14.构造其次方程求离心率-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

14.构造其次方程求离心率 1．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南郴州·一模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·辽宁·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二下·北京·期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D．. 7．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． 8．（2023·湖南永州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高三下·湖北武汉·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 10．（2023·江苏南京·二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广东广州·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·浙江温州·三模）如图，是椭圆的左､右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·福建漳州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·四川绵阳·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·云南大理·一模）直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 23．（22-23高二上·重庆·期末）已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二上·上海浦东新·期末）设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 25．（2023·重庆·模拟预测）如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 26．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．（2023·山东聊城·一模）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高三上·湖北武汉·期末）已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）已知A，B为椭圆E的左，右焦点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 30．（22-23高二上·福建宁德·期中）椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．（2024·广东佛山·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．（2024·湖南·二模）如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆，直线与交于两点，且．则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 35．（22-23高三下·江西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为.点在上且横纵坐标均为非负数，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 36．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高三下·河南·阶段练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 38．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知椭圆C：（）的左焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 40．（2022·四川成都·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 41．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．（22-23高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高二上·福建厦门·期末）椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以F为圆心，为半径的圆与E交于点P，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 44．（2022高三·全国·专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（2016·全国·高考真题）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A． B． C． D． 46．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为 . 47．（21-22高二上·湖南邵阳·期末）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为 ． 48．（16-17高二下·四川成都·期中）设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 49．（2019高三·全国·专题练习）设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 50．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 . 51．（2022·湖南衡阳·二模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是 . 52．（2023·湖北·模拟预测）设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则 ． 53．（22-23高二上·浙江·期中）已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 . 54．（23-24高三上·河南·开学考试）已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为 ． 55．（2023·江西鹰潭·一模），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 . 56．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为 . 57．（2024·浙江杭州·模拟预测）经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为 . 58．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|. （1）求C1的离心率； （2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程. 59．（2019·全国·高考真题）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1）若为等边三角形，求C的离心率； （2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 试卷第10页，共11页 试卷第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D C B A B D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B B B D D A B A A B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D B C C D D D B D C 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 A B D B A D A C A B 题号 41 42 43 44 45 答案 D A C B A 1．A 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 2．C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 3．C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知：， 由平分，则，所以， 由，则解得， 由是关于直线的对称点，则共线，，，， 所以，在中，， 可得，解得，， 在中，由余弦定理，可得， 代入可得：，化简可得：， 所以其离心率. 