18.直接法解决离心率问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

18.直接法解决离心率问题 1．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 3．（2017·全国·高考真题）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为                       A．2 B． C． D． 4．（2023·湖南·一模）如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·山西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 6．（2024·辽宁大连·一模）设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．（2013·浙江·一模）如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三下·湖北·阶段练习）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 9．（22-23高二上·福建泉州·期末）已知双曲线C的右顶点为A，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 10．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，其左右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在轴上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 11．（2023·浙江·二模）人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·山东济宁·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·福建漳州·三模）已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二上·河北保定·期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·山东德州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（2023·河北沧州·模拟预测）已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 17．（2024·湖北武汉·二模）斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高三上·广东深圳·期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 20．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（2017·全国·高考真题）若，则双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 22．（2023·山东青岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（     ） A． B．3 C． D． 23．（2023·天津滨海新·三模）已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 24．（2024·全国·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．2 25．（2023·湖北恩施·模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左右焦点，且到渐近线的距离为1，过的直线与C的左、右两支曲线分别交于两点，且，则下列说法正确的为（    ） A．的面积为2 B．双曲线C的离心率为 C． D． 26．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 27．（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（2023·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高三上·广东·阶段练习）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 30．（2024·辽宁·三模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．（2023·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．（2023·福建福州·模拟预测）已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（2023·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高二下·重庆荣昌·阶段练习）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．（2024·广东·一模）已知O为双曲线C的中心，F为双曲线C的一个焦点，且C上存在点A，使得，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．5 D．7 36．（2023·河南·模拟预测）已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（    ） A．2或 B．3或 C．2 D．3 37．（2023·河南·三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 39．（2023·山东·一模）已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（    ） A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 40．（22-23高三下·山东·开学考试）已知双曲线和圆，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．当时，双曲线与圆没有公共点 D．当时，双曲线与圆恰有两个公共点 41．（2021·辽宁铁岭·二模）设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B．的焦距是 C．的离心率为 D．的面积为 42．（23-24高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线：，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．直线，的斜率之积为2 D．存在点，使得 43．（2023·山西·模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．与面积之比为 C．与周长之比为 D．与内切圆半径之比为 44．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 45．（2023·北京丰台·一模）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则． ①双曲线H的离心率为 ； ②若，，CE交AB于点P，则 ． 46．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 . 47．（2024·河南信阳·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，且，，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 48．（21-22高二上·上海闵行·期末）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是、在第二、 四象限的交点，若， 则与的离心率之积的最小值为 ． 49．（23-24高三上·江苏南京·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为 ． 50．（2023·福建厦门·二模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ． 51．（2023·江苏·二模）设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为 52．（22-23高三下·浙江宁波·阶段练习）已知双曲线的渐近线与曲线相切.横坐标为的点在曲线上，过点作曲线的切线交双曲线于不同的两点. (1)求双曲线的离心率； (2)记的中垂线交轴于点.是否存在实数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 53．（2021·全国·模拟预测）双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|. (1)求C的离心率； (2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF. 54．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 55．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点. (1)求的离心率； (2)若△的重心为，点，求的最小值； (3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程. 试卷第12页，共12页 试卷第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B A C D C B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D D D A D B C C B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 C C B A D B D B C B 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 B D A A C D D AC ABD ACD 题号 41 42 43 答案 ACD AB BD 1．A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、双曲线中的通径问题 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 2．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点， 由双曲线的定义可得， 由，可得，，， 由可得， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 即有，化简可得， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 3．A 【难度】0.65 【知识点】双曲线的渐近线、双曲线的离心率 【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为， 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 4．D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、切线长、余弦定理解三角形 【分析】 根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解. 【详解】 设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为， 则， 由及双曲线的定义可知，， 故四边形是正方形， 得，于是， 故，所以， 于是，在中， 由余弦定理可得， 从而，所以. 故选：D. 5．B 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意分析可得，利用正弦定理结合角平分线可得，再根据双曲线的定义结合通径分析运算即可. 【详解】∵，则，可得， 分别在中，由正弦定理可得： ∵平分，可得，即， 且， 故，则， 所以， 又∵，则， 所以，整理得， 故，得，即， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 方法定睛：1.双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． 2.焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 6．A 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得点点距列方程得代入双曲线求出离心率. 【详解】设，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限， 因为，所以， 所以，又， 解得， 所以， 所以，解得，所以，代入双曲线方程得：， 解得，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A的坐标. 7．C 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率． 【详解】，不妨令，，， ，， 又由双曲线的定义得：，， ， ，． 在中，， 又，， 双曲线的离心率． 故选;C 8．D 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、图形的性质、平面向量综合 【分析】由可得.由，可得. 又由内切圆的圆心在直线上，可得，据此可得答案. 【详解】如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则， . 因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则 ，得.又DO为直角三角形斜边中线，则. 如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则. 又由切线性质，可知，则 . 则离心率为. 故选：D 【点睛】结论点睛：本题涉及以下结论： （1）极化恒等式：； （2）双曲线焦点三角形的内切圆圆心在直线上. 9．C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出，再由余弦定理求出，判断形状即可求解作答. 【详解】设双曲线的半焦距为c，直线的方程为，有，如图 即有，而，解得， 在中，由余弦定理得：， 因此，即有，而，则， 又，于是， 所以双曲线的离心率. 故选：C 10．B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意可得，，，，，，分别求出直线和的方程，从而得到直线和与轴的交点坐标，即可求出答案. 【详解】由题可得：，，，，，， 所以，直线的方程为：， 令，解得：，所以直线与轴交点为， 由于，则直线的方程为：， 令，解得：，所以直线与轴交点为， 因为直线与直线的交点在轴上，所以，解得：， 所以双曲线的离心率， 故选：B 11．D 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先确定的两条渐近线分别为，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线且，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率. 【详解】由的两条渐近线分别为， 所以该函数对应的双曲线焦点在夹角（锐角）的角平分线上， 设且，若分别是，的倾斜角，故， 故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角， 由，即， 整理得，可得（负值舍去）， 所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为， 故. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键. 12．D 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，为锐角，依题意可得，，再由，得到，又，利用勾股定理得到方程，即可求出，从而求出，最后求出离心率即可． 【详解】 设，为锐角， 因为，，所以，， ，，又， ， ， ， ， ， ，（负值舍去），， ，， 双曲线的离心率． 故选：D． 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 13．D 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据对称关系可知，，利用双曲线定义和向量数量积的定义可构造方程求得，由此化简，根据基本不等式取等条件可知，由双曲线离心率可求得结果. 【详解】不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，， 为中点，四边形为平行四边形，，； 设，，则 由得：，解得：； 在中，， ， （当且仅当时取等号）， 当取得最小值时，双曲线的离心率. 故选：D. 14．D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】连接,设,设 ，由题意推得，可得，根据,可得，在中，由余弦定理推得，从而求得 ，可得，进而求得双曲线离心率. 【详解】由题意知，连接,设,设 ， 由双曲线的定义可得， 点是双曲线与圆在第二象限的一个交点， 可得 ，则 ，即， 在 中， ， 由 ,则 ，由双曲线的定义可得 , 因为，故，所以， 在中， ， 由余弦定理可得：, 即，所以， 结合，可得 ， 所以，故 所以双曲线的离心率为，则， 故选；D 【点睛】方法点睛：求解双曲线的离心率问题，一般是要推出之间的关系式，即可求得离心率，本题中，结合题意连接,设,设，利用图形的几何性质，结合余弦定理，逐步求得 ，则问题得解. 15．A 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据直角三角形的性质可得出，推导出为等边三角形，求出、，利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】因为，则为线段的中点， 因为，则，则， 因为为的中点，，则， 所以，为等边三角形， 由勾股定理可得， 由双曲线的定义可得，即， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 16．D 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆的对称性、斜率公式的应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答. 【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为， 点在双曲线上，即，有，因此， 点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有， 即，于是，即直线与关于轴对称， 又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得， 显然，， ， 解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 17．B 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、二倍角的正切公式 【分析】设是中点，且，根据求得，再由得到直线倾斜角为，则直线倾斜角为，结合倍角正切公式求，进而求离心率. 【详解】由题设，双曲线的渐近线为，如下图， 若是中点，且， ，则，可得， 所以，则，而，则， 所以，若直线倾斜角为，则直线倾斜角为， 由，则，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：若是中点，应用点差法求得，即，由得直线倾斜角为，则直线倾斜角为为关键. 18．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】由题意，结合双曲线的定义以及角平分线定理可得，，，，，，在，中，由余弦定理结合，计算可得答案. 【详解】   可知，，得 设，则，由双曲线的定义可知：. 因为平分，所以，故， 又， 即有，，，，， 在，中，由余弦定理可得， ，， 由， 可得. 故选：C. 19．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据点到直线距离公式、余弦定理，双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】双曲线C的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，所以， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，即，因此，双曲线C的离心率为， 故选：C    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用互补两角的余弦值为零，进而运用余弦定理. 20．B 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】令，由题设知且求得，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与的切点的位置，进而求离心率. 【详解】由题设，又点与抛物线的焦点重合，即， 由，则，故，即， 如下图示，内切圆与△各边的切点为， 所以，又， 则， 所以为双曲线右顶点，又△的内切圆圆心的横坐标为4，即， 故，则，所以离心率为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用切线长性质推得，从而利用双曲线的对称性得到，进而得解. 21．C 【难度】0.65 【知识点】双曲线的离心率、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】， ， ， ， ，则，选C. 22．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】联立直线与C的方程，求出弦AB长，由求解即得. 【详解】显然直线与交于原点O， 由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则， 设点，而 由得，解得， 则， 则，化简得，即，， 解得， 则. 故选：C. 23．B 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答. 【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有，    由，直线的倾斜角为，得，则，， 又，则为正三角形，，因此点， 双曲线：过点的渐近线为，于是，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 24．A 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据内切圆于，可设，进而得，结合，可得，进而得，求得，判断出，由焦点三角形求得，即可求解. 【详解】设内切圆的半径为， 由，即，则, 设，则，则， 由，即， 则，则， ，则，故，同理得， 故，故， 则， 故，则， 则. 故选：A    【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 25．D 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】利用已知条件求出b的值，对于A：利用勾股定理结合双曲线的定义求出的面积，对于B：利用双曲线的离心率公式运算求解；对于C：先求，再利用平面向量数量积的运算性质运算求解；对于D：根据双曲线的定义结合勾股定理求出，代值计算即可. 【详解】设双曲线C的半焦距为， 因为双曲线C的焦点在x轴上，且， 则其中一条渐近线方程为，即，且， 则到渐近线的距离，可得. 对于选项A：因为，且， 可得，解得， 所以的面积为，故A错误； 对于选项B：双曲线C的离心率为，故B错误； 对于选项C：因为，可得， 所以，故C错误； 对于选项D：设，则， 因为，即，解得， 所以，故D正确； 故选：D. 【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 26．B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、平面向量共线定理证明线平行问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设与的交点为，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案. 【详解】解：如图，设与的交点为，， 因为，所以， 所以，由双曲线的定义可知：，， 因为，所以， 所以，， 所以，， 所以，在中，， 所以 ，由余弦定理有：， 代入，，，整理得， 解得，（舍）， 所以，,，， 所以，在中，由余弦定理有：， 代入数据整理得：， 所以，双曲线的离心率为：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到，进而在中结合余弦定理求得. 27．D 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为直线与C无公共点，所以，即， 所以，又，所以C的离心率的取值范围为. 故选：D.    28．B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则， 即:， 所以：，解得：， 所以：，故， 由，解得：， 所以：，故B项正确. 故选：B. 29．C 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据对称性的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合双曲线的定义及双曲线的离心率的公式即可求解. 【详解】关于渐近线的对称点在双曲线上，如图所示， 则.所以是的中位线， 所以,. 所以到渐近线的距离为 ，即， 在中， ，， 所以， 进而, 所以离心率. 故选：C. 30．B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，由双曲线的定义分别表示出，再由余弦定理结合双曲线的离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设，则， 由双曲线的定义可得， ， 在中，由余弦定理可得， 化简可得①， 在中，由余弦定理可得， 化简可得，即②， 联立①②可得，则双曲线的离心率为. 故选：B 31．B 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和向量数量积为0的条件，判定，结合已知条件得到，设出，表示出直角三角形的其余边，结合双曲线的定义表示出，利用建立方程求得，进而求得 ，然后利用勾股定理求得，从而得到，从而得到离心率的值. 【详解】如图，由，有， 可得，可得，有. 在Rt中，由， 不妨设，则，由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得， 解得，所以， 在Rt中，，可得， 故双曲线的离心率为. 故选：B. 【点睛】 32．D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可推出，设，由勾股定理可得，结合直线与以线段为直径的圆相交可得，由此结合的根的分布，列不等式即可求得答案. 【详解】设双曲线的右焦点为，则， 则，   为右支上的点，取的中点为B，连接，则， 设，则，则， 在中，， 即， 又直线与以线段为直径的圆相交，故， 设，则， 则需使，解得， 即双曲线离心率的范围为， 即的离心率的取值范围为， 故选：D 33．A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】由题意判断P点在双曲线右支上，推出，可得，从而利用在中求出，再结合三角形内角和推出，继而推出，由此可得答案. 【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，    因为，故P点在双曲线右支上，且， 故，而， 故， 在中，，即， 故， 由，且三角形内角和为， 故，则， 即，即， 所以的离心率的取值范围为， 故选：A 34．A 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】 根据得到为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求. 【详解】 设,，设的中点为， 由于，故,因此为直角三角形，故， 由于，所以，进而可得， 故或，由在双曲线渐近线上， 所以， 进而， 当时，,， 所以， 当时，,，所以不符合题意，舍去， 综上：故离心率为. 故选：A    35．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形 【分析】解三角形求出，根据双曲线的定义建立方程即可得解. 【详解】不妨设双曲线焦点在轴上，，另一个焦点为， 因为，所以为直角三角形， 因为，， 所以由余弦定理可得， 所以， 由双曲线定义可得，， 所以. 故选：C 36．D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线定义将转化为，数形结合即可求解. 【详解】设双曲线的下焦点为，可知， 则，即， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 由题意可得，且， 因为在上单调递增，且， 所以方程，且，解得， 则，所以双曲线E的离心率为. 故选：D.    37．D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得. 【详解】因为直线，所以， 由题可知的垂直平分线的方程为， 将与联立可得，即的中点坐标为． 设，，则，且，， 两式作差可得， 即，所以， 则双曲线的离心率为． 故选：D 38．AC 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 39．ABD 【难度】0.65 【知识点】等轴双曲线、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求投影向量 【分析】由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判断A，由已知可得渐近线的倾斜角为，可判断B，设，解得，可得，可判断C，设,可得，代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D. 【详解】对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|, Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，， 为等轴双曲线，故B正确； 对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，， ，，，，故C错误； 对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，， ，在双曲线上，，，， 的渐近线方程为，即，故D正确. 故选：ABD 40．ACD 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A、B，求出圆心到渐近线的距离，即可判断C，设双曲线上的点的坐标为，表示出的距离，即可得到圆心到双曲线上的点的距离的最小值，从而判断D. 【详解】解：由已知得，，则，所以双曲线的离心率，故选项A正确； 双曲线的渐近线方程为，即，故选项B错误； 因为圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以当时，圆与双曲线的渐近线相切，此时双曲线与圆没有公共点，故选项C正确； 设双曲线上的点的坐标为，，则圆心到点的距离为 ，当且仅当时取等号， 所以圆心到双曲线上的点的距离的最小值为，且双曲线上只有两个点到圆心的距离为， 所以当时，双曲线与圆恰有两个公共点，故选项D正确． 故选：ACD 41．ACD 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案. 【详解】设，则，，离心率，选项C正确， ∴，，选项A正确， ，选项B错误， 设，将代入得， 的面积为，选项D正确， 故选:ACD. 42．AB 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线的对称性 【分析】根据双股曲线方程求出离心率判断A；取特殊点判断B；设，求出的坐标，进而求出直线，的斜率之积，判断C；利用两点间距离公式表示出，令其等于，结合双曲线方程可判断D. 【详解】对于A，由双曲线：，得， 故，A正确； 对于B，双曲线：的渐近线为， 则四边形为矩形， 又双曲线右顶点为，到直线的距离均为， 故矩形为正方形， 即存在点，即M为双曲线右顶点时，使得四边形为正方形，B正确； 对于C，设，不妨设A在第一象限，B在第四象限， 由于，故可得的方程为， 联立，可得，则， 同理，可得的方程为， 联立，可得，则， 故，而， 故，C错误； 对于D，由以上分析可知， 同理, 故， 根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则， 故，令， 将代入，即有，显然不可能， 即双曲线上不存在点，使得，D错误， 故选：AB 【点睛】难点点睛：本题综合考查了双曲线性质的应用，解答的难点在于选项D的判断，解答时要注意根据点的坐标表示出的表达式，进而结合方程推出矛盾，判断该选项错误. 43．BD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断C；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断D，进而可得正确选项. 