13.直接法求离心率-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

13.直接法求离心率 1．（2023·贵州·模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．（2018·全国·高考真题）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A． B． C． D． 3．（2023·河南·二模）设椭圆的离心率为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（21-22高二·全国·课后作业）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（15-16高二下·吉林·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·河南商丘·阶段练习）已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江苏·一模）已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·山东淄博·一模）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·安徽安庆·一模）.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 11．（2023·广东·二模）已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点. 若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，直线与交于另一点，与轴交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（21-22高二下·内蒙古赤峰·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 15．（2023·山东烟台·三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆：的左焦点为，若椭圆上存在点，使得线段被直线垂直平分，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高三·福建泉州·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，与轴交于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（2023·贵州毕节·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高三上·全国·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（2022高三·全国·专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点､上顶点和右焦点点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B．1 C． D． 23．（2023·湖北咸宁·模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2023·河南·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 26．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知M为椭圆：上一点，，为左右焦点，设，，若，则离心率（    ） A． B． C． D． 27．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点的直线与椭圆交于两点，设椭圆的右焦点为，已知，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（2023·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，椭圆和抛物线交于点A，B，点P为椭圆的右顶点.若O、A、P、B四点共圆，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·山西·一模）已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·山东日照·一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（    ） A．椭圆C的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆C的离心率为 31．（2023·湖北武汉·二模）椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（    ）    A．长轴长为4，短轴长为 B． C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点， 33．（21-22高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最大值为 C．存在点，使得 D．的最小值为 34．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率 ． 35．（2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 ． 36．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ． 37．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 . 38．（2022·全国·模拟预测）设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ． 39．（2023·河北石家庄·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则椭圆的离心率为 . 40．（2023·山西·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率 ． 41．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ． 42．（21-22高三下·海南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为 ． 43．（2023·浙江杭州·一模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ． 44．（22-23高三下·辽宁·阶段练习）如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为 ． 45．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知为椭圆：（）上一点，，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率 46．（23-24高三下·河北·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为第一象限内椭圆上一点，的内心为，且，则椭圆的离心率为 ． 47．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 48．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 49．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 50．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 51．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的离心率； (2)已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求. 试卷第10页，共11页 试卷第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A A D B C A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D D C A C C A B B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 A D B A B C D B A ACD 题号 31 32 33 答案 BCD BD ABD 1．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】 根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理和性质、椭圆的定义、勾股定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】 设椭圆左焦点为，连接 ，，， 设，，结合椭圆对称性得， 由椭圆定义得，，则. 因为，， 则四边形为平行四边形， 则，而，故， 则，即， 整理得，在中，， 即，即， ∴，故. 故选：A      【点睛】 关键点睛：本题的关键是利用椭圆的对称性和定义. 2．C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知，因为， 所以，即， 所以椭圆的离心率为，故选C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果. 3．B 【难度】0.65 【知识点】必要条件的判定及性质、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案. 【详解】当时，则；当时，则； 所以推不出，充分性不成立； 当时，则，必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，， 而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立， 即，即，则，即. 故选：D． 5．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、切线长 【分析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解 【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以． 