12.待定系数法求椭圆方程-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

12.待定系数法求椭圆方程 1．（21-22高三上·吉林·期末）已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2013·全国·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 3．（2023高一·全国·专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·安徽合肥·三模）已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（19-20高三上·辽宁沈阳·阶段练习）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ． 6．（2023·广东·二模）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为 ． 7．（21-22高二上·广东广州·期末）在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为 . 8．（2022·湖北·二模）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆C的离心率为 ． （2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为 ． 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为 . 10．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 11．（2020·北京·高考真题）已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 12．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 13．（2023·吉林长春·一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． 14．（2023·广东·模拟预测）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆标准方程； (2)若为原点，且满足，求的面积. 15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求证：为定值． 16．（2022·北京西城·一模）已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 17．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是． (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程． 18．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆的两焦点，且椭圆过. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围 19．（2019·天津·高考真题）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率. 20．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由. 21．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 22．（2023·北京房山·一模）已知椭圆过点，且离心率为 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值. 23．（23-24高三上·湖北·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值. 24．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 25．（2022·安徽合肥·模拟预测）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由. 26．（2021·四川绵阳·三模）已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程. 27．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求： (1)椭圆的标准方程 (2)的面积． 28．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)直线与交于两点， （i）求面积的最大值； （ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 29．（23-24高三上·福建厦门·阶段练习）已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线，与轴交于点，与椭圆相交于点，求证：为定值. 30．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 31．（2023·北京西城·二模）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值． 32．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值． 33．（21-22高三上·广东茂名·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 34．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点． (1)求椭圆W的方程； (2)已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积S的最大值． 35．（2024·四川成都·一模）已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，，离心率的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标. 36．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 37．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆C：与椭圆有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值． 38．（2024·辽宁大连·一模）已知椭圆的离心率为，为上顶点，为左顶点，为上焦点，且. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于，两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 39．（23-24高二上·北京西城·阶段练习）已知椭圆的焦点是，，且，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 40．（2023·天津和平·二模）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程． 41．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为．，且椭圆上的点满足．    (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值． 42．（2024·河北·一模）已知椭圆E：过点，且其离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）． 43．（2019·江西·一模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是 （1）求椭圆的方程 （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程 44．（2023·甘肃·二模）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点． ①证明：直线CD过椭圆右焦点； ②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积． 45．（2019·天津·高考真题） 设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程. 46．