17.相同渐近线方程的求法-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

17.相同渐近线方程的求法 1．（23-24高二上·江苏·阶段练习）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东聊城·二模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为，若直线与在第一象限内的交点为，且轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山东·阶段练习）与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三·全国·对口高考）与有相同渐近线，焦距，则双曲线标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二下·安徽滁州·期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·新疆伊犁·期中）与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．（10-11高二下·山东济南·开学考试）焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 A． B． C． D． 10．（22-23高二上·山西运城·期中）若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 11．（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）已知曲线：的焦点为，，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则的内切圆半径的最大值为 B．若，则曲线的焦点坐标分别是， C．若曲线的离心率为，则或 D．若曲线是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为，则 12．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，下列结论正确的有（    ） A．若的离心率为，则过点且与的渐近线相同的双曲线的方程是 B．若点，则的最小值为 C．过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值为 D．若直线与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为 13．（23-24高二上·江西九江·期中）过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ） A．存在四条直线，使 B．存在直线，使弦的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是 14．（22-23高二下·湖南·期末）已知双曲线：的左，右焦点分别是，，渐近线方程为，点在双曲线上，点为双曲线右支上任一点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．右焦点到渐近线的距离为6 C．过双曲线右焦点的直线与交于，两点，当时，直线有3条 D．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，为原点，则直线与直线的斜率之积为9 15．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）过双曲线：的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（    ） A．仅存在一条直线，使 B．存在直线，使弦的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是 16．（2021高三·全国·专题练习）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点 17．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是右支上一点，下列结论正确的有（    ） A．若的离心率为，则过点与的渐近线相同的双曲线的方程是 B．若点，则的最小值为 C．过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值为 D．若直线与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为 18．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．直线与有两个公共点 19．（22-23高三上·福建泉州·开学考试）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的焦点到渐近线的距离为1 D．直线与只有一个交点 20．（21-22高二·全国·单元测试）与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 . 21．（20-21高三上·北京西城·期中）双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为 ． 22．（20-21高二下·广西·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的方程为，且经过点，则双曲线标准方程为 . 23．（23-24高二上·北京西城·阶段练习）已知双曲线：的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则 ；若双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则的方程可以为 .（写出一个答案即可） 24．（21-22高二上·天津静海·阶段练习）若双曲线（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则的实轴长为 25．（20-21高二下·浙江温州·阶段练习）双曲线，设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为 ． 26．（2022高二·全国·专题练习）与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为 ． 