16.待定系数法求双曲线方程-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

16.待定系数法求双曲线方程 1．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·一模）已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南郴州·模拟预测）已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津河西·一模）已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知双曲线：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是，，离心率为2，点P在上，若直线，的斜率之和为，的面积为，则（    ） A．1 B． C． D．2 7．（2024·辽宁·二模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏·阶段练习）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（    ） A． B． C． D． 11．（2018·四川绵阳·一模）如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2020高三·全国·专题练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高三下·贵州·阶段练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高二下·广西南宁·期末）设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（19-20高三下·浙江·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2023·福建漳州·二模）已知是双曲线的左、右焦点，且到的一条渐近线的距离为，为坐标原点，点，为右支上的一点，则（    ） A． B．过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点 C． D．当四点共圆时， 17．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（    ） A．双曲线的方程为 B．的面积为 C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 18．（22-23高二下·广东广州·期末）费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（    ） A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的方程为 C．过点作，垂足为K，则 D．点Q的坐标为 19．（2023·全国·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，．点为坐标原点，点，，点为右支上一点，则（    ） A．的渐近线方程为 B． C．当，，，四点共圆时， D．当，，，四点共圆时， 20．（19-20高三上·山东威海·期末）已知双曲线：的一条渐近线过点，点F为双曲线C的右焦点，那么下列结论中正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的一条渐近线方程为 C．若点F到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的方程为 D．设O为坐标原点，若，则 21．（2023·河北唐山·模拟预测）已知，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的渐近线在第一象限部分上的一点，线段与双曲线交点为，且，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率 C． D．若的内心的横坐标为3，则双曲线的方程为 22．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为 ． 23．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线的标准方程为 ；若直线与双曲线的右支交于两点，设的内心为，则与的面积的比值的取值范围是 . 24．（2023·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 25．（2022·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4. (1)求C的方程； (2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标. 26．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若是上一点，且，求的面积. 27．（2023·辽宁·一模）已知双曲线C：过点，且渐近线方程为. (1)求双曲线C的方程； (2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值. 28．（22-23高三下·广东清远·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若的外心为，求的取值范围. 29．（2024·吉林白山·一模）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值． 30．（2023·广东深圳·模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为. (1)求双曲线C的方程； (2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 31．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 32．（2022·河北张家口·一模）已知双曲线的离心率是，实轴长是8. (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值. 33．（2023·河北张家口·三模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 34．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足. (1)求的方程； (2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点. 35．（21-22高二下·湖南衡阳·期末）已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点. (1)求双曲线C的标准方程. (2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 36．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，. (1)求的方程； (2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点． （i）证明：点在定直线上： （ii）若直线与交于点，求证：． 37．