（23-24高三上·湖南岳阳·阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值． 47．（2023·天津·一模）已知椭圆：的右焦点为点，、分别为椭圆的上、下顶点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的． (1)求椭圆的离心率； (2)过点且斜率为（）的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点，过点且与平行的直线截椭圆所得弦长为，求椭圆的标准方程． 48．（2014·广东·高考真题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 49．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，是椭圆上两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 50．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．    (1)求椭圆方程； (2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围． 51．（23-24高二上·辽宁·期中）已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)点M，N在C上，且，证明：直线MN过定点． 52．（2024·北京朝阳·一模）已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. (1)求E的方程； (2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. （i）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 53．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且，求实数的值． 54．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知椭圆过点，且长轴长等于4． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值． 55．（22-23高二上·河南许昌·期末）已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程. 56．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）已知椭圆C：过点，且C的右焦点为． (1)求C的离心率； (2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：． 57．（2022·广东茂名·二模）已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 58．（20-21高二上·广西玉林·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 59．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程. 60．（2023·天津·一模）已知椭圆，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆方程； (2)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由. 61．（2023·江苏常州·一模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 62．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 63．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知椭圆的两焦点分别为、，且椭圆的离心率为．    (1)求椭圆E的方程； (2)过两焦点的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，若，求平行四边形ABCD面积最大值． 64．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆与椭圆有相同的离心率，椭圆焦点在y轴上且经过点. (1)求椭圆的标准方程： (2)设A为椭圆的上顶点，经过原点的直线交椭圆于干P，Q，直线AP､AQ与椭圆的另一个交点分别为点M和N，若与的面积分别为和，求取值范围. 65．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为： (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由. 66．（2023·广东湛江·二模）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切． (1)求椭圆的方程． (2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点． （i）求直线与的斜率之积； （ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程． 试卷第14页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D C B 1．A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的参数及范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】设.先由题意求出椭圆标准方程为..把转化为，由求出，即可求得. 【详解】设. 在中，当时，由椭圆的定义，余弦定理得： 整理得： 由三角形的面积公式得：，解得：. 因为线段的中点落到y轴上，又O为的中点，所以轴，即. 由，得，解得：，所以， 代入椭圆标准方程得：. 又有，解得：，所以椭圆标准方程为：. 所以. 因为，所以. 所以. 因为， 当时，， 所以. 故选：A. 【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值. 2．D 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 3．C 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设，利用点差法求解即可． 【详解】设，代入椭圆的方程可得，． 两式相减可得：． 由，，代入上式可得： ＝0，化为． 又，，联立解得． ∴椭圆的方程为：． 故选：C． 4．B 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】 利用三角换元设，，代入椭圆方程可得，再根据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可. 【详解】 先证三角形面积公式的向量形式：在中，， 则 ，而 设，，由题意可知;， 所以， 将坐标代入椭圆方程有 ， 则 所以四边形的面积为， 即，又根据和的斜率乘积为知， 所以，解之得：，． 故选：B 5． 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案. 【详解】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，， 所以，所以圆心的轨迹为椭圆. 其中，，故， 因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：. 故答案为：. 6． 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程 【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答. 【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A，过N作轴于B，令，    因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而， 于是，由知，，显然， 因此，于是，又， 则，解得，而，则， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 7． 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、轨迹问题——圆、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】先根据求出圆的方程，再由的面积的最大值结合离心率求出和的值，进而求出面积的最小值. 【详解】解：由题意，设，， 因为 即 两边平方整理得： 所以圆心为，半径 因为的面积的最大值为3 所以，解得： 因为椭圆的离心率 即，所以 由得： 所以面积的最小值为： 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积的最值. 8． /0.5 【难度】0.65 【知识点】椭圆与反光镜的设计问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】(1)由题意得到关于a,c的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率; (2)由题意利用几何关系求得a,b的值即可求得椭圆方程. 【详解】设椭圆C的长轴长为2a(a>0),则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，经过的路程为，从而； 如图示： 延长,交于点F0. 在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,则且H为中点. 在△中, 则,∴, 所以椭圆方程为. 故答案为：；. 9． 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据椭圆定义可得答案. 【详解】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为，， 故，，所以椭圆C的标准方程为. 故答案为：.      10．(1) (2)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 11．（Ⅰ）；（Ⅱ）1. 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； (Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值. 【详解】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得： ，解得：， 故椭圆方程为：. (Ⅱ)[方法一]： 设，，直线的方程为：， 与椭圆方程联立可得：， 即：， 则：. 直线MA的方程为：， 令可得：， 同理可得：. 很明显，且，注意到， ， 而 ， 故. 从而. [方法二]【最优解】：几何含义法 ①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以． ②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且． 由题意知直线的斜率存在．． 当时， ． 同理，．所以． 因为，所以． 【整体点评】方法一直接设直线的方程为：，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为，联立方程消去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法. 12．（1）；（2）：，： . 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中. 不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：， 所以当时，有，因此的纵坐标分别为，； 又因为抛物线的方程为，所以当时，有， 所以的纵坐标分别为，，故，. 由得，即，解得（舍去），. 所以的离心率为. （2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为. 由已知得，即. 所以的标准方程为，的标准方程为. 【点睛】 本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力. 13．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有， 在方程中，令，解得， 因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1， 所以有，由可得：， 所以椭圆的方程为； （2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意； 当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为， 于是有， 因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有， 化简，得， 设，于是有， 因为， 所以， 代入中，得， 于是有， 化简，得，代入中，得. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到. 14．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）分点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点和点，点和点中有两个点为左顶点和右顶点两种情况，求出，得到椭圆方程； （2）设出，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，求出弦长，进而利用点到直线距离求出面积. 【详解】（1）当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形， ①当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，， ②当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去）， 所以椭圆的标准方程为. （2）设， 因为， 所以， ①当直线斜率不存在时， 即，则， 因为点在椭圆上，所以，则有， 所以，点到的距离为， 此时. ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立得消去整理得， 满足， 由韦达定理得， 所以， 所以， 又因为点在椭圆上， 所以， 化简得， 所以 ， 所以点到直线的距离， 所以 综上所述，的面积为. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，设交点为，则弦长公式为：或. 15．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可； （2）设直线PA的方程为，设，，联立椭圆方程结合韦达定理可得的关系，再由易知向量线性关系转化，计算即可. 【详解】（1）∵， ∴， 由离心率为得，从而， 所以椭圆C的标准方程为． （2）   设，，则， 可设直线PA的方程为，其中， 联立，化简得， 则，同理可得，． 因为，． 所以 ， 所以是定值. 16．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程； （2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值. 【详解】（1）由题设得，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）由，得， 由，得. 设、，则，， 所以点的横坐标，纵坐标， 所以直线的方程为. 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧. 因为，所以，所以. 又因为，， 所以，解得，所以. 17．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据弦长求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求解； （2）设的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得，即可求解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得， 由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得， 解得，，， 所以椭圆的方程． （2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程， 由方程组，整理得， 可得，解得， 设，，则，， 又由， 解得，满足， 所以直线的一般式方程为或． 18．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的参数及范围、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由题意可得：，求解即可； （2）先确定直线的斜率必不为0，设其方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，结合题意可得直线恒过轴上一定点.