27．（21-22高三上·黑龙江大庆·开学考试）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则双曲线的离心率是 . 28．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线分别为，. (1)求双曲线的离心率； (2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积. 29．（22-23高三上·江苏南通·期末）已知双曲线C过点,且C的渐近线方程为. (1)求C的方程; (2)设A为C的右顶点,过点的直线与圆O:交于点M,N,直线AM,AN与C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点. 30．（17-18高二上·湖北孝感·期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积. 31．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的实轴长为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值. 32．（23-24高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知双曲线C与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值． 33．（22-23高二上·山东烟台·期末）已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积. 34．（2024·甘肃陇南·一模）已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且M 经过点 的焦距为4. (1)求M 和 的方程; (2)如图，过点 T(0，1)的直线 l(斜率大于0)与双曲线 M 和 N 的左、右两支依次相交于A,B,C,D,若求直线 l的方程. 35．（2023·吉林长春·模拟预测）已知双曲线C的渐近线方程为，点在双曲线C上，直线与双曲线交于A，B两点，记斜率分别为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在常数k，使为定值，若存在，求常数k和的值，不存在说明理由． 36．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的最小值. 37．（23-24高二上·河南·期中）已知双曲线的一条渐近线方程是，右焦点坐标为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于，两点（，均在轴上方）；线段的中点为，点在线段上，且满足，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值. 38．（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值. 39．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程，并画出草图． (1)一个焦点为，渐近线方程为； (2)焦距为20，离心率为，顶点在x轴上； (3)与双曲线共渐近线，且经过点． 40．（23-24高二上·福建南平·期中）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 41．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：与双曲线：的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点.设，，求的取值范围. 42．（22-23高三上·江西吉安·期末）已知双曲线：（，）与双曲线的渐近线相同，点在上，为的右焦点． (1)求的方程； (2)已知是直线：上的任意一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与相切于点，且以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 43．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M（2，－2）的双曲线方程． 44．（21-22高二上·四川成都·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于A，两点，求的值． 45．（23-24高二上·河南开封·期中）已知双曲线的焦距为10，上一点P与两焦点的距离差的绝对值等于6． (1)求的标准方程； (2)若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，求的标准方程． 46．（22-23高三上·江西抚州·期中）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点是双曲线上异于的两个不同点，且，证明：直线过定点，并求出定点坐标. 47．（21-22高三上·全国·阶段练习）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 48．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为直线上任一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，过的实轴右顶点作垂直于轴的直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值. 49．（21-22高二上·江苏镇江·期中）已知双曲线C的方程为. (1)求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； (2)当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 50．（2021高二·全国·专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程；    （2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值. 51．（20-21高二上·宁夏中卫·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，． （1）求与双曲线C有共同渐近线且过点的双曲线标准方程； （2）若P是双曲线C上一点，且，求的面积． 52．（19-20高二上·四川眉山·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，斜率为，与双曲线交于两点，求的面积. 53．（21-22高二·江苏·课后作业）求与双曲线有公共渐近线，且焦距为8的双曲线方程． 试卷第10页，共11页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D D D D A A C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 AC BD ACD BD CD AC BD ABC ACD 1．B 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据求出双曲线的渐近线方程 ，从而得，由求得，从而求解. 【详解】由题意设双曲线方程为，因为的渐近线方程为， 所以得，又因为的焦点为，所以. 由，所以可得：，，故双曲线的方程为，故B项正确. 故选：B. 2．C 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，由轴得，利用斜率公式可得结果. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，依题意有， 即，又右焦点为，且轴，所以， 所以， 故选：C.    3．A 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为，利用即可得解. 【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线为，即， 则，解得， 所以所求双曲线为. 故选：A. 4．D 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线及渐近线方程的定义求解即可. 【详解】（1）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为， 因为与双曲线有相同渐近线， 所以，设该双曲线的焦距为， 又因为焦距，所以，所以， 联立，解得，则双曲线方程为； （2）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为， 因为与双曲线有相同渐近线， 所以，设该双曲线的焦距为， 又因为焦距，所以，所以， 联立，解得，则双曲线方程为， 所以双曲线的标准方程为：或. 综上，双曲线标准方程为. 故选：D 5．D 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值． 【详解】由双曲线知渐近线方程为， 又双曲线与双曲线有相同的渐近线， ，，双曲线方程为， 设，， ，， ， 又弦的中点为， ，，设， ，解得，，解得， 所以双曲线的方程为， 由圆的方程可得， 圆心为，半径为， ． 当且仅当，，三点共线时取等号． 故选：D． 6．D 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案． 【详解】根据题意，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为， 又由双曲线经过点，则，解可得， 则要求双曲线的标准方程为； 故选：D． 7．D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的切线方程、讨论双曲线与直线的位置关系、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可. 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 8．A 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 9．A 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案． 【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得． 解得． 所以双曲线的方程为，故答案选A． 【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上． 10．C 【难度】0.65 【知识点】双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据顶点或实虚轴关系求参数 【分析】讨论焦点的位置，设出方程，由渐近线、虚轴的性质求出方程. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 故选：C 11．AC 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】当时，求出面积的最大值，利用分割法建立内切圆半径的关系式，结合椭圆的定义可求得内切圆半径的最大值，可判断A选项；当时，求出曲线的焦点坐标，可判断B选项；根据双曲线的离心率求出实数的值，可判断C选项；根据双曲线的渐近线方程求出实数的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则曲线的方程为，则，，， 则的面积， 设的内切圆半径为， 则， 所以，，故A正确； 对于B选项，若，则曲线的方程为， 则，，， 故椭圆的焦点的坐标为和，故B错误； 对于C选项，若曲线的离心率，则曲线为双曲线，且， 若双曲线的焦点在轴上，则，可得， 可化为， 此时，， 则，，解得； 若双曲线的焦点在轴上，则，可得， 可化为， 此时，，则，，解得. 综上所述，若曲线的离心率为，则或，故C正确； 对于D选项，若曲线是双曲线，且一条渐近线倾斜角为， 则渐近线方程为，即， 故可设双曲线的方程为， 所以，，解得，故D错误. 故选：AC. 12．BD 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求共渐近线的双曲线的标准方程、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】对于A项，设出与共渐近线的双曲线的方程代入求解即可，对于B项，运用双曲线的定义及两点之间线段最短即可求解，对于C项，由三角形中位线性质可得，即可得点Q的轨迹为圆，转化为求圆上的点到直线的最大距离求解即可，对于D项，设直线的方程，进而求得点M的坐标，由求得点P的坐标，将点P的坐标代入双曲线的方程即可求得离心率. 