（2024·福建泉州·模拟预测）已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6． (1)求E的方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程： (3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 38．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 39．（2023·山东聊城·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1． (1)求的方程； (2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程． 40．（2023·河北邯郸·二模）已知双曲线（，）过，，，四个点中的三个点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，求证：直线经过一个不在双曲线上的定点，并求出该定点的坐标. 41．（2023·安徽阜阳·三模）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 42．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明． 43．（2024·全国·模拟预测）已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为． (1)求双曲线的标准方程． (2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若． ①求证：为定值； ②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标． 44．（23-24高二上·宁夏·期中）已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点. (1)写出直线的方程； (2)求双曲线的标准方程； (3)求的面积. 45．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线：（，）的右焦点为，的渐近线与抛物线：（）相交于点． (1)求，的方程； (2)设是与在第一象限的公共点，不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，使得． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）过作，垂足为．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 46．（21-22高二上·广东广州·期中）已知双曲线过点，焦距为，． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由． 47．（19-20高二上·福建漳州·期末）已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程. 48．（2023·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 49．（19-20高二·全国·课后作业）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 50．（22-23高三下·河北唐山·阶段练习）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点． (1)求Γ的方程； (2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上． 51．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点． (1)求曲线E的方程； (2)求实数k的取值范围； (3)若，求直线AB的方程． 52．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程． (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 53．（21-22高三上·江苏南通·期末）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于（不在坐标轴上）两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标． 54．（22-23高三下·河南濮阳·开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且的面积为6． (1)求C的方程； (2)若过点且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于 两点，Q为x轴上一点，满足，证明：为定值． 55．（2023·海南海口·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于. (1)求双曲线的方程. (2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 56．（2021·湖南岳阳·一模）已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 57．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线过点，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线交双曲线于点，，直线，分别交直线于点，，求的值. 试卷第14页，共14页 试卷第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A B A C C B C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C C D D C ACD BD BD ABD ABC 题号 21 答案 ACD 1．D 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】设，由，利用点差法求解. 【详解】解：设， 则，两式相减得， 即，化简得， 又，解得， 所以双曲线的方程为： . 故选：D. 2．A 【难度】0.4 【知识点】利用双曲线定义求方程、求平面轨迹方程 【分析】根据题意，点在的平分线上且，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出，从而得到的轨迹方程. 【详解】由，可得， 而，可知点在的平分线上. 圆，圆心为原点，半径， 连接，延长交于点，连接， 因为且，所以，且为中点，， 因此，， 点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为， 可知，由，得，故， 双曲线方程为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的转化为在的平分线上，进而证明为等腰三角形，将转化为得出所求轨迹为双曲线. 3．B 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据离心率求出，得渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，求出，利用面积求出即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为， 设直线的倾斜角为，则， 由对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则， 于是得， 而双曲线的虚半轴长为b，即， 显然四边形为矩形，其面积，得，所以， 所以双曲线的方程为． 