15.椭圆中利用自变量范围求离心率-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

15.椭圆中利用自变量范围求离心率 1．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·全国·期中）已知椭圆：的右焦点为，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·陕西西安·期中）设椭圆：的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高三上·黑龙江双鸭山·期末）已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C．    D． 9．（20-21高二上·四川成都·期中）已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高二·全国·单元测试）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线，且椭圆与抛物线相交于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为2 13．（2023·河北张家口·三模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（    ） A．直线与椭圆相交 B．直线与圆相交 C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则 D．若两直线的斜率之积为，则 14．（22-23高三上·湖北·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 15．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知曲线，则下列说法正确的为（    ） A．若该曲线是双曲线方程，则，或 B．若则该曲线为椭圆 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则离心率 16．（22-23高二上·广东惠州·阶段练习）已知椭圆C：的左、右两焦点分别是、，其中.过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（    ） A．的周长为 B．若AB的中点为M，AB所在直线斜率为k，则 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 17．（22-23高二上·辽宁锦州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值可能为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二·全国·课堂例题）若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 . 19．（2023·全国·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为 ． 20．（20-21高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 21．（20-21高二上·天津河北·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M为上的三等分点，且满足，若，则该椭圆的离心率e的取值范围是 ． 22．（22-23高二上·吉林·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的最小值为 . 23．（2013·江西南昌·二模）已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.    24．（21-22高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知椭圆：（）的长半轴长为． (1)若椭圆经过点，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，，椭圆上存在点，使得．求椭圆的离心率的取值范围． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页S 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D D D D C A A 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 B ABC BCD BCD AD AD AB 1．C 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得. 故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式； ②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围； ③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围. 2．A 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由题可知六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分或，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得． 【详解】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个， 设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又， 消去整理得：， 解得(舍去)或， 由得， 所以，即， 若，则，又， 消去整理得：， 解得或，舍去． 所以， 所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的； ②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或 当时，则，即，则， 当时，则有，则， 综上所述，椭圆的离心率取值范围是. 故选：A. 3．A 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围 【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点， 由 得， 所以或， 当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件； 当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要， 即，即，解得，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决. 4．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，求出的最大值，由这个最大值不大于得关于齐次式，变形后可求得的范围． 【详解】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得，又，故解得， 故选：D． 5．D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据题意求得，，再根据得到，再代入椭圆方程得到，再结合的取值范围即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【详解】由，，， 则，， 则，， 又，则，即， 又在椭圆上但不在坐标轴上， 则，即，， 所以，即，解得， 故椭圆的离心率的取值范围为． 故选：D． 6．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由几何关系得，且，再由勾股定理与椭圆的性质求解， 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知， 四边形为平行四边形，又，即， 所以平行四边形为矩形，所以， 设，， 在直角中，，， 得，所以， 令，得，又由，得， 所以，所以 ，即， 所以，所以离心率最大值为. 故选：D 7．D 【难度】0.65 【知识点】余弦定理边角互化的应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】在中，由余弦定理用表示出，再由三角形的面积公式得到关于的不等关系，从而得到离心率的范围. 【详解】由题，，则．设，，则由椭圆的定义得． 在中，由余弦定理得， 所以， 所以． 设，则，所以， 所以，所以， 两边同时平方得，解得， 又，所以. 故选：D． 8．C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由椭圆的对称性，取椭圆的下焦点，由题意可得四边形为矩形，求出，用表示的代数式，由椭圆的定义可得与的关系，由角的范围求出三角函数的范围，进而求出离心率的范围，即可得到结果． 【详解】因为直线过原点，由椭圆及直线的对称性可得， 所以， 设下焦点，连接，，又因为，即 且互相平分， 可得四边形为矩形， 即有， 在中，， ， 由椭圆的定义可得， 所以， 所以离心率， 因为，，所以，， 所以，, 所以， 故选：C． 9．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】为椭圆的左焦点，连接，，根据对称性知为平行四边形，即可求参数，由到直线的距离不小于，结合点线距离公式有，进而可求离心率的范围. 【详解】   取椭圆的左焦点，连接，，则根据对称性有，，故为平行四边形，，， 点到的距离，， 由， 故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：过原点的直线与椭圆的两交点关于原点对称确定为平行四边形，，结合椭圆的定义求参数，点线距离公式结合条件得到的范围，由椭圆离心率公式及参数关系求离心率范围. 10．A 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，．则四边形为矩形．因此．而．，．可得，求出即可． 【详解】解：如图所示， 设椭圆的左焦点为，连接，． 则四边形为矩形． 因此．．所以，． ． ， ， ， ， 其中， ． ． 故选：A． 11．