故选：C. 4．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆的对称性及定义，求得的长度.根据为直角三角形，利用勾股定理得到的关系，进而求出离心率. 【详解】由椭圆的对称性，得．设，则． 由椭圆的定义，知，即， 解得，故，． 在中，由勾股定理，得， 即，则，故． 故选：D    5．C 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于A， 由题意知，O为的中点，故为中点， 又，即，则， 又由，则是等腰直角三角形， 故有，化简得，即， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：C. 6．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围. 【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交， 所以，可得，即，又， 所以. 故选：B 7．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为， 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 整理可得，即即， 从而，则椭圆的离心率， 故选A. 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】 由点坐标求得点坐标，然后代入椭圆的方程，化简求得椭圆的离心率. 【详解】由令，得， 由于与轴平行，且在第一象限，所以. 由于， 所以， 即，将点坐标代入椭圆的方程得， ， ， 所以离心率. 故选：B    9．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故选：D. 10．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形， 设，，则，， ，， 中，， 整理得到，即，故. 故选：A 11．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，依题意可得，结合即可求得椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为， 则，且， 所以，，， 依题意为等腰三角形，， 所以，化简得，又， 所以，即， 解得，又，所以， 即椭圆的离心率为. 故选：B    12．B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故， 即，即，又，故. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到. 13．B 【难度】0.4 【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在直角中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 14．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设 ，得到和，两式相除即可求解. 【详解】设 ， 则， ， 两式相乘得,① 因为直径所对的角是直角,所以 所以  ,② ①除以②得，故， 故选：D 15．D 【难度】0.4 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率. 【详解】    设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为， 故其方程为：， 令，则，结合在轴正半轴上，故， 令，则或，故. 故，故直线. 设， 因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故， 而， 故，整理得到：， 故，故， 所以，故， 整理得到：，故， 故选：D. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建. 16．A 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆的对称性、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得，结合离心率可得，在中，利用余弦定理可得，进而结合椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，分析求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 又因为，可得， 由直线与轴的交点的坐标为可得， 在中，由余弦定理可得 ， 可得，整理得，解得或（舍去）， 且，所以， 由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值， 此时， 且，则，所以，即. 故选：A. . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解. 17．B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率. 【详解】由题意可得、，， 则以为圆心且过的圆的方程为， 令，则，由对称性，不妨取点在轴上方，即， 则，即， 有，则， 又，即有，即， 代入，有，即， 即在椭圆上，故， 化简得，由， 即有， 整理得，即， 有或， 由，故舍去，即， 则. 故选：B.    【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，b，c的方程，利用和转化为关于的方程，通过解方程求得离心率． 18．A 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，，进而在焦点三角形中运用余弦定理即可得，再结合均值不等式即可求解. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义，得，， 所 以，， 设，， 则在△中由余弦定理，得， 化简得：，即， 又，，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为． 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆与双曲线的定义得到，，从而利用余弦定理构造得关于的齐次方程，由此得解. 19．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据在椭圆上和直线上列方程，整理后求得椭圆的离心率. 【详解】设在第一象限的交点为A，右焦点为， 根据题意：轴，A在椭圆上， 由解得，则，A在直线上，则， 所以，，，所以， 解得. 故选：A 20．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据题意求出点坐标，再利用点差法求得，进而可得椭圆离心率. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，则， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有， 所以. 故选：B. 21．D 【难度】0.65 【知识点】向量数乘的有关计算、数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，先根据，得，，代入椭圆方程可得，进而解方程可得. 【详解】 如图，：的图象，则，，其中， 设，，则， ，，， 因，得， 故，得， 由得， 得即，得 由，得，又，， 化简得，又椭圆离心率， 所以，得. 故选：D 22．B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设出直线，与椭圆联立然后根据几何关系，结合根与系数关系即可求解. 【详解】设直线，与椭圆联立，化简得， 设，，则由根与系数的关系得①， 又，所以，代入①得②， 又直线与圆相切，所以，即，代入②整理得， 得，因此椭圆的离心率，故B正确. 故选：B． 【点睛】将直线与椭圆联立后结合根与系数的关系及几何关系，从而求解. 23．C 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可. 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：， 又因为，且分别为，的中点，所以, 所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：① 因为，所以即， 整理得：，将①代入，，所以. 故选：C. 24．C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】在△ 中，由正弦定理结合条件有：，再由的范围可求出离心率. 【详解】由，，设，，在 中，由正弦定理有：， 离心率，则  ；解得：， 由于，得， 显然成立， 由有，即，得， 所以椭圆离心率取值范围为. 故选：C 25．D 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】做轴于点，得到点的纵坐标，从而得到，然后根据，列出方程，即可得到结果. 【详解】 由题意，做轴于点， 因为四边形是等腰梯形，则， 则点的横坐标为，代入椭圆方程， 可得，即， 因为，则， 由，则， 化简可得，，同时除可得， 即， 对于 当时，，当时，， 在时，方程有根， 且，故应舍，所以. 