故选：B． 4．A 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线向量共线比例问题、余弦定理解三角形、双曲线定义的理解 【分析】根据可知，再根据角平分线定理及双曲线定义得是等边三角形，根据边的关系利用余弦定理即可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又， 所以， 又平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知， 所以，， 所以，，，故是等边三角形， 所以，在中， ， 化简得：，所以， 双曲线C的方程为， 故选：A.    【点睛】方法点睛：根据向量共线，角平分线定理及双曲线定义，结合余弦定理可解此题. 5．B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程. 【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 如图所示，过点作于点.    因为，所以， 因为， 所以，所以， 故，得. 因为，所以，故点， 将代入双曲线中， 即，化简得， ， 解得或（舍去），故B项正确. 故选：B. 6．A 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的参数及范围 【分析】根据离心率公式结合的面积为，可得，再利用列方程求解即可. 【详解】 ① ② 所以 故③ 由①②③，得，解得 故选：A. 7．C 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可. 【详解】如图所示 由题意知，解得 记的右焦点为，即， 由双曲线的定义，得，即 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立, 所以的最小值为. 故选：C. 8．C 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】结合题意依次求得，从而得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，， 所以设双曲线的方程为，半焦距为； 又因为是双曲线上一点且， 所以，即，则； 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 9．B 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据求出双曲线的渐近线方程 ，从而得，由求得，从而求解. 【详解】由题意设双曲线方程为，因为的渐近线方程为， 所以得，又因为的焦点为，所以. 由，所以可得：，，故双曲线的方程为，故B项正确. 故选：B. 10．C 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线的其他应用 【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. 由题意可知，设，则， 设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为， 所以，所以方程可化简为， 将和的坐标代入式可得，解得， 则笔筒最细处的直径为. 故选：C. 11．C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得，，再由余弦定理求得，即可求得双曲线方程. 【详解】根据双曲线的定义，有①，②， 由于为等边三角形，因此， 由①＋②，得，则，， 又因为，所以，即，解得， 则，所以双曲线的方程为． 故选：C. 12．C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、利用双曲线定义求方程 【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程. 【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为， 由双曲线的定义可得， ，，， 因此，双曲线的方程为. 故选：C. 13．D 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案. 【详解】解：设，则， 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 连接，则有，， 由于在以为直径的圆周上， ∴， ∵为平行四边形， ∥， ∴， 在直角三角形中，， 即， 解得， 所以，； 在直角三角形中，， 即，得， 又因为， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选:D. 14．D 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】将左焦点坐标代入中可求出，设右焦点为N，连接，，，则三角形为直角三角形，可得，，然后利用双曲线的定义列方程可求出，从而可求出双曲线的方程 【详解】设左焦点F的坐标为，由点F过直线， 所以，解得， 设右焦点为N，连接，，. 由，故三角形为直角三角形，即, 又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则. 又，则，， 由双曲线定义，则， 所以， 所以 所以双曲线C的方程为. 故选：D. 15．C 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c， 则由题意可知，，即，故， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C． 16．ACD 【难度】0.4 【知识点】几何图形中的计算、向量加法法则的几何应用、双曲线定义的理解、平面解析综合 【分析】选项A利用双曲线的定义及性质判断即可，选项B利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项C利用双曲线的定义及中线长的公式即可解决，选项D利用圆与双曲线的关系及性质即可. 【详解】设双曲线的半焦距为，一条渐近线为： 因为到的一条渐近线的距离为， 即， 所以，又，所以，故A正确， 对于B，双曲线的渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为， 联立，消去得：，只有一个交点，故B错误， 对于C，由双曲线的定义知，， 所以， 因为为的中点，为右支上的一点， 所以， 所以 ， 在中，由余弦定理得： ， 则有 即 ，故C正确； 对于D，当四点共圆时，所在的圆方程为， 联立得， 因为， 所以， 当点的坐标为时，， 又，所以， 当点的坐标为时，， 又，所以，故D正确， 故选：ACD. 17．BD 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线定义结合为等边三角形得，，由余弦定理得 ，进而求出方程为判断选项A；求出判断选项B；利用两圆相切的几何意义可判断选项C、D. 【详解】由已知得，由双曲线定义知：， 因为，所以，故，， 在中，由余弦定理得：， 解得：，所以，方程为，A错误. 的面积为，B正确. 取的中点，，两圆内切，故C错误. 取的中点，则，两圆外切，故D正确. 故选：BD 18．BD 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】对于A、B：根据双曲线的渐近线和点的坐标求双曲线的方程，进而可得离心率；对于C：根据题意结合双曲线的定义运算求解；对于D：根据导数的几何意义运算求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线方程为，可得， 所以离心率为，故A错误，B正确； 因为， 设， 因为，且为的角平分线， 所以，且，故C错误； 因为，当时，整理得， 则，可得， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 令，整理得， 又因为，可得， 所以点Q的坐标为，故D正确； 故选：BD.    19．ABD 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、向量垂直的坐标表示、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线准线的有关性质 【分析】对A，由，解出c，即可求b，求出渐近线； 对B，设，则，结合，即可判断； 对CD，由四点共圆，得为直径，则有，可解出，即可算出、，根据P、M所在象限从而判断角 【详解】由，，， 则，解得，由，故. 设 ，则， 由双曲线方程得，∴， 故，同理，故， 则， 对A，的渐近线方程为，A对； 对B，代入椭圆得，则，，B对； 对CD，，，，四点共圆，，故为直径，则， 由B得，，即，解得，故， ，又，解得，故， ， M为第一象限的点，P可能为第一、第四象限的点，故或，C错D对. 故选：ABD 20．ABC 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】 根据给定条件，求出判断A，B；求出值判断C；由求出点的坐标计算判断D作答. 【详解】 显然经过点的双曲线的渐近线方程为， 即有，解得，双曲线C的离心率，A正确； 双曲线C的一条渐近线方程为，B正确； 双曲线C的半焦距，即，由选项B知，， 解得，因此双曲线的方程为，C正确； 为坐标原点，若,，得，则，D错误.    故选：ABC 21．ACD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求点到渐近线的距离，由条件结合等腰三角形的性质可得，判断A，设，求点的坐标，根据，可得的关系，由此可求离心率，判断B，由双曲线定义和余弦定理求，判断C，由双曲线定义和内切圆的性质可求，由此可求双曲线方程. 【详解】过点作， 设双曲线的半焦距为， 则双曲线的右焦点的坐标为，渐近线方程为， 点到渐近线的距离，故， 在中，，，， 所以， 由已知，，，又， 所以为的中点，故，A正确； 设，则， 所以，，又， 所以点的坐标为，又， 所以， 两边平方化简可得， 所以，所以，B错误； 对于C，设，由双曲线定义可得， 因为，所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以，又， 所以，C正确； 设的内心为，且内切圆与切与点， 根据双曲线的定义及内切圆的性质，可得 ，又， 所以， 所以切点为右顶点，又的内心的横坐标为， 所以，由，可得， 所以， 所以双曲线的标准方程为，D正确. 故选：ACD.    【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有双曲线的基本性质，余弦定理，双曲线的定义，内切圆的性质，属于综合题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，考查数形结合能力. 22． 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据题意知抛物线方程：的焦点，利用点到直线的距离为列出方程，解得，从而求解. 【详解】由题意知抛物线：的焦点， 又因为点到直线的距离为， 所以：，又因为：，解得：， 则抛物线的方程为：. 故答案为：. 23． 【难度】0.4 【知识点】二倍角的正切公式、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，进而结合题意得，进而结合即可求得双曲线方程，再根据三角形内切圆的性质得为的内切圆与边的切点，进而将问题转化为，最后联立方程，求解弦长的范围即可得答案. 【详解】解：设双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 由得，， 所以，，解得或（舍） 所以，，即， 因为， 所以，即双曲线的标准方程为； 由得，故直线过点， 所以，如图，设的内切圆与分别切于点， 则，， 由双曲线的定义得， 所以，即， 所以，点重合，即为的内切圆与边的切点， 所以，为的内切圆半径， 因为， 所以， 设， 联立方程得， 所以，且，即， ，即 所以， 所以， 故与的面积的比值的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合内切圆的性质得到为的内切圆与边的切点，进而根据面积公式求解即可. 24．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的参数及范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为的方程，即可求解； （2）首先设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，并根据的取值范围，求点到直线的距离的取值范围. 【详解】（1）依题意，，焦半径， 由，得，得， 解得：（其中舍去）， 所以， 故双曲线的方程为； （2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，， 则，， 由，得， 即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. 25．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的参数及范围 【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b,即得答案; （2）根据O，A，N，M四点共圆结合几何性质可推出，设，，，从而可以用点的坐标表示出t,再设直线，联立双曲线与直线方程，利用根与系数的关系式，代入t的表达式中化简，可得答案. 【详解】（1）因为实轴长为4，即，， 又，所以，， 故C的方程为. （2）由O，A，N，M四点共圆可知，， 又，即， 故， 即，所以, 设，，， 由题意可知，则直线，直线， 因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知， 故M坐标为，所以， 又，由，则， 整理可得， 当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线，代入双曲线方程：中， 可得，所以，， 又 ， 所以, 故，即，所以点P坐标为. 【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心. 26．(1) (2)24 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据已知条件结合双曲线的定义即可求解； （2）设，则，由，建立关系式求出，，再利用三角形面积公式求出即可. 【详解】（1）设动圆的半径为，因为圆与圆和圆均外切， 所以，， 则， 根据双曲线的定义可知，的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支. 设方程为， 由，又， 所以， 所以的方程为. （2）设，则. 因为.所以， 即，解得或（舍去）. 故的面积为：. 27．(1) (2)1 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线C的方程为，代入点，运算求解即可得结果； （2）设，根据题意求点的坐标，结合韦达定理证明，即可得结果，注意分类讨论直线是否与轴垂直. 【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为， 代入点，即， 故双曲线C的方程为. （2）由双曲线C的方程为的方程可得， 由题意可得点，则有： 当直线l与轴垂直时，则， 可得直线，令，则， 即点， 同理可得：点， 故，即； 当直线l不与轴垂直时，设直线， 联立方程，消去x得， 则， 可得直线， 令，则， 即点， 同理可得：点， ∵ ， 即点关于x轴对称，故，即； 综上所述：的值为1. 【点睛】方法定睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 28．(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的参数及范围 【分析】(1)设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程； (2)设直线的方程为，利用设而不求法求点的坐标，利用表示，再求其范围. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 因为双曲线的右焦点为，所以， 因为点和点关于轴对称， 所以当时，直线的方程为， 联立可得，又， 所以，又， 所以， 故双曲线方程为； （2）若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾， 所以可设直线的方程为， 联立，消，得， 方程的判别式， 设， 则， ， 由已知，所以， 所以线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 又线段的垂直平分线方程为， 所以点的坐标为， 所以， 所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以 所以的取值范围为. 【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值. 29．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设，根据以及整体代换法求得结果； （2）设直线,与椭圆方程联立得出韦达定理，再表示，结合韦达定理求出结果. 【详解】（1）设，，， ∵，∴， ∴， 又∵焦距为，可得，则， 结合，∴，， ∴双曲线的标准方程为：． （2）如图， 由（1）知，，设，． 因为不与重合，所以可设直线． 联立， 消得：， 故，， ，，， ∴． 30．(1) (2)为定值 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的定值问题、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）根据双曲线渐近线可设双曲线方程为，利用焦点坐标，求得，即得答案. （2）设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，求得，以及的中点坐标，求出的中垂线方程可得T点坐标，继而求得，化简即可得结论. 【详解】（1）因为双曲线C以为渐近线， 设双曲线方程为，即, ∵，∴，即：， ∴，∴，即., 所以双曲线C的方程为：. （2）由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l：，，， ， 化简得：，， 此方程的两根为，则， ∴ .， 中点M坐标为，即， ∴PQ中垂线方程为：， 令，∴，∴， 则， ∴，即为定值，定值为. 【点睛】难点点睛：解答此类直线和双曲线的位置关系类题目，涉及到定值问题，要设出直线方程并联立双曲线方程，结合根与系数的关系式进行化简，解答的难点是计算比较复杂，计算量较大，比如计算弦长或者其他线段长度，计算要十分细心. 31．(1) (2)，为定值． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据的面积为，表示为，结合双曲线方程，即可得到答案； （2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意得，， 解得，故双曲线的方程为． （2）    由题意得，， 当直线的斜率为零时，则． 当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点， 联立，整理得， 则，解得且， 所以， 所以 ． 综上，，为定值． 32．(1)； (2)证明见解析，定值为. 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可； （2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可. 【详解】（1）依题意得， 解得所以双曲线C的方程是. （2）证明：设，，，直线l的方程为. 将直线方程代入双曲线方程，化简整理得， ， 则，. 要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足 即解得. 由，得，故， 所以. 又， 所以点D的纵坐标为定值. 【点睛】关键点睛：利用一元二次不等式的根与系数的关系进行求解是解题的关键. 33．(1) (2)证明见解析，定点为. 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）由点到直线的距离公式求出，再将点代入双曲线方程求出，可得双曲线的标准方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得、，再根据斜率和为列式，推出，从而可得直线过定点. 【详解】（1）设到渐近线，即的距离为， 则，结合得， 又在双曲线上，所以，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）联立，消去并整理得， 则，，即， 设，， 则，， 则 ， 所以， 所以， 所以， 整理得， 所以， 所以， 因为直线不过，即，， 所以，即， 所以直线，即过定点.      【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出是解题关键. 34．(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出即可得解. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出的中点纵坐标即可得解. 【详解】（1）设，，由，得， 解得，即，而曲线的渐近线方程为， 由点在的渐近线上，得，即，因此， 所以的方程为. （2）由（1）知，设直线为， 由消去y得：， 则， ，由三点共线，得，同理， 因此 ， 所以的中点为定点. 35．(1) (2)是定值， 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程， （2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可 【详解】（1）由题意得，，渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 又因为， 所以，，， 故双曲线的标准方程为. （2）设直线：，，，， 联立方程组得， 所以，. 因为直线的方程为， 所以的坐标为，同理可得的坐标为. 因为，， 所以 ， 即为定值. 36．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）由点，的坐标可知，结合离心率可得，即可得，即可得双曲线方程； （2）设出，，可表示出直线与的方程，借助联立直线l与G所得韦达定理计算即可得证点在定直线上；由双曲线的对称性可得点亦在该直线上，借助韦达定理，通过计算的值从而得证. 【详解】（1）由点，的坐标可知， 离心率为，故，所以， 所以双曲线方程为； （2）（ⅰ）设直线为：，联立双曲线得， 消去得：， 根据题意得：， 设，，则，， ，，故， 直线：，因为在上，所以， 直线：，直线：， 令， 可得 ， 解得，故点在直线上； （ⅱ）由双曲线对称性可知，点也在直线上， 设，，点在直线上，所以， 点在直线上，所以， ，所以. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 37．(1)； (2)或； (3)不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、平面向量数量积的定义及辨析、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据条件即可得结果； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【详解】（1）圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线，     因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为，     令，解得，所以有    ①     又由离心率为2，得    ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． （2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知，     联立方程，得，化简整理，得，     所以，且，     所以，解得，   所以直线的方程是或．    （3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解得：，         设，，则由韦达定理，得， 设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时于交点为）．     因为，，且，取中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，，依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分     经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立．     【点睛】直线与圆锥曲线相交，常利用“设而不求”的方法解决弦长，面积，数量积，斜率等问题. 38．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由已知条件，列方程组求，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，，所以双曲线的方程为. （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 由于过点作直线交的左支于两点， 设，，所以，， 由直线，得， 所以，又， 所以 ， 因为，所以，且， 所以，即为定值. 【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 39．(1) (2)证明见解析， 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】(1) 根据渐近线斜率及到焦点距离最值列式求解即可. (2)根据角相等得出向量夹角相等，进而得出m,k的关系得出定点，最后根据垂直关系得出圆的方程. 【详解】（1）设, 则由已知得, 解得, 所以的方程. （2）由(1)得,, 设，则 于是, 同理, 由，得 即 即, 整理得， 因为，所以, 所以的方程可化为 因此过定点 . 又因为垂足为,所以动点 在以为直径的圆上， 该圆的方程为. 40．(1) (2)证明见解析，定点的坐标为 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)根据双曲线的对称性可知，在双曲线上，而不可能在双曲线上，从而可知也在双曲线上，即可求双曲线的方程；(2)分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可用含有的式子表示、，再由得到含有的方程，把、代入化简即可求出的值，从而求出定点坐标.当直线的斜率不存在时，设的方程为，同理可求出定点坐标. 【详解】（1）根据双曲线的对称性可知，关于轴对称， 所以，必同时在双曲线上，而不可能在双曲线上. 则双曲线还经过点，则， 将点代入，可得. 所以双曲线的方程为. （2）(ⅰ)当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，. 由得（*）， 且，， 因为，所以，， 因为，所以，即， 所以， 即， 所以， 化简得，即， 所以或，且均满足（*）， 当时，直线的方程为， 直线过定点，即点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为， 直线过定点，符合题意. (ⅱ)当直线的斜率不存在时，设的方程为， 由，解得， 依题意，因为，， 所以，即， 所以，即， 解得（舍）或， 所以直线的方程为，直线过点， 综上所述，直线经过一个不在双曲线上的定点，定点的坐标为. 41．(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的动点在定直线上问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可； （2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程. 【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得， 焦点，，. 所以，，故C：. （2）设l的方程为，则，故， 由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故. 与双曲线方程联立得：， 由已知得，，设，， 则，① 由，得：，， 消去得：， 即② 由①②得：，由已知， 故存在定直线l：满足条件. 42．(1) (2)斜率之积为定值4，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知两点求斜率、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由双曲线的实轴长和离心率，求出与，可得双曲线C的标准方程； （2）分直线l斜率存在和不存在两种类型，通过联立方程组，设点，利用韦达定理表示直线QA，QB的斜率之积，化简得定值. 【详解】（1）双曲线的实轴长为4，则，即， 双曲线离心率为，则双曲线是等轴双曲线，得． 所以双曲线C的标准方程为. （2）当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4，证明如下： 过点的直线l，若斜率不存在，则直线方程为， 与双曲线方程联立解得，，. 直线l斜率存在，设直线斜率为，直线方程为， 双曲线渐近线方程为，当时，直线l与双曲线C交于A，B两点， 由，消去得， 设，，有，， ， ， 当直线QA，QB的斜率均存在， . 