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、抛物线的对称性的应用 【分析】 由椭圆和抛物线的对称性可知两点关于轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围. 【详解】解：设，则，因为，， 由，得：，即， 点在椭圆上，所以满足，代入上式可得： ，即，即， 因为点在椭圆上，所以，解得：， 即，解得：. 故选：B 12．ABC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题 【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A； 根据离心率求出，则，即可判断B； 设上顶点，得到，即可判断C； 根据利用基本不等式判断D. 【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得， 所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确； 当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，，由于， 所以存在点使得，故C正确； ， 当且仅当时，等号成立， 又， 所以，故D不正确． 故选：ABC 13．BCD 【难度】0.4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】由时，点时，得到直线方程，联立方程组，结合，可判定A错误；由原点到直线的距离为，可判定B正确；设，根据题意求得，进而得到，结合离心率的定义，可判定C正确；不妨设，根据得到，求得，结合离心率的定义，求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，当时，点的坐标可以为， 可得直线为，即， 由，整理得，此时， 所以直线与椭圆无交点，所以A错误； 对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为， 由点到直线的距离公式，可得， 所以直线与圆相交，所以B正确； 对于C中，椭圆的焦距为，可得，即， 不妨设，则直线， 由原点到直线的距离等于1，可得，解得， 同理可得，因为，即， 解得，又由，解得， 所以离心率，所以C正确； 对于D中，不妨设，则,， 所以，解得， 所以， 因为，可得，所以，所以D正确. 故选：BCD.      【点睛】解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 14．BCD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D. 【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得， 所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确； 当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，，由于， 所以存在点使得，故C正确； ， 当且仅当时，等号成立， 又， 所以，故D正确． 故选：BCD 15．AD 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、由椭圆的离心率求参数的取值范围、根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的结构特征求出m的范围，即可判断A；取即可排除B；分焦点在x轴上和在y轴上求解出m的值，即可判断C；根据焦点位置求出m的范围，然后表示出离心率求解即可判断D. 【详解】对于A，若该曲线是双曲线方程，则解得，或，A正确； 对于B，当时，曲线方程为，表示圆，B错误； 对于C，若该曲线离心率为，则曲线表示椭圆， 当焦点在x轴上时，，解得， 当焦点在y轴上时，，解得，C错误； 对于D，若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则，解得， ， 因为，则，所以， 所以，D正确. 故选：AD 16．AD 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据弦长求参数、椭圆中向量点乘问题 【分析】对A，由椭圆定义可知； 对B，设，，分别写出中点M，k，，点A、B在椭圆上的两程作差整理可得； 对C，当轴时，最小，由坐标求出即可建立齐次方程，求出离心率； 对D，，，结合椭圆方程化简得，由，可得，即可由齐次方程解出离心率范围. 【详解】对A，∵直线AB过左焦点，∴的周长为，A对； 对B，设，，则，点，∴． 由，①-②得，∴，∴，B错； 对C，当轴时，最小，令，由解得，∴， 整理得，即，解得或（舍），C错； 对D，，，∴， ∵，∴，即，即，可得， 则椭圆的离心率的取值范围是，D对． 故选：AD． 17．AB 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，根据根据椭圆定义得到①，根据，得到，利用勾股定理得到②，联立①②可得，然后利用换元法求离心率的范围即可. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有①；由，得， ∴，即为②，由，可得，令，可得， ∵，∴，∴，即有， 由，解得. 故选：AB. 18． 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】方法一：设点M的坐标是，则，由题意，即，结合点M在椭圆上，可得，即可求出椭圆的离心率的取值范围； 方法二：设点M的坐标是，由已知可得出关于、的方程组，求出，可得出关于、、的不等式组，由此可解得椭圆的离心率的取值范围； 方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，由题意，则，进而可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】方法一：设点M的坐标是，则. ∵，，∴，. ∵，∴，即. 又点M在椭圆上，即， ∴，即， ∴，即， 又，∴， 故椭圆的离心率e的取值范围是. 方法二：设点M的坐标是， 由方法一可得消去，得， ∵，∴， 由②得，此式恒成立. 由①得，即，∴，则. 又，∴. 综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是. 方法三：设椭圆的一个短轴端点为P， ∵椭圆上存在一点M，使， ∴，则，（最大时，M为短轴端点） ∴，即， 又，∴， 故椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. 19． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据已知条件及直角所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围． 【详解】由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点， 所以半径，即，且． 所以， 由于，令，则，则 ． 由于函数在上单调递减， 故在上单调递减， 故，即，满足，符合题意． 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数，结合对勾函数的性质即可. 20． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【解析】设则，可得，再结合 即可求得范围. 【详解】设，，， 则， 若存在点使三角形的面积为， 则，可得， 因为，所以， 即，可得， 整理可得：， 所以，解得：， 所以， 所以椭圆的离心率的取值范围是：， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是，设利用焦点三角形的面积公式表示出. 21． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【解析】设，根据，求出点，再由可得，代入椭圆方程可得，使方程在上有解，利用零点存在性定理即可求解. 【详解】设，， 则，， ，， ，，， ，， ，又， ， ， 存在，存在， ，显然恒成立， 又，在上有解， 令，对称轴， 且不在上， ，， 解得，即 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率，解题的关键是根据，将问题转化为在上有解，考查了计算能力. 22．/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理边角互化的应用、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】根据题意得到等量关系，结合余弦定理得到，利用求出，进而得到的最小值. 【详解】由题意P为椭圆与双曲线的一个公共点，不妨设点P在双曲线右支上， 为左焦点，为右焦点， 则，，，， 解得：，， 由，得， 解得：， 因为，解得，必满足， 因为，即， 所以，即，所以， 解得：，故， 故的最小值为， 故答案为： 23． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上． 设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a 又∵|BF|=|A|   ∴|AF|+|BF|=2a  ……① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα   ……② |BF|=2ccosα    ……③ 将②③代入①  2csinα+2ccosα=2a ∴，即， ∵， ∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为 24．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由椭圆的长轴长、所过的点坐标求椭圆参数，进而写出椭圆方程. （2）设，由题设可得、，根据已知条件及两点距离公式得，联立方程求参数b的范围，利用椭圆参数关系求离心率的取值范围． 【详解】（1）由题意可得：，又椭圆过， ∴，解得．故椭圆的方程为． （2）由（1）知：，设，则．① 由，则， ∴，即．② 联立①②，解得． 由，即，故，解得， 于是，即，即，即． 故椭圆的离心率的取值范围是． 答案第22页，共23页 答案第14页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$