上； 当M、N有与O重合时，也满足O、P、M、N四点共圆．故B正确； 由双曲线的对称性可知， 其中， ，成立，故C正确； 如图， 利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为M； 直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，故D不正确． 故选：ABC． 24．BCD 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的切线方程 【分析】分象限讨论得出曲线图象，数形结合判断A，根据图象及椭圆、双曲线性质可知离原点最近的点判断B，利用平行线间的距离可判断C，求切线斜率结合图象判断D. 【详解】当时，曲线方程为，即，曲线为双曲线一部分， 当，曲线方程为，曲线不存在， 当，曲线方程为，即，曲线为双曲线一部分， 当，曲线方程为，即，曲线为椭圆一部分， 综上，作曲线图象，如图， 对A，由双曲线方程可知，渐近线方程为，直线与渐近线平行或重合，作渐近线的平行线，由图象可知，直线与曲线不存在四个交点，故A错误； 对B，由双曲线、椭圆顶点性质可知，曲线上与原点距离最近的点为B，由曲线方程知，所以的最小值为1，故B正确； 对C，表示曲线上的动点到直线的距离，可转化为两平行线与直线间的距离，且与曲线有交点， 联立，可得， 由，可解得或（舍去）， 结合图象可知，， 即，故C正确； 对D，由在曲线的切线上， 设过点M与相切的直线方程为， 联立，消元得：， 所以， 化简可得，解得或（与双曲线左支相切，不满足题意，舍去）， 由图象可知，当直线斜率满足时，直线与曲线有3个交点，故D正确. 故选：BCD 【点睛】难点点睛：本题第一个难点在于通过分象限讨论，去掉绝对值得出曲线方程，再由曲线方程画出曲线图象；第二个难点在于解题中充分应用曲线在第一象限及第三象限的图象为双曲线部分，且具有相同的渐近线；第三个难点在于求过点与第一象限双曲线相切时，计算量繁琐，基本不能完成. 25．BC 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据，结合椭圆的标准方程即可判断A；时，方程化为，即可判断B；根据条件结合双曲线标准方程以及双曲线渐近线方程可判断C；结合圆的方程判断D. 【详解】对于A，若，则化为， 则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A错误； 对于B，若，即为，即， 即是两条直线，B正确； 对于C，若，不妨设，则化为， 则表示焦点在x轴上的双曲线，， 故其渐近线方程为； 同理当，则化为， 则表示焦点在y轴上的双曲线，， 故其渐近线方程为； 综合知是双曲线，其渐近线方程为，C正确； 对于D，若，则即为， 则是圆，其半径为或，D错误， 故选：BC 26． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足的位置，再由得到双曲线中的关系，即可得到渐近线的夹角；根据对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可. 【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为. 设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.    根据三角形内心的性质可知，， 又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以点在双曲线的左支上，所以. 而， 所以， 所以为双曲线的左顶点. 所以， 所以，即， 所以，渐近线的倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角为. 又因为， 所以， 而， 所以. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据作出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解. 27． 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可. 【详解】易知MN关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴． ，，， ∴， ∴． 故答案为: . 28． 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、集合新定义 【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案. 【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点， 集合表示直线上的点， ，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为. 双曲线的渐近线为，不妨取，则，即， 平行线的距离，故或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键. 29． 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、数量积的坐标表示、求平行线间的距离、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】建立平面直角坐标系，由求出点轨迹，由轨迹特征求点到直线的距离的取值范围，可求面积的取值范围. 【详解】以为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 设，，所以，， 因为，所以，即位于双曲线的右支上，渐近线方程为或， 直线与直线：的距离为，即点到直线的距离的取值范围是， 又，所以面积的取值范围是. 因为不重合，故不重合，故面积不为，    故答案为：. 30． 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】先把图形画出来，根据已知条件得到为等腰三角形，然后作出辅助线证明，从而有，根据已知条件用含的式子分别表示，结合即可求解. 【详解】如图所示，    ∵∥， ∴， 又∵双曲线的渐近线关于y轴对称， ∴， 则， ∴为等腰三角形，作，垂足为M， 过点B作轴，交渐近线第一象限部分于点D， 则， 由等腰三角形三线合一可知， 且注意到， 由勾股定理得， 由相似三角形的性质可得， 所以， 整理可得， 又， 所以. 故答案为：. 31．1 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的切线方程、双曲线中的定值问题 【分析】根据切线方程及渐近线方程计算出关于点的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算求解. 【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点， 当时，过点的切线方程为， 当时，设过点的切线方程为，即， 代入双曲线方程化简为， 则且， 因为，所以，所以， 在点处的切线方程为，当也符合； 且点A，B又在切线l上 ， 故答案为：1 32．/ 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用以为直径的圆的方程，联立，求得P点坐标，利用，推出Q为的中点，求出Q点坐标，代入双曲线方程，得出的关系式，即可求得答案. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 渐近线方程为， 以为直径的圆的方程为，联立， 可得，即， 又，所以Q为的中点， 故，将坐标代入中， 得，即，即， 则，即C的离心率为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线的离心率的求解，解答的关键在于利用，推出Q为的中点，从而求得，进而结合双曲线方程，得出的关系式，即可求解. 33． 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的离心率化简变形即可求出渐近线的斜率得解. 【详解】因为， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为： 34．(1) (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据韦达定理求参数、求双曲线中的弦长、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程； （2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可. 【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③: 由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立. 35．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求点到直线的距离 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出的方程组，解得结果即可. （2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据题目条件，写出，根据的范围即可求出结果. 【详解】（1）设双曲线 的右焦点，渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离 又，则， ∴双曲线的方程为 . （2）设直线的方程为，设 联立方程得， 渐近线方程为 则A到两条渐近线的距离满足， 联立方程得   联立方程得 . 恒成立 即恒成立， ∴所求的取值范围为 36．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据韦达定理求参数、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）将代入曲线E得，故得，从而结合双曲线定义以及题意得，解出即可得解. （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，设，接着与曲线E联立方程结合韦达定理求得和，由得，与韦达定理结合即可求出，进而即可得直线的斜率. 【详解】（1）将代入，得， 所以，所以， 所以由题得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立，    故直线的斜率存在，且不为0，设，，， 联立， 则，且即， ， 又，所以，所以， 所以由得，解得，故， 故直线的斜率为或. 答案第36页，共36页 答案第6页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $$