11.焦点三角形周长和边长问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

11.焦点三角形周长和边长问题 1．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东深圳·二模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2014·全国·高考真题）已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A． B． C． D． 7．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为，且椭圆的离心率为，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 10．（22-23高三上·浙江·开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·海南海口·模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为(     ) A． B． C． D． 13．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（20-21高二上·山西长治·期末）椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·浙江宁波·一模）设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（    ） A． B．0 C． D． 16．（21-22高二·全国·课后作业）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 17．（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（22-23高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 20．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·广东湛江·期中）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二下·四川成都·期末）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（    ）    ① 若，则； ② 若，则的值为1； ③ 的面积； ④ 若，则当时，取得最小值2． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 23．（22-23高二下·四川内江·开学考试）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 26．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 27．（2024·浙江·二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且的最大值为8，下列说法正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 28．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（    ） A．周长的最小值为18 B．四边形可能为矩形 C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是 D．的最小值为-1 29．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 30．（23-24高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（    ） A． B．的面积等于 C．直线的斜率为 D．的离心率等于 31．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（    ） A．四边形的周长为8 B．的最小值为9 C．直线，的斜率之积为 D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为1 32．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（    ） A．双曲线C的离心率为 B． C．当P为C与的交点时， D．的最小值为1 33．（23-24高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（    ） A．当不与左、右端点重合时，的周长为定值 B．当时， C．有且仅有4个点，使得为直角三角形 D．当直线的斜率为1时，直线的斜率为 34．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为7 C．的最小值为 D．的最大值为1 35．（2023·河北保定·一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（    ） A．2 B．8 C．10 D．12 36．（23-24高二上·吉林四平·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．的面积的最大值为2 C．若，则的最小值为 D．的最小值为 37．（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 38．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点在椭圆上，则（    ） A．的最大值为3 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 39．（22-23高二上·浙江宁波·期中）设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为定值8 B．的面积最大值为 C．的最小值为8 D．存在直线l使得的重心为 40．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（    ） A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则 B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形 C．取值范围为 D．周长的最大值为 41．（2022·山东青岛·一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 42．（22-23高二上·福建莆田·期末）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 43．（2024·黑龙江·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，若过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A．的离心率为 B． C．点到直线的距离为 D．的周长为8 44．（19-20高二·全国·课后作业）已知是椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，且，则（    ） A．的周长为 B． C．点到轴的距离为 D． 45．（22-23高二上·浙江湖州·期末）已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．双曲线的离心率为 C．椭圆的离心率为 D． 46．（22-23高二下·湖北咸宁·期末）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最大值为 47．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（    ） A．曲线关于轴和轴对称 B．曲线所围成的封闭图形的面积小于8 C．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8 D．曲线上的点到原点的距离的最大值为 48．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆C上的一点，且在第一象限，点为的内心，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．的最大值为 49．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 50．（2023·河北唐山·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为 ． 51．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左、右焦点，若，则的内切圆半径为 52．（21-22高二·全国·课后作业）如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为    53．（22-23高三下·山东·开学考试）已知椭圆，直线交于两点，点，则的周长为 ． 54．（21-22高三下·海南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为 ． 55．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为 . 56．（2024·辽宁·二模）已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点A，B，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中O是坐标原点），则椭圆的离心率为 . 57．（2022高二上·全国·专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于 . 58．（2023·山东泰安·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为 . 59．（20-21高三·全国·开学考试）设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为 . 60．（22-23高三上·江苏镇江·期末）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 ． 61．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B． （1）求△AF1F2的周长； （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标． 62．（2021高三·上海·专题练习）如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 63．（2022·山东泰安·一模）已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为2和. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：（）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且为直角三角形，求直线l的方程. 试卷第12页，共13页 试卷第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C B A C B D D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C C B C C C C B C C 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D D A B AC ACD AB AC ABD ABD 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 ACD ACD ABD ABD ACD ABD BCD ACD ACD BD 题号 41 42 43 44 45 46 47 48 答案 ABC ACD ABD BCD BCD BCD ABD BCD 1．B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 2．B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、向量加法法则的几何应用、已知数量积求模、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，    则①，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 3．C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量点乘问题 【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率. 【详解】 设， 由已知可得，， 根据椭圆的定义有. 又， 所以. 在中，由余弦定理可得， ， 即， 整理可得， 等式两边同时除以可得，， 解得，或（舍去）， 所以. 故选：C. 4．C 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】设关于平分线的对称点为Q，结合角平分线的性质可得是正三角形，再运用椭圆定义求得，，根据三角形面积公式求的面积即可. 【详解】设椭圆的长半轴为，则 设关于平分线的对称点为Q， 由椭圆对称性及角平分线性质可知P，，Q三点共线且 又因为，所以是正三角形， 设， 由椭圆定义可得，， 又， 所以， 所以，即，， 所以的面积. 故选：C. 5．B 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】 由已知可设可求出所有线段用表示，在中由余弦定理得从而可求. 【详解】如图，由已知可设，又因为 根据椭圆的定义， 在中由余弦定理得，所以 故椭圆方程为： 故选：B 6．A 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题 【详解】若△AF1B的周长为4, 由椭圆的定义可知,, ,, ， 所以方程为，故选A. 考点：椭圆方程及性质 7．C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设，结合椭圆的定义，在中利用勾股定理求得，中利用勾股定理求得，可求椭圆C的离心率. 【详解】连接，设，则，，，    在中，即， ，，， ，， 在中，，即， ，，又，. 故选：C. 8．B 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】由焦点三角形周长、椭圆离心率列方程求椭圆参数，结合椭圆性质即可确定椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离. 【详解】设椭圆的焦距为，且的周长为，所以， 椭圆的离心率为，则， 综上，，解得，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为． 故选：B 9．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D. 【详解】由题意知，，，， 由椭圆的定义知，，， ∴的周长为，即A正确； 将代入椭圆方程得，解得， ∴的面积为，即B正确； 设的内切圆的半径为r，则， 即，∴，即C正确； 不妨取，则，， ∴的面积为， 即，∴， 由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误， 故选:D.    10．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率. 【详解】由已知，可根据条件做出下图： 因为，令， 所以，，由椭圆的定义可知， 所以，所以，，，， 由椭圆的定义可知， 在中，，所以, 在中， ，所以 所以. 所以的离心率是. 故选：D. 11．C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可. 【详解】在中，， 设，由题意知,， 由余弦定理得,， 由椭圆定义知，则离心率. 故选:C. 12．C 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆以及双曲线定义可求得，即可求出的面积为. 【详解】根据题意如下图所示：    利用椭圆定义可知，由双曲线定义可知； 解得， 由三角形面积公式可得； 即的面积为. 故选：C 13．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析、等差中项的应用 【分析】由椭圆定义可得，结合已知条件可得，在中，由余弦定理得为等边三角形，在中，可得，得解. 【详解】    由得到， 设，, 在中，由余弦定理得， ， 解得， 为等边三角形， 则在中，，， 又，， 得，解得. 故选：B. 14．C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解 【详解】易得．设，，则． 在中，由余弦定理得， 即，则， 所以． 设点到轴的距离为，则，故，解得． 故选：C． 15．C 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、余弦定理解三角形、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】 设，利用余弦定理可得，再由向量表示可知，即可得；联立即可求得. 【详解】如下图所示：    不妨设，根据椭圆定义可得，； 由余弦定理可知； 又因为，所以，又， 即可得，解得； 又，即； 所以可得； 故选：C 16．C 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D. 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大； （3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为； （4）. 17．C 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得. 【详解】 连接、， 由在以为直径的圆上，故， 、在椭圆上，故有，， 设，则， 则有，， 即可得，解得， 故，则， 故. 故选：C. 18．B 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据题意由向量数量积和三角形面积公式可得，再利用椭圆定义和基本不等式即可求出. 【详解】如图所示：    不妨设， 则可知，， 两式相除可得，所以， 又，所以， 可得， 由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立）， 所以. 故选：B. 19．C 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义求出即得解. 【详解】因为, 所以四边形是平行四边形. 所以. 由椭圆的定义得. 所以. 故选：C    20．C 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线方程，与椭圆联立可得点纵坐标，进而求得三角形面积. 【详解】解：因为，所以， 设，，在中， 由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆定义有：，所以， 所以， 因为， 因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得， 因为，所以， 所以直线， 联立，可得 ， 显然，则，因为，所以， 所以 ． 故选：C 【点睛】思路点睛：该题考查直线与椭圆的综合问题，属于中难题，关于焦点三角形问题的思路有： （1）设出两个焦半径为，求得； （2）先由余弦定理建立等式； （3）再由椭圆定义建立，两式联立可得； （4）再根据等面积法，即可求得点坐标. 21．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得各边长，再利用面积公式即可求得的面积. 【详解】由题可知，焦距，则，又椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4， 即，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 整理得，所以，则，故的面积. 故选：D. 22．D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】对于①，由椭圆和双曲线的定义结合得到，①正确；对于②，由椭圆定义和双曲线定义结合得到，从而②错误；对于③，由椭圆和双曲线定义得到，由余弦定理得到，得到，利用三角形面积公式进行求解；对于④，由椭圆和双曲线定义得到，，结合余弦定理得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】①， ， ，即， ，故①正确； ②在第一象限，且，， ， 即，故②错误； ③设椭圆的焦距为，，，则，， 解得，， ，即， ， ，， ，故③正确； ④设椭圆的焦距为，则，， 解得，， 在中，根据余弦定理可得：， 整理得，即， ， 当且仅当时取等号，故④错误. 故选：D． 