【详解】于A项，因为双曲线的离心率为，即，则. 因为双曲线与的渐近线相同，则设双曲线的方程为（）， 将代入得，解得， 所以双曲线的方程为，故A项不正确； 对于B项，如图所示，    因为是右支上一点，所以由双曲线定义可知， 又因为在双曲线内，所以，故B项正确； 对于C项，如图，延长并与相交于点B，连接.    由题可知，为的中点，则， 所以，则是以为圆心，为半径的圆上一点. 又点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为，故C项不正确. 对于D项，如图所示，    根据对称性，不妨设直线的方程为， 联立方程组得， 设，则，， 由，则，解得， 即， 将点代入双曲线的方程得，即， 所以双曲线的离心率，故D项正确. 故选：BD. 13．ACD 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可. 【详解】对于A，通径，实轴故有四条， 对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为， 设直线的方程为，与联立得： 恒成立. 所以， ， 所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上， 故不存在这样的直线l，故B错误. 对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：， 代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确； 对于D，设直线l方程为：. 联立得：，恒成立. 所以，，则，. 若A、B都在该双曲线的右支上，则， 即，所以，解得，故D正确； 故选：ACD. 14．BD 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据渐线以及可得双曲线的方程为，即可根据点到直线的距离公式以及双曲线的离心率公式求解AB,根据有斜率和无斜率，分别求解两种情况下的最短弦长，即可进行判断C，设点坐标，根据点差法即可由中点弦的斜率公式化简求解D. 【详解】因为渐近线方程为，所以可设双曲线：为：，又因为点在双曲线上，所以，从而双曲线：， 故，所以离心率为，故A错误； 由题可知右焦点为，所以点到渐近线的距离为，故B正确； 若轴，当时，将其代入得，则，所以与右支不可能有两个交点， 若与轴不垂直，与的左，右支交于，两点，因为，所以存在两条直线分别交左右两支各一点. 综上可得：满足条件的直线有2条，故C错误； 设，，，则，，因为，在双曲线上，所以①，②，①②并整理得，因为，，所以，，故D正确. 故选：BD. 【点睛】1.求圆锥曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值． 2.解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 15．CD 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线中的弦长、求椭圆中的参数及范围、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可. 【详解】对于A，通径，实轴故有四条，故A错误； 对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为， 设直线的方程为，与联立得： ， 则，恒成立， 所以， ， 所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上， 故不存在这样的直线l，故B错误； 对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：， 代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确； 对于D，设直线l方程为：. 联立，得：， 则，恒成立. 所以，，则，. 若A、B都在该双曲线的右支上，则， 即，所以，解得，故D正确. 故选：CD. 16．AC 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B，C；直线与双曲线的渐近线的关系判断D． 【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．所以双曲线的方程为，故A选项正确； 对于B：由，，得，所以双曲线的离心率为，故B选项错误； 对于C：取，得，，曲线过定点，故C选项正确； 对于D：双曲线的渐近线，直线与双曲线的渐近线平行，直线与有1个公共点，故D不正确． 故选：AC． 【点睛】本题考查双曲线几何性质的综合应用问题，涉及到离心率的求解、共渐近线的双曲线系的应用、直线与双曲线位置关系的判定等知识；对于渐近线为的双曲线，可统一设为的形式. 17．BD 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中的最值问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求共渐近线的双曲线的标准方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据已知双曲线离心率可得，设与的渐近线相同的双曲线的方程，根据点在该双曲线上，求得参数，可得方程，判断A；利用双曲线定义可判断B；确定点Q的轨迹，结合点O到直线的距离可判断C；求出点M的坐标，代入双曲线方程，即可求得离心率，判断D. 【详解】对于选项A，因为的离心率为，所以，则. 因为双曲线为， 将代入得，解得，则双曲线的方程为，A不正确. 对于选项B，因为是右支上一点，所以， 则，B正确. 对于选项C，如图，延长并与相交于点，连接.    由题可知，为的中点，则，， 所以，则是以为圆心，为半径的圆上一点. 点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为，C不正确. 对于选项D，根据对称性，不妨设直线的方程为， 联立方程组，得. 由，得， 可得，代入的方程得， 则的离心率，D正确. 故选：BD 18．ABC 【难度】0.65 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的焦点坐标 【分析】首先根据相同渐近线的双曲线方程的求法求出双曲线方程，即可判断A，进一步根据平方关系，离心率公式即可判断B，把焦点代入函数表达式即可验证C，将直线方程与双曲线方程联立，结合判别式与根的个数关系即可判断D. 