所以当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4. 【点睛】方法点睛： 解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 43．(1) (2)①证明见解析；②或． 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线定义得出，由题意可知，，根据余弦定理计算可得，再根据双曲线的关系计算即可； （2）①设，，，由，，将代入双曲线联立方程求解即可，②由①可知，根据题意建立等式求解即可求解. 【详解】（1）由双曲线的定义知，， 由题意可得，， 在中，由余弦定理知， 解得，因为，所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）①设，，，， 由， 即，所以 同理，由，得， 将的坐标代入曲线得， ， 将的坐标代入曲线得， ， 所以为定值； ②由①知，， ， 因为点在双曲线上，所以或， 即或． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据题意求出A，B两点坐标，代入双曲线中得到与的关系. 44．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）利用已知条件求出双曲线的右焦点，然后利用点斜式求解即可； （2）由（1）条件求出即可； （3）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算即可. 【详解】（1）由题意设双曲线方程为， 由题意可得， 所以，又直线斜率， ∴直线的方程为： （2）由（1）知， 所以， 故双曲线方程为：； （3）由题意联立， 消元整理得：， 由， 设，， ∴， . 45．(1)：， (2)（i）证明见解析；（ii）存在，，为定值. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程、双曲线中的直线过定点问题、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据题意，结合待定系数法求解即可； （2）（i）先联立抛物线与双曲线的方程得，进而结合题意设直线方程为，进而与双曲线联立方程，结合向量垂直的坐标表示，韦达定理整理得，进而得直线过定点，即可证明； （ii）由题知，进而点在以线段为直径的圆上，线段的中点为，，为定值. 【详解】（1）解：因为双曲线的右焦点为，渐近线过点， 所以，，解得， 所以，双曲线的方程为：. 因为抛物线：（）经过点 所以，，解得， 所以，抛物线. （2）解：（i）由解得，故， 因为不经过点的直线与的左右两支分别交于点，， 所以，直线斜率存在，设方程为， 由得， 所以，，解得， ， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 所以， 即， 所以，整理得， 因为直线不经过点， 所以，， 所以，，故， 所以，直线的方程为：. 所以，直线过定点. （ii）记，又，， 因为，即， 所以，点在以线段为直径的圆上，线段的中点为，即为圆心. 所以，，为定值. 所以，存在点，使得，为定值.. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于结合韦达定理，向量垂直的坐标关系求解得直线方程为满足，进而得定点. 46．(1). (2)存在，直线为或. 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C的方程； （2）由题设有，设直线为，，并联立双曲线方程，应用韦达定理、中点坐标公式求M，N的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k，进而可得直线l的方程. 【详解】（1）由题设，，又在双曲线上， ∴，可得， ∴双曲线C的方程为. （2）由（1）知：， 直线的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线：，符合题意； 设直线为，， 联立双曲线方程可得：， 由题设， ∴，，则. 要使△构成以为顶角的等腰三角形，则， ∴的中点坐标为， ∴，可得或， 当时，，不合题意，所以，直线l：， ∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形. 47．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的切线方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据双曲线的焦距及过点列出方程求解方程即可； （2）分直线斜率存在，不存在讨论，当斜率存在时，利用直线与双曲线方程组有且只有一解求斜率即可. 【详解】（1）由已知可设双曲线E的方程为， 则，解得， 所以双曲线E的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设直线l的方程为，如图，    联立，得（*）， ①当，即或时，方程（*）只有一解， 所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 此时，直线l的方程为； ②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 则，解得， 此时，直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 48．(1) (2)证明见解析，定点 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据题意列出方程组，求得a,b，可得答案; （2）分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况，斜率存在，设出直线方程并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出，结合根与系数的关系化简，可得参数之间的关系式，结合直线方程，求得答案. 【详解】（1）由题意点在双曲线上，离心率 可得； ，解出，， 所以，双曲线的方程是 （2）①当直线的斜率不存在时，则可设， 代入，得， 则， 即，解得或， 当时，，其中一个与点重合，不合题意； 当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入， 整理得，，设， 则， 由， 所以 所以，， 即, 整理得， 即， 所以或， 若，则，直线化为，过定点； 若，则，直线化为，它过点，舍去 综上，直线恒过定点 另解： 设直线的方程为①， 双曲线的方程可化为， 即②， 由①②可得， 整理可得， 两边同时除以， 整理得③， ， 则是方程③的两个不同的根， 所以，即④， 由①④可得 ，解得， 故直线恒过定点. 【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题，综合性较强，计算量大，解答时要明确解题思路，注意分类讨论，解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系，并利用该关系式化简得到参数之间的关系，从而解决直线过定点问题. 49．(1) (2)-4 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线中x、y的范围求范围或最值、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）直接由离心率和点代入双曲线求得即可； （2）先表示出，再通过点P横坐标的范围求出最小值. 