故选:D 【点睛】解答本题的关键在于得到点的纵坐标，然后根据三角形相似列出方程，得到的关系式. 26．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，即， 解得和（舍去），即椭圆的离心率为. 故选：D. 27．D 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的性质分析可得蒙日圆的圆心为坐标原点，半径，设，根据平面向量的坐标运算可得，进而可得，代入运算即可得离心率. 【详解】设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为， 不妨设椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，显然均为椭圆的切线， 即均在蒙日圆上， 根据对称性分析可得：蒙日圆的圆心为坐标原点，半径， 设椭圆方程为，椭圆上任一点， ∵，则， 可得 ， 注意到， 故，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，故， 整理得，即， 整理得，即. 故选：D. 28．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标、根据弦长求参数 【分析】根据题意联立方程求点的横坐标，由结合弦长公式整理可得关于的方程有且仅有一个解，分类讨论运算求解. 【详解】由题意可得：， ∵直线的斜率存在且不为0，设为，则直线， 联立方程，消去y得：，解得或（舍去）， 即点B的横坐标为， 同理可得：点C的横坐标为， 由题意可得：，即， 整理得：， 由题意结合椭圆的对称性可得：关于的方程有且仅有一个解，则有： 当是方程的根，即，则， 若，则有且仅有一个解，即符合题意； 当不是方程的根，则在内无零点， ∵，则的对称轴， ∴，解得； 综上所述：，故椭圆离心率. 故选：B. 【点睛】易错点点睛： 在处理关于的方程有且仅有一个解的问题时，注意到该方程一定有一解，则需要讨论是否为的根. 29．D 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】依题意设椭圆方程为，对等腰三角形的顶角分两种情况讨论，结合图形及椭圆的性质计算可得. 【详解】解：依题意设椭圆方程为， ①若为等腰三角形的顶角，则在椭圆的上（下）顶点，如下图所示： 则，所以，则， 又，所以，所以； ②若（或）为等腰三角形的顶角，不妨取为顶角，如下图所示： 即，，又， 所以， 由余弦定理， 即， 即， 所以，解得或（舍去） 综上可得或. 故选：D． 30．C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】 设，则，根据斜率公式结合题意可得，再结合可求出离心率. 【详解】由题意得，设， 因为点，是上的任意两点，且关于轴对称， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以离心率， 故选：C    31．A 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，所以， 由，得， 又，所以， 在中，由， 得，即，所以， 即的离心率为. 故选：A.    32．B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的运算律、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】取的中点M，由已知可得四边形为平行四边形，则，利用数量积运算可得，再结合椭圆的定义及余弦定理求得a，c的关系即可得解. 【详解】如图，由，得，取的中点M， 则四边形为平行四边形，， 于是， 则，解得，， 由椭圆定义知，又，， 由，得，即， 在和中，余弦定理得：， 即，整理得， 所以C的离心率为. 故选：B 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 33．D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设内切圆与边分别相切于点，设，可得，结合椭圆和双曲线的定义可得，利用余弦定理求得，结合对勾函数的单调性分析求解. 【详解】如图，设内切圆与边分别相切于点， 由切线长定理和的对称性，可设. 由，可得. 在中，由余弦定理，. 于是根据椭圆和双曲线的定义，. 接下来确定的取值范围. 设， 在中，， 于是由余弦定理，， 整理得，于是，故， 又因为在内单调递增，可知， 可得，所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值； 2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 34．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】由题意可知中点是直线与直线的交点，所以求得，联立椭圆与直线的方程可得，解方程即可求出答案. 【详解】设，记， 设中点为，所以， 由题意可知，中点是直线与直线的交点， 联立，解得， 另一方面，联立，得． 易知，由韦达定理得，解得， 所以，故离心率．    故选：B. 35．A 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率. 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图， 设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则， 所以， 所以， 所以， . 又圆与圆的面积之比为9， 所以圆与圆的半径之比为3， 因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率. 故选：A. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 36．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据题意分析可知：的中点即为弦的中点，利用点差法运算求解. 【详解】设直线：，可得， 设的中点为，连接OM，则，， 因为，则，即为弦的中点， 设，则， 因为， 可得，两式相减得， 整理得，可得， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D.    37．A 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据垂直关系可得，根据数量积可得，进而得在椭圆上，即可化简求解. 【详解】    连接，依题意可得，所以， 所以， 所以， 所以， 则的坐标为，所以，即， 可得，化简得，解得，即． 故选：A 38．C 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】 联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而根据向量共线的坐标运算可得，进而结合求解离心率. 【详解】 设，，，过点所作直线的倾斜角为，所以该直线斜率为， 所以直线方程可写为，联立方程， 可得，， 根据韦达定理：，， 因为，即，所以， 所以， 即，所以，联立， 可得，. 故选：C 39．A 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以.    故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出求出离心率，②由条件构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 40．B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据相似可得，根据椭圆定义以及焦点三角形中余弦定理，可得，因式分解即可求解. 【详解】由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ， ，化简得 ，即，则，，因为 ，所以 解得或（舍）， 故选：B. 41．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】由可得为直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解 【详解】由题意，故为直角三角形， ， 又， ， 又为直角三角形，故， ， 即， . 故选：D. 42．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】 设出点的坐标，求出长，再利用给定的正切值列式计算作答. 【详解】设，则直线：，由，得，即，    而，，由，得，即， 有，又，因此， 所以E的离心率为. 故选：A 43．C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由已知得，右焦点为，中利用余弦定理列方程，由齐次式可求E的离心率. 【详解】由题意，，，由，， 右焦点为，连接，有， 中，， 化简得，即， 则E的离心率为. 故选：C 【点睛】思路点睛：点P在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a，求椭圆离心率，结合其它条件构造齐次式即可得解. 44．