【详解】设，， 由双曲线的定义可得：，， 在中，由余弦定理可得：， 即，所以， 在中，由余弦定理可得：， 即，所以， 所以，，整理可得， 所以该双曲线的离心率为，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为，代入可得， 所以，，， 的周长为， ，， 所以，的周长为， 所以，和的周长之比为，C错； 对于D选项，设和的内切圆半径分别为、， 则，解得，D对. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 44． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 45． 2 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】①根据图形关系确定即可求解；利用面积之比，进而可求出，再根据求解. 【详解】①由题可得所以， 所以双曲线H的离心率为； ②，因为，且， 所以, 又因为，所以 所以， 所以, 因为,解得， 所以, 故答案为:2; . 46． 【难度】0.4 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】 设，线段AB的中点， 则，两式相减得， 所以①， 设，线段CD的中点，同理得②， 因为，所以，则三点共线， 所以，将①②代入得：， 即， 所以，即， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了双曲线离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合点差法表示出点的坐标，从而得到的关系式，即可求解. 47． 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线定义结合勾股定理可得. 【详解】依题意，，而O为线段的中点，且，所以P是的中点， 所以OP是中位线，所以，又，则， 由，所以点P在双曲线C的右支上，由， 令，则， 又，所以点Q在双曲线C的左支上， 由，又P是的中点， 所以，所以， 在中，由勾股定理可得，， 即，整理可得， 在，由勾股定理可得，， 即，化简，又， 所以，则． 故答案为：    48． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】设椭圆方程为， 双曲线方程为， 如下图，连接，所以为平行四边形， 由得，设， 在椭圆中，由定义可知：， 由余弦定理可知： ， ， 在双曲线中，由定义可知中：：， 由余弦定理可知： ， ， 所以， ，当且仅当时取等号， 所以， 所以与的离心率之积的最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点睛：在椭圆和双曲线中利用焦点三角形的面积建立等式是解题的关键. 49． 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意和双曲线定义求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化简得到，即可求得双曲线的离心率. 【详解】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，， 所以为等边三角形，所以 由双曲线定义得， 又由，解得， 则且， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 【点睛】求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法： ①直接求出、，可计算出离心率； ②构造、的齐次方程，求出离心率； ③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解． 50．2 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率. 【详解】设， 则，两式相减得， 即， 即 ， 所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以， 即，化简得，故. 故答案为：2 51． 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于、的方程即可求出离心率． 【详解】如图，    设为中点，， 由可知，， 由双曲线的定义可知， ， 由可知， 又为中点，为中点，可知，则, 从而为线段的垂直平分线，， 即 ， 所以，则为正三角形，， 在直角△中，，即，所以 ． 故答案为：． 52．(1) (2)时存在；时不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）写出渐近线并联立曲线E，根据得，进而求离心率； （2）应用导数几何意义求点处曲线的切线方程，并联立曲线C，结合韦达定理求中点坐标，写出中垂线方程即可求M坐标，结合列方程求，注意满足切线与双曲线有两个交点. 【详解】（1）由题意，与曲线相切，消得：有唯一解， 所以得：，离心率. （2）由，故点作曲线的切线的斜率为，则， 所以方程为代入中，并整理得 ， 设，在， 易得的中点，故中垂线，则点. 若，则，即得， 此时 当，即时，存在实数，使得； 当，即时，不存在实数，使得. 53．(1)2； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可. 【详解】（1）设双曲线的离心率为e，焦距为2c，， 在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则， 所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2； （2）因为e＝2，所以， 所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0）， kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝， tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF. 【点睛】关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键. 54．(1) (2)直线与圆相交，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、判断直线与圆的位置关系 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解即可. （2）设，由点在圆上，得出，由的坐标，得出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，得点坐标，同理可得点坐标.从而得到直线方程，通过直线过定点，，从而得出点在圆内，故直线与圆相交. 【详解】（1）因为的离心率为，所以， 所以，渐近线方程， 因为点到一条渐近线距离为，所以，解得， 所以的方程为. （2）直线与圆相交，理由如下： 设，则， 因为点在以为直径的圆上，所以， 所以， 即，    由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立， 消去得，，因为直线与都有除以外的公共点， 所以，所以，即， 同理当，. ， 所以直线方程为：， 令得，， 即直线经过定点. 因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交. 55．(1) (2) (3)（去除点）. 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中的最值问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求平面轨迹方程 【分析】（1）将点代入双曲线的方程求出值，即可求得的离心率； （2）根据三角形的重心公式求得动点的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的最小值； （3）根据求动点的轨迹方程. 【详解】（1）因为双曲线经过点，所以，解得， 所以的离心率， （2）易知.设. 因为△的重心为 ，所以,解得, 因为，所以，即. 因为不共线，所以 且， 所以的轨迹不含两点. 故，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为. （3）因为为△的垂心，所以， 设， 当直线或的斜率为0时，点的坐标为或， 此时点与点重合，不合题意，舍. 当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在， 则， 由（2）知，则， 则. 因为，所以， ，则，得， 则，因为构成三角形，故不能在轨迹上， 综上，动点的轨迹方程为（去除点）. 答案第4页，共53页 答案第54页，共54页S 学科网（北京）股份有限公司 $$