【详解】由题意可设所求双曲线方程为，因为双曲线过点， 所以，即，则双曲线的方程为，所以A正确； 由双曲线方程可知，，，则离心率为，所以B正确； 双曲线的右焦点坐标为，满足，所以C正确； 由，消整理得，由，知直线与双曲线只有一个交点，所以D错误． 故选：ABC． 19．ACD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】由双曲线的渐近线，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程可判断A；求出离心率可判断B；求出焦点到渐近线的距离可判断C；联立直线与双曲线方程解方程组可判断D． 【详解】由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，解得，则双曲线的方程为，故A正确； 由，得，则双曲线的离心率为，故B错误； 双曲线的焦点坐标，焦点到渐近线的距离为，故C正确； 联立方程，解得，，则直线与只有一个交点，故D正确. 故选：ACD. 20．2 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】解：根据题意，设双曲线方程为， 将点代入双曲线方程，解得. 所以，经过点的双曲线方程为：， 故的一个焦点坐标为,一条渐近线方程为，即， 所以，焦点到一条渐近线的距离是， 故答案为： 21． 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，则设双曲线C的方程为，把点代入，解得λ，即可得出答案． 【详解】因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线C的方程为， 又因为双曲线C过点，所以，解得， 所以，所以双曲线C的方程为． 故答案为：． 22． 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由题意，可设双曲线的方程为：，代入点，即得解 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为， 故可设双曲线的方程为： 代入点，可得： 故答案为： 23． 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的焦点坐标、求点到直线的距离 【分析】根据题意，由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为双曲线：，所以其焦点坐标为， 渐近线方程为，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为， 则，所以； 所以双曲线：，渐近线方程为， 若双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则该双曲线只需满足即可， 则的方程可以为. 故答案为：； 24． 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的实轴、虚轴、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件求出a，b的关系，再由双曲线过的点即可计算作答. 【详解】双曲线的渐近线为，而双曲线的渐近线为， 依题意，，又双曲线经过点，则，解得：， 所以双曲线的实轴长为. 故答案为： 25．， 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】所有与共渐近线的双曲线可表示为：，代入点，即得解 【详解】由题意，双曲线与共渐近线， 所有与共渐近线的双曲线可表示为： 由于过点，代入得到 ，即 故答案为： 26．或 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 【分析】先设与具有相同渐近线的双曲线方程为，再讨论和，结合两顶点间的距离为2求出值，即可求出双曲线的方程. 【详解】设与具有相同渐近线的双曲线方程为， 当时，双曲线的方程为， 又因为两顶点间的距离为2，所以， 即，所以双曲线的方程为； 当时，双曲线的方程为， 又因为两顶点间的距离为2，所以， 即，所以双曲线的方程为； 综上所述，双曲线的方程为或. 故答案为：或. 27．或 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】由共渐近线可设双曲线为，讨论的正负号，即可写出，由即可求出答案. 【详解】设双曲线为. 则当时，; 当时，; 故答案为：或. 28．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】双曲线向量共线比例问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】（1）根据渐近线方程可得，再通过离心率公式求得离心率； （2）根据双曲线过点可得双曲线方程，由已知可设点，，再由，可得，，进而可得，设直线的倾斜角为，则，即可得，即可得的面积. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线分别为，， 所以，， 所以双曲线的离心率为； （2）由（1）得， 则可设双曲线， 因为在双曲线上， 所以，则双曲线的方程为， 又点，分别在与上， 设，， 因为， 所以， 则，， 又，同理得， 设的倾斜角为，且，则， 所以. 【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可. 29．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)根据渐近线方程设出双曲线方程,将代入,求出方程即可; (2)分析斜率情况,设出直线方程,与圆联立可得两点坐标之间的关系,化简可得为定值,即也为该定值,设出的直线方程,与双曲线联立,即可得两点坐标之间关系,根据为定值,建立等式,进行化简,解得的直线方程中参数之间的关系,即可得直线DE所过定点. 【详解】（1）解:由题知C的渐近线方程为, 故设双曲线的方程为, 因为过, 所以, 解得, 故的方程为; （2）由题知画图如下: 因为直线过点, 所以斜率不为零, 故设直线方程为, ,, 联立, 可得, 故, 解得, 由韦达定理得, 因为, 所以 , , 设直线方程为, ,, , 联立, 可得, 所以, 解得, 由韦达定理得: , 因为, 所以, 化简可得, 即, 即, 因为直线不过, 所以, 化简可得, 即, 解得, 所以直线为:, 故直线恒过定点. 