从而可求得，进而可求解. 【详解】（1）由题意可得：，解得，所以椭圆的方程为：； （2）依题意，，设，直线斜率为. 若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意. 所以直线的斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆的方程联立得， 所以，且 因为是椭圆上一点，满足， 所以， 则，即. 因为 所以，此时， 故直线恒过轴上一定点. 因此， 所以 ， 令， 当即时，取得最大值. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19．（Ⅰ）（Ⅱ）或. 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、求直线与椭圆的交点坐标、根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程； (Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率. 【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1. 所以，椭圆方程为. (Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为， 又，则直线的方程为，与椭圆方程联立， 整理得，可得， 代入得， 进而直线的斜率， 在中，令，得. 由题意得，所以直线的斜率为. 由，得， 化简得，从而. 所以，直线的斜率为或. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. 20．(1) (2)是，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据条件，建立的方程，直接求出即可得到结果； （2）设出直线方程，联立，通过消元得到，再由韦达定理得，，再直接对化简即可求出结果. 【详解】（1）由，得到，又椭圆过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，， 联立，消整理得， 所以， 又 ， 所以为定值.    21．(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由离心率与定点代入椭圆方程，建立方程组待定系数即可； （2）由条件转化为，设直线的方程为，将斜率坐标化，利用韦达定理代入，得到的等式，不论如何变化，等式恒成立求值即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以椭圆的方程为. 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）存在定点，使.理由如下： 由（1）知，，则点. 设在轴上存在定点，使成立. 当直线斜率为时，直线右焦点的直线即轴与交于长轴两端点， 若，则，或. 当直线斜率不为时，设直线的方程为，. 由消去并整理，得， 则. 因为，所以， 所以，即. 所以， 即， 恒成立， 即对，恒成立，则，即. 又点满足条件. 综上所述，故存在定点，使.    22．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程； （2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以， 又，，所以，得到， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根， ， 化简整理得 因为直线与垂直，所以直线的方程为， 联立得，解得， ， 所以 把代入上式得，，所以，为定值； 当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为， 此时或，，为定值； 当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为， 此时或，，为定值； 综上所述，，为定值. 23．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】 （1）根据题意，列出关于，，的方程即可求解； （2）设直线方程（有两种方法，一种设；另一种设），与椭圆方程联立，结合韦达定理及基本不等式即可求出面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以，则， 所以的标准方程为， 因为点在上，所以， 解得，从而，. 所以的标准方程为. （2）易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0， 设，，， 联立方程组消去得， 由得，由根与系数的关系知 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以的面积 令，得，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足，所以的最大值为. 评分细则： 第二问另解： （2）设，，， 联立方程组，消去得. 由得，由根与系数的关系知. 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以的面积. 令，得， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足，所以的最大值为. 24．(1) (2)是定值，定值为2 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用离心率求得之间的关系，结合点在椭圆上，解方程即可得答案； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，利用直线的倾斜角互补，可得，结合根与系数关系化简即可得结论. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意知， 故椭圆的标准方程又为，即， 又椭圆过点，， 椭圆的标准方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不过点， 设直线的方程为，， 由，消去整理得， 需满足，则，， 直线的倾斜角互补，， ， ， 将，代入得， 整理得，而， ， 所以直线的斜率为定值，其定值为2. 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定值问题，解答的难点在于定值问题，解答时困难在于计算的复杂性，且都是关于字母参数的计算，计算量较大，要十分细心才可以. 25．(1) (2)能，定点为（0，） 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆定义及辨析 【分析】（1）由条件列方程求可得椭圆方程； （2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明. 【详解】（1）由已知可设椭圆方程为， 则，， 又 所以， 故椭圆C的标准方程为 （2）设AB方程为，由，得， 设，则.. 由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点， 由得，则直线BM方程为， 令，则 又， 则， 所以，直线BM过定点（0，），同理直线AN也过定点. 则点（0，）即为所求点. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 26．（1）；（2）证明见解析，直线. 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定直线 【分析】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程. （2）由题设知的斜率不可能为0，可设直线的方程为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理可得，再由点斜式表示直线：，则即可判断是否为定直线. 【详解】（1）由题意，且，又，解得，. 椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，，，联立方程 整理得，， 由，，即. 直线的方程为.① 过且与轴垂直的直线的方程为.② 联立①②可得. 点在定直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定的关系，进而由的位置用表示出其横坐标. 27．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程； 利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由已知得解得，，， 故椭圆的标准方程为． （2）如图，由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得， 整理得， 又， 所以， 故． 28．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析，． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，即可求解； （2）（ⅰ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求弦长，并求点到直线的距离，结合三角形的面积公式，以及基本不等式，即可求面积的最大值； （ⅱ）利用韦达定理，结合向量的坐标公式，表示点的坐标，即可求解定直线方程. 【详解】（1）设焦距为，依题意，解得， 又，所以， 所以的方程为． （2）（i）设， 因为，所以， ，解得， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 当且仅当，即时，面积的最大值为． （ii）设，由，有， 即 因为，所以， 故，于是有， 所以点在定直线． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用韦达定理表示弦长，以及坐标. 29．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据，因为，直线的斜率为可得答案； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，设，利用韦达定理代入化简计算可得答案. 【详解】（1）分别是椭圆的右顶点和上顶点，， 可得，因为，所以， 直线的斜率为，所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设直线的方程为，则， 与椭圆方程联立可得， 由得， 设，可得， ， 所以为定值.      30．(1) (2)存在，该直线方程为 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用椭圆定义求方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得，结合椭圆的定义可求出结果； （2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果. 【详解】（1）设动圆的半径为， 依题意得，所以为定值，且， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， ，，，， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 设，， 则，两式相减得， 得，即， 由点斜式得直线方程为，即. 所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.      31．(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据求椭圆方程和离心率； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题设                                  解得      所以椭圆的方程为．                             的离心率为． （2）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．             由  得．                      设，则，．          由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等． 所以四边形的面积为面积的倍．                 又， 所以 ．                 所以．             设，则． 所以．              当且仅当，即时，． 所以四边形的面积最大时，． 32．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由，得，再将点代入椭圆方程中，结合可求出，从而可求出椭圆方程， （2）设直线，，，将直线方程代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，可得，表示出直线AP的斜率，直线的斜率，而，代入化简即可 【详解】（1）由，得（c为半焦距）， ∵点在椭圆E上，则． 又，解得，，． ∴椭圆E的方程为． （2）由（1）知．设直线，，． 由消去x，得． 显然． 则，． ∴． 由，，得直线AP的斜率，直线的斜率． 又，，， ∴．∴． ∵． ∴． 33．(1) (2)过定点，定点为 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据对称性得为等腰直角三角形，且，进而根据面积得，再结合离心率得，最后根据求解得答案； （2）由题知，设直线的方程为，，进而根据题意得，进而整理得，再联立并结合韦达定理整理求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，由对称性得为等腰直角三角形，且， 因为的面积等于，所以，即， 因为椭圆的离心率等于，即，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为：. （2）解：由（1）得， 设直线的方程为，， 因为点关于轴的对称点在直线上， 所以直线与直线的斜率互为相反数，即， 因为，所以， 整理得 又因为，所以， 由消去得 所以，即， 所以， 整理得 由于，故解方程得， 此时直线的方程为，过定点 所以直线恒过定点. 34．(1) (2)4 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题意可得，从而求出，即可求解. （2）分情况讨论直线斜率存在与不存在的情况，然后与椭圆方程式联立，再结合韦达定理求出相应关系式，并利用基本不等式求出最值，从而可求解. 【详解】（1）由题意知，解得， 由长轴长是短轴长的2倍，则， 所以椭圆的方程为. （2）当直线斜率存在，这的方程为，， 因为，故可设方程为， 由，得， 则，，， 所以， 同理， 因为，所以，因为，所以， 所以， 当且仅当时，平行四边形取得最大值为4. 当直线的斜率不存在时，此时平行四边形为矩形，设，易得， 又因为，所以，当且仅当时取等. 综上所述：平行四边形的面积的最大值为4. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意Δ的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 35．(1) (2)直线经过定点 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据三角形面积和离心率得到方程组，求出，求出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，根据斜率之和得到方程，求出，代入直线方程，求出定点. 【详解】（1）因为的面积，且， 又， 故解得，则，则陏圆的标准方程为； （2）假设， 直线与椭圆联立得， 消去整理得， 则，又因为， 所以， 则， 即， 代入韦达定理得， 即，化简得， 因为，则， 即代入直线得， 即 所以直线经过定点. 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 36．(1) (2)证明见解析，定值为 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程. （2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值. 【详解】（1）由已知设椭圆方程为：， 代入，得， 故椭圆方程为. （2）设直线， 由得， ，， 又， 故 ， 由，得， 故或， ①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去； ②当时，直线，过定点，即直线过左焦点， 此时，符合题意. 所以的周长为定值. 37．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】 （1）根据题意求出，即得答案； （2）联立直线和椭圆方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意得的焦点为， 故椭圆C：的焦点为，则； 令，则， 故由过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1可得， 联立，解得， 故椭圆C的方程为； （2）将代入得， 需满足，即；    设，则， 由得， 即，解得， 故，符合题意. 38．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线 【分析】（1）由题意可得、，结合计算即可得； （2）由题意设直线方程为，，联立椭圆方程，用韦达定理、直线交点坐标以及中点坐标表示出中点的坐标，证明为定值即可. 