【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题， 共焦点的椭圆和双曲线的重要结论： ①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为，为它们的一个交点，且，则； ②若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点. 23．A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆定义及辨析、向量夹角的计算 【分析】由条件根据向量夹角公式求，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，， 即. 设，所以由椭圆的定义可得：①. 因为，所以由数量积的公式可得： ，所以. 在中， 所以由余弦定理可得：②， 由①②可得：，所以. 故选：A. 24．B 【难度】0.65 【知识点】椭圆的对称性、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值. 【详解】设，如图，记为的左焦点，连接， 则由椭圆的对称性可知，由，设，则. 又轴，所以，即， 所以，解得. 所以的长轴长为. 故选：B 25．AC 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D. 【详解】如图所示：    根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确； 椭圆C的离心率为，故选项B不正确； 不妨设，则，， 两式相减得，变形得， 又注意到点为线段的中点，所以， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即，故选项C正确； 因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确. 故选：AC． 26．ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可. 【详解】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，若，则， 即，故，故，故C正确； 对D，由余弦定理 ，即，解得，故，故D正确； 故选：ACD 27．AB 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得，由椭圆性质可得，且离心率，联立直线和椭圆方程可知当，方程无解，因此D错误. 【详解】如下图所示： 易知，由椭圆定义可知， 因为，当轴，即为通径时，最小，所以， 解得，所以A正确； 当为长轴时，最大，此时，所以，即B正确； 可得椭圆方程为，易知，所以离心率，即C错误； 因为，可设直线的方程为，， 联立，整理可得， 因此； 若，可得，即，所以； 整理得，此时方程无解，因此D错误. 故选：AB 28．AC 【难度】0.65 【知识点】椭圆的对称性、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的参数及范围、求椭圆中的最值问题 【分析】A由椭圆对称性及定义有周长为，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已知判断正误；C、D设，利用斜率两点式可得，进而判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，结合椭圆有界性求最值. 【详解】A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确； B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误； C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确； D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误. 故选：AC． 29．ABD 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆上点到焦点的距离及最值、余弦定理解三角形 【分析】根据已知椭圆的焦点以及通经，建立方程，解得标准方程； 对于A，利用动点的位置变化，研究的取值范围，可得答案； 对于B，根据椭圆的几何性质以及三角形余弦定理，建立方程，可得答案； 对于C，利用分类讨论，建立方程，求动点坐标，可得答案； 对于D，利用余弦定理结合的取值范围，结合不等式性质，可得答案. 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，则， 将代入，则，解得，则，， 由，则，即，将其代入，可得， 化简可得，由，解的，所以. 对于A，当点为椭圆的上顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，根据题意可作图如下：    设，，则，， 在中，根据余弦定理，则， 所以，整理可得， 则，故B正确； 对于C，设，，则，， 当时，为等腰三角形，易知此时的坐标为或， 当时，为等腰三角形，此时，设， 则，消去化简可得， 由，则方程有解，故C错误； 对于D，设，，则， 则， 在中，根据余弦定理可得：， 则， 化简可得，由选项A可知， 则，，所以， 解得，故D正确. 故选：ABD. 30．ABD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于. 【详解】由可知， 不妨设，又，可得； 利用椭圆定义可知，所以可得； 即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：    由，可知满足，所以；即A正确； 所以为等腰直角三角形，且， 因此的面积为，即B正确； 此时可得直线的斜率，所以C错误； 在等腰直角三角形中，易知，即可得离心率，即D正确； 故选：ABD 31．ACD 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的周长问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断A；利用椭圆定义以及基本不等式判断B；设，，表示出，的斜率之积，结合点在椭圆上即可化简求值，判断C；将转化为，利用图形的几何意义求解，判断D. 【详解】对于A，由题意知对于椭圆，， 与椭圆交于，两点， 则，关于原点对称，且，, 故四边形的周长为，A正确；    对于B，由于，关于原点对称，故， 所以 ， 当且仅当，结合，即时等号成立，B错误； 对于C，设，则，而， 故， 而在椭圆上，即， 即，故，C正确； 对于D，由于点为椭圆上的一个动点，故, 则，故， 当且仅当共线时，且P在之间时等号成立， 而，， 故的最小值为，D正确， 故选：ACD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于D的判断，解答时要注意利用椭圆的定义将线段差转化为线段之和，结合图形的几何意义即可求解. 32．ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D. 【详解】A：由题意，，设双曲线的标准方程为， 将点代入得，所以双曲线方程为， 得其离心率为，故A正确； B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图， ，所以，得，故B错误； C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知， ，解得， 又，在中，由余弦定理得，故C正确； D：设，则， 所以， 当时，，故D正确. 