【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用中的定点问题,关于定点的问题思路有: (1)先根据题意考虑特殊情况,斜率不存在,或斜率为零; (2)设普通的直线方程,联立方程组; (3)判别式大于零,韦达定理; (4)根据题意建立关于的等式,进行化简. 30．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解； （2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积． 【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为， 代入点得，即， 所以双曲线方程为，即． （2）由（1）得，则，，， 又直线倾斜角为，则，故直线的方程为， 设，， 联立，消去，得， 则，，， 由弦长公式得， 又点到直线的距离， 所以． 31．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）根据题意，设双曲线的方程为，由双曲线的实轴长为，得到，即可求解； （2）联立方程组，根据根与系数的关系，得到的中点坐标，代入圆的方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 可设双曲线的方程为，即， 又因为双曲线的实轴长为，即，即，可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 设，则，且， 所以， 可得，即的中点坐标为， 因为段的中点在圆上，可得，解得， 所以实数的值为. 32．(1)，离心率，渐近线方程为 (2) 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、求共渐近线的双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入即可得出双曲线方程，进而得出性质； （2）设，，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标关系，表示出AB的中点，代入圆的方程，即可得出答案. 【详解】（1）因为双曲线C与有相同的渐近线， 所以可设双曲线C的方程为， 代入，得，得， 故双曲线C的方程为， 所以，，， 故离心率，渐近线方程为． （2）设，，则AB的中点坐标为. 联立直线AB与双曲线C的方程，得， 整理得，． 由根与系数的关系得，，， 所以AB的中点坐标为， 又点在圆上， 所以，所以．    33．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解：设双曲线的方程为，将点代入方程中得， 所以双曲线的方程为，即双曲线的方程为. （2）解：在双曲线中，，，则， 则，所以直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 则， 所以，. 34．(1), (2) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由的焦距为4可求得，即可得出曲线，由题意设为，点代入即可求得曲线; （2）由题意设直线 l的方程为 ，与联立，利用韦达定理计算可得，进而可得联立方程组计算可求得，即可得出结果. 【详解】（1）因为,的焦距为4,所以，，所以， 渐近线相同，可设为，代入，，所以 （2）设直线 l的方程为， 由化简可得：，， 时，，， 时，，， 所以, 同理 因为，所以，所以. 又因为所以 所以则，由，解得：， 由可知，, 所以直线 l的方程为：. 35．(1) (2)存在常数，使为定值 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由已知可设双曲线的方程为，代入，即可得出双曲线的标准方程； （2）设，，联立直线与双曲线的方程得出，根据韦达定理得出坐标关系.进而表示出由，代入整理可得.然后即可根据的任意性，列出方程组，求出的值. 【详解】（1）因为双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为. 因为点在双曲线C上，所以， 即双曲线的方程为， 整理可得，. （2）设，， 联立直线与双曲线的方程可得， ，，即， 且. 又， 整理可得，. 根据的任意性，可知， 解得，显然满足， 所以存在常数，使为定值. 【点睛】思路点睛：联立方程组，消元得出关于的一元二次方程，根据韦达定理得出坐标关系.然后表示出斜率，代入坐标关系化简整理得出，根据参数的任意性，得出方程组.若方程组有解，检验，即可得出存在定值. 36．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入坐标可得答案； （2）当直线l的斜率不存在时，可得A､B的坐标及的周长；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，的周长利用韦达定理得到，设，根据的范围可得答案. 【详解】（1）依题意，设双曲线C的方程为， 代入点，得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知， 双曲线C的左焦点为，设､， ①若直线l的斜率不存在，则， 得A､B的坐标分别为和， 此时， 由双曲线定义可知：， 所以 此时的周长为： . ②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 由得， 因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以 ，解得， 设的周长为z，则有： ， 设，由，得，，，所以， 综上，由①②可得的周长的最小值为. 【点睛】方法点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查了分析问题解决问题的能力，在处理圆锥曲线与直线的位置关系时，需要考虑直线斜率不存在的情况，同时设而不求是常用的方法需要熟练掌握，联立消元的过程要提升计算的能力与正确率. 37．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的定值问题、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）根据渐近线方程可得，再根据焦点坐标可得，即可得解； （2）设直线方程，联立方程组，结合韦达定理可得点坐标与，再根据，即，即可得点坐标与，可得，进而得证. 