由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率． 故选：A 6．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，且，根据题意问题化为保证时，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离心率的取值范围. 【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，    若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大， 所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近； 在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为， 所以，保证时，即， 由题意及图知：，故，而， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 7．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据题意，由点差法代入计算，可得，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，，， 将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得，， 两式相减可得. 又因为M为AB的中点，所以， 所以， 所以，， 又直线l与OM的斜率之积为， 所以，即， 所以椭圆C的离心率. 故选：D. 8．B 【难度】0.65 【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，进而得的坐标，进而根据对称性得，再代入椭圆方程整理得，最后求解离心率即可. 【详解】解：设，则，， 由题知关于x轴对称，关于轴对称， 所以，，即，， 所以， 所以，即， 所以，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 9．C 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由直线与坐标轴的交点，得到，，则，由，得点坐标，点A又在椭圆上，由定义求得，可求椭圆的离心率. 【详解】对直线，令，解得，令，解得， 故，， 则 ，设，则 ， 而，则 ，解得 ， 则， 点A又在椭圆上，左焦点，右焦点， 由， 则，椭圆的离心率. 故选：C 10．A 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体， 得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距， 所以椭圆的离心率． 故选：A. 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 11．D 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】 根据双曲线渐近线方程可得，可得，再结合椭圆定义及离心率公式可得解. 【详解】 如图所示， 由已知，则一条渐近线， 即， 又， 即，且四边形为矩形， 所以， 则， 又根据椭圆定义可知， 所以离心率， 故选：D. 12．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】首先根据几何性质表示焦半径，再结合余弦定理求焦半径的长度，即可求解. 【详解】如图，因为，所以点是的中点， 连接，由，得， 设，则，，． 由余弦定理得， 即，整理得， 则，故．    故选：D 13．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、余弦定理解三角形 【分析】由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解. 【详解】因为，由椭圆定义知， 又，所以，再由椭圆定义， 因为，所以， 所以由余弦定理可得， 即， 化简可得，即， 解得或（舍去）. 故选：D 14．C 【难度】0.65 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可. 【详解】若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得， 若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得，综上，或. 故选：C 15．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可. 【详解】    不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为， 令，解得，即. 设，又，，， 由可得：，解得， 又在椭圆上，即， 整理得，解得. 故选：A 16．C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据直角三角形的判定方法、正弦定理，结合椭圆的定义、比例的性质、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设右焦点为，直线交于，连接， 因为线段被直线垂直平分，所以，， 所以是以为斜边的直角三角形， 由直线的方程可知该直线的斜率为， 所以该直线的倾斜角为，即， 在中，由正弦定理可知： ， 故选：C    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理和比例的性质以及运用直角三角形的判定方法. 17．C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设出直线方程，求出点坐标，由，得出点坐标代入椭圆方程，化简可得结果. 【详解】设直线为， ，∴为的中点，. 在椭圆上，， ，代入化简整理得，， ， 解得， 又. 故选：C 18．A 【难度】0.65 【知识点】求15°等特殊角的正弦、正弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的其他应用 【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 19．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用结论建立不等式即可求解. 【详解】根据题意作图如下： 由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大， 要满足椭圆C上存在点（）使得，则， ∴，即：，整理得：， 又，∴得到：，∴， ∴椭圆离心率的取值范围为， 故选:B． 20．B 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案. 【详解】由题得，即， 由焦距为4得，解得， 可得椭圆方程为，所以，， 所以离心率为. 故选：B. 21．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】由三角恒等变换化简可得，设出的坐标，在两个三角形中表示出和，再由点在椭圆上化简可得的关系，进而求出离心率． 【详解】因为可得，即， 而在三角形中，，所以上式可得 而， 所以可得，即， 由题意可得，，设，， 可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示： 在中，， 在中，， 所以， 所以可得， 所以离心率 故选：． 22．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】表示出坐标，由，可得，求解即可. 【详解】令中，则， 所以． 因为，所以，则， 即， 所以． 故选：D.    23．B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故选：B. 24．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】 根据给定条件，利用中点弦问题求出，再求出椭圆的离心率作答. 【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且， 由两式相减得：，于是， 解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求， 所以椭圆的离心率. 故选：A 25．B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，不妨令，    由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，， 则，， 又因为，所以，则和都是直角三角形， 由勾股定理可得，， 即，解得， 所以，， 又，， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 26．C 【难度】0.4 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，结合三角恒等变换以及正余弦定理将化为，继而推出的关系，求得答案. 【详解】设，，则，    由得， 即， 在中，由正弦定理得， 故，又， 故， 即， 即，即或， 结合椭圆定义可知且， 故，即， 故选：C 【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得的关系，即可求解答案. 27．D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量，再求离心率即可. 【详解】 如图所示，设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 设，则，， 由余弦定理得： ， 所以，因为，， 所以椭圆的离心率. 故选：D． 28．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】分别求出O、A、P坐标，利用四点共圆可以得到，解方程即可. 【详解】如图所示，，，，所以，， 因为O、A、P、B四点共圆，所以， 所以，将代入得，， 由解得，，代入椭圆方程， 所以，整理得，所以，所以. 故选：B. 29．A 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆定义求出，根据边长确定，进而求出，即可求解椭圆离心率. 【详解】 由题意结合椭圆定义可知：的周长为，， 又因为， 所以，又由，知， 故，因此椭圆的离心率为. 故选：A 30．ACD 【难度】0.4 【知识点】圆锥中截面的有关计算、求线面角、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体， 得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B错误； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 31．