故选：ACD. 33．ABD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】A：先求解出椭圆方程，然后根据焦点三角形的周长等于求得结果；B：先求解出的纵坐标，由此可求，根据椭圆定义可求；C：先计算焦点三角形顶角的最大值，然后再分析点的个数；D：先计算出为定值，然后可计算出. 【详解】对于A：因为，当且仅当为右顶点时取等号， 又因为的最大值为，所以， 因为，所以，所以椭圆的方程为， 因为的周长为，故A正确； 对于B：当时，，所以， 所以，所以， 因为，所以，故B正确； 对于C：设椭圆的上顶点为，因为， 所以，所以的最大值为， 所以存在个点，使得， 又因为存在个点使，存在个点使， 所以存在个点，使得为直角三角形，故C错误； 对于D：因为，设， 则，所以， 所以， 因为，所以，故D正确， 故选：ABD. 34．ABD 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，所以， 的最小值，即是的长，当点在位置时取到， 所以的最小值为，故A正确； 设椭圆的右焦点为，所以， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故B正确； 的最小值当在位置时取到， 即的最小值为，故C错误； 由， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故D正确. 故选:ABD    35．ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆的其他应用、平面解析几何 【分析】根据已知，光线自出发，可以沿方向传播，也可以沿方向传播，也可以不沿轴传播.根据椭圆的光学性质，分别得出光线传播的路径，结合椭圆的定义，即可得出答案. 【详解】设椭圆左焦点为，右焦点为，左顶点为，右顶点为. 由已知可得，，，所以. ①当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为，故A项正确； ②当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播第一次经过，此时所经过的路程为，故C项正确； ③当光线从出发后，不沿轴传播，如图2 光线开始沿传播，到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为. 根据椭圆的定义可知，，， 所以，故D项正确. 故选：ACD. 36．ABD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的周长问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】选项A，由定义可得；选项B，，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值. 【详解】选项A，由椭圆方程可知，， 所以的周长，故A正确； 选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点， 所以， 所以的面积， 当，即时， 即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确； 选项C，由，点，且， 因为， 当时，取最小值，且最小值为，故C错误； 选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为， 由得， ， 解得， 如图，当直线与椭圆C相切时，， 所以的最小值为.故D正确. 故选：ABD.    37．BCD 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【详解】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. 38．ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程、余弦定理解三角形 【分析】先求出椭圆方程，然后根据椭圆的几何性质逐项判断即可. 【详解】   由题意，椭圆离心率为，则， 则，代入，得， 所以， 对，由题意，故正确； 对的周长为，故B错误； 对，若，则由余弦定理得： . 即，故， 故，故C正确； 对D，由余弦定理 ， 即， 解得，故，故D正确， 故选:ACD 39．ACD 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】利用椭圆的定义可判断A，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C，设直线的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出的面积，的重心进而判断BD. 【详解】由椭圆，可得， 所以为，故A正确； 因为，所以，当且仅当取等号，故C正确； 由题可设直线的方程为，由， 可得， 设，则， 所以， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 因为，由对勾函数的性质可知， 所以，当，即取等号，故B错误； 由上可知 所以，又， 所以的重心为， 令，解得， 所以当直线的方程为时的重心为，故D正确. 故选：ACD. 40．BD 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出；B选项，验证出，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出，求出；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线经过焦点时，此时的周长最大. 【详解】将代入椭圆方程，求出，其中， 则，A错误； 由题意得：，当时，，此时， 所以当，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立， 当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形，B正确； 不妨设，则， 因为，所以，C错误； 如图，当直线经过焦点时，此时的周长最大， 等于，其他位置都比小， 例如当直线与椭圆相交于，与x轴交于C点时， 连接，由椭圆定义可知：，显然， 同理可知：， 故周长的最大值为，D正确 故选：BD 41．ABC 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】求得，进而求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】椭圆的左、右焦点分别是，， 为椭圆上一点，， 所以. 所以的周长为，A正确. 的面积为，B正确. 设的内切圆的半径为，则，C选项正确. 为锐角， ， 所以的外接圆的直径为，D选项错误. 故选：ABC 42．ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由椭圆方程可求得的值，利用△的面积即可求出P点到轴的距离；利用平面向量的夹角公式判断的大小；根据椭圆的定义可以求出△的周长；利用内切圆的几何性质可以求出内切圆半径. 