【详解】（1）因为的一条渐近线方程为， 所以，即， 又右焦点坐标为，所以， 解得，， 所以的方程为； （2）   设，，， 由， 可得， 则， 所以，， 因为直线与双曲线交于轴上方的，两点， 所以， 解得， 所以，， 所以， 所以. 由， 得， 可得， 解得， 所以，所以， 所以 于是，为定值. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 38．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中的最值问题、双曲线中的直线过定点问题、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】（1）根据双曲线与双曲线有相同的渐近线方程求出可得答案； （2）可设其方程为，与双曲线方程联立，设，，由韦达定理代入的坐标运算可得答案； （3）设点在直线上的投影为，当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最值. 【详解】（1）双曲线与双曲线有相同的渐近线方程， 所以，即，又，从而， 所以双曲线的方程为； （2）显然直线不与轴平行，可设其方程为， 由，得， 设，，则由韦达定理可得，， 因为，所以， 即， 整理得，即， 而显然直线不经过点，所以，， 故直线经过定点，得证. （3）设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点， 所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值， 此时，所以点到直线距离的最大值为. 39．(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据渐近线方程及焦点坐标求出即可得解； （2）根据焦距及离心率求出，结合定点位置得出方程； （3）根据渐近线相同可设所求双曲线方程为，代入点即可得解. 【详解】（1）因为焦点为，渐近线方程为， 所以，， 解得，， 所以所求双曲线方程为. 草图如下：    （2）因为焦距为20，离心率为， 所以，故， 又顶点在x轴上， 所以所求双曲线方程为：. 草图如下：    （3）设所求双曲线方程为， 又双曲线经过点， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为. 草图如下：    40．(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、根据双曲线过的点求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据渐近线方程相同，设双曲线的方程为且，将所过点代入求参数即可； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理表示出线段AB的中点坐标，结合点在圆上求参数即可. 【详解】（1）设双曲线的方程为且， 将代入，得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）由，得， 设，则中点坐标为， 由韦达定理可得，所以， 所以中点坐标为，且在圆上， 所以，解得． 41．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据共渐近线方程设双曲线，代入点即可求得的值，可得双曲线的方程； （2）根据双曲线与直线的位置关系，求得交点坐标关系，根据向量线性关系列式，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由双曲线C与双曲线的渐近线相同，可设双曲线， 代入，可得， 所以求双曲线的方程为，即. （2）易知直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的方程为，则. 设. 联立可得， 方程有两个不同的正根可得 ，解得. 记点的横坐标为，即. 由可得，代入双曲线C的方程，可得. 同理可得，由可得. 所以是方程的两个根， 由韦达定理可得. 所以. 令，， 则 令，，则在上单调递增， 所以且. 因此，. 42．(1) (2)存在直线满足题设条件 【难度】0.4 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）依题意可设双曲线的方程为，再将点的坐标代入即可求得的值,进而求得的方程； （2）显然直线的斜率存在，先设直线的方程为，再联立双曲线的方程，整理可得关于x的一元二次方程，根据可得与的关系式，进而求得切点的坐标，利用，有，化简得，从而可知存在直线满足题设条件． 【详解】（1）依题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入得， ∴，∴双曲线：． （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消去，得， 由，得，① ∴，， 即切点的坐标为， 以为直径的圆恒过点，则， 又的坐标为，， ，， ∴， 化简，得， 上式对满足①式任意的，成立，则． 故存在直线满足题设条件． 43．(1)或； (2)或； (3)． 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据焦点分别在轴和轴设出两种标准方程，分别求解； （2）根据焦点分别在轴和轴上分类讨论； （3）设与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为，代入已知点坐标求解． 【详解】（1）设双曲线的标准方程为 或（）. 由题知，， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为或． （2）当焦点在x轴上时， 由且a＝3，∴. ∴所求双曲线标准方程为； 当焦点在y轴上时，由且a＝3，∴b＝2. ∴所求双曲线方程为． ∴标准方程为或． （3）设与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为，将点代入得 ， ∴双曲线方程为：,双曲线的标准方程为． 44．(1) (2)6 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）设所求双曲线方程为，代入点，求出，即可得解； （2）根据（1）求出焦点坐标，从而可得直线的方程，设，，联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得解. 