【详解】（1）由题意可得、、，则， 又，，故，即， 故有，即，则，， 即的方程； （2）由，故直线斜率存在，设为， 设，联立， 得， ， 即，，， 直线和联立， 得，设其中点为，则， 则有， 即 ， 即有，即， 故线段的中点在定直线上.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 39．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据弦长求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由题意求出，进而得到，求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式表达出弦长，得到方程，检验后求出答案 【详解】（1）由题意得：，，解得， 故， 故椭圆C的方程为； （2）联立与得，， ，解得， 设，则， 故 ， 又， 所以，解得，满足， 故实数的值为 40．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据等腰直角三角形的几何性质可得出，根据、、的关系可求得椭圆的离心率的值； （2）由题意，设直线的方程为，设切点，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出、的等量关系，求出点的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，根据求出的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为，由已知得点， 因为为等腰直角三角形，且为的中点，所以，即， 所以，有． （2）解：由（1）知，设椭圆方程为， 因为切点在第二象限，且直线的斜率为， 设直线的方程为，设点， 因为直线与椭圆相切，联立可得， 由，可得，即， 所以，，，所以， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 则直线的方程为， 联立，可得，即点， 又因为、， 有，， ． 所以，所以椭圆的方程为． 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 41．(1) (2)1 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）在中，，，，利用余弦定理求出，由，求得，可得椭圆的标准方程； （2）设出直线方程与椭圆联立方程组，弦长公式求出，求出点到直线的距离，表示出面积后用基本不等式求最大值. 【详解】（1）依题意得：， 由椭圆定义知，又，则， 在中，， 由余弦定理得：， 即， 解得，又， 故所求椭圆方程为 （2）设，代入，整理得， 设，，由，得，解得， 则，，    ． 点到直线的距离， 即有， 当且仅当，即时取等号， 故面积的最大值为1. 42．(1) (2)是定值，定值为 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）将点代入椭圆方程，以及联立离心率可求得椭圆方程； （2）首先设过点的直线为，与椭圆方程联立，利用坐标分别表示直线和方程，并求得点的坐标，利用几何关系，转化，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，解得：，，， 所以椭圆的方程为； （2）设过点的直线为，，，，， 联立，得， ，， ，所以， ，联立直线和方程， 得， ， 所以，得，，即 因为点是的中点，，所以， 所以.    所以是定值，且定值为. 43．（1）；（2）证明见解析，. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、椭圆中的定直线 【分析】（1）根据抛物线焦点的坐标公式，结合直线方程的截距式方程、点到直线距离公式、椭圆中之间的关系进行求解即可； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根据直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程的判断别式、斜率公式、以及互相垂直两直线的关系进行求解即可. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为   ， 直线的方程为：，设原点到直线的距离为， ， 椭圆方程为； （2）因为直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程： 即 切点坐标 即， ，点的坐标为：， 的方程为 联立直线方程： 解得 在这条定直线上. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过直线与椭圆的位置关系，借助方程组消，运用一元二次方程根的判别式得到等式，再通过求出横坐标，进行证明即可. 44．(1) (2)①证明见解析；② 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由题意可得，设，可得，，解方程求，可得椭圆方程； （2）①设，联立直线和椭圆方程，求得的坐标，进而得到，， 再根据向量共线的定义即可得证； ②根据椭圆的定义可求的周长，结合内切圆的性质可得，利用设而不求法 求的最大值即可的结论. 【详解】（1）由已知得：，，， 设， 因为M在椭圆上，所以① 因为， 将①式代入，得， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）①设，则， ， 所以，， 联立方程，得， 则． 联立方程，得，， 则， 椭圆的右焦点为， ，， 因为， 说明C，D，三点共线，即直线CD恒过点． ②因为直线CD恒过点， 所以的周长为， 设内切圆的半径为， 所以的面积， 所以，即， 若内切圆的面积最大，即r最大，也就是最大， 因为三点不共线， 所以直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为， 代入得：， 可得，， 又因为 令，（*）式化为：， 因为函数在上单调递增， 所以当，即时，（*）式取最大值3， 所以，故， 所以得到内切圆面积的最大值为，当时取得． 【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 45．（I）；（II）. 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（I）根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率； （II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有， 又由，消去得，解得， 所以，椭圆的离心率为. （II）解：由（I）知，，故椭圆方程为， 由题意，，则直线的方程为， 点的坐标满足，消去并化简，得到， 解得， 代入到的方程，解得， 因为点在轴的上方，所以， 由圆心在直线上，可设，因为， 且由（I）知，故，解得， 因为圆与轴相切，所以圆的半径为2， 又由圆与相切，得，解得， 所以椭圆的方程为：. 【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 46．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】 （1）将点带入椭圆方程，结合椭圆的定义计算即可； （2）设直线方程为及M、N点坐标，联立椭圆方程，利用韦达定理及计算可得值，再由等面积法转化得，最后整体换元由对勾函数求最值即可. 【详解】（1）根据题意可得解得，， 所以椭圆的方程为． （2）   由(1)得，设直线的方程为，，，， 联立，得， 所以， ，, ， ， 因为以为直径的圆过点A，故，所以， 所以，所以， 所以，所以， 解得或舍去， 当时，，且，点A到MN的距离为， 所以， 化简得， 令，则， ， 由对勾函数的单调性知，在上单调递增， 即时取得最小值，此时. 47．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）椭圆中心到直线的距离为其短轴长的，由面积法列出a、c齐次式，可求椭圆的离心率； （2）设出直线的方程，与椭圆联立方程组，求得点坐标，得到直线的方程和点坐标，左顶点，由直线的斜率可得弦为AD，可求出椭圆方程. 【详解】（1）由题意，，椭圆中心到直线的距离为其短轴长的，由直角三角形面积关系得，即， 解得椭圆的离心率. （2）由（1）得，，易得，， 直线的方程为，因为直线不过右顶点，所以， 由，得，， 从而，， 直线的斜率为， 故直线的方程为，令，得， 直线的斜率， ，左顶点，，即， 解得，，． 椭圆的标准方程为 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 48．