【详解】由已知条件得，，， 设，则，解得，则P点到轴的距离为，故 正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为, 则 ，解得 ，故正确； 故选：.    43．ABD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题、求点到直线的距离、用定义求向量的数量积 【分析】对A：由椭圆方程判断；对B：由为等边三角形计算；对C：利用点到直线的距离判断；对D：利用点关于直线对称求解. 【详解】对A： 由题知，，所以离心率，A正确； 对B：，所以为等边三角形，，B正确； 对C：因为直线的方程为， 所以点到直线的距离，错误； 对D：由题知直线为的角平分线，则点关于直线对称， 所以的周长8，即的周长为正确. 故选：ABD 44．BCD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断； B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断； C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断； D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断. 【详解】A．因为， 所以，故错误； B．因为，， 所以， 所以，所以，故正确； C．设点到轴的距离为， 所以，所以，故正确； D．因为，故正确； 故选：BCD. 45．BCD 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项． 【详解】设，则，，， 中由余弦定理，得 ，化简得， ，D正确； 又，所以，又， 的周长为，A错误； 中，，由余弦定理得，所以， 因此双曲线的离心率为，B正确； 椭圆的离心率为，C正确， 故选：BCD． 46．BCD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中向量点乘问题、求椭圆中的最值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】由椭圆方程求出离心率可判断A；由基本不等式可判断B；由向量数量积的坐标运算可判断C；当点为短轴的端点时，取得最大值，求出可判断D. 【详解】由椭圆方程得，，，因此，， 选项A中，，，故，A错误； 选项B中，，当且仅当时取等号，B正确； 选项C中，令，则，故C正确； 选项D中，当点为短轴的端点时，取得最大值，此时， 则，，的最大值为，D正确. 故选：BCD.    47．ABD 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由方程研究曲线的性质、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据用替换，不变，得方程不变，用替换，不变，得方程不变，可判断A正确；根据曲线的范围，可判断B正确；先得到椭圆在曲线内(除四个交点外)，再根据椭圆的定义可判断C不正确；利用两点间的距离公式、三角换元和三角函数知识求出最大值，可判断D正确； 【详解】当时，曲线：， 对于A，用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称；用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，由，得，，所以曲线在由直线和所围成的矩形内（除曲线与坐标轴的四个交点外），所以曲线所围成的封闭图形的面积小于该矩形的面积，该矩形的面积为，故B正确； 对于C，对于曲线和椭圆， 设点在上，点在上， 因为 ， 所以，所以， 设点在上，点在上， 因为 ， 所以，所以， 所以椭圆在曲线内(除四个交点外)，如图： 设直线交椭圆于两点，交轴于， 易知，为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义可知，，， 所以的周长为， 由图可知，的周长不小于，故C不正确； 对于D，设曲线上的点，则该点到原点的距离为， 因为，所以设，，， 则，其中，， 所以当时，取得最大值，取得最大值.故D正确； 故选：ABD 48．BCD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题 【分析】对A，根据椭圆基本量的关系与三角形面积公式可表达的面积，再化简判断即可；对B，设的内切圆Q与的分别切于点A，B，D，再根据内切圆的性质化简分析即可；对C，由B结合椭圆定义可得，再根据点到点的距离公式与椭圆的方程化简可得即可判断；对D，设，再根据三角恒等变换结合三角函数最值判断即可. 【详解】对A，已知椭圆的实半轴长，虚半轴长，半焦距长， 的面积，所以， 所以，故选项A错误; 对B，设的内切圆Q与的分别切于点A，B，D，则 ．故选项B正确： 对C，∵，联立，可得， 又∵， ∴，∴，故选项C正确： 对D，设， 则， ∴当时取得最大值，故选项D正确．      故选：BCD． 49．13 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 50． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出的边长，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出离心率. 【详解】如图，    因为，所以可设， 又，所以， 由椭圆定义，，即， 又，即B点为短轴端点， 所以在中， ， 又在中，， 解得或（舍去）. 故答案为： 51．/ 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆定义及辨析 【分析】首先求的值，再求的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解． 【详解】因为，，所以， ，则， 等腰边上的高， 所以， 设的内切圆半径为，则， 所以 故答案为：． 52． 【难度】0.65 【知识点】直线斜率的定义、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解. 【详解】连接，如图所示    设则， 由椭圆的定义得 所以 在中，, 所以,即，整理得， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 53． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析 【分析】由题知为等边三角形，直线过点，且倾斜角为，进而得直线为边的中垂线，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】解：由题知， 所以椭圆的焦点坐标为 所以，由得， 所以，为等边三角形，且 因为，当时，解方程得， 所以，直线过点，且倾斜角为，即， 所以，直线为为等边三角形中角的角平分线， 所以，直线为边的中垂线， 所以， 因为 所以，的周长为， 故答案为： 54．/ 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据光学性质，在中由椭圆的定义可求出，再由直角三角形求出，计算离心率即可. 【详解】由椭圆的光学性质可知，都经过，且在中，，如图， 所以， 由椭圆的定义可知，即，又， 可得，在中，， 所以，所以. 故答案为： 55． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题、余弦定理解三角形 【分析】设是椭圆的右焦点，分析可知为平行四边形，根据椭圆定义可得，利用余弦定理运算求解. 【详解】设是椭圆的右焦点，连接，    由对称性可知：，则为平行四边形， 则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 56．/ 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先证明四边形是矩形，然后利用已知条件求出三边的比例，再利用椭圆的定义求出和与的关系式，最后利用即得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为. 由于三点共线，故由椭圆的对称性知，而，故四边形是平行四边形. 又因为，，故四边形是矩形. 由于四边形是矩形，故，. 从而可设，，，此时. 这得到，所以，. 最后由得到，即，故. 从而椭圆的离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用矩形的性质和椭圆的定义研究的三边，从而避免直接直线与椭圆联立导致繁杂的计算. 57． 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】先利用定义求出的各边，再求出，即可求出的面积. 【详解】由，且， 在中，∠ . 故答案为： 58． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】首先设，再根据题意和椭圆的定义求得，转化为关于的等式，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由题意得， 又由椭圆的定义得， 记，则，， 则，所以， 故， 则，则，即 等价于，得：或（舍） 故答案为： 59． 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率 【详解】   设，则，， ，. ， 在中，由余弦定理得，， ， 化简可得，而，故， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 椭圆的离心率 ， 故答案为：. 【点睛】题目考察比较综合，需要根据图形列出各边之间的关系式，找到关于之间的关系，进而求解离心率，涉及到了以下考点： （1）椭圆的第一定义 （2）三角形的余弦定理 （3）离心率的计算 60．6 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】由题意可知为等边三角形，为线段的垂直平分线，利用定义转化的周长为4a，即可求出a，b，c，设的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据弦长公式求解即可. 【详解】如图，连接， 因为的离心率为，所以，即， 所以， 因为，所以为等边三角形， 又，所以直线为线段的垂直平分线， 所以，， 则的周长为， ， 而，所以直线的方程为， 代入椭圆的方程，得， 设，，则， 所以， 故答案为：6. 61．（1）6；（2）-4；（3）或. 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长； （2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）方法一：设出，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【详解】（1）∵椭圆的方程为 ∴, 由椭圆定义可得：. ∴的周长为； （2）设，根据题意可得. ∵点在椭圆上，且在第一象限，，∴， ∵准线方程为，∴， ∴，当且仅当时取等号. ∴的最小值为. （3）[方法一]：点到直线距离公式法 设，点到直线的距离为. ∵，，∴直线的方程为,即 ∵点到直线的距离为， 又∵，∴， ∴，即即①或②， 又∵点M在椭圆③上， 联立①③解得，；联立②③，无解. ∴或. [方法二]【最优解】：转化法 同方法一得到直线的方程，且M到直线AF1的距离为O到直线AF1的距离的3倍，由于F1(-1,0),O(0,0),∴点M在过(2,0)或(-4,0)且与直线AF1平行的直线上，即在直线①或直线②上，将①代入椭圆方程无解；将②代入椭圆方程并化简得,解得,分别代入②得，，∴或. [方法三]：向量法 设直线交与N，由（１）可得直线的方程为． 由得（M，O在同侧）或（M，O在异侧）． 当M为或，N为，不合题意； 当与x轴不垂直时，设直线的方程为， 与直线的方程联立解得． 若，则， 代入椭圆方程得， 解得或，此时或； 若，则， 代入椭圆方程中得，此方程无解． 综上所述，M点的坐标为或． [方法四]：角参数法 同方法一得到直线的方程为．点到直线的距离． 设，则， 即． 若，即，无解； 若，即（*）, ∴，其中，且可以限定为锐角. ∴∴, ∴ 或，分别代入（*）得到或 故点M的坐标为或． 【整体点评】（3）的方法一，利用面积关系，得到点到直线的距离的值，利用点到直线的距离公式求得坐标满足的方程，与椭圆方程联立解得坐标；方法二抓住本题的特点，根据三角形面积的性质进行转化，得到M所在的直线方程，然后解方程组求解，运算最为简洁，是最优解；方法三更多地利用向量方法进行运算求解，要注意特殊情况的验证排除；方法四通过使用椭圆的角参数坐标，结合三角恒等变换公式求解得到. 62．(1) (2)存在，定点 【难度】0.65 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程； （2）直线与椭圆联立即可求出点的坐标,将与直线联立即可求出点的坐标， 假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知，对等式变形可得，可得. 【详解】（1）由椭圆的定义可知△，的周长为，即， ∵，∴， 又∵，∴， 故椭圆C的方程为：， （2）将联立，消元可得， ∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P， ∴， ∴， 此时，， ∴ 由得， 假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M， 设，则， ，， 整理得， 对任意实数m，k恒成立，则， 故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 63．(1) (2)或 【难度】0.4 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中向量点乘问题、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】（1）由已知可得，结合的关系可求解； （2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可求出EF的中点，进而求得其中垂线方程，求出坐标，分析已知可得，代入即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得 故椭圆的方程为 （2）设 联立，整理得 由韦达定理得， ，， 所以线段EF的中垂线方程为， 令，解得， ，， 又为直角三角形，且， ，即 所以直线l的方程或 答案第62页，共62页 答案第14页，共63页 学科网（北京）股份有限公司 $$