【详解】（1）解：设所求双曲线方程为， 代入点得：，即， 双曲线方程为，即； （2）解：由（1）知：，， 即直线的方程为， 设，， 联立，得， 满足，且，， 由弦长公式得. 45．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由双曲线定义可得答案； （2）由题可设，代入可得答案. 【详解】（1）双曲线的焦距为10，所以半焦距， 上一点P与两焦点的距离差的绝对值等于6，所以，，， 所以的标准方程为． （2）双曲线与双曲线有共同的渐近线， 设， 将点带入方程，可得， 所以的标准方程为． 46．(1) (2)证明见解析，定点 【难度】0.4 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）由双曲线渐近线方程和点坐标求解即可； （2）由可得，设（斜率存在），与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的关系即可求解，注意讨论斜率不存在的情况. 【详解】（1）因为双曲线与已知双曲线有相同的渐近线， 设双曲线的标准方程为， 代入点坐标，得，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）当直线斜率存在时，设，    设，联立与双曲线， 化简得， ，即， 则有， 又， 因为，所以 所以， 所以， 化简得， 即 所以， 且均满足， 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾， 当时，直线的方程为，过定点 （ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线， 与双曲线方程联立解得，此时也过点，. 综上，直线过定点 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为 ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 47．（1）；（2）存在，. 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据的渐近线方程求出，然后再根据焦点坐标求出的值，从而求双曲线的标准方程； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线斜率，根据韦达定理求的值，从而求出的值. 【详解】（1）的渐近线为，， ，， 所以双曲线的标准方程. （2）由已知，， 过点与右支交于两点，则斜率不为零， 设，由，消元得， 因为与双曲线右支交于两点，所以，解得 ， ， ， ， ，， ， 存在使得. 48．(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的定值问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）设双曲线，将点代入计算即可求解； （2）设，，求出m、n的表达式并分别联立双曲线方程，利用可得、，即是方程的解，根据韦达定理表示出，代入化简计算即可求解. 【详解】（1）设双曲线，过点，代入坐标可得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）设，， 所以， 即， 则， 化简可得：，同理可得：； 所以均是方程的解； 所以， ， ， 故 .    49．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】（1）根据公共渐近线的性质直接求解； （2）根据直线与曲线有两个公共点时，，解不等式即可. 【详解】（1）解：由已知可设双曲线方程为， 又双曲线过点，即，解得， 故双曲线方程为，即； （2）解：设直线的方程为，即， 联立得， ， 解得：且， 综上所述：. 50．（1）；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的定值问题 【分析】（1）用待定系数法求双曲线的方程； （2）用“设而不求法”表示出弦长，再计算出，即可证明. 【详解】（1）设双曲线方程为 由题知 双曲线方程为： （2）设直线l的方程为代入 整理得，设 所以： 由弦长公式得： 设AB的中点 则，  代入l得： AB的垂直平分线方程为 令y=0得，即，所以：为定值. 51．（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【解析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为，代入点，求得k值，即可得答案； （2）不妨设P在C的右支上，根据双曲线定义，可得，根据方程可得的值，在中，利用余弦定理可得的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与共渐近线， 所以设该双曲线方程为， 又该双曲线过点， 所以，解得k=-2， 所以所求双曲线方程为： （2）不妨设P在C的右支上，则，， 在中，， 解得， 所以的面积 【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与共渐近线的方程可设为：；与共焦点的方程可设为：，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题. 52．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据已知渐近线相同，设出双曲线的方程为，即可代入点求出答案； （2）根据第一问中双曲线的方程得出，，根据已知得出直线的方程，即可联立消去，设，，则可根据韦达定理得出，，根据双曲线的性质得出，即可计算得出答案. 【详解】（1）双曲线与双曲线的渐近线相同， 则双曲线的方程可化为， 将点代入可得：，解得， 故双曲线的方程为：，即； （2）由第一问可得，， 因为直线经过，斜率为， 则直线的方程为，即， 代入双曲线的方程中，得：， 设，， 则，， 根据双曲线的性质可知与符号相反， 则， 因为， 所以， 则. 53．或 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】先设出双曲线的方程，根据已知条件求得和的比值，进而利用焦距求得和的另一关系式 ，联立方程求得和，则双曲线的方程可得． 【详解】设出所求的双曲线的方程为， 依题意可知,求得， 双曲线的方程为：或. 答案第42页，共50页 答案第15页，共51页S 学科网（北京）股份有限公司 $$