BCD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先求圆与坐标轴的交点坐标，再分情况，求椭圆的离心率的取值. 【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为， 而椭圆的焦点在轴， 当焦点是，右顶点，此时，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率 故选：BCD 32．BD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的性质结合解直角三角形一一计算判定即可. 【详解】   对于A项，若长轴长为4，短轴长为， 可知此时，即A错误； 对于B项，若，此时， 即，符合定义，即B正确； 对于C项，若轴，且，易得， 且，则，即C错误； 对于D项，若四边形的内切圆过焦点，，则O到直线的距离为， 此时， 解之得，又，符合定义，即D正确. 故选：BD 33．ABD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、求椭圆中的最值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断. 【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得， ，故A项正确； 对于B项： ， 当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值， 由，得，，所以得， 所以最大值，故B项正确；    对于C项：设，若，即：， 则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又由A项知，得，又因为，得， 所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误； 对于D项： ， ， 当且仅当时取等号，故D项正确. 故选：ABD. 34．/0.5 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程, 由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式, 求得中点坐标 坐标, 求得垂直平分线方程, 当时, 即可求得点坐标, 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的关系, 即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为倾斜角为的直线过点， 设直线的方程为: , , 线段的中点, 联立 ，化为， ， ， 的垂直平分线为:, 令 , 解得 ,. , ,则 , 椭圆的离心率为, 故答案为:. 【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法, 属于较难题. 35．/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴 【分析】依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】 如图，设,因,故，又, 由余弦定理，， 即, 设椭圆中心为,作圆锥的轴截面,与底面直径交于，与椭圆交于， 连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系. 则,又由得, 从而则得, 不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得， 则，故 故答案为：. 36． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案. 【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得， 不妨设，，，则，． 在中，,由， 得，整理得①． 在中，,由， 得，整理得②， ①+②得，将该式代入②， 整理得，即， 故的离心率为， 故答案为： 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到之间的关系，解答时要注意利用的面积是面积的2倍，得到，由此可分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，求得答案. 37．/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】如图，设，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案. 【详解】如图，设，则，. 又由椭圆定义可得. 则在中，由余弦定理可得: . 则， 则在由余弦定理可得： . 又. 故答案为：    38．/0.6 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因为，所以，解得. 故答案为： 39．/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题设、椭圆定义知且，令结合，应用勾股定理列方程求及，即可求离心率. 【详解】由题设，，且， 令，则，，所以，， 又，则， 整理得，即或（舍）， 又，即， 当时，，此时； 综上，椭圆离心率为. 故答案为： 40． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，结合椭圆定义建立的关系求得. 【详解】 设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，，， 由对称性知， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 41．/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】作出图形，分析可知为等腰直角三角形，设，则，利用椭圆的定义可得出，，在中，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】因为点为线段的中点，，则， 所以，为等腰直角三角形，    设，则， 由椭圆的定义可得， 所以，， 所以，， 由勾股定理可得，即， 整理可得，因此，该椭圆的离心率为. 故答案为：. 42．/ 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据光学性质，在中由椭圆的定义可求出，再由直角三角形求出，计算离心率即可. 【详解】由椭圆的光学性质可知，都经过，且在中，，如图， 所以， 由椭圆的定义可知，即，又， 可得，在中，， 所以，所以. 故答案为： 43． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨设，，，，直线倾斜角为，直线倾斜角为，由，结合基本不等式可得，由已知可得，进而可求椭圆离心率的取值范围． 【详解】不妨设，，，， 设直线倾斜角为，直线倾斜角为， 则， ， 若的最大值为，则有最小值， 又，当且仅当，即时取等号， 则，即，解得， 又椭圆与直线无公共点，则，所以， 所以椭圆离心率的取值范围是． 故答案为：． 44．/ 【难度】0.4 【知识点】圆锥的结构特征辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】令，由等比数列性质可得，进而确定圆锥轴截面为等腰直角三角形，并求出椭圆长轴长的长度，根据圆锥的结构特征找到椭圆短轴长，最后应用椭圆离心率定义求离心率. 【详解】令，则，又，，的长度成等比数列， 所以，即， 由题意，显然，在直角△中，则， 所以△为等腰直角三角形，故圆锥轴截面为等腰直角三角形且， 所以，即椭圆长轴长，则， 轴截面如下图示：该椭圆的短轴与圆锥底面平行，过作交于，交于，则， 为中点，所以为中点，即为椭圆中心， 过作交于， 综上，有△△均为等腰直角三角形，故，则， 同理△△，故，则， 所以，即， 综上，椭圆离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：注意短轴长为过长轴长中点平行于轴截面底边并与母线相交所成的线段长度. 45．/ 【难度】0.4 【知识点】和差化积公式、正弦定理边角互化的应用、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意由和差化积公式可得，再由正弦定理和诱导公式即可求得该椭圆离心率. 【详解】利用和差化积公式可得：. 由两边同时乘以可得：，即. 设，，，则. 在中，由正弦定理可得， 所以. 所以该椭圆离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知角的关系利用和差化积公式得出，再由正弦定理实现边角互化求得离心率. 46． 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】结合内切圆得性质，并设结合余弦定理求出，再借助离心率公式计算即可. 【详解】如图由的内心为可知该内切圆的半径为， 设该内切圆与的三边的切点为,所以, 又，所以,, 设 在中由余弦定理可得：， 化简得： 由的内心为可知， 在椭圆中易知,即即， 联立，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：.    47．(1) (2)直线的方程为或. 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 48．(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 49．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 50．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的切线方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】（1）解：， 离心率为. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 51．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得，即可求出离心率； （2）设出点坐标，写出直线和的方程求出交点坐标，利用化简的表达式即可求得结果. 【详解】（1）根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为， 由题意可知，即， 又，所以，即， 可得椭圆的离心率. （2）由，得，即， 所以椭圆的方程为. 如图所示：    设，则，即， 又，则直线的方程为， 直线的方程为； 因为直线分别与直线交于点， 可得， 所以. 即. 答案第44页，共44页 答案第9页，共45页 学科网（北京）股份有限公司 $$