【详解】（1）依题又， 所以，，故双曲线的方程为. （2）由已知得，，设， 于是，， 因此， 由于，所以当时，取得最小值，为. 50．(1)； (2)详见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题可知，根据条件列出方程组，进而即得； （2）设直线MN的方程为，联立双曲线方程求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为， 所以，解得， 所以双曲线Γ的标准方程为； （2）设直线MN的方程为， 由，可得，则 ，， 设，，，，， 所以， 直线：，：， 联立两方程，可得： ， 解得， 当直线与x轴重合时，则， ：，：，联立可得， 综上，直线ME与NF的交点在定直线上. 51．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为； （2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零， 且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的取值范围； （3）由，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可得结果. 【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以，为焦点的双曲线的左支，且， 由，所以，，所以曲线的方程为. 故曲线的方程为：. （2）设，，由题意联立方程组，消去得， 又因为直线与双曲线左支交于两点，有，解得 . 故的取值范围为. （3）因为 ， 整理化简得，解得或， 因为，所以，直线的方程为. 故直线的方程为：. 【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 52．(1) (2)是定值， 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）首先根据离心率，和双曲线方程，列式即可求解； （2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为． 由题意可得，解得， 所以的方程为． （2）为定值，理由如下： 由（1）知，设直线， 联立方程得，消去，整理可得， ， ，同理． 直线过点且与的左、右两支分别交于两点， 两点在轴同侧，，此时，即． ， ，为定值． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线联立，解决定值的问题，本题的关键是利用坐标表示和，并求解. 53．(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中存在定点满足某条件问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意可得，，解方程求出的值即可求解； （2），设，，，，直线，的斜率分别为，根据，，可得利用和所表示的点的坐标，同理可得利用和所表示的点的坐标，将整理为关于的方程，由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解. 【详解】（1）由可得渐近线方程为：， 因为两条渐近线互相垂直，所以，可得， 又因为，解得：， 所以双曲线的方程为. （2）设，，，， 由（1）知：，设直线，的斜率分别为， 因为三点共线，所以，即， 因为直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补， 所以，即，所以， 由可得，所以， 同理可得， 因为直线，的斜率之积为定值，设定值为， 则， 整理可得：，其中， 因为上式对任意的都成立，所以，可得，， 所以点的坐标为. 【点睛】思路点睛：破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出草图，把已知条件翻译到图形中；二是“转化”搭桥，即利用斜率，联立方程等，将问题代数化，一般运算量较大. 54．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，解得其值，可得双曲线方程； （2）设出直线l的方程。联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，根据题意求出的垂直平分线的方程，可得Q点坐标，继而求得，再求得弦长，利用双曲线定义可推出，化简，即可证明其为定值. 【详解】（1）由题意点在C上，且的面积为6， 可得且，则， 又 ，解得， 故双曲线方程为； （2）证明：由（1）知，故设斜率为k的直线l为， 由于直线l交双曲线C的右支于两点，故， 联立 ，可得， 当时，直线l与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意； 故，此时， 设，则， 则， 即的中点坐标为， 因为Q为x轴上一点，满足，故Q为的垂直平分线与x轴的交点， 的垂直平分线的方程为：， 令 ，则得，即, 所以, 又， 又因为在双曲线的右支上，故, 故，即, 故，即为定值. 【点睛】难点点睛：证明为定值时，关键是要结合双曲线定义化简，同时结合，利用的垂直平分线的方程求出，求得，因此难点就在于求双曲线弦长以及时，计算比较复杂且计算量较大，要求十分细心. 55．(1) (2)直线过定点 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，的关系和离心率即可求解. （2）由题知直线的斜率存在且不为，设直线：，与的方程联立，可得，因为，用代替，同理解得，进而表示出直线的方程，即可得解. 【详解】（1）由题意，取渐近线， 右顶点到该渐近线的距离， 又，，解得，，， 的方程为. （2）由题意知直线的斜率存在且不为， 设直线：， 与的方程联立，消去得， 易知， 由韦达定理得，则. 因为，所以， 用代替（显然此时）， 同理得， 得， 直线：， 过定点. 当时，直线的斜率不存在， 易知直线的方程为，过左焦点. 综上，直线过定点.    56．（1）；（2）存在；；定点． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程组，解出a、b、c，即可求出双曲线的方程； （2）设直线的方程为，设定点，联立方程组，用“设而不求法”表示出为常数，求出t，即可求出定点Q. 【详解】解：（1）由题意，，解得，． ∴双曲线方程为； （2）设直线的方程为，设定点， 联立，得． ∴，且，解得且． 设，， ∴，， ∴， ． ∴ 为常数，与无关， ∴，即，此时． ∴在轴上存在定点，使得为常数． 【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程； （2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 57．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据已知列关于a,b,c的方程组求解即可； （2）直线联立双曲线方程，写出直线，的方程，然后可得点，坐标，将比值问题转化为纵坐标关系，利用韦达定理可得，然后可得. 【详解】（1）由题知，解得，，， ； （2）设直线，， 联立，则， 则，， ，    设直线，， 令，，， 则， 因为 所以，B为PQ的中点，所以. 【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向. 答案第24页，共57页 答案第3页，共73页 学科网（北京）股份有限公司 $$