B 【难度】0.4 【知识点】垂直关系的向量表示、对勾函数求最值、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即，所以四边形为矩形，， 设，，在直角中，，， 得，所以，令，得， 又，得，所以， 所以 ，即，所以 所以椭圆的离心率的取值范围为， 故选：B 45．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A. 考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆. 【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 46． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意可得，，，再结合三角形相似可得，代入分析求解即可. 【详解】由题意，不妨设点P在第一象限，如图. 因为，则，，. 因为，则，可知， 则，即，整理得. 由得，解得或（舍去）， 所以C的离心率为. 故答案为：. 47． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设，利用“点差法”得到，即可求出离心率. 【详解】设直线与椭圆交于，则. 因为AB中点,则. 又，相减得：. 所以 所以 所以，所以，即离心率. 故答案为：. 48． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆及双曲线定义得，，， 因为，所以，，， 因为，，，所以，则， 因为，，由，所以，因此． 故答案为：. 49． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案. 【详解】设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 故答案为： 50．/ 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率. 【详解】因为，所以， 即， 所以，所以. 设，则，所以， 由得， 所以，所以， 在中，由， 得，所以.    故答案为: . 51． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得，设，则可得，然后根据正弦函数的性质可得其范围 【详解】解：设， 由椭圆的定义得①， 由双曲线的定义得②， ①②得，， ①②得，， 由余弦定理可得， 所以③， 设，则，解得 所以， 当时，最大值为时，的值为2， 所以的取值范围是. 故答案为： 52． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，作图，计算得，，再设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，得到，进而得到直线的方程，再得到点，利用，得到点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案. 【详解】 由点A在椭圆C上，且，设点，且，， 则 ， 同理， 设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知 ， ， ，解得，，得． 可得直线．进而可得， 由，可得， 设中点为M，则．， 点差法的结论，证明如下： 设，，，为中点， 故，两式作差得，， 又由，，可整理得，， 最后化简得，， 进而得到，， 得． 因为，所以， 联立，解得， 所以，故，解得． 故答案为：． 53．/ 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解. 54． 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率. 【详解】连接，由题意得，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，， 故，即，故， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故， 所以，即，所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是.    故答案为： 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 55． 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据，得到，且是的角平分线，再结合和角平分线定理得到，然后在中，利用勾股定理求解. 【详解】解：因为， 所以，则是的角平分线， 所以， 又因为， 所以，设， 由椭圆定义得， 即，解得， 则， 则， 所以，则， 故答案为： 56．/ 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由得出，由定义结合勾股定理得出，再由勾股定理得出离心率. 【详解】解：如图，    因为，则， 设，则，则， 由勾股定理可得，即， 整理可得，因为，解得， 所以，，， 由勾股定理可得，即，整理可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故答案为： 57．/ 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用斜率计算公式、离心率计算公式即可得出结论. 【详解】椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为， 则,即，可知其焦点在轴上， 则的离心率为 . 故答案为： 58．（1）；（2），. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值； （2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程. 【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点， 则直线的方程为， 联立，解得，则，    抛物线的方程为，联立， 解得，， ，即，， 即，即， ，解得，因此，椭圆的离心率为； （2）[方法一]：椭圆的第二定义 由椭圆的第二定义知，则有， 所以，即． 又由，得． 从而，解得． 所以． 故椭圆与抛物线的标准方程分别是． [方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式 以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． 由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得． 故的标准方程为，的标准方程为． [方法三]：参数方程 由（1）知，椭圆的方程为， 所以的参数方程为（为参数）， 将它代入抛物线的方程并化简得， 解得或（舍去）， 所以，即点M的坐标为． 又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得． 故的标准方程为，的标准方程为． [方法四]【最优解】：利用韦达定理 由（1）知，，椭圆的方程为， 联立，消去并整理得， 解得或（舍去）， 由抛物线的定义可得，解得. 因此，曲线的标准方程为， 曲线的标准方程为. 【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了. 方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向. 方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化. 方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果. 59．(1) ；（2），a的取值范围为. 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）先连结，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆定义，即可求出结果； （2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，，，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）连结，由为等边三角形可知： 在中，，，， 于是， 故椭圆C的离心率为； （2）[方法一]【椭圆的定义+基本不等式】 由题意可知，且，所以． 因为，所以． 又因为，且，所以，从而，故，所以，a的取值范围为． [方法二]【最优解：椭圆的定义+余弦定理】 由题意有则，即， 当且仅当时，等号成立． 此时P为短轴端点，，且满足． 即当时，存在点P，使得，且的面积等于16． 故，a的取值范围为． [方法三]【余弦定理+面积公式】 设，对椭圆上任一点P，设， 由余弦定理有，所以， 即．则． 又，即． 由于，则以O为圆心，为直径的圆必与椭圆C有公共点， 即半焦距，故． 综上，，a的取值范围为． 【点睛】(2)方法一：椭圆的定义是解决焦点三角形的核心，基本不等式是处理最值与范围问题的常用方法； 方法二：椭圆的定义和余弦定理相结合是处理焦点三角形最典型的方法； 方法三：余弦定理和面积公式是处理面积问题的经典方法，处理最值、范围问题时常用此方法. 答案第44页，共54页 答案第4页，共54页 学科网（北京）股份有限公司 $$