（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的切线方程 【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程. （1）由题意知，且有，即，解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）①设从点所引的直线的方程为，即， 当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则， 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得， ， 化简得，即， 则、是关于的一元二次方程的两根，则， 化简得； ②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上. 综上所述，点的轨迹方程为. 考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 49．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）把点代入椭圆方程, 结合离心率为，列方程求出，可得椭圆的方程 （2）利用点差法求中点弦的斜率，再点斜式求直线方程. 【详解】（1）由题可知解得 故椭圆的方程为. （2）设，，则    两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，，所以， 所以直线的方程为，即. 50．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由离心率为，且经过点可得答案； （2）设，令可得坐标，代入椭圆方程得，设，可得坐标，代入椭圆方程得，利用及的取值范围可得答案． 【详解】（1）由离心率为，且经过点可得，又， 解得，所以椭圆； （2）设，则，， 令，， 可得， 代入，得， 又，得， 设，， 可得， 代入，得， 又，得， ∵，∴， ∵，，∴． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是设，令，，分别求出、坐标，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力. 51．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】 （1）待定系数法，设出椭圆方程后，根据椭圆C的离心率为，且过点，列出方程组，解出即可； （2）根据，则，转化为坐标之间的关系式，设出直线的方程后，与椭圆方程联立消元，利用韦达定理得到结果，代入已得关系式，即可证明. 【详解】（1）设椭圆C的方程为， 由题意得解得 ∴椭圆C的标准方程为． （2）证明：设点， ∵，∴ 整理可得①， 当直线MN的斜率k存在时，设， 联立得， 由得， 则． ∴，， 代入①式化简可得， 即，∴或， 则直线方程为或， ∴直线过定点或，又和A点重合，故舍去． 当直线MN的斜率k不存在时，则，， 此时，即， 又，解得或2（舍去）， 此时直线MN的方程为，过点． 综上所述，直线MN过定点． 【点睛】（1）定点问题必须是运动变化中的直线(或曲线)在运动变化中表现出的不变性质,解题的关键是“使用参数表达直线系方程”,解题的目标是“该直线系方程对任意参数均成立”,即可得出定点坐标. （2）在直线系过定点问题中,经常使用双参数直线系方程,此时解题的关键是“根据已知确定 的关系,把双参数直线系方程化为单参数直线系方程”. 52．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解； （2）（ⅰ）首先利用坐标表示和，利用面积相等，以及点在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件，确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点满足条件. 【详解】（1）当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为， 则，得，， 所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）设， ， ，， 由题意可知，，，即， 所以；    （ⅱ）假设存在点，使得， 因为，，， 所以，，， 则， 由（ⅰ）可知，，又，所以三点共线， 如图，    则，所以， 则点与点重合，这与已知矛盾， 所以不存在点，使. 53．(1)； (2)或． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据所给条件求出，即可得出椭圆标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及，列出方程求即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为． 由题意可知，解得 所以椭圆的标准方程为． （2）设，如图， 联立方程，消去，得， 则， 从而， 因为，即， 所以， 解得或， 经验证知，所以的值为或． 54．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、已知切线求参数、根据椭圆过的点求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用椭圆的概念及过点的坐标待定系数计算即可； （2）先利用直线与圆相切得出，再利用韦达定理及向量数量积计算即可. 【详解】（1）由题意，椭圆的长轴长，得， 因为点在椭圆上，所以得， 所以椭圆的方程为； （2）由直线与圆相切，得，即， 设，由 消去，整理得． 由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交， 所以， ， 所以， 因为，所以． 又因为，所以， 得的值为. 55．(1) (2)证明见解析， 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定直线、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由对称性得到点，在椭圆上，结合焦点坐标，得到方程组，求出，，求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，，，得到两根之和，两根之积，由和共线得到方程组，联立后得到，求出，得到交点在定直线上，并求出该直线的方程. 【详解】（1）因为为椭圆的右焦点，所以①, 由对称性得，点，在椭圆上，代入得②, 联立①②解得，，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）由条件知直线与直线不重合，故直线的斜率不为0，    设直线的方程为， 联立，可得， 设，，， 则，，， 由（1）可得，， 由共线得：③， 由共线得：④， 由③÷④消去并整理得，， 即，所以， 综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 56．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据条件求出椭圆方程再求离心率； （2）设，，，将直线MN的方程与椭圆方程联立得，，代入斜率公式验证成立即可. 【详解】（1）由得C的半焦距为，所以， 又C过点，所以，解得， 所以，． 故C的离心率为． （2）    由（1）可知C的方程为． 设，，． 由题意可得直线MN的方程为， 联立 ，消去y可得， 则，， 则 ， 又， 因此． 57．(1) (2)存在；或 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题意列出关于a,b,c的方程，可求得答案; （2）设直线MN方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，求得相关点的坐标，利用三角形面积之间的关系表示出，列方程求得m，可得答案. 【详解】（1）由题意知，， 因为△AOF的面积为1，所以． 又直线AF的方程，即， 因为点O到直线AF的距离为， 所以，解得，，， 所以椭圆C的方程为． （2）依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线MN方程为， 联立，得， 易知． 设，，则，， 因为轴，轴，所以，， 所以直线QM：①， 直线NE：②， 联立①②解得， 因为，ME与直线平行， 所以， 因为， 所以， 由，得， 解得， 故存在直线l的方程为或，使得△PMN的面积等于． 【点睛】该题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中的面积问题，综合性较强，计算量比较大，解答时要注意明确解题的思路，即解决问题的目的是表示出△PMN的面积，难在计算的复杂性，要特别注意. 58．(1)； (2)过定点，. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据已知条件列方程即可解得值，方程可求解； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程结合韦达定理得关系，又得，代入坐标化简即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立 整理得， 则，即 又， 因为，所以， 所以 所以， 即 整理得，即，此时 则直线的方程为，故直线过定点. 59．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据焦点坐标设椭圆方程，将代入椭圆方程，结合即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，得出，再由中点坐标知，求出值，即可得到直线方程. 【详解】（1）椭圆的两个焦点分别为， 设椭圆的标准方程为，且， 则①， 又椭圆过点，所以②，联立①②解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点， 设直线的方程为，即， 设， 则，消去得， ， 所以，， 又是弦的中点，所以，解得， 故直线的方程为 60．(1) (2)面积的最大值为，此时直线的方程为或； (3)存在，，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）由短轴长求出，将代入椭圆方程求出，得到答案； （2）直线的斜率为0时，此时三点共线，舍去，当直线的斜率不为0时，设出直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出的面积为，利用基本不等式求出最值，并得到此时直线的方程； （3）由角相等得到，转化为，在第二问的基础上，代入化简得到答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 将代入椭圆方程，得到，故， 故椭圆方程为； （2）当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为，此时直线的方程为或； （3）在x轴上存在点使得恒成立，理由如下： 因为，所以，即， 整理得，即， 所以， 则，解得， 故在x轴上存在点，使得恒成立. 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 61．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题意得，再结合可求出，从而可求得椭圆方程， （2）设，，，，设的方程为，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，由可得，再结合前面的式子化简可求出关于的方程，从而可证得结论. 【详解】（1）由题意可知，因为，所以解得，． 所以所求椭圆的方程为 （2）设，，，， 直线的斜率显然存在，设为，则的方程为． 因为，，，四点共线，不妨设， 则，，，， 由，可得， 化简得．（*） 联立直线和椭圆的方程，得， 消去，得， ，得， 由韦达定理，得，．代入（*） 化简得，即． 又，代入上式，得，化简得． 所以点总在一条定直线上．    【点睛】关键点睛：本题解题的关键是设出直线的方程，利用弦长公式表示出，代入化简，再将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，几个式子相结合可证得结论. 62．(1) (2)点或 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由已知条件，椭圆的定义及的关系可知和，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解； （2）设点，，由直线的方程即可求出点的坐标，由的方程即可求出点的坐标，由已知条件可知，分直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标. 【详解】（1）∵△为等边三角形，且， ∴， 又∵，∴， 设椭圆的方程为， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆E的方程为. （2）由已知得，设，, 则直线的斜率为，直线的方程为， 即点坐标为， 直线的斜率为，直线的方程为， 即点坐标为, ∵,∴,∴， 又∵，， ∴，即， 整理得， ①若直线的斜率存在时,设直线的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立得， 其中， ，， 即，，， 所以或， 当时，直线的方程为，此时直线恒过点， 当时，直线的方程为，此时直线恒过点， ②若直线的斜率不存在时， 由得， 即，解得或， 此时直线的方程为或， 所以此时直线恒过点或， 综上所述，直线恒过点或. 63．(1) (2)6 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由已知焦点与离心率得关系，求解方程组可得； （2）将平行四边形面积转化为的面积，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，再利用分割法将的面积转化为，利用韦达定理转化为函数最值研究即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 则椭圆E的方程为； （2）易知直线AB的斜率不为0，由（1）知， 不妨设直线AB的方程为， 联立，消去x并整理得， 此时恒成立，设， 由韦达定理得，，    所以， 此时， 椭圆C的内接平行四边形面积为， 令，则. 则， 设，， 则， 则函数在单调递增，所以， 所以当时，S取最大值6，故平行四边形的面积最大值为6． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 64．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的参数及范围 【分析】（1）由椭圆确定离心率，设出其方程，利用点的坐标求得，即可求得答案； （2）设，利用椭圆方程推出，从而设的方程，联立椭圆方程，求得相关点坐标，得到，，从而可求出的表达式，利用换元法，结合二次函数性质，即可求解答案. 【详解】（1）由题意知椭圆的离心率为，故椭圆的离心率也为， 设椭圆的方程为，则， 即，将代入得， 则椭圆的方程为； （2）由于A为椭圆的上顶点，故，    不妨设P在第一象限以及x轴正半轴上，，则，则， 故， 由题意知直线AP存在斜率，设其方程为， 则AQ的直线方程为， 联立直线AP和椭圆的方程，整理得， 解得，即； 联立直线AP和椭圆的方程，整理得， 解得，即； 故，同理可求得， 所以， 设，则， 而， 由于，故在时单调递减， 即， 故，即. 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的参数的取值范围问题，难点在于的取值范围的求解，解答时要利用联立直线和椭圆方程求解相关点的坐标，继而求出的表达式，利用换元法，结合二次函数性质求解答案，计算过程比较复杂，计算量较大. 65．(1) (2)，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解； （2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设椭圆的方程为，则 由椭圆的定义及的周长为6，知①， 由于为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，得到轴距离最大为， 因为的面积的最大值为， 所以②， 又③， 联立①②③，得， 所以椭圆的方程为. （2）为定值，理由如下： 根据已知条件作出图形如图所示,      设，则， 因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点， 联立消去得：， ， 又，且， 所以，同理 所以. 所以为定值. 66．(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由直线的两点式方程可得的方程，联立椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出b，即可求解； （2）设，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，根据两点表示斜率公式化简计算可得、，则，由求得直线的方程，联立椭圆方程求出点Q的坐标即可求解. 【详解】（1）依题意可得， 当直线经过点时，的方程为， 代入，整理得， ， 解得，所以椭圆的方程为． （2）（i）依题意可得直线的斜率不为0， 设，，． 由得， 则 则 ； （ii）因为， 所以，又因为，所以， 则直线的方程为，与联立得． 所以的方程为，即． 答案第82页，共86页 答案第30页，共87页 学科网（北京）股份有限公司 $$